Liczba całkowita kwadratowa - Quadratic integer

W teorii liczb , kwadratowe całkowitymi są uogólnieniem zwykłych liczb na ciało kwadratowe . Liczby całkowite kwadratowe to algebraiczne liczby całkowite stopnia drugiego, czyli rozwiązania równań postaci

x ² + bx + c = 0

z b i c (zwykle) liczbami całkowitymi. Kiedy bierzemy pod uwagę algebraiczne liczby całkowite, zwykłe liczby całkowite są często nazywane wymiernymi liczbami całkowitymi .

Typowymi przykładami kwadratowych liczb całkowitych są pierwiastki kwadratowe wymiernych liczb całkowitych, takich jak √ 2 , oraz liczba zespolona i = √ –1 , która generuje liczby całkowite Gaussa . Innym powszechnym przykładem jest nierzeczywisty sześcienny pierwiastek jedności -1 + √ –3/2, który generuje liczby całkowite Eisensteina .

Liczby całkowite kwadratowe występują w rozwiązaniach wielu równań diofantycznych , takich jak równania Pella i inne pytania dotyczące całkowych form kwadratowych . Badanie pierścieni liczb całkowitych kwadratowych jest podstawą wielu zagadnień algebraicznej teorii liczb .

Historia

Średniowieczni indyjscy matematycy odkryli już mnożenie kwadratowych liczb całkowitych tego samego D , co pozwoliło im rozwiązać niektóre przypadki równania Pella .

Charakterystyka podana w § Wyraźna reprezentacja kwadratowych liczb całkowitych została po raz pierwszy podana przez Richarda Dedekinda w 1871 roku.

Definicja

Liczba całkowita kwadratowa jest algebraiczną liczbą całkowitą drugiego stopnia. Mówiąc dokładniej, jest to liczba zespolona , która rozwiązuje równanie postaci x ² + bx + c = 0 , z liczbami całkowitymi b i c . Każda kwadratowa całkowita, która jest liczbą całkowitą nie jest racjonalne -namely, jest prawdziwy numer irracjonalna jeśli b ² - 4 c > 0 i nie rzeczywistym, gdy b ² - 4 ° C <0 -i leży w jednoznacznie wyznaczone pole kwadratowy The rozszerzenie generowane przez pierwiastek kwadratowy unikalnej liczby całkowitej bez kwadratu D, która spełnia b ² – 4 c = De ² dla pewnej liczby całkowitej e . Jeśli D jest dodatnie, kwadratowa liczba całkowita jest rzeczywista. Jeśli D < 0, jest urojone (czyli złożone i nierzeczywiste). ${\ Displaystyle x = {\ Frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2}-4c}}} {2}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

Liczby całkowite kwadratowe (łącznie ze zwykłymi liczbami całkowitymi), które należą do pola kwadratowego , tworzą domenę integralną zwaną pierścieniem liczb całkowitych${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}}).}$

Chociaż liczby całkowite kwadratowe należące do danego pola kwadratowego tworzą pierścień , zbiór wszystkich liczb całkowitych kwadratowych nie jest pierścieniem , ponieważ nie jest domknięty przez dodawanie lub mnożenie . Na przykład i są kwadratowymi liczbami całkowitymi, ale i nie są, ponieważ ich wielomiany minimalne mają stopień czwarty. ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})\cdot {\sqrt {3}}}$

Jawna reprezentacja

Tutaj iw dalszej części liczby całkowite kwadratowe, które są brane pod uwagę, należą do pola kwadratowego, gdzie D jest liczbą całkowitą bez kwadratu . Nie ogranicza to ogólności, ponieważ równość √ a ² D = a √ D (dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej a ) implikuje${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}}),}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}}) = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {a ^ {2} D}}).}$

Element x of jest kwadratową liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją dwie liczby całkowite a i b takie, że albo ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$

${\ Displaystyle x = a + b {\ sqrt {D}}}$

lub jeśli D – 1 jest wielokrotnością 4

${\ Displaystyle x = {\ Frac {a} {2}} + {\ Frac {b} {2}} {\ sqrt {D}}}$z a i b obydwoma dziwnymi

Innymi słowy, każdą kwadratową liczbę całkowitą można zapisać a + ωb  , gdzie a i  b są liczbami całkowitymi, a ω jest zdefiniowane przez:

${\ Displaystyle \ omega = {\ zacząć {przypadki} {\ sqrt {D}} i {\ mbox {jeśli}} D \ równoważne 2, 3 {\ pmod {4}} \ \ { {1 + {\ sqrt { D}}} \over 2}&{\mbox{if }}D\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}}$

(ponieważ zakładano, że D jest bezkwadratowe, przypadek jest niemożliwy, ponieważ oznaczałoby to, że D byłoby podzielne przez kwadrat 4). ${\ Displaystyle D \ równoważne 0 {\ pmod {4}}}$

Norma i koniugacja

Można zapisać kwadratową liczbę całkowitą w${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$

a + b √ D ,

gdzie a i  b są obiema liczbami całkowitymi lub, tylko jeśli D ≡ 1 (mod 4) , obie połówki nieparzystych liczb całkowitych . Normą takiego kwadratowego liczba całkowita

N ( a + b √ D ) = a ² – Db ² .

Norma kwadratowej liczby całkowitej jest zawsze liczbą całkowitą. Jeśli D < 0 , normą kwadratowej liczby całkowitej jest kwadrat jej wartości bezwzględnej jako liczby zespolonej (jest to fałsz, jeśli D > 0 ). Norma jest funkcją całkowicie multiplikatywną , co oznacza, że ​​norma iloczynu kwadratowych liczb całkowitych jest zawsze iloczynem ich norm.

Każda kwadratowa liczba całkowita a + b √ D ma sprzężenie

${\ Displaystyle {\ overline {a + b {\ sqrt {D}}}} = ab {\ sqrt {D}}.}$

Liczba całkowita kwadratowa ma tę samą normę co jej koniugat, a norma ta jest iloczynem liczby całkowitej kwadratowej i jej koniugatu. Sprzężenie sumy lub iloczynu kwadratowych liczb całkowitych jest sumą lub iloczynem (odpowiednio) koniugatów. Oznacza to, że koniugacja jest automorfizmem pierścienia liczb całkowitych — patrz § Kwadratowe pierścienie całkowite poniżej. ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$

Kwadratowe pierścienie całkowite

Każda liczba całkowita bez kwadratu (różna od 0 i 1) D definiuje kwadratowy pierścień całkowity , który jest dziedziną integralną składającą się z algebraicznych liczb całkowitych zawartych w Jest to zbiór Z [ ω ] = { a + ωb  : a , b ∈ Z }, gdzie jeśli D = 4 k +1 , a ω = √ D inaczej. Jest ona często oznaczana , ponieważ jest to pierścień liczb całkowitych od Q ( √ D ), która jest integralną zamknięcia z Z, w którym znajduje się pierścień Z [ ω ] obejmuje wszystkie korzeni wszystkich równań x ² + Bx + C = 0 , których wyróżnik B ² − 4 C jest iloczynem D przez kwadrat liczby całkowitej. W szczególności √ D należy do Z [ ω ] , będącego pierwiastkiem równania x ² − D = 0 , którego dyskryminatorem jest 4 D.${\ Displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}}).}$ ${\ Displaystyle \ omega = {\ tfrac {1 + {\ sqrt {D}}} {2}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}})}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}}).}$

Pierwiastek kwadratowy liczby całkowitej znajduje się kwadratowy całkowitą, jak każdy może być napisany całkowita n = m ² D , gdzie D jest kwadratem wolne całkowitą, a jego pierwiastek jest pierwiastkiem x ² - m ² D = 0 .

Podstawowe twierdzenie arytmetyki nie jest prawdą w wielu pierścieni kwadratowych liczb całkowitych. Istnieje jednak unikalna faktoryzacja ideałów , która wyraża się tym, że każdy pierścień algebraicznych liczb całkowitych jest domeną Dedekinda . Będąc najprostszymi przykładami algebraicznych liczb całkowitych, kwadratowe liczby całkowite są zwykle początkowymi przykładami większości badań algebraicznej teorii liczb .

Kwadratowe pierścienie całkowite dzielą się na dwie klasy w zależności od znaku D . Jeśli D > 0 , wszystkie elementy są rzeczywiste, a pierścień jest rzeczywistym kwadratowym pierścieniem całkowitym . Jeśli D < 0 , jedynymi elementami rzeczywistymi są zwykłe liczby całkowite , a pierścień jest złożonym kwadratowym pierścieniem całkowitym . ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}})}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}})}}$

Dla rzeczywistych kwadratowych pierścieni całkowitych numer klasy , który mierzy niepowodzenie unikalnej faktoryzacji, jest podany w OEIS A003649 ; dla urojonego przypadku są one podane w OEIS A000924 .

Jednostki

Liczba całkowita kwadratowa jest jednostką w pierścieniu liczb całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy jej normą jest 1 lub –1 . W pierwszym przypadku jego odwrotnością multiplikatywną jest jego koniugat. W drugim przypadku jest to negacja jego koniugatu. ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$

Jeśli D < 0 , pierścień liczb całkowitych ma co najwyżej sześć jednostek. W przypadku liczb całkowitych Gaussa ( D = –1 ), cztery jednostki to 1, –1, √ –1 , – √ –1 . W przypadku liczb całkowitych Eisensteina ( D = –3 ), sześć jednostek to ±1,${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$±1 ± √ –3/2. Dla wszystkich pozostałych ujemnych D istnieją tylko dwie jednostki, czyli 1 i –1 .

Jeśli D > 0 , pierścień liczb całkowitych ma nieskończenie wiele jednostek równych ± u ⁱ , gdzie i jest dowolną liczbą całkowitą, a u jest jednostką szczególną zwaną jednostką podstawową . Mając podstawową jednostkę u , istnieją trzy inne podstawowe jednostki, jej sprzężenie, a także i Powszechnie nazywa się podstawową jednostką, unikalną, która ma wartość bezwzględną większą niż 1 (jako liczba rzeczywista). Jest unikalne jednostkę podstawową, która może być zapisana jako a + b √ D z i b pozytywnych (liczb całkowitych lub połówek). ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$${\displaystyle {\overline {u}},}$${\displaystyle -u}$${\displaystyle -{\overline {u}}.}$

Podstawowymi jednostkami dla 10 najmniejszych dodatnich bezkwadratowych D są 1 + √ 2 , 2 + √ 3 ,1 + √ 5/2( złoty podział ), 5 + 2 √ 6 , 8 + 3 √ 7 , 3 + √ 10 , 10 + 3 √ 11 ,3 + √ 13/2, 15 + 4 √ 14 , 4 + √ 15 . Dla większego D współczynniki jednostki podstawowej mogą być bardzo duże. Na przykład, dla D = 19, 31, 43 , podstawowe jednostki to odpowiednio 170 + 39 √ 19 , 1520 + 273 √ 31 i 3482 + 531 √ 43 .

Przykłady złożonych kwadratowych pierścieni całkowitych

Dla D  < 0, ω jest liczbą zespoloną ( wyobrażeniową lub w inny sposób nierzeczywistą). Dlatego naturalne jest traktowanie kwadratowego pierścienia liczb całkowitych jako zbioru algebraicznych liczb zespolonych .

• Klasycznym przykładem jest , gdy Liczby całkowite Gaussa , który został wprowadzony przez Carla Gaussa około 1800 do wskazania jego dwukwadratowy prawo wzajemności.${\ Displaystyle \ mathbf {Z} [{\ sqrt {-1}}]}$
• Elementy w są nazywane liczbami całkowitymi Eisensteina .${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {-3}})} = \ mathbf {Z} \ lewo [{{1+ {\ sqrt {-3}}} \ponad 2}\prawo]}$

Oba wymienione powyżej pierścienie są odpowiednio pierścieniami liczb całkowitych pól cyklotomicznych Q (ζ ₄ ) i Q (ζ ₃ ). W przeciwieństwie do tego, Z [ √ −3 ] nie jest nawet domeną Dedekind .

Oba powyższe przykłady są głównymi pierścieniami idealnymi, a także domenami euklidesowymi dla normy. Tak nie jest w przypadku

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {-5}})} = \ mathbf {Z} \ lewo [{\ sqrt {-5}} \ prawej]}$

która nie jest nawet unikalną domeną faktoryzacji . Można to przedstawić w następujący sposób.

W mamy ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {-5}})}}$

${\ Displaystyle 9 = 3 \ cdot 3 = (2+ {\ sqrt {-5}}) (2-{\ sqrt {-5}}).}$

Czynniki 3 i są nieredukowalne , ponieważ wszystkie mają normę 9, a gdyby nie były nieredukowalne, miałyby czynnik normy 3, co jest niemożliwe, norma elementu innego o ±1 wynosi co najmniej 4 Tak więc faktoryzacja 9 na czynniki nieredukowalne nie jest unikalna. ${\displaystyle 2+{\sqrt {-5}}}$${\ Displaystyle 2-{\ sqrt {-5}}}$

Te ideały i nie są głównym , jako prosty obliczeń pokazuje, że ich produkt jest idealnym generowane przez 3, a jeżeli były główny, oznaczałoby to, że 3 nie byłoby nieredukowalne. ${\ Displaystyle \ langle 3,1 + {\ sqrt {-5}} \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle 3,1-{\ sqrt {-5}} \ rangle}$

Przykłady rzeczywistych kwadratowych pierścieni całkowitych

Dla D > 0 , ω jest dodatnią niewymierną liczbą rzeczywistą, a odpowiadający jej kwadratowy pierścień całkowity jest zbiorem algebraicznych liczb rzeczywistych . Rozwiązania równania Pella X ² − D  Y ² = 1 , równania diofantycznego, które było szeroko badane, są jednostkami tych pierścieni, dla D ≡ 2, 3 (mod 4 ) .

• Dla D = 5 , ω =1+ √ 5/2jest złotym podziałem . Ten pierścień był badany przez Petera Gustava Lejeune Dirichleta . Jego jednostki mają postać ±ω ⁿ , gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą. Ten pierścień również wynika z badania 5-krotnej symetrii obrotowej na płaszczyźnie euklidesowej, na przykład kafelków Penrose'a .
• Indyjski matematyk Brahmagupta potraktował równanie Pella X ² − 61  Y ² = 1 , odpowiadające pierścieniowi Z [ √ 61 ] . Niektóre wyniki zostały przedstawione społeczności europejskiej przez Pierre'a Fermata w 1657 roku.

Pierścienie główne liczb całkowitych kwadratowych

Unikalna właściwość faktoryzacji nie zawsze jest weryfikowana dla pierścieni kwadratowych liczb całkowitych, jak widać powyżej w przypadku Z [ √ −5 ] . Jednak, jak w przypadku każdej domeny Dedekind , pierścień kwadratowych liczb całkowitych jest unikalną domeną faktoryzacji wtedy i tylko wtedy, gdy jest to główna idealna domena . Dzieje się tak wtedy i tylko wtedy, gdy numer klasy odpowiedniego pola kwadratowego wynosi jeden.

Wyimaginowane pierścienie liczb całkowitych kwadratowych, które są głównymi pierścieniami idealnymi, zostały całkowicie określone. To są dla ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}})}}$

D = -1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163 .

Ten wynik został po raz pierwszy przypuszczony przez Gaussa i udowodniony przez Kurta Heegnera , chociaż w dowód Heegnera nie uwierzyno, dopóki Harold Stark nie przedstawił późniejszego dowodu w 1967. (Zobacz twierdzenie Starka-Heegnera .) Jest to szczególny przypadek słynnego problemu z liczbami klas .

Znanych jest wiele dodatnich liczb całkowitych D > 0 , dla których pierścień kwadratowych liczb całkowitych jest głównym pierścieniem idealnym. Jednak pełna lista nie jest znana; nie wiadomo nawet, czy liczba tych głównych idealnych pierścieni jest skończona, czy nie.

Pierścienie euklidesowe liczb całkowitych kwadratowych

Kiedy pierścień kwadratowych liczb całkowitych jest główną domeną idealną , warto wiedzieć , czy jest to domena euklidesowa . Ten problem został całkowicie rozwiązany w następujący sposób.

Wyposażony w normę jako funkcję euklidesową , jest domeną euklidesową dla ujemnego D, gdy ${\ Displaystyle N (a + b {\ sqrt {D}}) = a ^ {2}-DB ^ {2}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}})}}$

D = -1, -2, -3, -7, -11 ,

a dla dodatniego D , kiedy

D = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (sekwencja A048981 w OEIS ).

Nie ma innego pierścienia liczb całkowitych kwadratowych, który byłby euklidesowy z normą jako funkcją euklidesową.

W przypadku ujemnego D pierścień kwadratowych liczb całkowitych jest euklidesowy wtedy i tylko wtedy, gdy normą jest dla niego funkcja euklidesowa . Wynika z tego, że dla

D = -19, -43, -67, -163 ,

cztery odpowiadające pierścienie liczb całkowitych kwadratowych należą do rzadkich znanych przykładów głównych domen idealnych, które nie są domenami euklidesowymi.

Z drugiej strony uogólniona hipoteza Riemanna implikuje, że pierścień rzeczywistych kwadratowych liczb całkowitych, który jest główną domeną idealną, jest również domeną euklidesową dla pewnej funkcji euklidesowej, która rzeczywiście może różnić się od zwykłej normy. Wartości D = 14, 69 były pierwszymi, dla których pierścień kwadratowych liczb całkowitych okazał się euklidesowy, ale nie normatywno-euklidesowy.

Uwagi

Bibliografia

• Bourbaki, Mikołaj (1994). Elementy historii matematyki . Przetłumaczone przez Meldrum, John. Berlin: Springer-Verlag. Numer ISBN 978-3-540-64767-6. MR  1290116 .
• Dedekind, Richard (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von PG Lejeune Dirichlet (2 wyd.), Vieweg. Źródło 5. sierpień 2009
• Dummit, DS i Foote, RM, 2004. Abstrakcyjna Algebra , wyd.
• Artin, M, Algebra , wyd. 2., rozdz. 13.

Dalsza lektura

• JS Milne. Teoria liczb algebraicznych , wersja 3.01, 28 września 2008 r. notatki z wykładów online