Czworokąt —Quadrilateral
Czworoboczny | |
---|---|
Krawędzie i wierzchołki | 4 |
Symbol Schläfli | {4} (dla kwadratu) |
Powierzchnia | różne metody; patrz poniżej |
Kąt wewnętrzny ( stopnie ) | 90° (dla kwadratu i prostokąta) |
W geometrii czworokąt to czworoboczny wielokąt , mający cztery krawędzie (boki) i cztery rogi (wierzchołki). Słowo to pochodzi od łacińskich słów quadri , wariantu czterech i latus , co oznacza „bok”. Inna jego nazwa to czworokąt , wywodzący się z greckiego „tetra” oznaczającego „cztery” i „gon” oznaczającego „róg” lub „kąt”, w analogii np. do pięciokąta . „Gon” będący „kątem” również jest podstawą nazywania go czworokątem , 4-kątem, w analogii do trójkąta. Czworokąt z wierzchołkami , , i jest czasami oznaczany jako .
Czworoboki są albo proste (nie przecinające się), albo złożone (samoprzecinające się lub przecinające się). Proste czworokąty są wypukłe lub wklęsłe .
Kąty wewnętrzne prostego (i płaskiego) czworoboku ABCD sumują się do 360 stopni łuku , czyli
Jest to szczególny przypadek wzoru sumy kątów wewnętrznych n -gonów: ( n − 2) × 180°.
Wszystkie niesamoprzecinające się czworokąty pokrywają płaszczyznę poprzez powtarzający się obrót wokół punktów środkowych ich krawędzi.
Proste czworokąty
Każdy czworokąt, który się nie przecina, jest prostym czworokątem.
Wypukłe czworokąty
W czworoboku wypukłym wszystkie kąty wewnętrzne są mniejsze niż 180°, a obie przekątne leżą wewnątrz czworoboku.
- Nieregularny czworokąt ( angielski brytyjski ) lub trapez ( angielski północnoamerykański ): żadne boki nie są równoległe. (W brytyjskim angielskim było to kiedyś nazywane trapezoidem . Więcej informacji można znaleźć w artykule Trapezoid § Trapezium vs Trapezoid )
- Trapez (UK) lub trapez (USA): co najmniej jedna para przeciwległych boków jest równoległa . Trapezja (Wielka Brytania) i trapezy (USA) obejmują równoległoboki.
- Trapez równoramienny (Wielka Brytania) lub trapez równoramienny (USA): jedna para przeciwległych boków jest równoległa, a kąty podstawy są równe. Alternatywne definicje to czworokąt z osią symetrii przecinającą jedną parę przeciwległych boków lub trapez z przekątnymi równej długości.
- Równoległobok : czworobok z dwiema parami równoległych boków. Warunki równoważne są takie, że przeciwne boki mają jednakową długość; że przeciwne kąty są równe; lub że przekątne się przecinają. Równoległoboki obejmują romb (w tym prostokąty zwane kwadratami) i romboidy (w tym prostokąty zwane prostokątami). Innymi słowy, równoległoboki obejmują wszystkie rombowe i wszystkie romboidy, a zatem obejmują również wszystkie prostokąty.
- Romb , romb: wszystkie cztery boki są jednakowej długości (równoboczne). Równoważnym warunkiem jest to, że przekątne przecinają się prostopadle. Nieformalnie: „przesunięty kwadrat” (ale również ściśle obejmujący kwadrat).
- Romboidalny : równoległobok, w którym sąsiednie boki mają nierówną długość, a niektóre kąty są skośne (odpowiednik, bez kątów prostych). Nieformalnie: „przesunięty prostokąt”. Nie wszystkie odniesienia są zgodne, niektóre definiują romb jako równoległobok, który nie jest rombem.
- Prostokąt : wszystkie cztery kąty są kątami prostymi (równokątnymi). Równoważnym warunkiem jest to, że przekątne przecinają się na pół i mają taką samą długość. Prostokąty to kwadraty i prostokąty. Nieformalnie: „pudełko lub prostokąt” (w tym kwadrat).
- Kwadrat (zwykły czworokąt): wszystkie cztery boki są równej długości (równoboczne), a wszystkie cztery kąty są kątami prostymi. Równoważnym warunkiem jest to, że przeciwległe boki są równoległe (kwadrat jest równoległobokiem), a przekątne przecinają się prostopadle i mają jednakową długość. Czworokąt to kwadrat wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie rombem i prostokątem (tj. cztery równe boki i cztery równe kąty).
- Oblong : dłuższy niż szeroki lub szerszy niż długi (tj. prostokąt, który nie jest kwadratem).
- Latawiec : dwie pary sąsiednich boków mają jednakową długość. Oznacza to, że jedna przekątna dzieli latawiec na przystające trójkąty , a więc kąty między dwiema parami równych boków są równe. Oznacza to również, że przekątne są prostopadłe. Latawce zawierają romb.
- Czworokąt styczny : cztery boki są styczne do wpisanego okręgu. Wypukły czworokąt jest styczny wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwne boki mają równe sumy.
- Trapez styczny : trapez, w którym cztery boki są styczne do wpisanego okręgu .
- Czworobok cykliczny : cztery wierzchołki leżą na okręgu opisanym . Wypukły czworokąt jest cykliczny wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwne kąty sumują się do 180°.
- Latawiec prawy : latawiec z dwoma przeciwległymi kątami prostymi. Jest to rodzaj cyklicznego czworoboku.
- Czworokąt harmoniczny : iloczyny długości przeciwległych boków są równe. Jest to rodzaj cyklicznego czworoboku.
- Dwucentryczny czworobok : jest zarówno styczny, jak i cykliczny.
- Czworobok ortodiagonalny : przekątne przecinają się pod kątem prostym .
- Czworobok równoboczny : przekątne mają jednakową długość.
- Czworobok ex-tangencjalny : cztery przedłużenia boków są styczne do eks- koła .
- Czworobok równoramienny ma dwa przeciwległe równe boki, które po rozciągnięciu spotykają się pod kątem 60°.
- Czworokąt Watta to czworokąt z parą przeciwległych boków o równej długości.
- Czworobok jest czworokątem wypukłym, którego wszystkie cztery wierzchołki leżą na obwodzie kwadratu.
- Czworokąt średnicowy to czworokąt cykliczny, którego jeden z boków stanowi średnicę okręgu opisanego.
- Czworokąt Hjelmsleva to czworokąt z dwoma kątami prostymi na przeciwległych wierzchołkach.
Wklęsłe czworokąty
We wklęsłym czworoboku jeden kąt wewnętrzny jest większy niż 180°, a jedna z dwóch przekątnych leży na zewnątrz czworokąta.
- Strzałka (lub grot ) to wklęsły czworobok o dwustronnej symetrii, jak latawiec, ale z jednym wewnętrznym kątem jest refleksyjny. Zobacz Latawiec .
Złożone czworokąty
Czworobok samoprzecinający się jest różnie nazywany czworobokiem krzyżowym , czworokątem skrzyżowanym , czworokątem motylkowym lub czworokątem z muszką . W skrzyżowanym czworoboku cztery kąty „wewnętrzne” po obu stronach skrzyżowania (dwa ostre i dwa odruchowe , wszystkie po lewej lub wszystkie po prawej, jak narysowano na rysunku) sumują się do 720°.
- Skrzyżowany trapez (USA) lub trapez (Commonwealth): skrzyżowany czworobok, w którym jedna para nieprzyległych boków jest równoległa (jak trapez )
- Antyrównoległobok : skrzyżowany czworokąt, w którym każda para nieprzyległych boków ma taką samą długość (jak równoległobok )
- Przekreślony prostokąt : antyrównoległobok , którego boki są dwoma przeciwległymi bokami i dwiema przekątnymi prostokąta , stąd jedna para równoległych przeciwległych boków
- Skrzyżowany kwadrat : szczególny przypadek skrzyżowanego prostokąta, w którym dwa boki przecinają się pod kątem prostym
Specjalne segmenty linii
Dwie przekątne wypukłego czworoboku to odcinki linii, które łączą przeciwległe wierzchołki.
Dwie bimediany wypukłego czworoboku to odcinki linii, które łączą punkty środkowe przeciwległych boków. Przecinają się w „centrum wierzchołków” czworokąta (patrz § Niezwykłe punkty i linie w czworoboku wypukłym poniżej).
Cztery wysokości wypukłego czworoboku to prostopadłe do boku — przechodzące przez środek przeciwnej strony.
Powierzchnia wypukłego czworoboku
Istnieją różne ogólne wzory na pole K wypukłego czworoboku ABCD o bokach a = AB , b = BC , c = CD i d = DA .
Wzory trygonometryczne
Obszar można wyrazić w kategoriach trygonometrycznych jako
gdzie długości przekątnych wynoszą p i q , a kąt między nimi wynosi θ . W przypadku czworokąta ortodiagonalnego (np. romb, kwadrat i latawiec), wzór ten redukuje się do ponieważ θ wynosi 90° .
Obszar może być również wyrażony w bimedianach jako:
gdzie długości bimedianów wynoszą m i n , a kąt między nimi wynosi φ .
Wzór Bretschneidera wyraża powierzchnię w postaci boków i dwóch przeciwnych kątów:
gdzie kolejno boki to a , b , c , d , gdzie s to półobwód, a A i C to dwa (w rzeczywistości dowolne dwa) kąty przeciwne. Sprowadza się to do wzoru Brahmagupty na obszar cyklicznego czworoboku — gdy A + C = 180° .
Inna formuła pola pod względem boków i kątów, gdzie kąt C jest pomiędzy bokami b i c , a A jest pomiędzy bokami a i d , jest
W przypadku czworokąta cyklicznego ta ostatnia formuła staje się
W równoległoboku, w którym obie pary przeciwległych boków i kątów są równe, wzór ten redukuje się do
Alternatywnie możemy zapisać pole w postaci boków i kąta przecięcia θ przekątnych, o ile nie wynosi 90° :
W przypadku równoległoboku ta druga formuła staje się
Inna formuła pola zawierająca boki a , b , c , d is
gdzie x to odległość między środkami przekątnych, a φ to kąt między bimedianami .
Ostatni wzór pola trygonometrycznego obejmujący boki a , b , c , d oraz kąt α (pomiędzy a i b ) to:
który może być również użyty dla obszaru czworoboku wklęsłego (mającego część wklęsłą przeciwną do kąta α ), po prostu zmieniając pierwszy znak + na - .
Wzory nietrygonometryczne
Poniższe dwa wzory wyrażają pole w postaci boków a , b , c i d , półobwodu s i przekątnych p , q :
Pierwsza sprowadza się do wzoru Brahmagupty w cyklicznym przypadku czworoboku, od tego czasu pq = ac + bd .
Pole powierzchni można również wyrazić w postaci bimedianów m , n oraz przekątnych p , q :
W rzeczywistości dowolne trzy z czterech wartości m , n , p i q wystarczą do określenia pola powierzchni, ponieważ w dowolnym czworoboku te cztery wartości są powiązane przez Odpowiednie wyrażenia to:
jeśli podane są długości dwóch bimedianów i jednej przekątnej, oraz
jeśli podano długości dwóch przekątnych i jednej bimediany.
Formuły wektorowe
Pole powierzchni czworoboku ABCD można obliczyć za pomocą wektorów . Niech wektory AC i BD tworzą przekątne od A do C i od B do D . Obszar czworoboku to zatem
co stanowi połowę wielkości iloczynu krzyżowego wektorów AC i BD . W dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej, wyrażając wektor AC jako wektor swobodny w przestrzeni kartezjańskiej równy ( x 1 , y 1 ) i BD jako ( x 2 , y 2 ) można to przepisać jako:
Przekątne
Własności przekątnych w czworokątach
W poniższej tabeli podano, czy przekątne w niektórych najbardziej podstawowych czworokątach przecinają się nawzajem, czy ich przekątne są prostopadłe i czy ich przekątne mają jednakową długość. Lista dotyczy najbardziej ogólnych przypadków i nie obejmuje nazwanych podzbiorów.
Czworoboczny | Dzielenie przekątnych | Przekątne prostopadłe | Równe przekątne |
---|---|---|---|
trapez | Nie | patrz uwaga 1 | Nie |
Trapez równoramienny | Nie | patrz uwaga 1 | tak |
Równoległobok | tak | Nie | Nie |
latawiec | patrz uwaga 2 | tak | patrz uwaga 2 |
Prostokąt | tak | Nie | tak |
Romb | tak | tak | Nie |
Kwadrat | tak | tak | tak |
Uwaga 1: Najbardziej ogólne trapezy i trapezy równoramienne nie mają prostopadłych przekątnych, ale istnieje nieskończona liczba (niepodobnych) trapezów i trapezów równoramiennych, które mają prostopadłe przekątne i nie są żadną inną nazwą czworoboku.
Uwaga 2: W latawcu jedna przekątna przecina drugą. Najbardziej ogólny latawiec ma nierówne przekątne, ale istnieje nieskończona liczba (nie podobnych) latawców, w których przekątne są równe długości (a latawce nie są żadnymi innymi nazwanymi czworokątami).
Długości przekątnych
Długości przekątnych w czworoboku wypukłym ABCD można obliczyć z prawa cosinusów na każdym trójkącie utworzonym przez jedną przekątną i dwa boki czworokąta. Zatem
oraz
Inne, bardziej symetryczne wzory na długości przekątnych to
oraz
Uogólnienia prawa równoległoboku i twierdzenie Ptolemeusza
W dowolnym czworoboku wypukłym ABCD suma kwadratów czterech boków jest równa sumie kwadratów dwóch przekątnych plus czterokrotność kwadratu odcinka linii łączącej punkty środkowe przekątnych. Zatem
gdzie x jest odległością między środkami przekątnych. Jest to czasami znane jako czworokątne twierdzenie Eulera i jest uogólnieniem prawa równoległoboku .
Niemiecki matematyk Carl Anton Bretschneider wyprowadził w 1842 roku następujące uogólnienie twierdzenia Ptolemeusza , dotyczące iloczynu przekątnych czworokąta wypukłego
Ta relacja może być uważana za prawo cosinusów dla czworokąta. W cyklicznym czworoboku , gdzie A + C = 180°, redukuje się do pq = ac + bd . Ponieważ cos ( A + C ) ≥ −1, daje to również dowód na nierówność Ptolemeusza.
Inne relacje metryczne
Jeśli X i Y są stopami normalnych od B i D do przekątnej AC = p w czworoboku wypukłym ABCD o bokach a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , to
W czworoboku wypukłym ABCD o bokach a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , i gdzie przecinają się przekątne w punkcie E ,
gdzie e = AE , f = BE , g = CE i h = DE .
Kształt i rozmiar wypukłego czworoboku są w pełni określone przez długości jego boków w kolejności i jedną przekątną między dwoma określonymi wierzchołkami. Dwie przekątne p, q i cztery długości boków a, b, c, d czworokąta są powiązane wyznacznikiem Cayleya-Mengera w następujący sposób:
Dwusieczne kątowe
Wewnętrzne dwusieczne kąta wypukłego czworokąta albo tworzą czworokąt cykliczny (czyli cztery punkty przecięcia sąsiednich dwusiecznych kąta są koncykliczne ) albo są współbieżne . W tym ostatnim przypadku czworokąt jest czworokątem stycznym .
W czworokątnym ABCD , jeżeli dwusieczne kątów A i C spotykają się na przekątnej BD , to dwusieczne kątów B i D spotykają się na przekątnej AC .
Bimedian
Bimediany czworoboku to odcinki linii łączące punkty środkowe przeciwległych boków. Przecięcie bimedianów to środek ciężkości wierzchołków czworoboku.
Punkty środkowe boków każdego czworokąta (wypukłego, wklęsłego lub skrzyżowanego) to wierzchołki równoległoboku zwanego równoległobokiem Varignona . Posiada następujące właściwości:
- Każda para przeciwległych boków równoległoboku Varignona jest równoległa do przekątnej w pierwotnym czworoboku.
- Bok równoległoboku Varignona jest o połowę krótszy od przekątnej w pierwotnym czworoboku, do którego jest równoległy.
- Powierzchnia równoległoboku Varignona równa się połowie powierzchni pierwotnego czworoboku. Odnosi się to do czworoboków wypukłych, wklęsłych i skrzyżowanych, pod warunkiem, że pole tego ostatniego definiuje się jako różnicę pól dwóch trójkątów, z których się składa.
- Obwód równoległoboku Varignona jest równy sumie przekątnych pierwotnego czworoboku.
- Przekątne równoległoboku Varignona to bimediany pierwotnego czworoboku.
Dwie bimediany w czworoboku i odcinek linii łączący punkty środkowe przekątnych w tym czworoboku są zbieżne i wszystkie są przecięte przez punkt przecięcia.
W czworoboku wypukłym o bokach a , b , c i d , długość bimediany łączącej punkty środkowe boków a i c wynosi
gdzie p i q to długość przekątnych. Długość bimediany, która łączy punkty środkowe boków b i d , wynosi
W związku z tym
Jest to również następstwem prawa równoległoboku zastosowanego w równoległoboku Varignona.
Długości bimedianów można również wyrazić w postaci dwóch przeciwległych boków i odległości x między punktami środkowymi przekątnych. Jest to możliwe, gdy w powyższych wzorach stosuje się czworokątne twierdzenie Eulera. Skąd
oraz
Zauważ, że dwie przeciwne strony w tych wzorach nie są tymi, które łączy bimediana.
W czworoboku wypukłym istnieje następujące podwójne połączenie między bimedianami i przekątnymi:
- Dwie bimediany mają jednakową długość wtedy i tylko wtedy, gdy dwie przekątne są prostopadłe .
- Dwie bimediany są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy obie przekątne mają jednakową długość.
Tożsamości trygonometryczne
Cztery kąty prostego czworoboku ABCD spełniają następujące tożsamości:
oraz
Również,
W dwóch ostatnich wzorach żaden kąt nie może być kątem prostym , ponieważ tan 90° nie jest zdefiniowany.
Niech , , , będą bokami nie przecinającego czworoboku, jest półobwodem i są kątami przeciwstawnymi, to
oraz
- .
Możemy użyć tych tożsamości do wyprowadzenia formuły Bretschneidera .
Nierówności
Powierzchnia
Jeżeli czworokąt wypukły ma kolejne boki a , b , c , d i przekątne p , q , to jego pole K spełnia
- z równością tylko dla prostokąta .
- z równością tylko dla kwadratu .
- z równością tylko wtedy, gdy przekątne są prostopadłe i równe.
- z równością tylko dla prostokąta.
Ze wzoru Bretschneidera wynika wprost, że pole czworoboku spełnia
z równością wtedy i tylko wtedy, gdy czworokąt jest cykliczny lub zdegenerowany tak, że jedna strona jest równa sumie pozostałych trzech (została zwinięta do odcinka linii , więc obszar wynosi zero).
Pole dowolnego czworoboku również spełnia nierówności
Oznaczając obwód jako L , mamy
z równością tylko w przypadku kwadratu.
Powierzchnia wypukłego czworoboku również spełnia
dla długości przekątnych p i q , z równością wtedy i tylko wtedy, gdy przekątne są prostopadłe.
Niech a , b , c , d będą długościami boków czworoboku wypukłego ABCD o polu K i przekątnych AC = p , BD = q . Następnie
- z równością tylko dla kwadratu.
Niech a , b , c , d będą długościami boków czworoboku wypukłego ABCD o polu K , wówczas zachodzi nierówność:
- z równością tylko dla kwadratu.
Przekątne i bimediany
Następstwem czworokątnego twierdzenia Eulera jest nierówność
gdzie równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy czworokąt jest równoległobokiem .
Euler uogólnił również twierdzenie Ptolemeusza , które jest równością w czworoboku cyklicznym , na nierówność dla czworokąta wypukłego. Twierdzi, że
gdzie istnieje równość wtedy i tylko wtedy, gdy czworokąt jest cykliczny. Nazywa się to często nierównością Ptolemeusza .
W dowolnym czworoboku wypukłym bimediany m, n i przekątne p, q są powiązane nierównością
z zachowaniem równości wtedy i tylko wtedy, gdy przekątne są równe. Wynika to bezpośrednio z czworokątnej tożsamości
boki
Boki a , b , c i d dowolnego czworokąta spełniają
oraz
Maksymalne i minimalne właściwości
Spośród wszystkich czworokątów o danym obwodzie największą powierzchnią jest kwadrat . Nazywa się to twierdzeniem izoperymetrycznym dla czworokątów . Jest to bezpośrednia konsekwencja nierówności obszaru
gdzie K jest polem czworoboku wypukłego o obwodzie L . Równość obowiązuje wtedy i tylko wtedy, gdy czworokąt jest kwadratem. Twierdzenie dualne mówi, że ze wszystkich czworokątów o danej powierzchni kwadrat ma najkrótszy obwód.
Czworokąt o danych długościach boków, który ma maksymalną powierzchnię, jest czworokątem cyklicznym .
Ze wszystkich czworokątów wypukłych o danych przekątnych największą powierzchnię ma czworokąt ortodiagonalny . Jest to bezpośrednią konsekwencją tego, że powierzchnia czworoboku wypukłego spełnia
gdzie θ jest kątem między przekątnymi p i q . Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy θ = 90°.
Jeżeli P jest punktem wewnętrznym czworokąta wypukłego ABCD , to
Z tej nierówności wynika, że punkt wewnątrz czworoboku, który minimalizuje sumę odległości do wierzchołków , jest przecięciem przekątnych. Stąd ten punkt jest punktem Fermata czworoboku wypukłego.
Niezwykłe punkty i linie w wypukłym czworoboku
Środek czworoboku można zdefiniować na kilka różnych sposobów. „Centroid wierzchołków” pochodzi z uznania czworokąta jako pustego, ale posiadającego równe masy w wierzchołkach. „Centroid boczny” pochodzi z rozważenia, że boki mają stałą masę na jednostkę długości. Zwykły środek, zwany po prostu środkiem ciężkości (środek pola), pochodzi od uznania powierzchni czworoboku jako posiadającej stałą gęstość. Te trzy punkty na ogół nie są tym samym.
„Centroid wierzchołków” to przecięcie dwóch bimedianów . Jak w przypadku każdego wielokąta, współrzędne x i y centroidu wierzchołków są średnimi arytmetycznymi współrzędnych x i y wierzchołków.
„Centroid pola” czworokąta ABCD można skonstruować w następujący sposób. Niech G a , G b , G c , G d będą odpowiednio centroidami trójkątów BCD , ACD , ABD , ABC . Wtedy „centrum powierzchni” jest przecięciem prostych G a G c i G b G d .
W ogólnym czworoboku wypukłym ABCD nie ma naturalnych analogii do środka opisanego i ortocentrum trójkąta . Ale dwa takie punkty można skonstruować w następujący sposób. Niech O a , O b , O c , O d będą odpowiednio środkami opisanymi w trójkątach BCD , ACD , ABD , ABC ; i oznacz przez H a , H b , H c , H d ortocentra w tych samych trójkątach. Wtedy przecięcie prostych O a O c i O b O d nazywane jest quasi- okręgiem , a przecięcie prostych H a H c i H b H d nazywane jest quasiortocentrum wypukłego czworoboku. Punkty te mogą być użyte do zdefiniowania linii Eulera czworokąta. W czworoboku wypukłym, quasiortocentrum H , „centrum obszaru” G , i quasi-centrum O są współliniowe w tej kolejności, a HG = 2 GO .
Można również zdefiniować quasinine-punktowy środek E jako przecięcie prostych E a E c i E b E d , gdzie E a , E b , E c , E d są dziewięciopunktowymi środkami trójkątów BCD , ACD , ABD , ABC odpowiednio. Wtedy E jest środkiem OH . _
Inną godną uwagi linią w wypukłym czworoboku nierównoległym jest linia Newtona , która łączy punkty środkowe przekątnych, przy czym odcinek łączący te punkty jest przecięty przez środek wierzchołka. Jeszcze jedną ciekawą linią (w pewnym sensie podwójną do Newtona ) jest linia łącząca punkt przecięcia przekątnych z centroidem wierzchołków. Linia jest godna uwagi, ponieważ zawiera środek ciężkości (obszaru). Środek ciężkości wierzchołków dzieli odcinek łączący punkt przecięcia przekątnych i środek ciężkości (powierzchni) w stosunku 3:1.
Dla dowolnego czworokąta ABCD z punktami P i Q przecięcia AD i BC oraz AB i CD , okręgi (PAB), (PCD), (QAD) i (QBC) przechodzą przez wspólny punkt M , zwany Miquel punkt.
Dla czworokąta wypukłego ABCD , w którym E jest punktem przecięcia przekątnych, a F jest punktem przecięcia przedłużeń boków BC i AD , niech ω będzie okręgiem przechodzącym przez E i F , który przecina CB wewnętrznie w punktach M i DA w N . Niech CA ponownie spotka ω w L i niech DB ponownie spotka ω w K . Wtedy zachodzi: proste NK i ML przecinają się w punkcie P , który znajduje się na boku AB ; proste NL i KM przecinają się w punkcie Q , który znajduje się na boku CD . Punkty P i Q nazywane są „punktami Pascala” utworzonymi przez okrąg ω po bokach AB i CD .
Inne właściwości czworokątów wypukłych
- Niech zewnętrzne kwadraty zostaną narysowane ze wszystkich stron czworoboku. Odcinki łączące środki przeciwległych kwadratów są (a) równej długości i (b) prostopadłe . Tak więc ośrodki te są wierzchołkami czworokąta ortodiagonalnego . Nazywa się to twierdzeniem Van Aubela .
- Dla każdego prostego czworokąta o danych długościach krawędzi istnieje czworokąt cykliczny o tych samych długościach krawędzi.
- Cztery mniejsze trójkąty utworzone przez przekątne i boki czworokąta wypukłego mają tę właściwość, że iloczyn pól dwóch przeciwległych trójkątów jest równy iloczynowi pól pozostałych dwóch trójkątów.
Taksonomia
Rysunek po prawej stronie przedstawia hierarchiczną taksonomię czworokątów. Klasy niższe są szczególnymi przypadkami klas wyższych, z którymi są powiązane. Zauważ, że „trapez” odnosi się tutaj do definicji północnoamerykańskiej (odpowiednikiem brytyjskim jest trapez). W całym tekście stosowane są włączające definicje.
Pochyl czworokąty
Niepłaski czworokąt nazywany jest czworokątem skośnym . Wzory do obliczania jego dwuściennych kątów z długości krawędzi i kąta między dwoma sąsiednimi krawędziami zostały wyprowadzone do pracy nad właściwościami cząsteczek, takich jak cyklobutan , które zawierają „pofałdowany” pierścień czterech atomów. Historycznie termin czworobok Gauche był również używany do oznaczania czworoboku skośnego. Czworokąt skośny wraz z jego przekątnymi tworzą (być może nieregularny) czworościan i odwrotnie, każdy czworokąt skośny pochodzi z czworościanu, w którym usunięto parę przeciwległych krawędzi .
Zobacz też
- Kompletny czworokąt
- Prostopadła dwusieczna konstrukcja czworoboku
- czworokąt Saccheri
- Rodzaje siatek § Czworokąt
- Czworokąt (geografia)
Bibliografia
Zewnętrzne linki
- "Cworokąt, kompletny" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
- Czworokąty utworzone przez prostopadłe dwusieczne , rzutową kolinearność i interaktywną klasyfikację czworokątów od przecięcia węzła
- Definicje i przykłady czworokątów oraz Definicja i własności czworokątów z Mathopenref
- (dynamiczne) hierarchiczne drzewo czworokątne w dynamicznych szkicach geometrycznych
- Rozszerzona klasyfikacja czworokątów na stronie głównej Dynamic Math Learning
- Rola i funkcja hierarchicznej klasyfikacji czworokątów Michaela de Villiers