Kwantowa mechanika statystyczna - Quantum statistical mechanics

Kwantowa mechanika statystyczna to mechanika statystyczna stosowana w układach mechaniki kwantowej . W mechanice kwantowej zespół statystyczny (rozkład prawdopodobieństwa dla możliwych stanów kwantowych ) opisany przez operatora gęstości S , który jest nie-ujemna, samosprzężone , ślad klasy operatora śladu 1 na Hilberta H opisujący system kwantowej. Można to wykazać w różnych formalizmach matematycznych mechaniki kwantowej . Jednym z takich formalizmów jest logika kwantowa .

Oczekiwanie

Od klasycznej teorii prawdopodobieństwa, wiemy, że oczekiwanie o zmiennej losowej X jest określona przez jej podział D X przez

zakładając oczywiście, że zmienna losowa jest całkowalna lub że zmienna losowa jest nieujemna. Podobnie niech A będzie obserwowalnym układem mechaniki kwantowej. A jest dane przez gęsto zdefiniowany operator samosprzężony na H . Widmowa środek o A określa

jednoznacznie określa A i odwrotnie, jest jednoznacznie określane przez A . E A jest homomorfizmem boolowskim z podzbiorów borelowskich R do sieci Q samosprzężonych projekcji H . Analogicznie z teorii prawdopodobieństwa, biorąc pod uwagę stan S wprowadzamy rozkładu z A na podstawie S , która jest miarą prawdopodobieństwo określone w podgrupach borelowskich z R przez

Podobnie wartość oczekiwana A jest definiowana w postaci rozkładu prawdopodobieństwa D A przez

Zauważ, że to oczekiwanie odnosi się do stanu mieszanego S, który jest używany w definicji D A .

Uwaga . Ze względów technicznych należy osobno rozważyć dodatnią i ujemną część A zdefiniowane przez rachunek funkcjonalny Borela dla operatorów nieograniczonych.

Można łatwo pokazać:

Zauważ, że jeśli S jest czystym stanem odpowiadającym wektorowi ψ, to:

Ślad operatora A jest zapisany w następujący sposób:

Entropia von Neumanna

Szczególne znaczenie dla opisu losowości stanu ma entropia von Neumanna S formalnie zdefiniowana przez

.

W rzeczywistości operator S log 2 S niekoniecznie jest klasą śledzenia. Jeśli jednak S jest nieujemnym operatorem samosprzężonym nie należącym do klasy śledzenia, definiujemy Tr( S ) = +∞. Zauważ też, że każdy operator gęstości S może być diagonalizowany, że może być reprezentowany w jakiejś ortonormalnej bazie przez (być może nieskończoną) macierz postaci

i definiujemy

Konwencja jest taka , że , ponieważ zdarzenie o prawdopodobieństwie zerowym nie powinno przyczyniać się do entropii. Ta wartość jest rozszerzoną liczbą rzeczywistą (czyli w [0, ∞]) i jest to wyraźnie unitarny niezmiennik S .

Uwaga . Jest rzeczywiście możliwe, że H( S ) = +∞ dla pewnego operatora gęstości S . W rzeczywistości T jest macierzą diagonalną

T jest nieujemną klasą śledzenia i można wykazać, że T log 2 T nie jest klasą śledzenia.

Twierdzenie . Entropia jest niezmiennikiem unitarnym.

Analogicznie do klasycznej entropii (zauważ podobieństwo w definicjach), H( S ) mierzy ilość losowości w stanie S . Im bardziej rozproszone są wartości własne, tym większa entropia systemu. Dla układu, w którym przestrzeń H jest skończenie wymiarowa, entropia jest maksymalizowana dla stanów S, które w postaci diagonalnej mają reprezentację

Dla takiego S , H( S ) = log 2 n . Stan S nazywany jest stanem maksymalnie mieszanym.

Przypomnij sobie, że czysty stan to jedna z form

dla ψ wektor normy 1.

Twierdzenie . H( S ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy S jest czystym stanem.

Ponieważ S jest czystym stanem wtedy i tylko wtedy, gdy jego forma diagonalna ma dokładnie jeden niezerowy wpis, którym jest 1.

Entropię można wykorzystać jako miarę splątania kwantowego .

Zespół kanoniczny Gibbsa

Rozważmy zbiór układów opisanych przez hamiltonian H o średniej energii E . Jeśli H ma czystej punkt widma i wartości własnych o H przejść do + ∞ wystarczająco szybko, e - Rh będzie nieujemną operatora śladowych klasy dla każdego dodatniego R .

Zespół kanoniczny Gibbsa jest opisany przez państwo

Gdzie β jest taki, że średnia energii zbioru spełnia

oraz

Nazywa się to funkcją partycji ; jest to kwantowo-mechaniczna wersja kanonicznej funkcji podziału klasycznej mechaniki statystycznej. Prawdopodobieństwo, że układ wybrany losowo z zestawu będzie w stanie odpowiadającym wartości własnej energii wynosi

W pewnych warunkach zespół kanoniczny Gibbsa maksymalizuje entropię von Neumanna stanu podlegającego wymogowi zachowania energii.

Wielki zespół kanoniczny

W przypadku układów otwartych, w których energia i liczba cząstek może się zmieniać, układ jest opisany przez wielki zespół kanoniczny , opisany przez macierz gęstości

gdzie N 1 , N 2 , ... są operatorami liczby cząstek dla różnych gatunków cząstek wymienianych ze zbiornikiem. Zauważ, że jest to macierz gęstości zawierająca znacznie więcej stanów (o różnym N) w porównaniu z zespołem kanonicznym.

Funkcja wielkiej partycji to

Zobacz też

Bibliografia

  • J. von Neumann, Matematyczne podstawy mechaniki kwantowej , Princeton University Press , 1955.
  • F. Reif, Statystyka i Fizyka Cieplna , McGraw-Hill, 1965.