Iloraz Rayleigha w analizie drgań - Rayleigh's quotient in vibrations analysis

Przez iloraz Rayleigha oznacza szybką metodę szacowania naturalną częstotliwość wielorurowy stopień swobody, z systemu wibracyjnej, w której masa i macierzy sztywności są znane.

Wartością własną problemem dla ogólnego systemu formie

${\ Displaystyle M \, {\ ddot {\ textbf {q}}} (t) + C \, {\ kropka {\ textbf {q}}} (t) + K \, {\ textbf {q}} ( t)={\textbf {Q}}(t)}$

przy braku tłumienia i sił zewnętrznych zmniejsza się do

${\ Displaystyle M \, {\ ddot {\ textbf {q}}} (t) + K \, {\ textbf {q}} (t) = 0}$

Poprzednie równanie można zapisać również jako

${\ Displaystyle K \ {\ textbf {u}} = \ lambda \ M \ {\ textbf {u}}}$

gdzie , w którym reprezentuje częstotliwość drgań własnych, M i K są odpowiednio rzeczywistymi dodatnimi symetrycznymi macierzami masy i sztywności. ${\ Displaystyle \ lambda = \ omega ^ {2}}$${\ Displaystyle \ omega}$

Dla n -degree-of swobody systemie równanie n rozwiązania , które spełniają równanie ${\ Displaystyle \ lambda _ {m}}$${\ Displaystyle {\ textbf {u}} _ {m}}$

${\ Displaystyle K \, {\ textbf {u}} _ {m} = \ lambda _ {m} \, M \, {\ textbf {u}} _ {m}}$

Mnożąc obie strony równania przez i dzieląc przez skalar , można wyrazić problem wartości własnej w następujący sposób: ${\ Displaystyle {\ textbf {u}} _ {m} ^ {T}}$${\ Displaystyle {\ textbf {u}} _ {m} ^ {T} \ M \ {\ textbf {u}} _ {m}}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {m} = \ omega _ {m} ^ {2} = {\ frac {{\ textbf {u}} _ {m} ^ {T} \ K \ {\ textbf {u }}_{m}}{{\textbf {u}}_{m}^{T}\,M\,{\textbf {u}}_{m}}}}$

dla m = 1,2,3,..., n .

W poprzednim równaniu można również zauważyć, że licznik jest proporcjonalny do energii potencjalnej, podczas gdy mianownik przedstawia miarę energii kinetycznej. Co więcej, równanie pozwala nam obliczyć częstotliwość drgań własnych tylko wtedy, gdy znany jest wektor własny (jak również każdy inny wektor przemieszczenia) . Do zainteresowań naukowych, jeżeli modalne wektory nie są znane, możemy powtórzyć proces z grup, lecz i zajmując miejsce i odpowiednio. W ten sposób otrzymujemy skalar , znany również jako iloraz Rayleigha: ${\ Displaystyle {\ textbf {u}} _ {m}}$${\ Displaystyle \ lambda = \ omega ^ {2}}$${\displaystyle {\textbf {u}}}$${\ Displaystyle \ lambda _ {m} = \ omega _ {m} ^ {2}}$${\ Displaystyle {\ textbf {u}} _ {m}}$${\ Displaystyle R ({\ textbf {u}})}$

${\ Displaystyle R ({\ textbf {u}}) = \ lambda = \ omega ^ {2} = {\ frac {{\ textbf {u}} ^ {T} \ K \ {\ textbf {u} }}{{\textbf {u}}^{T}\,M\,{\textbf {u}}}}}$

Dlatego iloraz Rayleigha jest skalarem, którego wartość zależy od wektora i można go obliczyć z dobrym przybliżeniem dla dowolnego wektora, o ile leży dość daleko od wektorów modalnych , i = 1,2,3,..., n . ${\displaystyle {\textbf {u}}}$${\displaystyle {\textbf {u}}}$${\ Displaystyle {\ textbf {u}} _ {i}}$

Ponieważ, czy można stwierdzić, że wektor różni się od wektora modalnego o niewielką wielkość pierwszego rzędu, poprawny wynik ilorazu Rayleigha będzie się różnił niewrażliwie od oszacowanego i dlatego ta metoda jest bardzo użyteczna. Dobrym sposobem oszacowania najniższego wektora modalnego , który ogólnie działa dobrze dla większości konstrukcji (nawet jeśli nie jest gwarantowany), jest założenie równego przemieszczenia statycznego od przyłożonej siły, która ma taki sam względny rozkład składników macierzy mas diagonalnych. To ostatnie można wyjaśnić za pomocą następującego przykładu 3-DOF. ${\displaystyle {\textbf {u}}}$${\ Displaystyle {\ textbf {u}} _ {m}}$${\displaystyle (u_{1})}$${\displaystyle (u_{1})}$

Przykład – 3DOF

Jako przykład możemy rozważyć układ o 3 stopniach swobody, w którym ich macierze masy i sztywności są znane w następujący sposób:

${\ Displaystyle M = {\ zacząć {pmatrix} 1 i 0 i 0 \ \ 0 i 1 i 0 \ \ 0 i 0 i 3 \ koniec {pmatrix}} \; \; K = {\ zacząć {pmatrix} 3 i -1 i 0 \ \ -1 i 3 i 2 \ \ 0 i -2 i 2 \end{pmacierz}}}$

Aby uzyskać oszacowanie najniższej częstotliwości drgań własnych, wybieramy próbny wektor przemieszczenia statycznego otrzymanego przez obciążenie układu siłą proporcjonalną do mas:

${\ Displaystyle {\ textbf {F}} = k [m_ {1} \ m_ {2} \ m {3}] ^ {T} = 1 [1 \ 1 \, 3] ^ {T}}$

W ten sposób wektor próbny stanie się

${\ Displaystyle {\ textbf {u}} = K ^ {-1} {\ textbf {F}} = [2,5; 6,5; 8]}$

które pozwalają nam obliczyć iloraz Rayleigha:

${\ Displaystyle R = {\ Frac {{\ textbf {u}} ^ {T} \ K \ {\ textbf {u}}} {{\ textbf {u}} ^ {T} \ M \, {\textbf {u}}}}=\cdots =0.137214}$

Zatem najniższa częstotliwość drgań własnych obliczona za pomocą ilorazu Rayleigha wynosi:

${\ Displaystyle w_ {\ tekst {Ray}} = 0,370424}$

Korzystanie z narzędzia obliczeniowego jest dość szybkie, aby sprawdzić, jak bardzo różni się od „prawdziwego”. W tym przypadku za pomocą MATLAB obliczono, że najniższa częstotliwość drgań własnych to: co doprowadziło do błędu w zastosowaniu przybliżenia Rayleigha, co jest wynikiem godnym uwagi. ${\ Displaystyle w_ {\ tekst {rzeczywisty}} = 0,369308}$${\ Displaystyle 0.302315\%}$

Przykład pokazuje, w jaki sposób iloraz Rayleigha jest w stanie uzyskać dokładne oszacowanie najniższej częstotliwości drgań własnych. Praktyka używania statycznego wektora przemieszczenia jako wektora próbnego jest słuszna, ponieważ statyczny wektor przemieszczenia ma tendencję do przypominania najniższego modu drgań.

Bibliografia