Kwadratowa liczba niewymierna - Quadratic irrational number

W matematyce , A kwadratowy liczby irracjonalna (znany także jako kwadratowa irracjonalna , A kwadratowy irracjonalność lub kwadratowy niewymierny ) jest liczba irracjonalna to rozwiązanie niektórych równania kwadratowego z racjonalnych współczynników który jest nierozkładalny ciągu liczb wymiernych . Ponieważ ułamki we współczynnikach równania kwadratowego można wyczyścić, mnożąc obie strony przez ich najmniejszy wspólny mianownik , niewymierne wartości kwadratowe są irracjonalnym pierwiastkiem jakiegoś równania kwadratowego ze współczynnikami całkowitymi . Kwadratowego liczby nieracjonalne, A podzbiór z liczb zespolonych , są algebraiczne numery od stopnia 2 , a zatem mogą być wyrażone

dla liczb całkowitych a , b , c , d ; z b , c i d niezerowymi oraz z c bez kwadratu . Gdy c jest dodatnie, otrzymujemy rzeczywiste kwadratowe liczby niewymierne , podczas gdy ujemne c daje złożone kwadratowe liczby niewymierne, które nie są liczbami rzeczywistymi . Definiuje to wstrzyknięcie z kwadratów niewymiernych do czwórek liczb całkowitych, więc ich kardynalność jest co najwyżej policzalna ; ponieważ z drugiej strony każdy pierwiastek kwadratowy z liczby pierwszej jest wyraźnym kwadratem niewymiernym, a liczb pierwszych jest przeliczalnie wiele, są one co najmniej policzalne; stąd kwadratowe irracjonalne są zbiorem policzalnym .

Kwadratowe Irrationals są stosowane w dziedzinie teorii skonstruować rozszerzenia pola o zakresie liczb wymiernych Q . Biorąc pod uwagę bezkwadratową liczbę całkowitą c , powiększanie Q przez niewymierne liczby kwadratowe przy użyciu c daje pole kwadratowe Q ( c ). Na przykład odwrotności elementów Q ( c ) mają taką samą postać jak powyższe liczby algebraiczne:

Ułamki kwadratowe mają użyteczne właściwości, szczególnie w odniesieniu do ułamków ciągłych , gdzie mamy wynik, że wszystkie rzeczywiste ułamki kwadratowe i tylko rzeczywiste ułamki kwadratowe mają formy okresowe ułamków ciągłych . Na przykład

Okresowe ułamki łańcuchowe można umieścić w korespondencji jeden do jednego z liczbami wymiernymi. Korespondencję wprost podaje funkcja znaku zapytania Minkowskiego , a wyraźną konstrukcję podano w tym artykule. Jest to całkowicie analogiczne do korespondencji między liczbami wymiernymi a ciągami cyfr binarnych, które ostatecznie mają powtarzający się ogon, co zapewnia również funkcja znaku zapytania. Takie powtarzające się sekwencje odpowiadają okresowych orbity w diadycznej transformacji (na cyfr binarnych) i mapę Gaussa dla dalszych frakcji.

Rzeczywiste liczby niewymierne kwadratowe i nieokreślone binarne formy kwadratowe

Możemy przepisać irracjonalność kwadratową w następujący sposób:

Wynika z tego, że każdą kwadratową liczbę niewymierną można zapisać w postaci

To wyrażenie nie jest wyjątkowe.

Napraw niekwadratową, dodatnią liczbę całkowitą przystającą do lub modulo i zdefiniuj zbiór jako

Każda irracjonalność kwadratowa jest w pewnym zbiorze , ponieważ warunki kongruencji można spełnić, skalując licznik i mianownik o odpowiedni współczynnik.

matrycy

z wpisami całkowitymi i może służyć do przekształcania liczby w . Przekształcona liczba to

Jeśli jest w , to też jest.

Relacja między i powyżej jest relacją równoważności . (Wynika to z, na przykład, ponieważ powyższe przekształcenie daje działanie grupy z grupy macierzy całkowitą o wyznacznik 1 w zestawie ). Tak więc, przegrody do grup równoważnych . Każda klasa równoważności zawiera zbiór kwadratowych irracjonalności, przy czym każda para jest równoważna przez działanie jakiejś macierzy. Twierdzenie Serreta implikuje, że regularne rozwinięcia ułamków ciągłych równoważnych irracjonalności kwadratowych są ostatecznie takie same, to znaczy, że ich sekwencje ilorazów częściowych mają ten sam ogon. Tak więc wszystkie liczby w klasie równoważności mają ciągłe rozszerzanie ułamków, które ostatecznie są okresowe z tym samym ogonem.

Istnieje skończenie wiele klas równoważności kwadratowych irracjonalności w . Standardowy dowód na to polega na rozważeniu mapy z binarnych kwadratowych form dyskryminatora do podanego przez

Obliczenie pokazuje, że jest to bijection, który uwzględnia działanie macierzy w każdym zestawie. Klasy równoważności irracjonalności kwadratowych są wówczas w bójce z klasami równoważności binarnych form kwadratowych, a Lagrange wykazał, że istnieje skończenie wiele klas równoważności binarnych form kwadratowych danego wyróżnika.

Poprzez bijekcję rozszerzenie liczby w ułamku ciągłym odpowiada zmniejszeniu formy kwadratowej. Ostatecznie okresowy charakter ułamka łańcuchowego jest następnie odzwierciedlony w ostatecznie okresowym charakterze orbity formy kwadratowej w redukcji, ze zredukowanymi irracjonalnościami kwadratowymi (te z czysto okresowym ułamkiem ciągłym) odpowiadającymi zredukowanym formom kwadratowym.

Pierwiastek kwadratowy z liczby niekwadratowej jest niewymierny

Definicja kwadratów niewymiernych wymaga, aby spełniały dwa warunki: muszą spełniać równanie kwadratowe i muszą być niewymierne. Rozwiązania równania kwadratowego ax 2  +  bx  +  c  = 0 są

Zatem niewymierne liczby kwadratowe to dokładnie te liczby rzeczywiste w tej postaci, które nie są wymierne. Ponieważ b i 2 a są liczbami całkowitymi, pytanie, kiedy powyższa wielkość jest nieracjonalna, jest tym samym, co pytanie, kiedy pierwiastek kwadratowy z liczby całkowitej jest nieracjonalny. Odpowiedź na to jest taka, że ​​pierwiastek kwadratowy z dowolnej liczby naturalnej, która nie jest liczbą kwadratową, jest niewymierny.

Pierwiastek kwadratowy z 2 to pierwszy numer być udowodnione nieracjonalne. Teodor z Cyreny udowodnił irracjonalność pierwiastków kwadratowych z liczb naturalnych niekwadratowych do 17, ale na tym poprzestał, prawdopodobnie dlatego, że zastosowana przez niego algebra nie mogła być zastosowana do pierwiastka kwadratowego z liczb większych niż 17. Księga Elementów Euklidesa 10 jest dedykowana do klasyfikacji irracjonalnych wielkości. Oryginalny dowód irracjonalności niekwadratowych liczb naturalnych zależy od lematu Euklidesa .

Wiele dowodów na irracjonalność pierwiastków kwadratowych z niekwadratowych liczb naturalnych domyślnie zakłada fundamentalne twierdzenie arytmetyki , które po raz pierwszy zostało udowodnione przez Carla Friedricha Gaussa w jego Disquisitiones Arithmeticae . To potwierdza, że ​​każda liczba całkowita ma unikalną rozłożenie na czynniki pierwsze. Dla każdej wymiernej liczby niecałkowitej w najniższych wartościach musi istnieć liczba pierwsza w mianowniku, która nie dzieli się na licznik. Gdy licznik jest podniesiony do kwadratu, liczba pierwsza nadal nie będzie się na niego dzielić z powodu unikalnej faktoryzacji. Dlatego kwadrat wymiernej niecałkowitej jest zawsze niecałkowitą; przez contrapositive pierwiastek kwadratowy liczby całkowitej albo innego jest zawsze liczbą całkowitą lub nieracjonalne.

Euclid użył ograniczonej wersji podstawowego twierdzenia i pewnej ostrożnej argumentacji, aby udowodnić to twierdzenie. Jego dowód znajduje się w Propozycji 9. Euclid's Elements Book X.

Jednak podstawowe twierdzenie arytmetyki nie jest w rzeczywistości wymagane do udowodnienia wyniku. Istnieją między innymi niezależne dowody autorstwa Richarda Dedekinda . Poniższy dowód został zaadaptowany przez Colina Richarda Hughesa z dowodu irracjonalności pierwiastka kwadratowego z 2 znalezionego przez Theodora Estermanna w 1975 roku.

Załóżmy, że D jest niekwadratową liczbą naturalną, to istnieje liczba n taka, że:

n 2 < D < ( n  + 1) 2 ,

więc w szczególności

0 < Dn < 1.

Załóżmy, że pierwiastek kwadratowy z D jest liczbą wymierną p / q , załóżmy, że q tutaj jest najmniejszą, dla której jest to prawdą, stąd najmniejsza liczba, dla której q D jest również liczbą całkowitą. Następnie:

( Dn ) q D = qDnq D

jest również liczbą całkowitą. Ale 0 < ( D  −  n ) < 1 więc ( D  −  n ) q  <  q . Stąd ( D  −  n ) q jest liczbą całkowitą mniejszą niż q . Jest to sprzeczność, ponieważ q zostało zdefiniowane jako najmniejsza liczba o tej własności; stąd D nie może być racjonalne.

Zobacz też

Bibliografia

Linki zewnętrzne