Własność Baire - Property of Baire

Podzbiór z przestrzeni topologicznej ma własność baire'a ( własność Baire'a , nazwany René-Louis Baire ) lub nazywany jest prawie otwarty zestaw, jeśli różni się on od zbioru otwartego przez zestaw skromny ; ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle X}$

Definicje

Podzbiór z przestrzeni topologicznej nazywany jest prawie otwarty i mówi się, że mają własność baire'a lub własność Baire'a jeśli istnieje zbiór otwarty tak, że jest podzbiorem skromne , gdzie oznacza różnicę symetryczną . Ponadto, ma właściwość Baire w ograniczonym sensie, jeżeli dla każdego podzbioru od skrzyżowania ma własność Baire'a względem . ${\ Displaystyle A \ subseteq X}$ ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle U \ subseteq X}$${\ displaystyle A \ bigtriangleup U}$${\ displaystyle \ bigtriangleup}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle A \ czapka E}$${\ displaystyle E}$

Nieruchomości

Rodzina zbiorów o własności Baire'a tworzy σ-algebrę . Oznacza to, że dopełnienie zbioru prawie otwartego jest prawie otwarte, a każdy policzalny związek lub przecięcie zbioru prawie otwartego jest znowu prawie otwarty. Ponieważ każdy otwarty zestaw jest prawie otwarty (pusty zestaw jest skromny), wynika z tego, że każdy zestaw Borel jest prawie otwarty.

Jeśli podzbiorem polskiej przestrzeni ma własność baire'a, a następnie jej odpowiednia Banach-Mazur gra jest ustalona . Odwrotna sytuacja nie zachodzi; jeśli jednak każda gra w danej odpowiedniej klasie punktowej jest określona, ​​to każdy set w grze ma własność Baire'a. Dlatego z determinacji rzutowej , która z kolei wynika z dostatecznie dużych kardynałów , wynika, że ​​każdy zbiór rzutowy (w polskiej przestrzeni) ma własność Baire'a. ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$

Z aksjomatu wyboru wynika, że ​​istnieją zbiory liczb rzeczywistych bez własności Baire'a. W szczególności zestaw Vitali nie jest własnością Baire'a. Już słabsze wersje z wyboru są wystarczające: twierdzenie Boolean o ideale pierwszym implikuje, że na zbiorze liczb naturalnych istnieje niebędący głównym ultrafiltrem ; każdy taki ultrafiltr indukuje, poprzez binarne reprezentacje liczb rzeczywistych, zbiór liczb rzeczywistych bez własności Baire'a.

Zobacz też

• Prawie otwarta mapa
• Twierdzenie o kategorii Baire'a
• Zbiór otwarty  - Podstawowy podzbiór przestrzeni topologicznej

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Springer Encyclopaedia of Mathematics artykuł dotyczący własności Baire'a