Pierścień ilorazu - Quotient ring

Struktura algebraiczna → Teoria pierścieni Teoria pierścieni
Podstawowe koncepcje Pierścionki • Podringi • Idealny • Pierścień ilorazowy • Ułamkowy ideał • Całkowity iloraz pierścienia • Pierścień produktu • Dowolny iloczyn algebr asocjacyjnych • Iloczyn tensorowy pierścieni Homomorfizmy pierścieni • Jądro • Wewnętrzny automorfizm • Endomorfizm Frobeniusa Struktury algebraiczne • Moduł • Algebra asocjacyjna • Pierścień stopniowany • Pierścień indukcyjny • Kategoria pierścieni • Pierwotny dzwonek ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Pierścień zaciskowy ${\ Displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Powiązane struktury • Pole • Pole skończone • Pierścień nieskojarzony • Pierścień do kłamstw • Pierścień Jordana • Semiring • Półpola
Algebra przemienności Pierścienie przemienne • Domena integralna • Integralnie zamknięta domena • Domena GCD • Unikalna domena faktoryzacji • Główna idealna domena • Domena euklidesowa • Pole • Pole skończone • Pierścień kompozycji • Pierścień wielomianowy • Formalny pierścień serii mocy Teoria liczb algebraicznych • Pole liczb algebraicznych • Pierścień liczb całkowitych • Niezależność algebraiczna • Transcendentalna teoria liczb • Stopień transcendencji p – teoria liczb adic i ułamki dziesiętne • Granica bezpośrednia / Granica odwrotna • Pierścień zerowy ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Liczby całkowite modulo p n ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -pierścień ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty})}$ • Podstawa - p koło pierścień ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ • Podstawa - p liczb całkowitych ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -adyczne wymierniki ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1/p]}$ • Podstawa - p liczb rzeczywistych ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -adyczne liczby całkowite ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • liczby p- adyczne ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • elektromagnes p- adyczny ${\ Displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Geometria algebraiczna • Odmiana afiniczna
Algebra nieprzemienna Nieprzemienne pierścienie • Pierścień podziałowy • Półprymitywny pierścień • Prosty pierścień • Komutator Nieprzemienna geometria algebraiczna Dowolna algebra Algebra Clifforda • Algebra geometryczna Algebra operatorów
v T mi

W teorii pierścienia , gałęzią abstrakcyjnego Algebra , A pierścień iloraz , znany także jako pierścień czynnika , pierścień różnicy lub pozostałości pierścienia klasy , jest konstrukcją bardzo podobny do grup iloraz z teorii grup i przestrzeni iloraz z liniowym Algebra . Jest to specyficzny przykład ilorazu , widziany z ogólnego założenia algebry uniwersalnej . Począwszy od pierścienia R i dwustronnego idealnego I w R , nowy pierścień, pierścień ten iloraz R / , że jest wykonana, której elementy są cosets z I w R , które podlegają szczególnym + i ⋅ operacji.

Iloraz pierścienie są w odróżnieniu od tak zwanego „pola”, lub iloraz pola frakcji , o integralną dziedzinie , a także z bardziej ogólne "pierścieniami ilorazy, pochodzące od lokalizacji .

Formalna konstrukcja pierścienia ilorazowego

Mając pierścień i dwustronny ideał w , możemy zdefiniować relację równoważności na w następujący sposób: ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle R}$ ${\displaystyle \sim}$${\ Displaystyle R}$

${\displaystyle a\sim b}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest w .${\displaystyle ab}$${\ Displaystyle I}$

Korzystając z idealnych właściwości, nie jest trudno sprawdzić, czy jest to relacja kongruencji . W przypadku , mówimy , że i są przystające modulo . Klasy równoważności pierwiastka IN jest dana przez ${\displaystyle \sim}$${\displaystyle a\sim b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$ ${\ Displaystyle I}$${\displaystyle a}$${\ Displaystyle R}$

${\displaystyle [a]=a+I:=\{a+r:r\w I\}}$.

Ta klasa równoważności jest również czasami zapisywana jako i nazywana „klasą pozostałości modulo ”. ${\displaystyle a{\bmod {ja}}}$${\displaystyle a}$${\ Displaystyle I}$

Zbiór wszystkich takich klas równoważności jest oznaczony przez ; staje się pierścień do pierścieniowej czynnik lub iloraz pierścień z modulo , jeśli Ustala ${\ Displaystyle R/I}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle I}$

• ${\ Displaystyle (a + I) + (b + I) = (a + b) + ja}$;
• ${\ Displaystyle (a + ja) (b + ja) = (ab) + ja}$.

(Tutaj trzeba sprawdzić, czy te definicje są dobrze zdefiniowane . Porównaj grupę coset i iloraz .) Element zerowy is , a tożsamość multiplikatywna to . ${\ Displaystyle R/I}$${\ Displaystyle {\ bar {0}} = (0 + ja) = ja}$${\ Displaystyle {\ bar {1}} = (1 + I)}$

Mapa od do zdefiniowana przez jest surjektywnym homomorfizmem pierścienia , czasami nazywanym naturalnym odwzorowaniem ilorazu lub homomorfizmem kanonicznym . ${\displaystyle p}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R/I}$${\ Displaystyle p (a) = a + ja}$

Przykłady

• Pierścień ilorazowy R / {0 } jest naturalnie izomorficzny z R , a R / R jest pierścieniem zerowym {0}, ponieważ, z naszej definicji, dla dowolnego r w R , mamy, że [ r ] = r + "R" := { r + b  : b ∈ "R" }}, co równa się samemu R. Jest to zgodne z zasadą, że im większy I idealny , tym mniejszy pierścień ilorazu R / I . Jeśli I jest właściwym ideałem R , tj. I ≠ R , to R / I nie jest pierścieniem zerowym.
• Rozważmy pierścień liczb całkowitych Z i ideał liczb parzystych oznaczony przez 2 Z . Wtedy pierścień ilorazowy Z /2 Z ma tylko dwa elementy, coset 0+2 Z składający się z liczb parzystych i coset 1+2 Z składający się z liczb nieparzystych; stosując definicję, [ z ] = z + 2 Z  := { z + 2 y : 2 y ∈ 2 Z } , gdzie 2 Z jest ideałem liczb parzystych. Jest naturalnie izomorficzny z polem skończonym z dwoma pierwiastkami, F ₂ . Intuicyjnie: jeśli myślisz, że wszystkie liczby parzyste są równe 0, to każda liczba całkowita jest równa 0 (jeśli jest parzysta) lub 1 (jeśli jest nieparzysta i dlatego różni się od liczby parzystej o 1). Arytmetyka modułowa jest zasadniczo arytmetyczną w pierścieniu ilorazowym Z / n Z (który ma n elementów).
• Rozważmy teraz pierścień R [ X ] wielomianów w zmiennej X o rzeczywistych współczynnikach oraz idealny I = ( X ² + 1) składający się ze wszystkich wielokrotności wielomianu X ² + 1 . Pierścień ilorazowy R [ X ] / ( X ² + 1) jest naturalnie izomorficzny z ciałem liczb zespolonych C , przy czym klasa [ X ] odgrywa rolę jednostki urojonej i . Powodem jest to, że „wymusiliśmy” X ² + 1 = 0 , tj. X ² = −1 , co jest właściwością definiującą i .
• Uogólniając poprzedni przykład, pierścienie ilorazowe są często używane do konstruowania rozszerzeń pól . Załóżmy, że K jest jakimś ciałem, a f jest wielomianem nierozkładalnym w K [ X ]. Wtedy L = K [ X ] / ( f ) jest polem , którego minimalny wielomian nad K wynosi f , które zawiera K oraz element x = X + ( f ) .
• Jednym z ważnych przykładów poprzedniego przykładu jest konstrukcja pól skończonych. Rozważmy na przykład pole F ₃ = Z / 3 Z z trzema elementami. Wielomian f ( X ) = X ² + 1 jest nierozkładalny przez F ₃ (ponieważ nie ma pierwiastka) i możemy skonstruować pierścień ilorazowy F ₃ [ X ] / ( f ) . Jest to pole zawierające 3 ² = 9 elementów, oznaczone przez F ₉ . W podobny sposób można skonstruować inne skończone pola.
• Te pierścienie współrzędnych z odmian algebraicznych ważne przykłady ilorazu pierścieni w geometrii algebraicznych . Jako prosty przypadek rozważmy odmianę rzeczywistą V = {( x , y ) | x ² = y ³ } jako podzbiór rzeczywistej płaszczyzny R ² . Pierścień funkcji wielomianowych o wartościach rzeczywistych określonych na V można utożsamić z pierścieniem ilorazowym R [ X , Y ] / ( X ² − Y ³ ) i jest to pierścień współrzędnych V . Odmiana V jest obecnie badana poprzez badanie jej pierścienia współrzędnych.
• Załóżmy, że M oznacza C ^∞ - kolektor , a p jest punktem M . Rozważmy pierścień R = C ^∞ ( M ) wszystkich C ^∞ działanie funkcji określonej w M i pozwalają , że jest idealnie w R składa się z tych funkcji F , które są identycznie zera w pewnej okolicy U o p (gdzie U może zależeć od f ) . Wtedy pierścień ilorazowy R / I jest pierścieniem zarodków funkcji C ^∞ na M w p .
• Rozważmy pierścień F elementów skończonych pola hiperrzeczywistego * R . Składa się ze wszystkich liczb hiperrzeczywistych różniących się od standardowej liczby rzeczywistej o nieskończenie małą ilość lub równoważnie: wszystkich liczb hiperrzeczywistych x, dla których istnieje standardowa liczba całkowita n z − n < x < n . Zbiór I wszystkich liczb nieskończenie małych w * R , razem z 0 , jest ideałem w F , a pierścień ilorazowy F / I jest izomorficzny z liczbami rzeczywistymi R . Izomorfizmu jest indukowana przez połączenie z każdym elementem X o F się standardową częścią z X , to unikalne liczba rzeczywista różni się od X przez nieskończenie. W rzeczywistości otrzymujemy ten sam wynik, mianowicie R , jeśli zaczynamy od pierścienia F skończonych hiperracjonalności (czyli stosunku pary hipercałkowitych ), patrz konstrukcja liczb rzeczywistych .

Alternatywne złożone samoloty

Iloraz R [ X ] / ( X ) , R [ X ] / ( X + 1) i R [ X ] / ( X − 1) są izomorficzne z R i początkowo nie wzbudzają większego zainteresowania. Zauważmy jednak, że R [ X ] / ( X ² ) nazywa się płaszczyzną podwójnej liczby w algebrze geometrycznej. Składa się tylko z dwumianów liniowych jako "reszt" po zredukowaniu elementu R [ X ] przez X ² . Ta alternatywna płaszczyzna zespolona powstaje jako podalgebra, gdy algebra zawiera prostą rzeczywistą i nilpotentną .

Co więcej, iloraz pierścienia R [ X ] / ( X ² − 1) dzieli się na R [ X ] / ( X + 1) i R [ X ] / ( X − 1) , więc pierścień ten jest często postrzegany jako bezpośredni suma R ⊕ R . Niemniej jednak alternatywna liczba zespolona z = x + y j jest sugerowana przez j jako pierwiastek z X ² − 1 , w porównaniu do i jako pierwiastek z X ² + 1 = 0 . Ta płaszczyzna liczb split-complex normalizuje sumę prostą R' ⊕ R przez dostarczenie bazy {1, j} dla 2-przestrzeni, gdzie tożsamość algebry znajduje się w jednostkowej odległości od zera. Z tej podstawie hiperbola jednostka może być porównana do okręgu jednostkowego o zwykłej płaszczyźnie zespolonej .

Kwaterniony i alternatywy

Załóżmy, że X i Y są dwoma, nieprzemiennymi, nieoznaczonymi i tworzą algebrę swobodną R ⟨ X , Y ⟩ . Następnie kwaterniony Hamiltona z 1843 r. można oddać jako

${\ Displaystyle \ mathbf {R} \ langle X Y \ rangle / (X ^ {2} + 1, Y ^ {2} + 1, XY + YX).}$

Jeśli Y ² − 1 jest podstawiony za Y ² + 1 , wtedy otrzymujemy pierścień rozszczepionych kwaternionów . Zastąpienie minusem plusa w obu dwumianach kwadratowych również skutkuje podziałem kwaternionów. Właściwość przemienna anty- YX = - XY oznacza, że XY ma na placu

( XY )( XY ) = X ( YX ) Y = − X ( XY ) Y = − XXYY = −1.

Te trzy typy bikwaternionów można również zapisać jako iloraz, wykorzystując algebrę swobodną z trzema nieoznaczonymi R ⟨ X , Y , Z ⟩ i konstruując odpowiednie ideały.

Nieruchomości

Oczywiście, jeśli R jest pierścieniem przemiennym , to tak samo jest z R / I ; odwrotność jednak generalnie nie jest prawdziwa.

Odwzorowanie ilorazu naturalnego p ma I jako jądro ; ponieważ jądro homomorfizmu każdego pierścienia jest ideałem dwustronnym, możemy stwierdzić, że ideały dwustronne są właśnie jądrami homomorfizmów pierścieniowych.

Bliski związek między homomorfizmami pierścienia, jądrami i pierścieniami ilorazowymi można podsumować następująco: homomorfizmy pierścienia zdefiniowane na R / I są zasadniczo takie same jak homomorfizmy pierścienia zdefiniowane na R, które znikają (tj. są zerowe) na I . Dokładniej, przy danym dwustronnym ideale I w R i pierścieniowym homomorfizmie f  : R → S , którego jądro zawiera I , istnieje dokładnie jeden pierścieniowy homomorfizm g  : R / I → S gdzie gp = f (gdzie p jest naturalnym ilorazem mapa). Mapa g jest tutaj dana przez dobrze zdefiniowaną regułę g ([ a ]) = f ( a ) dla wszystkich a w R . Rzeczywiście, ta uniwersalna właściwość może być wykorzystana do zdefiniowania pierścieni ilorazu i ich naturalnych map ilorazu.

W konsekwencji powyższego otrzymujemy podstawowe stwierdzenie: każdy homomorfizm pierścienia f  : R → S indukuje izomorfizm pierścienia między pierścieniem ilorazowym R / ker( f ) a obrazem im( f ). (Zobacz także: podstawowe twierdzenie o homomorfizmach .)

Ideały R i R / I są ściśle powiązane: mapa ilorazu naturalnego zapewnia bijekcję między dwustronnymi ideałami R, które zawierają I, a dwustronnymi ideałami R / I (to samo dotyczy lewego i prawego ideały). Ten związek między dwustronnym ideałem rozciąga się na związek między odpowiednimi pierścieniami ilorazowymi: jeśli M jest dwustronnym ideałem w R zawierającym I , i zapisujemy M / I dla odpowiadającego ideału w R / I (tj. M / I = p ( M ) ), pierścienie ilorazowe R / M i ( R / I ) / ( M / I ) są naturalnie izomorficzne poprzez (dobrze zdefiniowane!) mapowanie a + M ↦ ( a + I ) + M / I .

Następujące fakty dowodzą użyteczne w przemiennej Algebra i geometrii algebraicznej : dla R ≠ {0} przemienne, R / I to pole , wtedy i tylko wtedy, że jest maksymalny idealna , gdy R / I jest integralną domeny , wtedy i tylko wtedy, że jest ideałem . Szereg podobnych stwierdzeń wiąże własności idealnego I z własnościami pierścienia ilorazowego R / I .

Chińskiego twierdzenie pozostałość wskazuje, że w przypadku idealnym , że to ostrze (lub równoważnie produktu) parami względnie pierwsze idei , że ₁ , ..., I _k , wtedy pierścień iloraz R / I jest izomorficzny w produkcie ilorazu pierścienie R / I _n , n = 1, ..., k .

Do algebr nad pierścieniem

Asocjacyjny Algebra na pierścienia przemiennego R jest samego pierścienia. Jeśli I jest ideałem w  A (zamknięty pod R -mnożeniem), to A  /  I dziedziczy strukturę algebry po  R i jest algebrą ilorazu .  

Zobacz też

• Powiązany pierścień stopniowany
• Pole pozostałości
• Twierdzenie Goldiego
• Moduł ilorazowy

Uwagi

Dalsze referencje

• F. Kasch (1978) Moduln und Ringe , przekład DAR Wallace (1982) Modules and Rings , Academic Press , s. 33.
• Neal H. McCoy (1948) Rings and Ideas , §13 Pierścienie klas pozostałych, strona 61, Carus Mathematical Monographs #8, Mathematical Association of America .
• Józefa Rotmana (1998). Teoria Galois (wydanie drugie) . Skoczek. s. 21–3. Numer ISBN 0-387-98541-7.
• BL van der Waerden (1970) Algebra , przekład Freda Bluma i Johna R. Schulenbergera, Frederick Ungar Publishing, Nowy Jork. Patrz rozdział 3.5, „Ideały. Pierścienie klasy pozostałości”, strony 47 do 51.

Linki zewnętrzne

• „Pierścień ilorazu” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Ideały i pierścienie czynnikowe z Abstrakcyjnej algebry online Johna Beachy'a