Funkcja wymierna - Rational function

W matematyce , A racjonalne funkcja jest dowolną funkcją , która może być określona przez racjonalne frakcję , która stanowi ułamek algebraiczna taki sposób, że zarówno licznik i mianownik są wielomianów . Te współczynniki wielomianów nie muszą być liczbami wymiernymi ; mogą być podjęte w dowolnym polu K . W tym przypadku mówi się o funkcji wymiernej i ułamku wymiernym nad K . Wartości zmiennych mogą być przyjmowane w dowolnym polu L zawierającym K. Wtedy dziedziną funkcji jest zbiór wartości zmiennych, dla których mianownik nie jest zerem, a kodziedziną jest L .

Zestaw funkcji wymiernych nad polem K jest pole, pole frakcji z pierścieniem z funkcje wielomianowe ponad K .

Definicje

Funkcja nazywana jest funkcją wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy można ją zapisać w postaci ${\displaystyle f(x)}$

${\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {P (x)} {Q (x)}}}$

gdzie i są wielomianowe Funkcje z i nie jest funkcja zerowa . Domeny o to zbiór wszystkich wartości dla których mianownik jest różny od zera. ${\displaystyle P\,}$${\displaystyle Q\,}$${\displaystyle x\,}$${\displaystyle Q\,}$${\displaystyle f\,}$${\displaystyle x\,}$${\displaystyle Q(x)\,}$

Jednakże, jeśli i mają niestały największy wspólny dzielnik wielomianu , to ustalając i wytwarzając funkcję wymierną ${\displaystyle \textstyle P}$${\displaystyle \textstyle Q}$ ${\ Displaystyle \ textstyle R}$${\ Displaystyle \ textstyle P = P_ {1} R}$${\ Displaystyle \ textstyle Q = Q_ {1}R}$

${\ Displaystyle f_ {1} (x) = {\ Frac {P_ {1} (x)} {Q_ {1} (x)}},}$

które mogą mieć większy domeny niż lub równa się w dziedzinie , że jest to powszechne użycie do identyfikacji i , to rozszerzenie „przez ciągłość” domenie do tej istocie, można określić racjonalnego frakcji jako równoważności klasa ułamków wielomianów, gdzie dwa ułamki i są uważane za równoważne, jeśli . W tym przypadku jest równoważne . ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x).}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f_{1}(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f_{1}(x).}$${\ Displaystyle {\ Frac {A (x)} {B (x)}}}$${\ Displaystyle {\ Frac {C (x)} {D (x)}}}$${\ Displaystyle A (x) D (x) = B (x) C (x)}$${\ Displaystyle {\ Frac {P (x)} {Q (x)}}}$${\displaystyle {\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}}$

Właściwa funkcja racjonalne jest funkcja wymierna, w której stopień stanowi mniej niż stopień i oba są prawdziwe wielomiany , nazwane przez analogię do odpowiedniej frakcji w . ${\displaystyle P(x)}$${\ Displaystyle Q (x)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

Stopień

Istnieje kilka nierównoważnych definicji stopnia funkcji wymiernej.

Najczęściej stopień funkcji wymiernej to maksimum stopni jej składowych wielomianów P i Q , gdy ułamek sprowadza się do najniższych wartości . Jeśli stopień f wynosi d , to równanie

${\displaystyle f(z)=w\,}$

ma d różne rozwiązania w z z wyjątkiem pewnych wartości w , zwanych wartościami krytycznymi , w których dwa lub więcej rozwiązań pokrywa się lub gdy pewne rozwiązanie jest odrzucane w nieskończoności (to znaczy, gdy stopień równania maleje po wyczyszczeniu mianownika ).

W przypadku współczynników zespolonych funkcją wymierną o stopniu pierwszym jest transformacja Möbiusa .

Stopień wykresu funkcji wymiernej jest stopień, jak zdefiniowano powyżej: jest to maksymalna stopnia liczniku jeden plus stopnia mianownika.

W niektórych kontekstach, na przykład w analizie asymptotycznej , stopień funkcji wymiernej jest różnicą między stopniami licznika i mianownika.

W syntezie sieci i analizie sieci funkcja wymierna stopnia drugiego (czyli stosunku dwóch wielomianów stopnia najwyżej dwóch) jest często nazywana a funkcja dwukwadratowa .

Przykłady

Przykłady funkcji wymiernych

Funkcja wymierna stopnia 3, z wykresem stopnia 3:${\ Displaystyle y = {\ Frac {x ^ {3} -2 x} {2 (x ^ {2}-5)}}}$

Funkcja wymierna stopnia 2, z wykresem stopnia 3:${\ Displaystyle y = {\ Frac {x ^ {2} -3 x-2} {x ^ {2} -4}}}$

Funkcja wymierna

${\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {x ^ {3}-2x} {2 (x ^ {2}-5)}}}$

nie jest zdefiniowany w

${\ Displaystyle x ^ {2} = 5 \ Leftright arrow x = \ pm {\ sqrt {5}}.}$

Asymptotycznie jest as${\displaystyle {\tfrac {x}{2}}}$${\displaystyle x\do \infty.}$

Funkcja wymierna

${\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {x ^ {2} +2} {x ^ {2} +1}}}$

jest definiowany dla wszystkich liczb rzeczywistych , ale nie dla wszystkich liczb zespolonych , ponieważ gdyby x było pierwiastkiem kwadratowym z (tj. jednostki urojonej lub jej ujemnej), to formalna ocena prowadziłaby do dzielenia przez zero: ${\ Displaystyle -1}$

${\ Displaystyle f (i) = {\ Frac {i ^ {2} +2} {i ^ {2} +1}} = {\ Frac {-1 + 2} {-1 + 1}} = {\ frak {1}{0}},}$

co jest niezdefiniowane.

Funkcja stała, taka jak f ( x ) = π, jest funkcją wymierną, ponieważ stałe są wielomianami. Sama funkcja jest racjonalne, chociaż wartość od f ( x ) jest nieuzasadnione dla wszystkich x .

Każda funkcja wielomianowa jest funkcją wymierną z funkcją A, której nie można zapisać w tej postaci, czyli nie jest funkcją wymierną. Jednak przymiotnik „irracjonalny” nie jest zwykle używany dla funkcji. ${\ Displaystyle f (x) = P (x)}$${\ Displaystyle Q (x) = 1.}$${\ Displaystyle f (x) = \ grzech (x)}$

Funkcja wymierna jest równa 1 dla wszystkich x z wyjątkiem 0, gdzie istnieje usuwalna osobliwość . Suma, iloczyn lub iloraz (z wyjątkiem dzielenia przez wielomian zerowy) dwóch funkcji wymiernych sama jest funkcją wymierną. Jednak proces redukcji do standardowej postaci może nieumyślnie skutkować usunięciem takich osobliwości, o ile nie zostanie zachowana ostrożność. Użycie definicji funkcji wymiernych jako klas równoważności pozwala obejść ten problem, ponieważ x / x jest równoważne 1/1. ${\ Displaystyle f (x) = {\ tfrac {x} {x}}}$

Seria Taylora

Współczynniki szeregu Taylora dowolnej funkcji wymiernej spełniają liniową relację rekurencji , którą można znaleźć, przyrównując funkcję wymierną do szeregu Taylora o nieokreślonych współczynnikach i zbierając podobne terminy po wyczyszczeniu mianownika.

Na przykład,

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {x ^ {2}-x + 2}} = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k}.}$

Mnożenie przez mianownik i rozdzielanie,

${\ Displaystyle 1 = (x ^ {2} - x + 2) suma _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k}}$

${\ Displaystyle 1 = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k + 2} - \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ { k+1}+2\suma _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

Po dostosowaniu indeksów sum tak, aby uzyskać te same potęgi x , otrzymujemy

${\ Displaystyle 1 = \ suma _ {k = 2} ^ {\ infty} a_ {k-2} x ^ {k} - \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} a_ {k-1} x ^{k}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

Łączenie podobnych terminów daje

${\ Displaystyle 1 = 2a_ {0}+ (2a_ {1}-a_ {0}) x + \ suma _ {k = 2} ^ {\ infty} (a_ {k-2} -a_ {k-1} + 2a_{k})x^{k}.}$

Ponieważ dotyczy to wszystkich x w promieniu zbieżności pierwotnego szeregu Taylora, możemy obliczyć w następujący sposób. Ponieważ wyraz stały po lewej stronie musi być równy wyrazowi stałemu po prawej stronie, wynika z tego, że

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2}}.}$

Następnie, ponieważ po lewej stronie nie ma potęg x , wszystkie współczynniki po prawej muszą wynosić zero, z czego wynika, że

${\displaystyle a_{1}={\frac{1}{4}}}$

${\ Displaystyle a_ {k} = {\ Frac {1} {2}} (a_ {k-1}-a_ {k-2}) \ quad {\ tekst {dla}} \ k \ geq 2.}$

I odwrotnie, każda sekwencja, która spełnia rekurencję liniową, określa funkcję wymierną, gdy jest używana jako współczynniki szeregu Taylora. Jest to przydatne przy rozwiązywaniu takich rekurencji, ponieważ używając rozkładu na ułamki cząstkowe możemy zapisać dowolną właściwą funkcję wymierną jako sumę czynników postaci 1 / ( ax + b ) i rozwinąć je jako szereg geometryczny , dając wyraźny wzór na Taylora współczynniki; jest to metoda generowania funkcji .

Algebra abstrakcyjna i pojęcie geometryczne

W algebry abstrakcyjnej pojęcie wielomianu jest poszerzona wyrażeń formalnych, w których współczynniki wielomianu można zaczerpnąć z każdej dziedziny . W tym ustawieniu danego pola F niektóre nieokreślone X , A racjonalne ekspresja jest każdy element dziedzinie frakcji o wielomianu pierścienia F [ X ]. Każde wyrażenie wymierne można zapisać jako iloraz dwóch wielomianów P / Q z Q ≠ 0, chociaż ta reprezentacja nie jest unikalna. P / Q jest równoważne R / S dla wielomianów P , Q , R i S , gdy PS = QR . Jednakże, ponieważ F [ X ] jest unikalną dziedziną faktoryzacji , istnieje unikalna reprezentacja dla każdego wymiernego wyrażenia P / Q z wielomianami P i Q o najniższym stopniu i Q wybranymi jako moniczne . Jest to podobne do tego, jak ułamek liczb całkowitych można zawsze zapisać jednoznacznie w najniższych kategoriach, usuwając wspólne czynniki.

Pole wyrażeń wymiernych oznaczamy F ( X ). Mówi się, że to pole jest generowane (jako pole) nad F przez ( element transcendentalny ) X , ponieważ F ( X ) nie zawiera żadnego właściwego podpola zawierającego zarówno F, jak i element X .

Złożone funkcje wymierne

• Julia zestawy do map wymiernych
• 

  ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {az ^ {5} + z ^ {3} + bz}}}$

• 

  ${\displaystyle {\frac {1}{z^{3}+z(-3-3i)}}}$

• 

  ${\ Displaystyle {\ Frac {Z ^ {2} -0,2 + 0,7i} {Z ^ {2} + 0,917}}}$

• 

  ${\ Displaystyle {\ Frac {z ^ {2}} {z ^ {9} -z + 0,025}}}$

W analizie złożonej funkcja wymierna

${\ Displaystyle f (z) = {\ Frac {P (z)} {Q (z)}}}$

jest to stosunek dwóch wielomianów z złożonych współczynników, w których Q nie oznacza zera i wielomian P i Q mają wspólnego czynnika (zapobiega f przyjmując wartość nieokreśloną 0/0).

Dziedziną f jest zbiorem liczb zespolonych takim, że a jego zakres jest zbiorem liczb zespolonych w takim, że${\ Displaystyle Q (z) \ neq 0,}$${\ Displaystyle P (z) \ neq wQ (z).}$

Każdą funkcję wymierną można naturalnie rozszerzyć do funkcji, której dziedziną i zakresem jest cała sfera Riemanna ( złożona linia rzutowa ).

Funkcje wymierne są reprezentatywnymi przykładami funkcji meromorficznych .

Iteracja funkcji wymiernych (map) na sferze Riemanna tworzy dyskretne układy dynamiczne .

Pojęcie funkcji wymiernej na rozmaitości algebraicznej

Podobnie jak wielomiany , wyrażenia wymierne można również uogólnić na n nieokreślonych X ₁ ,..., X _n , biorąc pole ułamków F [ X ₁ ,..., X _n ], które jest oznaczone przez F ( X ₁ , ..., x _n ).

Rozszerzona wersja abstrakcyjnej idei funkcji wymiernej jest stosowana w geometrii algebraicznej. Tam pole funkcja algebraiczna odmiany V powstaje w zakresie ułamków pierścienia współrzędnych o V (bardziej precyzyjnie mówi, o Zariski gęsty afinicznej zbiór otwarty w V ). Jego elementy f są uważane za funkcje regularne w sensie geometrii algebraicznej na niepustych zbiorach otwartych U , a także mogą być postrzegane jako morfizmy linii rzutowej .

Aplikacje

Funkcje wymierne są używane w analizie numerycznej do interpolacji i aproksymacji funkcji, na przykład aproksymacje Padé wprowadzone przez Henri Padé . Przybliżenia w kategoriach funkcji wymiernych dobrze nadają się do systemów algebry komputerowej i innego oprogramowania numerycznego . Podobnie jak wielomiany, mogą być oceniane bezpośrednio, a jednocześnie wyrażają bardziej zróżnicowane zachowanie niż wielomiany.

Funkcje wymierne służą do przybliżania lub modelowania bardziej złożonych równań w nauce i inżynierii, w tym pól i sił w fizyce, spektroskopii w chemii analitycznej, kinetyki enzymów w biochemii, obwodów elektronicznych, aerodynamiki, stężeń leków in vivo, funkcji falowych dla atomów i cząsteczek, optyki oraz fotografię w celu poprawy rozdzielczości obrazu, akustyki i dźwięku.

W przetwarzaniu sygnału The Laplace'a (w systemie ciągłym) lub transformacja z (w systemach dyskretnych) od odpowiedzi impulsowych z powszechnie używanych układów stacjonarnego liniowych (filtrach) o nieskończonej odpowiedzi impulsowej jest racjonalne funkcje ponad liczb zespolonych .

Zobacz też

• Pole ułamków
• Rozkład częściowy frakcji
• Ułamki częściowe w całkowaniu
• Pole funkcyjne rozmaitości algebraicznej
• Ułamki algebraiczne  – uogólnienie funkcji wymiernych pozwalające na wyciągnięcie pierwiastków całkowitych

Bibliografia

• „Funkcja wymierna” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Prasa, WH; Teukolski SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), „Sekcja 3.4. Racjonalna interpolacja funkcji i ekstrapolacja” , Przepisy numeryczne: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

Zewnętrzne linki

• Dynamiczna wizualizacja funkcji wymiernych za pomocą JSXGraph