Kwadratura (matematyka) - Quadrature (mathematics)

W przypadku innych zastosowań zobacz Kwadratura (ujednoznacznienie) .

W matematyce , kwadratury jest historyczne określenie co oznacza, że proces określania obszaru . Termin ten jest nadal używany w dzisiejszych czasach w kontekście równań różniczkowych , gdzie „rozwiązywanie równania przez kwadraturę” lub „redukcja do kwadratury” oznacza wyrażanie jego rozwiązania za pomocą całek .

Problemy kwadraturowe służyły jako jedno z głównych źródeł problemów w rozwoju rachunku różniczkowego i wprowadzały ważne zagadnienia do analizy matematycznej .

Historia

Lune Hipokratesa był pierwszym zakrzywione figura aby jej dokładny obszaru obliczonego matematycznie.

Matematycy greccy rozumieli wyznaczanie pola powierzchni figury jako proces geometrycznego konstruowania kwadratu o tej samej powierzchni ( kwadraturę ), stąd nazwa tego procesu kwadratura . Grecy nie zawsze odnosili sukcesy (patrz kwadratura koła ), ale wykonywali kwadratury niektórych figur, których boki nie były po prostu odcinkami linii, takich jak Księżyce Hipokratesa i kwadratura paraboli . Według pewnej tradycji greckiej konstrukcje te musiały być wykonywane wyłącznie przy użyciu cyrkla i linijki , choć nie wszyscy greccy matematycy trzymali się tej zasady.

O kwadraturze z prostokąta z bokami a i b jest to konieczne, do budowy kwadratu o boku (stanowiącego średnią geometryczną z i b ). W tym celu można wykorzystać: jeżeli narysuje się okrąg o średnicy powstałej z połączenia odcinków o długości a i b , to wysokość ( na rysunku BH ) odcinka narysowanego prostopadle do średnicy, z punkt ich połączenia z punktem, w którym przecina okrąg, jest równy średniej geometrycznej a i b . Podobna konstrukcja geometryczna rozwiązuje problemy kwadratury równoległoboku i trójkąta.

Archimedes udowodnił, że powierzchnia odcinka parabolicznego to 4/3 pola trójkąta wpisanego.

Problemy kwadratury dla figur krzywoliniowych są znacznie trudniejsze. Kwadratura koła z kompasem i linijką okazała się w XIX wieku niemożliwa. Niemniej jednak dla niektórych figur można wykonać kwadraturę. Odkryte przez Archimedesa kwadratury powierzchni kuli i segmentu paraboli stały się najwyższym osiągnięciem starożytnej analizy.

  • Pole powierzchni kuli jest równe czterokrotnej powierzchni koła utworzonego przez wielki okrąg tej kuli.
  • Powierzchnia odcinka paraboli wyznaczona przez przecinającą ją prostą stanowi 4/3 powierzchni trójkąta wpisanego w ten odcinek.

Jako dowód tych wyników Archimedes zastosował metodę wyczerpania przypisywaną Eudoksosowi .

W średniowiecznej Europie kwadratura oznaczała obliczanie pola dowolną metodą. Najczęściej stosowano metodę niepodzielności ; była mniej rygorystyczna niż konstrukcje geometryczne Greków, ale była prostsza i potężniejsza. Z jego pomocą Galileo Galilei i Gilles de Roberval odnaleźli obszar łuku cykloidalnego , Grégoire de Saint-Vincent zbadał obszar pod hiperbolą ( Opus Geometricum , 1647), a Alfons Antonio de Sarasa , uczeń i komentator de Saint-Vincent, zwrócił uwagę na stosunek tego obszaru do logarytmów .

John Wallis dokonał algebraizacji tej metody; napisał w swojej Arithmetica Infinitorum (1656) pewne szeregi, które są równoważne temu, co obecnie nazywa się całką oznaczoną i obliczył ich wartości. Isaac Barrow i James Gregory poczynili dalsze postępy: kwadratury dla niektórych krzywych algebraicznych i spiral . Christiaan Huygens z powodzeniem wykonał kwadraturę pola powierzchni niektórych brył obrotowych .

Kwadratura hiperboli autorstwa Saint-Vincent i de Sarasa nadała nową funkcję , logarytm naturalny , o krytycznym znaczeniu. Wraz z wynalezieniem rachunku całkowego pojawiła się uniwersalna metoda obliczania powierzchni. W odpowiedzi termin kwadratura stał się tradycyjny, a zamiast tego współczesne wyrażenie znajdowanie pola jest częściej używane do tego, co technicznie jest obliczeniem jednowymiarowej całki oznaczonej .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia