System reakcyjno-dyfuzyjny - Reaction–diffusion system

Symulacja dwóch wirtualnych związków chemicznych reagujących i dyfundujących na torusie przy użyciu modelu Graya-Scotta

Systemy reakcji-dyfuzji to modele matematyczne, które odpowiadają kilku zjawiskom fizycznym. Najczęstszą z nich jest zmiana w czasie i przestrzeni stężenia jednej lub więcej substancji chemicznych: lokalne reakcje chemiczne, w których substancje przekształcają się w siebie, oraz dyfuzja, która powoduje, że substancje rozchodzą się po powierzchni w przestrzeni.

Systemy reakcji-dyfuzji są naturalnie stosowane w chemii . Jednak system może również opisywać procesy dynamiczne o charakterze niechemicznym. Przykłady można znaleźć w biologii , geologii i fizyce (teoria dyfuzji neutronów) i ekologii . Matematycznie układy reakcji-dyfuzji przyjmują postać półliniowych parabolicznych równań różniczkowych cząstkowych . Mogą być reprezentowane w formie ogólnej

gdzie P ( x , t ) oznacza brak wektorach, D jest macierzą diagonalną o współczynnikach dyfuzji , a R stanowi wszystkich lokalnych reakcjach. Rozwiązania równań reakcji i dyfuzji wykazują szeroki zakres zachowań, w tym powstawanie fal biegnących i zjawisk falopodobnych, a także innych samoorganizujących się wzorców, takich jak paski, sześciokąty lub bardziej skomplikowane struktury, takie jak rozpraszające solitony . Takie wzorce nazwano „ wzorcami Turinga ”. Każda funkcja, dla której zachodzi równanie różniczkowe reakcji dyfuzji, reprezentuje w rzeczywistości zmienną stężenia .

Jednoskładnikowe równania reakcji-dyfuzji

Najprostsze równanie reakcji-dyfuzji występuje w jednym wymiarze przestrzennym w geometrii płaskiej,

jest również określany jako równanie Kołmogorowa-Pietrowskiego-Piskunowa . Jeśli czas reakcji znika, równanie reprezentuje czysty proces dyfuzji. Odpowiednie równanie to drugie prawo Ficka . Wybór R ( u ) = u (1 − u ) daje równanie Fishera, które było pierwotnie używane do opisu rozprzestrzeniania się populacji biologicznych , równanie Newella-Whiteheada-Segla z R ( u ) = u (1 − u 2 ) do opisu Konwekcja Rayleigha-Bénarda , bardziej ogólne równanie Zeldovicha z R ( u ) = u (1 - u )( u - α ) i 0 < α < 1 , które pojawia się w teorii spalania , a jego szczególny przypadek zdegenerowany z R ( u ) = u 2u 3, które czasami jest również określane jako równanie Zeldovicha.

Dynamika układów jednoskładnikowych podlega pewnym ograniczeniom, ponieważ równanie ewolucji można zapisać również w postaci wariacyjnej

i dlatego opisuje trwały spadek „darmowej energii” podanej przez funkcjonał

z potencjałem V ( u ) takim, że R ( u ) = d V ( u )/d U.

Rozwiązanie czoła fali bieżącej dla równania Fishera.

W systemach z więcej niż jednym stacjonarnym rozwiązaniem jednorodnym typowym rozwiązaniem są fronty jezdne łączące stany jednorodne. Rozwiązania te poruszają się ze stałą prędkością bez zmiany kształtu i mają postać u ( x , t ) = û ( ξ ) gdzie ξ = xct , gdzie c jest prędkością fali biegnącej. Należy zauważyć, że podczas gdy fale biegnące są strukturami ogólnie stabilnymi, wszystkie niemonotoniczne rozwiązania stacjonarne (np. zlokalizowane domeny złożone z pary front-antyfront) są niestabilne. Dla c = 0 istnieje prosty dowód na to stwierdzenie: jeśli u 0 ( x ) jest rozwiązaniem stacjonarnym, a u = u 0 ( x ) + ũ ( x , t ) jest rozwiązaniem nieskończenie mało zaburzonym, analiza stabilności liniowej daje równanie

Z ansatz ũ = ψ ( x )exp(− λt ) dochodzimy do problemu wartości własnej

z rodzaju Schrödingera gdzie ujemne wartości własne spowodować niestabilność roztworu. Ze względu na niezmienność translacyjną ψ = ∂ x u 0 ( x ) jest neutralną funkcją własną z wartością własną λ = 0 , a wszystkie inne funkcje własne mogą być sortowane według rosnącej liczby węzłów, a wielkość odpowiadającej rzeczywistej wartości własnej wzrasta monotonicznie z liczba zer. Funkcja własna ψ = ∂ x u 0 ( x ) powinna mieć co najmniej jedno zero, a dla niemonotonicznego rozwiązania stacjonarnego odpowiadająca jej wartość własna λ = 0 nie może być najniższa, co sugeruje niestabilność.

Aby wyznaczyć prędkość c poruszającego się czoła, można przejść do ruchomego układu współrzędnych i przyjrzeć się rozwiązaniom stacjonarnym:

Równanie to ma ładny mechaniczny analog jako ruch masy D o położeniu û w ciągu „czasu” ξ pod działaniem siły R o współczynniku tłumienia c, co pozwala na dość poglądowy dostęp do konstrukcji różnych typów rozwiązań oraz określenie c .

Przechodząc od jednego do większej liczby wymiarów przestrzennych, nadal można zastosować wiele stwierdzeń z systemów jednowymiarowych. Płaskie lub zakrzywione fronty fal są typowymi strukturami, a nowy efekt pojawia się, gdy lokalna prędkość zakrzywionego frontu staje się zależna od lokalnego promienia krzywizny (można to zobaczyć przechodząc do współrzędnych biegunowych ). Zjawisko to prowadzi do tak zwanej niestabilności spowodowanej krzywizną.

Dwuskładnikowe równania reakcji-dyfuzji

Systemy dwuskładnikowe pozwalają na znacznie większy zakres możliwych zjawisk niż ich jednoskładnikowe odpowiedniki. Ważną ideą, którą po raz pierwszy zaproponował Alan Turing, jest to, że stan, który jest stabilny w układzie lokalnym, może stać się niestabilny w obecności dyfuzji .

Analiza stabilności liniowej pokazuje jednak, że podczas linearyzacji ogólnego układu dwuskładnikowego

fali płaskiej zaburzeń

stacjonarnego jednorodnego roztworu zadowoli

Turinga pomysł można zrealizować tylko w czterech klas równoważności systemów charakteryzujących się znakami Jacobiego R ' funkcji reakcji. W szczególności, jeśli skończony wektor falowy k ma być najbardziej niestabilny, jakobian musi mieć znaki

Ta klasa systemów nazywana jest układem aktywator-inhibitor od swojego pierwszego przedstawiciela: w pobliżu stanu podstawowego jeden składnik stymuluje produkcję obu składników, a drugi hamuje ich wzrost. Jego najwybitniejszym przedstawicielem jest równanie FitzHugha-Nagumo

gdzie f  ( u ) = λuu 3κ opisuje, w jaki sposób potencjał czynnościowy przemieszcza się przez nerw. Tutaj d u , d v , τ , Ď i λ są dodatnimi stałymi.

Gdy układ aktywator-inhibitor ulega zmianie parametrów, można przejść z warunków, w których jednorodny stan podstawowy jest stabilny, do warunków, w których jest on niestabilny liniowo. Odpowiednia bifurkacja może być albo bifurkacją Hopfa do globalnie oscylującego stanu jednorodnego z dominującą liczbą falową k = 0, albo bifurkacją Turinga do globalnie ukształtowanego stanu z dominującą skończoną liczbą falową. Ten ostatni w dwóch wymiarach przestrzennych zwykle prowadzi do wzorów paskowych lub sześciokątnych.

Dla przykładu Fitzhugh-Nagumo neutralne krzywe stabilności oznaczające granicę liniowo stabilnego regionu dla bifurkacji Turinga i Hopfa są podane przez

Jeśli bifurkacja jest podkrytyczna, w obszarze histeretycznym , w którym wzór współistnieje ze stanem podstawowym, można zaobserwować często zlokalizowane struktury ( dyssypacyjne solitony ) . Inne często spotykane struktury obejmują ciągi impulsów (znane również jako okresowe fale biegnące ), fale spiralne i wzorce docelowe. Te trzy typy rozwiązań są również ogólnymi cechami dwu- (lub więcej) składowych równań reakcji-dyfuzji, w których lokalna dynamika ma stabilny cykl graniczny

Trój- i wieloskładnikowe równania reakcji-dyfuzji

Dla różnych układów zaproponowano równania reakcji-dyfuzji zawierające więcej niż dwa składniki, np. reakcję Biełousowa-Żabotyńskiego , dla układów krzepnięcia krwi lub płaskich układów wyładowań gazowych .

Wiadomo, że układy z większą liczbą elementów pozwalają na występowanie różnorodnych zjawisk niemożliwych w układach z jednym lub dwoma elementami (np. stabilnie działające impulsy w więcej niż jednym wymiarze przestrzennym bez globalnego sprzężenia zwrotnego). Wprowadzenie i systematyczny przegląd możliwych zjawisk w zależności od właściwości systemu bazowego podano w.

Zastosowania i uniwersalność

Ostatnio duże zainteresowanie wzbudziły systemy reakcji-dyfuzji jako prototypowy model tworzenia wzorów . Wyżej wymienione wzorce (fronty, spirale, tarcze, heksagony, paski i dyssypatywne solitony) można znaleźć w różnych typach układów reakcyjno-dyfuzyjnych pomimo dużych rozbieżności np. w lokalnych warunkach reakcji. Argumentowano również, że procesy reakcji-dyfuzji są istotną podstawą procesów związanych z morfogenezą w biologii i mogą być nawet związane z sierścią zwierząt i pigmentacją skóry. Inne zastosowania równań reakcji-dyfuzji obejmują inwazje ekologiczne, rozprzestrzenianie się epidemii, wzrost guza i gojenie się ran. Innym powodem zainteresowania układami reakcyjno-dyfuzyjnymi jest to, że chociaż są to nieliniowe równania różniczkowe cząstkowe, często istnieją możliwości ich obróbki analitycznej.

Eksperymenty

Dobrze kontrolowane eksperymenty w układach reakcji i dyfuzji chemicznej były do ​​tej pory realizowane na trzy sposoby. Po pierwsze, można zastosować reaktory żelowe lub wypełnione kapilary. Po drugie, zbadano impulsy temperatury na powierzchniach katalitycznych . Po trzecie, propagację biegnących impulsów nerwowych modeluje się za pomocą systemów reakcyjno-dyfuzyjnych.

Poza tymi ogólnymi przykładami okazało się, że w odpowiednich okolicznościach systemy transportu elektrycznego, takie jak plazma lub półprzewodniki, można opisać w podejściu reakcji-dyfuzji. Dla tych układów przeprowadzono różne eksperymenty dotyczące tworzenia wzorów.

Zabiegi numeryczne

Układ reakcja-dyfuzja można rozwiązać za pomocą metod matematyki numerycznej . W literaturze naukowej istnieje kilka metod numerycznych. Zaproponowano również metody rozwiązywania numerycznych dla złożonych geometrii . W najwyższym stopniu szczegółowo układy reakcji-dyfuzji są opisane za pomocą narzędzi symulacyjnych opartych na cząstkach, takich jak SRSim lub Ready, które wykorzystują na przykład odwracalną dynamikę reakcji cząstek oddziałujących.

Zobacz też

Przykłady

Bibliografia

Linki zewnętrzne