Twierdzenie Pitagorasa -Pythagorean theorem

Twierdzenie Pitagorasa
Suma pól dwóch kwadratów na nogach ( aib ) jest równa polu kwadratu przeciwprostokątnej ( c ) .

W matematyce twierdzenie Pitagorasa lub twierdzenie Pitagorasa jest fundamentalną relacją w geometrii euklidesowej między trzema bokami trójkąta prostokątnego . Stwierdza, że ​​pole kwadratu, którego bok jest przeciwprostokątną (bok przeciwny do kąta prostego ) jest równe sumie pól kwadratów na dwóch pozostałych bokach . Twierdzenie to można zapisać jako równanie odnoszące się do długości boków a , b i c , często nazywane równaniem Pitagorasa :

gdzie c oznacza długość przeciwprostokątnej , a aib długości pozostałych dwóch boków trójkąta. Twierdzenie, którego historia jest przedmiotem wielu dyskusji, nosi imię greckiego filozofa Pitagorasa , urodzonego około 570 pne.

Twierdzenie to zostało wielokrotnie udowodnione wieloma różnymi metodami – prawdopodobnie najbardziej dla każdego twierdzenia matematycznego. Dowody są różnorodne, w tym zarówno geometryczne, jak i algebraiczne, z których niektóre pochodzą sprzed tysięcy lat.

Twierdzenie można uogólnić na różne sposoby: do przestrzeni wyższych wymiarów , do przestrzeni, które nie są euklidesowe , do obiektów, które nie są trójkątami prostokątnymi oraz do obiektów, które w ogóle nie są trójkątami, ale n - wymiarowymi bryłami. Twierdzenie Pitagorasa wzbudziło zainteresowanie poza matematyką jako symbol matematycznej zawiłości , mistyki lub mocy intelektualnej; popularne odniesienia w literaturze, sztukach teatralnych, musicalach, piosenkach, znaczkach i kreskówkach obfitują.

Dowód przegrupowania

Dowód przearanżowania (kliknij, aby zobaczyć animację)

Każdy z dwóch dużych kwadratów pokazanych na rysunku zawiera cztery identyczne trójkąty, a jedyną różnicą między dwoma dużymi kwadratami jest to, że trójkąty są inaczej ułożone. Dlatego biała przestrzeń w każdym z dwóch dużych kwadratów musi mieć taką samą powierzchnię. Zrównanie pola białego znaku daje twierdzenie Pitagorasa, QED

Angielski matematyk Sir Thomas Heath podaje ten dowód w swoim komentarzu do Proposition I.47 w Euclid's Elements i wspomina o propozycjach języka niemieckiego. matematycy Carl Anton Bretschneider i Hermann Hankel twierdzą, że Pitagoras mógł znać ten dowód. Sam Heath opowiada się za inną propozycją dowodu pitagorejskiego, ale od samego początku swojej dyskusji przyznaje, „że posiadana przez nas literatura grecka, należąca do pierwszych pięciu wieków po Pitagorasie, nie zawiera żadnego stwierdzenia określającego to lub jakiekolwiek inne szczególne wielkie odkrycie geometryczne dla niego. " Ostatnie badania podają coraz większe wątpliwości co do jakiejkolwiek roli Pitagorasa jako twórcy matematyki, chociaż debata na ten temat trwa.

Inne formy twierdzenia

Jeśli c oznacza długość przeciwprostokątnej , a aib długości pozostałych dwóch boków, twierdzenie Pitagorasa można wyrazić równaniem Pitagorasa:

Jeśli znane są długości a i b , to c można obliczyć jako

Jeżeli znana jest długość przeciwprostokątnej c i jednego boku ( a lub b ), to długość drugiego boku można obliczyć jako

lub

Równanie Pitagorasa wiąże boki trójkąta prostokątnego w prosty sposób, tak że jeśli znane są długości dowolnych dwóch boków, można znaleźć długość trzeciego boku. Innym wnioskiem z twierdzenia jest to, że w każdym trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest większa niż którykolwiek z pozostałych boków, ale mniejsza niż ich suma.

Uogólnieniem tego twierdzenia jest prawo cosinusów , które pozwala na obliczenie długości dowolnego boku dowolnego trójkąta, biorąc pod uwagę długości pozostałych dwóch boków i kąt między nimi. Jeśli kąt między pozostałymi bokami jest prosty, prawo cosinusów sprowadza się do równania Pitagorasa.

Inne dowody twierdzenia

Twierdzenie to może mieć więcej znanych dowodów niż jakiekolwiek inne ( prawo kwadratowej wzajemności jest kolejnym pretendentem do tego rozróżnienia); książka The Pitagorean Proposition zawiera 370 dowodów.

Dowód za pomocą podobnych trójkątów

Dowód za pomocą podobnych trójkątów

Dowód ten opiera się na proporcjonalności boków dwóch podobnych trójkątów, to znaczy na fakcie, że stosunek dowolnych dwóch odpowiadających sobie boków trójkątów podobnych jest taki sam niezależnie od wielkości trójkątów.

Niech ABC reprezentuje trójkąt prostokątny, z kątem prostym znajdującym się w C , jak pokazano na rysunku. Narysuj wysokość od punktu C i nazwij H jej przecięcie z bokiem AB . Punkt H dzieli długość przeciwprostokątnej c na części d i e . Nowy trójkąt, ACH, jest podobny do trójkąta ABC , ponieważ oba mają kąt prosty (z definicji wysokości) i mają wspólny kąt w A , co oznacza, że ​​trzeci kąt będzie taki sam w obu trójkątach, oznaczone jako θ na rysunku. Zgodnie z podobnym rozumowaniem trójkąt CBH jest również podobny do ABC . Dowód podobieństwa trójkątów wymaga postulatu trójkąta : Suma kątów w trójkącie to dwa kąty proste i jest równoważna postulatowi równoległości . Podobieństwo trójkątów prowadzi do równości stosunków odpowiednich boków:

Pierwszy wynik zrównuje cosinusy kątów θ , natomiast drugi wynik zrównuje ich sinusy .

Te proporcje można zapisać jako

Zsumowanie tych dwóch równości daje w wyniku

co w uproszczeniu wyraża twierdzenie Pitagorasa:

Rola tego dowodu w historii jest przedmiotem wielu spekulacji. Podstawowe pytanie brzmi, dlaczego Euklides nie wykorzystał tego dowodu, ale wynalazł inny. Jednym z przypuszczeń jest to, że dowód podobnymi trójkątami obejmował teorię proporcji, temat omówiony dopiero później w Elementach , i że teoria proporcji wymagała dalszego rozwoju w tym czasie.

Dowód Euklidesa

Dowód w elementach Euklidesa

W skrócie, oto jak przebiega dowód w Elementach Euklidesa . Duży kwadrat podzielony jest na lewy i prawy prostokąt. Tworzony jest trójkąt, który ma połowę powierzchni lewego prostokąta. Następnie konstruowany jest inny trójkąt, który ma połowę powierzchni kwadratu po lewej stronie. Wykazano, że te dwa trójkąty są przystające , co dowodzi, że ten kwadrat ma taką samą powierzchnię jak lewy prostokąt. Po tym argumencie następuje podobna wersja dla prawego prostokąta i pozostałego kwadratu. Zbierając razem dwa prostokąty, aby uformować kwadrat na przeciwprostokątnej, jego pole jest takie samo jak suma pól pozostałych dwóch kwadratów. Szczegóły poniżej.

Niech A , B , C będą wierzchołkami trójkąta prostokątnego o kącie prostym w A . Upuść prostopadłą od A do strony przeciwnej do przeciwprostokątnej w kwadracie na przeciwprostokątnej. Linia ta dzieli kwadrat na przeciwprostokątnej na dwa prostokąty, z których każdy ma taką samą powierzchnię jak jeden z dwóch kwadratów na nogach.

Do formalnego dowodu potrzebujemy czterech podstawowych lematów :

  1. Jeśli dwa trójkąty mają dwa boki jednego równe dwóm bokom drugiego, każdy z każdym, a kąty zawarte przez te boki równe, to trójkąty są przystające ( bok-kąt-bok ).
  2. Pole trójkąta to połowa pola dowolnego równoległoboku o tej samej podstawie i tej samej wysokości.
  3. Pole prostokąta jest równe iloczynowi dwóch sąsiednich boków.
  4. Powierzchnia kwadratu jest równa iloczynowi dwóch jego boków (wynika z 3).

Następnie każdy górny kwadrat jest powiązany z trójkątem przystającym do innego trójkąta powiązanego z kolei z jednym z dwóch prostokątów tworzących dolny kwadrat.

Ilustracja zawierająca nowe linie
Pokazuje dwa przystające trójkąty połowy pola prostokąta BDLK i kwadratu BAGF

Dowód jest następujący:

  1. Niech ACB będzie trójkątem prostokątnym z CAB o kącie prostym.
  2. Na każdym z boków BC, AB i CA narysowane są kwadraty, CBDE, BAGF i ACIH, w tej kolejności. Konstrukcja kwadratów wymaga bezpośrednio poprzedzających twierdzeń Euklidesa i zależy od postulatu równoległego.
  3. Od A narysuj linię równoległą do BD i CE. Przetnie prostopadle BC i DE odpowiednio w punktach K i L.
  4. Połącz CF i AD, tworząc trójkąty BCF i BDA.
  5. Kąty CAB i BAG są kątami prostymi; dlatego C, A i G są współliniowe .
  6. Kąty CBD i FBA są kątami prostymi; dlatego kąt ABD jest równy kątowi FBC, ponieważ oba są sumą kąta prostego i kąta ABC.
  7. Ponieważ AB jest równe FB, BD jest równe BC, a kąt ABD jest równy kątowi FBC, trójkąt ABD musi być przystający do trójkąta FBC.
  8. Ponieważ AKL jest linią prostą równoległą do BD, to prostokąt BDLK ma dwukrotnie większą powierzchnię trójkąta ABD, ponieważ mają wspólną podstawę BD i mają tę samą wysokość BK, tj. prostą normalną do wspólnej podstawy, łączącą równoległe linie BD i GLIN. (lemat 2)
  9. Ponieważ C jest współliniowe z A i G, a ta linia jest równoległa do FB, to kwadrat BAGF musi być dwukrotnie większy niż trójkąt FBC.
  10. Dlatego prostokąt BDLK musi mieć taką samą powierzchnię jak kwadrat BAGF = AB 2 .
  11. Stosując kroki od 3 do 10 po drugiej stronie figury, można w podobny sposób pokazać, że prostokąt CKLE musi mieć taki sam obszar jak kwadrat ACIH = AC2 .
  12. Dodając te dwa wyniki, AB 2 + AC 2 = BD × BK + KL × KC
  13. Ponieważ BD = KL, BD × BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
  14. Dlatego AB 2 + AC 2 = BC 2 , ponieważ CBDE jest kwadratem.

Ten dowód, który pojawia się w Elementach Euklidesa, podobnie jak w Propozycji 47 w księdze 1, pokazuje, że pole kwadratu na przeciwprostokątnej jest sumą pól pozostałych dwóch kwadratów. Różni się to od dowodu podobieństwa trójkątów, który przypuszczalnie jest dowodem, którego użył Pitagoras.

Dowody przez sekcję i rearanżację

Omówiliśmy już dowód pitagorejski, który był dowodem przez przegrupowanie. Ta sama idea jest przekazywana przez skrajną lewą animację poniżej, która składa się z dużego kwadratu o boku a + b , zawierającego cztery identyczne trójkąty prawe. Trójkąty są pokazane w dwóch układach, z których pierwszy pozostawia odkryte dwa kwadraty a 2 i b 2 , z których drugi pozostawia odkryte kwadrat c2 . Obszar objęty zewnętrznym kwadratem nigdy się nie zmienia, a obszar czterech trójkątów jest taki sam na początku i na końcu, więc pola czarnego kwadratu muszą być równe, a zatem a 2 + b 2 = c 2 .

Drugi dowód przez przearanżowanie podaje środkowa animacja. Tworzy się duży kwadrat o polu c 2 , złożony z czterech identycznych trójkątów prostokątnych o bokach a , b i c , dopasowanych do małego centralnego kwadratu. Następnie , przesuwając trójkąty, formujemy dwa prostokąty o bokach a i b . Połączenie mniejszego kwadratu z tymi prostokątami daje dwa kwadraty o polach a 2 i b 2 , które muszą mieć taką samą powierzchnię jak początkowy duży kwadrat.

Trzeci, najbardziej po prawej obraz również daje dowód. Dwa górne kwadraty są podzielone, jak pokazano za pomocą niebieskiego i zielonego cieniowania, na części, które po przestawieniu można dopasować do dolnego kwadratu na przeciwprostokątnej – lub odwrotnie, duży kwadrat można podzielić, jak pokazano na części, które wypełniają pozostałe dwa . Ten sposób cięcia jednej figury na kawałki i przestawiania ich w celu uzyskania innej figury nazywa się preparacją . To pokazuje, że powierzchnia dużego kwadratu jest równa powierzchni dwóch mniejszych.

Animacja przedstawiająca dowód przez przegrupowanie czterech identycznych trójkątów prostokątnych
Animacja przedstawiająca kolejny dowód przez przearanżowanie
Dowód za pomocą skomplikowanej rearanżacji

Dowód Einsteina przez sekcję bez rearanżacji

Trójkąt prostokątny na przeciwprostokątnej podzielony na dwa podobne trójkąty prostokątne na nogach, zgodnie z dowodem Einsteina

Albert Einstein dał dowód przez sekcję, w którym kawałki nie muszą być przesuwane. Zamiast kwadratu na przeciwprostokątnej i dwóch kwadratów na nogach, można użyć dowolnego innego kształtu zawierającego przeciwprostokątną i dwóch podobnych kształtów, z których każdy zawiera jedną z dwóch nóg zamiast przeciwprostokątnej (patrz Podobne figury na trzech stronach ) . W dowodzie Einsteina kształt zawierający przeciwprostokątną jest samym trójkątem prostokątnym. Rozcięcie polega na zrzuceniu prostopadłej z wierzchołka trójkąta pod kątem prostym do przeciwprostokątnej, dzieląc w ten sposób cały trójkąt na dwie części. Te dwie części mają taki sam kształt jak oryginalny trójkąt prostokątny i mają ramiona oryginalnego trójkąta jako przeciwprostokątne, a suma ich pól odpowiada pierwotnemu trójkątowi. Ponieważ stosunek pola trójkąta prostokątnego do kwadratu jego przeciwprostokątnej jest taki sam dla trójkątów podobnych, związek między polami trzech trójkątów obowiązuje również dla kwadratów boków dużego trójkąta.

Dowody algebraiczne

Schemat dwóch dowodów algebraicznych

Twierdzenie można udowodnić algebraicznie za pomocą czterech kopii trójkąta prostokątnego o bokach a , b i c , ułożonych wewnątrz kwadratu o boku c jak w górnej połowie diagramu. Trójkąty są podobne do pola , natomiast mały kwadrat ma bok ba i pole ( ba ) 2 . Powierzchnia dużego placu wynosi zatem

Ale to jest kwadrat o boku c i polu c 2 , więc

Podobny dowód wykorzystuje cztery kopie tego samego trójkąta ułożone symetrycznie wokół kwadratu o boku c , jak pokazano w dolnej części diagramu. Daje to większy kwadrat o boku a + b i powierzchni ( a + b ) 2 . Cztery trójkąty i kwadrat c muszą mieć taką samą powierzchnię jak większy kwadrat,

dający

Schemat dowodu Garfielda

Powiązany dowód został opublikowany przez przyszłego prezydenta USA Jamesa A. Garfielda (wówczas przedstawiciela USA ) (patrz diagram). Zamiast kwadratu używa trapezu , który można skonstruować z kwadratu w drugim z powyższych dowodów, przecinając przekątną kwadratu wewnętrznego, aby uzyskać trapez, jak pokazano na schemacie. Pole trapezu można obliczyć jako połowę pola kwadratu, czyli

Wewnętrzny kwadrat jest podobnie zmniejszony o połowę, a są tylko dwa trójkąty, więc dowód postępuje jak powyżej, z wyjątkiem współczynnika , który jest usuwany przez pomnożenie przez dwa, aby otrzymać wynik.

Dowód za pomocą dyferencjałów

Do twierdzenia Pitagorasa można dojść, badając, w jaki sposób zmiany po stronie powodują zmianę przeciwprostokątnej i stosując rachunek różniczkowy .

Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym, jak pokazano w górnej części diagramu, z przeciwprostokątną BC . W tym samym czasie mierzy się długości trójkąta, jak pokazano, z przeciwprostokątną długości y , bokiem AC o długości x i bokiem AB o długości a , jak widać w dolnej części wykresu.

Schemat dowodu różnicowego

Jeśli x zwiększa się o małą wartość dx przez nieznaczne wydłużenie boku AC do D , to y również wzrasta o dy . Tworzą one dwa boki trójkąta CDE , który (przy wybranym E tak, że CE jest prostopadłe do przeciwprostokątnej) jest trójkątem prostokątnym w przybliżeniu podobnym do ABC . Dlatego proporcje ich boków muszą być takie same, czyli:

Można to przepisać jako , które jest równaniem różniczkowym , które można rozwiązać przez bezpośrednie całkowanie:

dający

Stałą można wyprowadzić z x = 0, y = a, aby otrzymać równanie

Jest to bardziej dowód intuicyjny niż formalny: może być bardziej rygorystyczny, jeśli zamiast dx i dy zastosuje się odpowiednie granice .

Rozmawiać

Odwrotność twierdzenia jest również prawdziwa:

Dla dowolnych trzech liczb dodatnich a , b i c takich , że a 2 + b 2 = c 2 , istnieje trójkąt o bokach a , b i c , a każdy taki trójkąt ma kąt prosty między bokami o długościach a i b .

Alternatywnym stwierdzeniem jest:

Dla dowolnego trójkąta o bokach a , b , c , jeśli a 2 + b 2 = c 2 , to kąt między a i b wynosi 90°.

Ta odwrotność pojawia się również w Elementach Euklidesa ( Księga I, Propozycja 48):

„Jeśli w trójkącie kwadrat na jednym z boków jest równy sumie kwadratów na dwóch pozostałych bokach trójkąta, to kąt zawarty przez pozostałe dwa boki trójkąta jest prosty”.

Można to udowodnić za pomocą prawa cosinusów lub w następujący sposób:

Niech ABC będzie trójkątem o długościach boków a , b i c , gdzie a 2 + b 2 = c 2 . Skonstruuj drugi trójkąt o bokach długości aib zawierających kąt prosty. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że ​​przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość c = a 2 + b 2 , taką samą jak przeciwprostokątna pierwszego trójkąta. Ponieważ boki obu trójkątów mają tę samą długość a , b i c , trójkąty są przystające i muszą mieć te same kąty. Dlatego kąt między bokami długości aib w pierwotnym trójkącie jest kątem prostym.

Powyższy dowód odwrotności wykorzystuje samo twierdzenie Pitagorasa. Odwrotność można również udowodnić bez zakładania twierdzenia Pitagorasa.

Następstwem odwrotności twierdzenia Pitagorasa jest prosty sposób określenia, czy trójkąt jest prosty, rozwarty czy ostry, w następujący sposób. Niech c zostanie wybrany jako najdłuższy z trzech boków i a + b > c (w przeciwnym razie nie ma trójkąta zgodnie z nierównością trójkąta ). Obowiązują następujące stwierdzenia:

Edsger W. Dijkstra sformułował tę tezę o trójkątach ostrych, prostych i rozwartych w tym języku:

sgn( α + βγ ) = sgn( a 2 + b 2c 2 ),

gdzie α jest kątem przeciwnym do boku a , β jest kątem przeciwnym do boku b , γ jest kątem przeciwnym do boku c , a sgn jest funkcją znaku .

Konsekwencje i zastosowania twierdzenia

Trójki pitagorejskie

Trójka pitagorejska ma trzy dodatnie liczby całkowite a , b i c , takie że a 2 + b 2 = c 2 . Innymi słowy, trójka pitagorejska reprezentuje długości boków trójkąta prostokątnego, gdzie wszystkie trzy boki mają długości całkowite. Taka trójka jest powszechnie pisana ( a , b , c ). Niektóre dobrze znane przykłady to (3, 4, 5) i (5, 12, 13).

Prymitywna trójka pitagorejska to taka, w której a , b i cwzględnie pierwsze ( największy wspólny dzielnik a , b i c wynosi 1).

Poniżej znajduje się lista prymitywnych trójek pitagorejskich o wartościach mniejszych niż 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12 , 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77 , 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Odwrotność twierdzenia Pitagorasa

Dany trójkąt prostokątny z bokami i wysokością (linia biegnąca pod kątem prostym i prostopadła do przeciwprostokątnej ). Twierdzenie Pitagorasa ma:

podczas gdy odwrotność twierdzenia Pitagorasa lub odwróconego twierdzenia Pitagorasa wiąże obie nogi z wysokością ,

Równanie można przekształcić do,

gdzie dla każdego niezerowego rzeczywistego . Jeśli mają być liczbami całkowitymi , najmniejszym rozwiązaniem jest wtedy

przy użyciu najmniejszej trójki pitagorejskiej . Odwrotność twierdzenia Pitagorasa jest szczególnym przypadkiem równania optycznego

gdzie mianownikami są kwadraty, a także dla trójkąta siedmiokątnego , którego boki są liczbami kwadratowymi.

Niewspółmierne długości

Spirala Teodora : Konstrukcja dla odcinków linii o długościach, których stosunki są pierwiastkiem kwadratowym z dodatniej liczby całkowitej

Jedną z konsekwencji twierdzenia Pitagorasa jest to, że odcinki linii, których długości są niewspółmierne (a więc ich stosunek nie jest liczbą wymierną ), można skonstruować za pomocą linijki i cyrkla . Twierdzenie Pitagorasa umożliwia konstruowanie długości niewspółmiernych, ponieważ przeciwprostokątna trójkąta jest powiązana z bokami za pomocą operacji pierwiastka kwadratowego .

Rysunek po prawej pokazuje, jak konstruować odcinki liniowe, których długości są proporcjonalne do pierwiastka kwadratowego dowolnej dodatniej liczby całkowitej. Każdy trójkąt ma bok (oznaczony „1”), który jest wybraną jednostką miary. W każdym trójkącie prostokątnym twierdzenie Pitagorasa określa długość przeciwprostokątnej wyrażoną w tej jednostce. Jeżeli przeciwprostokątna jest powiązana z jednostką przez pierwiastek kwadratowy z dodatniej liczby całkowitej, która nie jest kwadratem idealnym, jest to realizacja długości niewspółmiernej do jednostki, takiej jak 2 , 3 , 5  . Aby uzyskać więcej informacji, zobacz Kwadrat niewymierny .

Długości niewspółmierne były sprzeczne z koncepcją liczb jako samych liczb całkowitych w szkole pitagorejskiej. Szkoła pitagorejska zajmowała się proporcjami przez porównanie całkowitych wielokrotności wspólnej podjednostki. Według jednej legendy Hippasus z Metapontum ( ok. 470 pne) utonął w morzu za ujawnienie istnienia irracjonalnego lub niewspółmiernego.

Liczby zespolone

Wartość bezwzględna liczby zespolonej z to odległość r od z do początku

Dla dowolnej liczby zespolonej

wartość bezwzględna lub moduł jest dana przez

Zatem trzy wielkości, r , x i y są powiązane równaniem Pitagorasa,

Zauważ, że r jest zdefiniowane jako liczba dodatnia lub zero, ale x i y mogą być zarówno ujemne, jak i dodatnie. Geometrycznie r jest odległością z od zera lub początkiem O na płaszczyźnie zespolonej .

Można to uogólnić, aby znaleźć odległość między dwoma punktami, powiedzmy z 1 i z 2 . Wymagana odległość jest podana przez

więc znowu są one powiązane wersją równania Pitagorasa,

Odległość euklidesowa

Wzór na odległość we współrzędnych kartezjańskich pochodzi z twierdzenia Pitagorasa. Jeżeli ( x 1 , y 1 ) i ( x 2 , y 2 ) są punktami na płaszczyźnie, to odległość między nimi, zwana także odległością euklidesową , jest wyrażona wzorem

Bardziej ogólnie, w euklidesowej n -przestrzeni , odległość euklidesowa między dwoma punktami i , jest zdefiniowana przez uogólnienie twierdzenia Pitagorasa, jako:

Jeśli zamiast odległości euklidesowej zostanie użyty kwadrat tej wartości ( kwadrat odległości euklidesowej lub SED), wynikowe równanie unika pierwiastków kwadratowych i jest po prostu sumą SED współrzędnych:

Forma kwadratowa jest gładką, wypukłą funkcją obu punktów i jest szeroko stosowana w teorii optymalizacji i statystyce , stanowiąc podstawę najmniejszych kwadratów .

Odległość euklidesowa w innych układach współrzędnych

Jeśli współrzędne kartezjańskie nie są używane, na przykład, jeśli współrzędne biegunowe są używane w dwóch wymiarach lub, bardziej ogólnie, jeśli używane są współrzędne krzywoliniowe , wzory wyrażające odległość euklidesową są bardziej skomplikowane niż twierdzenie Pitagorasa, ale można je wyprowadzić z to. Typowy przykład, w którym odległość w linii prostej między dwoma punktami jest konwertowana na współrzędne krzywoliniowe, można znaleźć w zastosowaniach wielomianów Legendre'a w fizyce . Wzory można odkryć, korzystając z twierdzenia Pitagorasa z równaniami odnoszącymi współrzędne krzywoliniowe do współrzędnych kartezjańskich. Na przykład współrzędne biegunowe ( r , θ ) można wprowadzić jako:

Następnie dwa punkty o położeniach ( r 1 , θ 1 ) i ( r 2 , θ 2 ) są oddzielone odległością s :

Wykonując kwadraty i łącząc wyrazy, pitagorejski wzór na odległość we współrzędnych kartezjańskich daje separację we współrzędnych biegunowych jako:

przy użyciu formuł trygonometrycznych iloczyn do sumy . Ta formuła jest prawem cosinusów , czasami nazywanym uogólnionym twierdzeniem Pitagorasa. Z tego wyniku, dla przypadku, gdy promienie do dwóch lokalizacji są pod kątem prostym, otrzymujemy kąt zamknięty Δ θ = π /2 i otrzymujemy postać odpowiadającą twierdzeniu Pitagorasa: Twierdzenie Pitagorasa, ważne zatem dla trójkątów prostokątnych jest szczególnym przypadkiem bardziej ogólnego prawa cosinusów, ważnego dla dowolnych trójkątów.

Pitagorejska tożsamość trygonometryczna

Podobne trójkąty prostokątne pokazujące sinus i cosinus kąta θ

W trójkącie prostokątnym o bokach a , b i przeciwprostokątnej c , trygonometria wyznacza sinus i cosinus kąta θ pomiędzy bokiem a i przeciwprostokątną jako:

Z tego wynika:

gdzie ostatni krok dotyczy twierdzenia Pitagorasa. Ten związek między sinusem i cosinusem jest czasami nazywany fundamentalną pitagorejską tożsamością trygonometryczną. W podobnych trójkątach proporcje boków są takie same niezależnie od wielkości trójkątów i zależą od kątów. W związku z tym na rysunku trójkąt z przeciwprostokątną o wielkości jednostki ma przeciwny bok o rozmiarze sin  θ i bok sąsiadujący o rozmiarze cos  θ w jednostkach przeciwprostokątnej.

Związek z produktem krzyżowym

Pole równoległoboku jako iloczyn poprzeczny; wektory a i b identyfikują płaszczyznę, a a × b jest normalna do tej płaszczyzny.

Twierdzenie Pitagorasa wiąże iloczyn krzyżowy i iloczyn skalarny w podobny sposób:

Widać to z definicji iloczynu krzyżowego i iloczynu skalarnego, jako

z n wektorem jednostkowym normalnym do a i b . Związek wynika z tych definicji i pitagorejskiej tożsamości trygonometrycznej.

Można to również wykorzystać do zdefiniowania produktu krzyżowego. Po przekształceniu otrzymujemy następujące równanie

Można to uznać za warunek produktu krzyżowego, a więc część jego definicji, na przykład w siedmiu wymiarach .

Uogólnienia

Podobne figury z trzech stron

Hipokrates z Chios w V wieku p.n.e. znał uogólnienie twierdzenia Pitagorasa wykraczające poza obszary kwadratów z trzech stron na podobne figury , a Euklides zawarł je w swoich Elementach :

Jeśli postawimy podobne figury (patrz geometria euklidesowa ) z odpowiadającymi im bokami po bokach trójkąta prostokątnego, to suma pól tych na dwóch mniejszych bokach równa się powierzchni tego na większym boku.

To rozszerzenie zakłada, że ​​boki pierwotnego trójkąta są odpowiednimi bokami trzech przystających figur (a więc wspólne stosunki boków między podobnymi figurami to a:b:c ). Chociaż dowód Euklidesa stosuje się tylko do wielokątów wypukłych, twierdzenie to stosuje się również do wielokątów wklęsłych, a nawet do podobnych figur, które mają zakrzywione granice (ale nadal z częścią granicy figury będącą bokiem pierwotnego trójkąta).

Podstawową ideą tego uogólnienia jest to, że powierzchnia figury płaskiej jest proporcjonalna do kwadratu dowolnego wymiaru liniowego, aw szczególności jest proporcjonalna do kwadratu długości dowolnego boku. Tak więc, jeśli podobne figury z obszarami A , B i C są wzniesione po bokach o odpowiednich długościach a , b i c , to:

Ale według twierdzenia Pitagorasa a 2 + b 2 = c 2 , więc A + B = C .

I odwrotnie, jeśli możemy udowodnić, że A + B = C dla trzech podobnych liczb bez użycia twierdzenia Pitagorasa, możemy pracować wstecz, aby skonstruować dowód twierdzenia. Na przykład początkowy trójkąt środkowy może zostać zreplikowany i użyty jako trójkąt C na przeciwprostokątnej, a dwa podobne trójkąty prostokątne ( A i B ) skonstruowane na pozostałych dwóch bokach, utworzone przez podzielenie trójkąta środkowego przez jego wysokość . Suma pól dwóch mniejszych trójkątów jest więc sumą pól trzeciego, stąd A + B = C i odwrócenie powyższej logiki prowadzi do twierdzenia Pitagorasa a 2 + b 2 = c 2 . ( Patrz także dowód Einsteina przez sekcję bez przegrupowania )

Uogólnienie dla podobnych trójkątów,
zielony obszar A + B = niebieski obszar C
Twierdzenie Pitagorasa przy użyciu podobnych trójkątów prostokątnych
Uogólnienie na pięciokąty foremne

Prawo cosinusów

Oddzielenie dwóch punktów (r 1 , θ 1 ) i (r 2 , θ 2 ) we współrzędnych biegunowych jest określone przez prawo cosinusów . Kąt wewnętrzny Δθ = θ 1 −θ 2 .

Twierdzenie Pitagorasa jest szczególnym przypadkiem bardziej ogólnego twierdzenia dotyczącego długości boków w dowolnym trójkącie, prawa cosinusów:

gdzie jest kąt między bokami i .

Gdy równa się radiany lub 90°, to , a wzór sprowadza się do zwykłego twierdzenia Pitagorasa.

Dowolny trójkąt

Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa przez Tâbit ibn Qorra . Dolny panel: odbicie trójkąta CAD (góra) w celu utworzenia trójkąta DAC, podobnego do trójkąta ABC (góra).

Pod dowolnym wybranym kątem ogólnego trójkąta o bokach a, b, c wpisz trójkąt równoramienny tak, aby równe kąty przy jego podstawie θ były takie same jak wybrany kąt. Załóżmy, że wybrany kąt θ jest przeciwny do boku oznaczonego c . Wpisanie trójkąta równoramiennego tworzy trójkąt CAD o kącie θ po przeciwnej stronie b i boku r wzdłuż c . Drugi trójkąt jest utworzony z kątem θ po przeciwnej stronie a i boku o długości s wzdłuż c , jak pokazano na rysunku. Thābit ibn Qurra stwierdził, że boki trzech trójkątów były powiązane w następujący sposób:

Gdy kąt θ zbliża się do π /2, podstawa trójkąta równoramiennego zwęża się, a długości r i s zachodzą na siebie coraz mniej. Gdy θ = π /2, ADB staje się trójkątem prostokątnym, r + s = c , i odzyskiwane jest oryginalne twierdzenie Pitagorasa.

Jeden dowód wskazuje, że trójkąt ABC ma takie same kąty jak trójkąt CAD , ale w odwrotnej kolejności. (Dwa trójkąty mają wspólny kąt w wierzchołku A, oba zawierają kąt θ, a więc mają ten sam trzeci kąt według postulatu trójkąta .) W konsekwencji, ABC jest podobne do odbicia CAD , trójkąta DAC na dolnym panelu. Biorąc stosunek boków przeciwnych i przyległych do θ,

Podobnie dla odbicia drugiego trójkąta,

Wyczyszczenie ułamków i dodanie tych dwóch relacji:

wymagany wynik.

Twierdzenie pozostaje ważne, jeśli kąt jest rozwarty, więc długości r i s nie nakładają się.

Ogólne trójkąty za pomocą równoległoboków

Uogólnienie na dowolne trójkąty, obszar
zielony = obszar niebieski
Konstrukcja dowodu uogólnienia równoległoboku

Twierdzenie Pappusa o polu powierzchni jest dalszym uogólnieniem, które dotyczy trójkątów, które nie są trójkątami prostokątnymi, z zastosowaniem równoległoboków z trzech stron zamiast kwadratów (kwadraty są oczywiście przypadkiem szczególnym). Górny rysunek pokazuje, że w przypadku trójkąta policzkowego pole powierzchni równoległoboku na najdłuższym boku jest sumą pól równoległoboku na pozostałych dwóch bokach, pod warunkiem, że równoległobok na dłuższym boku jest skonstruowany tak, jak wskazano (wymiary oznaczone symbolem strzałki są takie same i określają boki dolnego równoległoboku). To zastąpienie kwadratów równoległobokami wykazuje wyraźne podobieństwo do oryginalnego twierdzenia Pitagorasa i zostało uznane za uogólnienie przez Pappusa z Aleksandrii w 4 roku n.e.

Dolny rysunek przedstawia elementy dowodu. Skoncentruj się na lewej stronie figury. Lewy zielony równoległobok ma taki sam obszar jak lewa, niebieska część dolnego równoległoboku, ponieważ oba mają tę samą podstawę b i wysokość h . Jednak lewy zielony równoległobok ma również taki sam obszar jak lewy zielony równoległobok górnej figury, ponieważ mają tę samą podstawę (górny lewy bok trójkąta) i taką samą wysokość normalną do tego boku trójkąta. Powtarzając argument dla prawej strony figury, dolny równoległobok ma taki sam obszar jak suma dwóch zielonych równoległoboków.

Geometria przestrzenna

Twierdzenie Pitagorasa w trzech wymiarach wiąże przekątną AD z trzema bokami.
Czworościan z skierowanym na zewnątrz narożnikiem pod kątem prostym

Jeśli chodzi o geometrię brył, twierdzenie Pitagorasa można zastosować do trzech wymiarów w następujący sposób. Rozważ prostokątną bryłę, jak pokazano na rysunku. Długość przekątnej BD znajduje się z twierdzenia Pitagorasa jako:

gdzie te trzy boki tworzą trójkąt prostokątny. Korzystając z poziomej przekątnej BD i pionowej krawędzi AB , długość przekątnej AD jest następnie wyznaczana przez drugie zastosowanie twierdzenia Pitagorasa jako:

lub robiąc to wszystko w jednym kroku:

Ten wynik jest trójwymiarowym wyrażeniem wielkości wektora v (przekątnej AD) w kategoriach jego składowych ortogonalnych { v k } (trzy wzajemnie prostopadłe boki):

To jednoetapowe sformułowanie można postrzegać jako uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na wyższe wymiary. Jednak ten wynik jest tak naprawdę tylko wielokrotnym zastosowaniem oryginalnego twierdzenia Pitagorasa do kolejnych trójkątów prostokątnych w sekwencji płaszczyzn prostopadłych.

Istotnym uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa do trzech wymiarów jest twierdzenie de Gua , nazwane na cześć Jeana Paula de Gua de Malves : Jeśli czworościan ma kąt prosty (jak róg sześcianu ), to kwadrat powierzchni naprzeciwko prawego rogu jest sumą kwadratów obszarów pozostałych trzech ścian. Wynik ten można uogólnić tak, jak w „ n - wymiarowym twierdzeniu Pitagorasa”:

Niech będą wektorami ortogonalnymi w ℝ n . Rozważmy n - wymiarowy simpleks S z wierzchołkami . (Pomyśl o ( n  − 1)-wymiarowym simpleksie z wierzchołkami nie zawierającymi początku jako „przeciwprostokątnej” S i pozostałych ( n  − 1)-wymiarowych ścianach S jako jego „nogach”.) Następnie kwadrat objętość przeciwprostokątnej S jest sumą kwadratów objętości n nóg.

Stwierdzenie to ilustruje w trzech wymiarach czworościan na rysunku. „Przedprostokątna” to podstawa czworościanu z tyłu figury, a „nogi” to trzy boki wychodzące z wierzchołka na pierwszym planie. Wraz ze wzrostem głębokości podstawy od wierzchołka zwiększa się powierzchnia „nóg”, podczas gdy podstawa jest nieruchoma. Twierdzenie sugeruje, że gdy głębokość ta osiąga wartość tworzącą prawy wierzchołek, obowiązuje uogólnienie twierdzenia Pitagorasa. W innym brzmieniu:

Biorąc pod uwagę n -prostokątny n -wymiarowy simpleks, kwadrat zawartości ( n  − 1) ścianki przeciwnej do prawego wierzchołka będzie równy sumie kwadratów zawartości ( n  − 1) pozostałych ścianek.

Wewnętrzne przestrzenie produktowe

Wektory biorące udział w prawie równoległoboku

Twierdzenie Pitagorasa można uogólnić na wewnętrzne przestrzenie produktowe , które są uogólnieniem znanych dwuwymiarowych i trójwymiarowych przestrzeni euklidesowych . Na przykład funkcję można uznać za wektor z nieskończenie wieloma składnikami w wewnętrznej przestrzeni produktu, jak w analizie funkcjonalnej .

W przestrzeni iloczynu skalarnego pojęcie prostopadłości zostaje zastąpione pojęciem ortogonalności : dwa wektory v i w są ortogonalne, jeśli ich iloczyn skalarny wynosi zero. Iloczyn skalarny jest uogólnieniem iloczynu skalarnego wektorów. Iloczyn skalarny nazywany jest iloczynem skalarnym standardowym lub iloczynem skalarnym Euklidesa . Możliwe są jednak inne produkty wewnętrzne.

Pojęcie długości zostaje zastąpione pojęciem normy || v || wektora v , zdefiniowanego jako:

W przestrzeni iloczynów skalarnych twierdzenie Pitagorasa mówi, że dla dowolnych dwóch wektorów ortogonalnych v i w mamy

Tutaj wektory v i w są podobne do boków trójkąta prostokątnego z przeciwprostokątną określoną sumą wektorów v  +  w . Ta forma twierdzenia Pitagorasa jest konsekwencją własności iloczynu skalarnego :

gdzie iloczyny wewnętrzne terminów krzyżowych wynoszą zero, z powodu ortogonalności.

Dalszym uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa w przestrzeni iloczynu wewnętrznego na wektory nieortogonalne jest prawo równoległoboku  :

który mówi, że dwukrotna suma kwadratów długości boków równoległoboku jest sumą kwadratów długości przekątnych. Każda norma, która spełnia tę równość, jest ipso facto normą odpowiadającą produktowi wewnętrznemu.

Tożsamość pitagorejską można rozszerzyć do sum więcej niż dwóch wektorów ortogonalnych. Jeśli v 1 , v 2 , ..., v n są parami-ortogonalnymi wektorami w przestrzeni iloczynu wewnętrznego, to zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do kolejnych par tych wektorów (jak opisano dla 3 wymiarów w rozdziale o geometrii bryłowej ) daje w wyniku równanie

Zbiory m - wymiarowych obiektów w n - wymiarowej przestrzeni

Inne uogólnienie twierdzenia Pitagorasa dotyczy zbiorów obiektów mierzalnych przez Lebesgue'a w dowolnej liczbie wymiarów. W szczególności, kwadrat miary m - wymiarowego zbioru obiektów w jednym lub większej liczbie równoległych m- wymiarowych mieszkań w n - wymiarowej przestrzeni euklidesowej jest równy sumie kwadratów miar rzutów ortogonalnych obiektu(-ów) ) na wszystkie m- wymiarowe podprzestrzenie współrzędnych.

W kategoriach matematycznych:

gdzie:

  • jest miarą w m -wymiarach (długość w jednym wymiarze, powierzchnia w dwóch wymiarach, objętość w trzech wymiarach itp.).
  • jest zbiorem jednego lub więcej nie nakładających się m - wymiarowych obiektów w jednym lub więcej równoległych m- wymiarowych mieszkań w n - wymiarowej przestrzeni euklidesowej.
  • jest całkowitą miarą (suma) zbioru m - wymiarowych obiektów.
  • reprezentuje m - wymiarowy rzut oryginalnego zbioru na podprzestrzeń współrzędnych ortogonalnych.
  • jest miarą rzutu m -wymiarowego zbioru na m- wymiarową podprzestrzeń współrzędnych . Ponieważ rzuty obiektów mogą nakładać się na podprzestrzeni współrzędnych, miara każdego rzutu obiektu w zestawie musi być obliczona indywidualnie, a następnie miary wszystkich rzutów zsumowane, aby zapewnić całkowitą miarę dla zbioru rzutów na daną podprzestrzeń współrzędnych.
  • jest liczbą ortogonalnych, m- wymiarowych podprzestrzeni współrzędnych w n - wymiarowej przestrzeni ( R n ), na które rzutowane są m - wymiarowe obiekty ( mn ):

Geometria nieeuklidesowa

Twierdzenie Pitagorasa wywodzi się z aksjomatów geometrii euklidesowej i w rzeczywistości, gdyby twierdzenie Pitagorasa zawodziło dla jakiegoś trójkąta prostokątnego, to płaszczyzna, w której ten trójkąt jest zawarty, nie może być euklidesowa. Dokładniej, twierdzenie Pitagorasa implikuje i jest implikowane przez Równolegle (Piąty) Postulat Euklidesa . Zatem trójkąty prostokątne w geometrii nieeuklidesowej nie spełniają twierdzenia Pitagorasa. Na przykład w geometrii sferycznej wszystkie trzy boki trójkąta prostokątnego (powiedzmy a , b i c ) ograniczające oktant sfery jednostkowej mają długość równą π /2, a wszystkie jego kąty są kątami prostymi, co narusza pitagorejski twierdzenie, ponieważ .

Tutaj rozważane są dwa przypadki geometrii nieeuklidesowej — geometria sferyczna i hiperboliczna geometria płaska ; w każdym przypadku, podobnie jak w przypadku euklidesowym dla trójkątów nieprostokątnych, wynik zastępujący twierdzenie Pitagorasa wynika z odpowiedniego prawa cosinusów.

Jednak twierdzenie Pitagorasa pozostaje prawdziwe w geometrii hiperbolicznej i geometrii eliptycznej, jeśli warunek, że trójkąt jest prawy, zostanie zastąpiony warunkiem, że dwa z kątów sumują się do trzeciego, powiedzmy A + B = C . Boki są wówczas powiązane w następujący sposób: suma pól pól o średnicach a i b równa się powierzchni koła o średnicy c .

Geometria sferyczna

Trójkąt sferyczny

Dla dowolnego trójkąta prostokątnego na sferze o promieniu R (na przykład, jeśli γ na rysunku jest kątem prostym), o bokach a , b , c , relacja między bokami przyjmuje postać:

Równanie to można wyprowadzić jako szczególny przypadek sferycznego prawa cosinusów , które stosuje się do wszystkich trójkątów sferycznych:

Wyrażając szereg Maclaurina dla funkcji cosinus jako rozwinięcie asymptotyczne z resztą wyrazu w notacji dużego O ,

można wykazać, że gdy promień R zbliża się do nieskończoności, a argumenty a/R , b/R i c/R dążą do zera, relacja sferyczna między bokami trójkąta prostokątnego zbliża się do euklidesowej postaci twierdzenia Pitagorasa. Podstawienie asymptotycznej ekspansji dla każdego z cosinusów do relacji sferycznej dla trójkąta prostokątnego daje

Stałe a 4 , b 4 i c 4 zostały wchłonięte przez wyrazy reszty dużego O , ponieważ są one niezależne od promienia R . Ta asymptotyczna zależność może być dalej uproszczona przez pomnożenie ilości w nawiasach, anulowanie tych, pomnożenie przez -2 i zebranie wszystkich terminów błędów razem:

Po pomnożeniu przez R 2 , euklidesowa zależność pitagorejska c 2 = a 2 + b 2 jest odtwarzana w granicy, gdy promień R zbliża się do nieskończoności (ponieważ reszta członu dąży do zera):

Dla małych trójkątów prostokątnych ( a , b << R ) cosinusy można wyeliminować, aby uniknąć utraty znaczenia , dając

Geometria hiperboliczna

W przestrzeni hiperbolicznej o jednostajnej krzywiźnie −1/ R 2 , dla trójkąta prostokątnego z odnogami a , b , i przeciwprostokątną c , relacja między bokami przyjmuje postać:

gdzie cosh jest cosinusem hiperbolicznym . Ten wzór jest specjalną formą hiperbolicznego prawa cosinusów , które stosuje się do wszystkich trójkątów hiperbolicznych:

gdzie γ kąt w wierzchołku przeciwległym do boku c .

Stosując szereg Maclaurina dla cosinusa hiperbolicznego, cosh x ≈ 1 + x 2 /2 , można wykazać, że gdy trójkąt hiperboliczny staje się bardzo mały (to znaczy, gdy a , b , c wszystkie zbliżają się do zera), hiperboliczny trójkąt Relacja dla trójkąta prostokątnego zbliża się do postaci twierdzenia Pitagorasa.

W przypadku małych trójkątów prostokątnych ( a , b << R ) cosinusy hiperboliczne można wyeliminować, aby uniknąć utraty znaczenia , dając

Bardzo małe trójkąty

Dla dowolnej krzywizny jednostajnej K (dodatniej, zerowej lub ujemnej), w bardzo małych trójkątach prostokątnych (| K | a 2 , | K | b 2 << 1) z przeciwprostokątną c , można wykazać, że

Geometria różnicowa

Odległość między nieskończenie oddzielonymi punktami we współrzędnych kartezjańskich (na górze) i biegunowych (na dole), zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa

Na nieskończenie małym poziomie, w przestrzeni trójwymiarowej, twierdzenie Pitagorasa opisuje odległość między dwoma nieskończenie małymi punktami jako:

gdzie ds element odległości oraz ( dx , dy , dz ) składowe wektora oddzielającego dwa punkty. Taka przestrzeń nazywana jest przestrzenią euklidesową . Jednak w geometrii riemannowskiej uogólnienie tego wyrażenia przydatne dla ogólnych współrzędnych (nie tylko kartezjańskich) i ogólnych przestrzeni (nie tylko euklidesowych) przyjmuje postać:

który jest nazywany tensorem metryki . (Czasami, przez nadużycie języka, ten sam termin jest stosowany do zbioru współczynników g ij .) Może być funkcją położenia i często opisuje zakrzywioną przestrzeń . Prostym przykładem jest przestrzeń euklidesowa (płaska) wyrażona we współrzędnych krzywoliniowych . Na przykład we współrzędnych biegunowych :

Historia

Tabliczka Plimpton 322 rejestruje trójki pitagorejskie z czasów babilońskich .

Trwa debata, czy twierdzenie Pitagorasa zostało odkryte raz, czy wiele razy w wielu miejscach, a data pierwszego odkrycia jest niepewna, podobnie jak data pierwszego dowodu. Historycy matematyki mezopotamskiej doszli do wniosku, że rządy pitagorejskie były szeroko stosowane w okresie starobabilońskim (od XX do XVI wieku pne), ponad tysiąc lat przed narodzinami Pitagorasa. Historię twierdzenia można podzielić na cztery części: znajomość trójek pitagorejskich , znajomość relacji między bokami trójkąta prostokątnego, znajomość relacji między sąsiednimi kątami oraz dowody twierdzenia w ramach jakiegoś systemu dedukcyjnego .

Napisany między rokiem 2000 a 1786 pne egipski Papirus Berlin 6619 dla Państwa Środka zawiera problem, którego rozwiązaniem jest trójka pitagorejska 6:8:10, ale nie wspomina o trójkącie. Mezopotamska tabliczka Plimpton 322 , napisana w latach 1790-1750 pne za panowania króla Hammurabiego Wielkiego, zawiera wiele wpisów ściśle związanych z trójkami pitagorejskimi.

W Indiach Sutra Baudhayana Shulba , której daty są podawane różnie od VIII do V wieku p.n.e., zawiera listę trójek pitagorejskich i twierdzenie Pitagorasa, zarówno w szczególnym przypadku równoramiennego trójkąta prostokątnego , jak i w ogólny przypadek, podobnie jak Apasamba Shulba Sutra (ok. 600 pne).

Bizantyjski neoplatoński filozof i matematyk Proclus , pisząc w V wieku naszej ery, podaje dwie reguły arytmetyczne, „jedna z nich przypisywana Platonowi , a druga Pitagorasowi” do generowania specjalnych trójek pitagorejskich. Reguła przypisywana Pitagorasowi ( ok.  570  – ok.  495 pne ) zaczyna się od liczby nieparzystej i tworzy trójkę z odnogą i przeciwprostokątną różniącymi się o jedną jednostkę; reguła przypisywana Platonowi (428/427 lub 424/423 – 348/347 pne) zaczyna się od liczby parzystej i tworzy trójkę z odnogą i przeciwprostokątną różniącymi się o dwie jednostki. Według Thomasa L. Heatha (1861–1940) w zachowanej literaturze greckiej z pięciu wieków po jego życiu nie istnieje żadne konkretne przypisanie tego twierdzenia do Pitagorasa. Kiedy jednak autorzy, tacy jak Plutarch i Cycero , przypisali twierdzenie Pitagorasowi, zrobili to w sposób, który sugeruje, że atrybucja była powszechnie znana i niewątpliwa. Klasyk Kurt von Fritz napisał: „Czy ta formuła jest słusznie przypisywana Pitagorasowi osobiście, ale można śmiało założyć, że należy ona do najstarszego okresu matematyki pitagorejskiej ”. Około 300 pne w Elementach Euklidesa przedstawiony jest najstarszy zachowany dowód aksjomatyczny twierdzenia.

Geometryczny dowód twierdzenia Pitagorasa z Zhoubi Suanjing .

Z treścią znaną znacznie wcześniej, ale w zachowanych tekstach datowanych mniej więcej na I wiek p.n.e. chiński tekst Zhoubi Suanjing (周髀算经) ( Klasyka arytmetyczna gnomona i okrężne ścieżki nieba ) podaje uzasadnienie dla pitagorejczyka twierdzenie o trójkącie (3, 4, 5) — w Chinach nazywa się je „ Twierdzeniem Gougu ” (勾股定理). Podczas panowania dynastii Han (202 p.n.e. do 220 n.e.) trójki pitagorejskie pojawiają się w dziewięciu rozdziałach o sztuce matematycznej , wraz z wzmianką o trójkątach prostokątnych. Niektórzy uważają, że twierdzenie to powstało najpierw w Chinach , gdzie jest alternatywnie znane jako „ Twierdzenie Shang Gao ” (商高定理), nazwane na cześć astronoma i matematyka księcia Zhou , którego rozumowanie składało się na większość tego, co było w Zhoubi Suanjing .

Zobacz też

Uwagi i referencje

Uwagi

Bibliografia

Prace cytowane

Linki zewnętrzne