Prawdziwa analiza - Real analysis

Pierwsze cztery sumy cząstkowe szeregu Fouriera dla fali prostokątnej . Szeregi Fouriera są ważnym narzędziem analizy rzeczywistej.

W matematyce , prawdziwa analiza jest gałęzią analizy matematycznej , która bada zachowania liczb rzeczywistych , ciągów i serii liczb rzeczywistych i funkcji rzeczywistych . Niektóre szczególne właściwości ciągów i funkcji o wartościach rzeczywistych, które badają analizy rzeczywiste obejmują zbieżność , granice , ciągłość , gładkość , różniczkowalność i całkowalność .

Analiza rzeczywista różni się od analizy złożonej , która zajmuje się badaniem liczb zespolonych i ich funkcji.

Zakres

Budowa liczb rzeczywistych

Twierdzenia analizy rzeczywistej opierają się na własnościach systemu liczb rzeczywistych , które należy ustalić. System liczb rzeczywistych składa się z niepoliczalnego zbioru ( ) wraz z dwiema operacjami binarnymi oznaczonymi + i oraz z porządku oznaczonego < . Operacje czynią z liczb rzeczywistych pole , a wraz z porządkiem pole uporządkowane . System liczb rzeczywistych jest unikalnym kompletnym polem uporządkowanym w tym sensie, że każde inne kompletne pole uporządkowane jest z nim izomorficzne . Intuicyjnie kompletność oznacza, że ​​nie ma „luk” w liczbach rzeczywistych. Własność ta odróżnia liczby rzeczywiste od innych pól uporządkowanych (np. liczb wymiernych ) i jest krytyczna dla udowodnienia kilku kluczowych właściwości funkcji liczb rzeczywistych. Kompletność liczb rzeczywistych jest często dogodnie wyrażana jako właściwość najmniejszej górnej granicy (patrz poniżej).

Porządkuj własności liczb rzeczywistych

Liczby rzeczywiste mają różne własności teoretyczno-sieciowe , których nie ma w liczbach zespolonych. Również liczby rzeczywiste tworzą uporządkowane pole , w którym sumy i iloczyny liczb dodatnich są również dodatnie. Co więcej, uporządkowanie liczb rzeczywistych jest totalne , a liczby rzeczywiste mają najmniejszą własność ograniczenia górnego :

Każdy niepusty podzbiór, który ma górną granicę, ma najmniejszą górną granicę, która jest również liczbą rzeczywistą.

Te własności teorii rzędów prowadzą do szeregu podstawowych wyników analizy rzeczywistej, takich jak twierdzenie o zbieżności monotonicznej , twierdzenie o wartości pośredniej i twierdzenie o wartości średniej .

Jednak podczas gdy wyniki analizy rzeczywistej są podawane dla liczb rzeczywistych, wiele z tych wyników można uogólnić na inne obiekty matematyczne. W szczególności wiele idei w analizie funkcjonalnej i teorii operatorów uogólnia własności liczb rzeczywistych – takie uogólnienia obejmują teorie przestrzeni Riesza i operatorów dodatnich . Również matematyków pod rzeczywistych i urojonych części złożonych sekwencji lub oceny punktowej od operatora sekwencji.

Własności topologiczne liczb rzeczywistych

Wiele twierdzeń analizy rzeczywistej wynika z własności topologicznych osi liczb rzeczywistych. Własności porządkowe liczb rzeczywistych opisane powyżej są ściśle związane z tymi własnościami topologicznymi. Jako przestrzeń topologiczna , liczby rzeczywiste mają standardową topologię , która jest topologią rzędu indukowaną przez rząd . Alternatywnie, definiując funkcję metryki lub odległości za pomocą funkcji wartości bezwzględnej jako , liczby rzeczywiste stają się prototypowym przykładem przestrzeni metrycznej . Topologia indukowana przez metrykę okazuje się identyczna ze standardową topologią indukowaną przez zamówienie . Twierdzenia, takie jak twierdzenie o wartości pośredniej, które mają zasadniczo charakter topologiczny, często można dowieść w bardziej ogólnym układzie przestrzeni metrycznych lub topologicznych, a nie tylko w nich. Często takie dowody są krótsze lub prostsze w porównaniu z dowodami klasycznymi, które stosują metody bezpośrednie.

Sekwencje

Kolejność jest funkcją którego domena jest policzalny , uporządkowany zestawu. Za domenę zwykle przyjmuje się liczby naturalne , chociaż czasami wygodnie jest również rozważyć sekwencje dwukierunkowe indeksowane zbiorem wszystkich liczb całkowitych, w tym indeksów ujemnych.

W analizie rzeczywistej interesującym ciągiem o wartościach rzeczywistych , tutaj indeksowanym liczbami naturalnymi, jest mapa . Każdy jest określany jako termin (lub rzadziej element ) sekwencji. Sekwencja jest rzadko oznaczana jawnie jako funkcja; zamiast tego, zgodnie z konwencją, prawie zawsze jest zapisywana tak, jakby była uporządkowaną ∞-krotką, z pojedynczymi terminami lub ogólnym terminem ujętym w nawiasy:

Sekwencja, która dąży do granicy (tj. istnieje) jest nazywana zbieżną ; w przeciwnym razie jest rozbieżne . ( Szczegóły znajdziesz w rozdziale o limitach i zbieżności. ) Sekwencja o wartościach rzeczywistych jest ograniczona, jeśli istnieje taka, że dla wszystkich . Sekwencja o wartościach rzeczywistych jest monotonicznie rosnąca lub malejąca, jeśli
lub
odpowiednio. Jeśli któryś z nich jest spełniony, mówi się, że sekwencja jest monotoniczna . Monotoniczność jest ścisła, jeśli powiązane nierówności nadal utrzymują się lub są zastępowane przez < lub >.

Biorąc pod uwagę kolejność , kolejna sekwencja jest

podciąg od jeżeli dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich i jest ściśle rosnącym ciągiem liczb naturalnych.

Granice i konwergencja

Z grubsza mówiąc, granica to wartość, do której funkcja lub sekwencja „zbliża się”, gdy dane wejściowe lub indeks zbliżają się do pewnej wartości. (Wartość ta może zawierać symbole, gdy odnosi się do zachowania funkcji lub sekwencji, gdy zmienna rośnie lub maleje bez ograniczeń.) Idea limitu jest fundamentalna dla

rachunku różniczkowego (i ogólnie analizy matematycznej ) i jej formalna definicja jest z kolei używana zdefiniować pojęcia takie jak ciągłość , pochodne i całki . (W rzeczywistości badanie ograniczającego zachowania zostało wykorzystane jako cecha odróżniająca rachunek różniczkowy i analizę matematyczną od innych gałęzi matematyki).

Pojęcie granicy zostało nieformalnie wprowadzone dla funkcji przez Newtona i Leibniza pod koniec XVII wieku, aby zbudować rachunek nieskończenie mały . W przypadku sekwencji pojęcie to zostało wprowadzone przez Cauchy'ego i uściślone pod koniec XIX wieku przez Bolzano i Weierstrassa , którzy podali współczesną definicję ε-δ , która jest następująca.

Definicja. Niech będzie funkcją o wartościach rzeczywistych zdefiniowaną na

. Mówimy, że ma tendencję do jak podejść , albo że granica jak podejść jest , jeżeli dla każdego istnieje takie, że dla wszystkich , zakłada, że . Piszemy to symbolicznie jako
lub jak
Intuicyjnie, definicja ta może być pomyślana w następujący sposób: Mówimy, że jako , gdy przy danej dowolnej liczbie dodatniej , bez względu na to, jak małą, zawsze możemy znaleźć , takie, że możemy zagwarantować, że i są mniejsze niż od siebie, tak długo jak (w domenie ) jest liczbą rzeczywistą, która jest mniejsza niż oddalona od, ale różni się od . Celem ostatniego zastrzeżenia, które odpowiada warunkowi w definicji, jest zapewnienie, że nie oznacza to niczego o własnej wartości . Właściwie nawet nie musi być w domenie , aby istnieć.

W nieco innym, ale powiązanym kontekście, pojęcie granicy odnosi się do zachowania sekwencji, gdy staje się duża.

Definicja. Niech będzie ciągiem o wartościach rzeczywistych. Mówimy, że

zbiega się, jeśli dla każdego , istnieje liczba naturalna taka, która implikuje, że . Piszemy to symbolicznie jako
lub jak
jeśli nie zbiega się, mówimy, że
rozchodzi się .

Uogólniając do funkcji o wartościach rzeczywistych o zmiennej rzeczywistej, niewielkie modyfikacje tej definicji (wymiana sekwencji i okres według funkcji i wartości i liczb naturalnych i liczbami rzeczywistymi i , odpowiednio) daje definicji

limit jak wzrasta bez ograniczenia , zanotowane . Odwrócenie nierówności na daje odpowiednią definicję granicy jako zmniejsza się bez ograniczeń , .

Czasami przydatne jest stwierdzenie, że sekwencja jest zbieżna, nawet jeśli wartość, do której się zbiega, jest nieznana lub nieistotna. W takich przypadkach przydatna jest koncepcja sekwencji Cauchy'ego.

Definicja. Niech będzie ciągiem o wartościach rzeczywistych. Mówimy, że jest to ciąg Cauchy'ego, jeśli dla dowolnego , istnieje liczba naturalna taka, która implikuje, że .

Można pokazać, że ciąg o wartościach rzeczywistych jest Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny. Ta właściwość liczb rzeczywistych jest wyrażona przez stwierdzenie, że liczby rzeczywiste wyposażone w metrykę standardową , są pełną przestrzenią metryczną . Jednak w ogólnej przestrzeni metrycznej sekwencja Cauchy'ego nie musi być zbieżna.

Ponadto w przypadku ciągów o wartościach rzeczywistych, które są monotoniczne, można wykazać, że ciąg jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny.

Zbieżność jednostajna i punktowa dla ciągów funkcji

Oprócz ciągów liczb można również mówić o ciągach funkcji na , czyli nieskończonych, uporządkowanych rodzinach funkcji , oznaczonych , oraz ich własnościach zbieżności. Jednak w przypadku ciągów funkcji należy rozróżnić dwa rodzaje zbieżności, zwane zbieżnością punktową i zbieżnością jednostajną .

Z grubsza rzecz biorąc, punktowa zbieżność funkcji do funkcji granicznej , oznacza po prostu, że przy danym dowolnym , jako . Natomiast zbieżność jednostajna jest silniejszym typem zbieżności, w tym sensie, że jednostajnie zbieżny ciąg funkcji również zbiega się punktowo, ale nie odwrotnie. Uniform konwergencja wymaga członkowie rodziny funkcji , aby mieścić się w pewnym błędem z dla każdej wartości , gdy dla pewnej liczby całkowitej . Aby rodzina funkcji była jednolicie zbieżna, czasami oznaczana jako , taka wartość musi istnieć dla każdego danego, bez względu na to, jak małe. Intuicyjnie możemy zwizualizować tę sytuację, wyobrażając sobie, że dla wystarczająco dużego , wszystkie funkcje są zamknięte w „rurce” o szerokości około (tj. pomiędzy i ) dla każdej wartości w swojej domenie .

Rozróżnienie między zbieżnością punktową i jednostajną jest ważne, gdy pożądana jest zamiana kolejności dwóch operacji ograniczających (np. wzięcia granicy, pochodnej lub całki): aby wymiana była dobrze zachowana, wiele twierdzeń prawdziwej analizy wywołuje dla jednolitej zbieżności. Na przykład sekwencja funkcji ciągłych (patrz poniżej ) gwarantuje zbieżność do ciągłej funkcji granicznej, jeśli zbieżność jest jednorodna, podczas gdy funkcja graniczna może nie być ciągła, jeśli zbieżność jest tylko punktowa. Karlowi Weierstrassowi powszechnie przypisuje się jasne zdefiniowanie pojęcia jednorodnej konwergencji i pełne zbadanie jego implikacji.

Ścisłość

Zwartość to pojęcie z ogólnej topologii, które odgrywa ważną rolę w wielu twierdzeniach analizy rzeczywistej. Własność zwartości jest uogólnieniem pojęcia zbioru zamkniętego i ograniczonego . (W kontekście analizy rzeczywistej pojęcia te są równoważne: zbiór w przestrzeni euklidesowej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.) Krótko mówiąc, zbiór domknięty zawiera wszystkie swoje punkty brzegowe , podczas gdy zbiór jest ograniczony, jeżeli istnieje istnieje liczba rzeczywista taka, że ​​odległość między dowolnymi dwoma punktami zbioru jest mniejsza niż ta liczba. W programie zbiory, które są zamknięte i ograniczone, a zatem zwarte, obejmują zbiór pusty, dowolną skończoną liczbę punktów, przedziały domknięte i ich skończone sumy. Lista ta nie jest jednak wyczerpująca; na przykład zestaw jest zestawem kompaktowym; trójargumentowy zbiór Cantora jest kolejnym przykładem kompaktowego zestawu. Z drugiej strony zbiór nie jest zwarty, ponieważ jest ograniczony, ale nie jest zamknięty, ponieważ punkt graniczny 0 nie należy do zbioru. Zestaw również nie jest zwarty, ponieważ jest zamknięty, ale nie ograniczony.

Dla podzbiorów liczb rzeczywistych istnieje kilka równoważnych definicji zwartości.

Definicja. Zbiór jest zwarty, jeśli jest zamknięty i ograniczony.

Ta definicja odnosi się również do przestrzeni euklidesowej o dowolnym wymiarze skończonym , ale ogólnie nie obowiązuje dla przestrzeni metrycznych. Równoważność definicji z definicją zwartości opartą na podkrywkach, podana w dalszej części tego rozdziału, znana jest jako twierdzenie Heinego-Borela .

Bardziej ogólna definicja odnosząca się do wszystkich przestrzeni metrycznych wykorzystuje pojęcie podciągu (patrz wyżej).

Definicja. Zbiór w przestrzeni metrycznej jest zwarty, jeśli każda sekwencja w ma zbieżny podciąg.

Ta szczególna właściwość jest znana jako zwartość następcza . W , zbiór jest kolejno zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony, co czyni tę definicję równoważną z podaną powyżej. Zwartość następcza jest równoznaczna z definicją zwartości opartej na podkryciu dla przestrzeni metrycznych, ale nie dla przestrzeni topologicznych w ogóle.

Najbardziej ogólna definicja zwartości opiera się na pojęciu przekryć otwartych i podpokryć , które ma zastosowanie do przestrzeni topologicznych (a więc do przestrzeni metrycznych i jako przypadki szczególne). W skrócie, zbiór otwartych zbiorów jest uważany za otwartą okładkę zbioru, jeśli połączenie tych zbiorów jest nadzbiorem . Mówi się, że ta otwarta okładka ma skończoną okładkę, jeśli można znaleźć skończoną podzbiór, która również obejmuje .

Definicja. Zbiór w przestrzeni topologicznej jest zwarty, jeśli każda otwarta pokrywa ma skończoną podpokrywę.

Kompaktowe zestawy są dobrze zachowane w odniesieniu do właściwości takich jak zbieżność i ciągłość. Na przykład każda sekwencja Cauchy'ego w zwartej przestrzeni metrycznej jest zbieżna. Jako inny przykład, obraz zwartej przestrzeni metrycznej pod ciągłą mapą jest również zwarty.

Ciągłość

Funkcja ze zbioru liczb rzeczywistych dla liczb rzeczywistych może być przedstawiony za pomocą wykresu w kartezjańskim płaszczyzny ; taka funkcja jest ciągła, jeśli, z grubsza mówiąc, wykres jest pojedynczą nieprzerwaną krzywą bez „dziur” lub „skoków”.

Istnieje kilka sposobów, aby ta intuicja była matematycznie rygorystyczna. Można podać kilka definicji o różnych poziomach ogólności. W przypadkach, w których stosuje się dwie lub więcej definicji, łatwo okazuje się, że są one sobie równoważne , więc najwygodniejszą definicję można zastosować do określenia, czy dana funkcja jest ciągła, czy nie. W pierwszej definicji podanej poniżej funkcja zdefiniowana na niezdegenerowanym przedziale zbioru liczb rzeczywistych jest jej dziedziną. Niektóre możliwości obejmują , cały zbiór liczb rzeczywistych, przedział otwarty lub przedział domknięty Tutaj i są to odrębne liczby rzeczywiste, a w szczególności wykluczamy przypadek, gdy są puste lub składają się tylko z jednego punktu.

Definicja. Jeśli jest niezdegenerowanym przedziałem, mówimy, że jest ciągły w if . Mówimy, że jest to mapa ciągła, jeśli jest ciągła w każdym .

W przeciwieństwie do wymagań dotyczących posiadania granicy w punkcie , które nie ograniczają zachowania samego w sobie, następujące dwa warunki, oprócz istnienia , muszą również być spełnione, aby były ciągłe w : (i) musi być zdefiniowany w , tj. należy do domeny ; oraz (ii) jako . Definicja powyżej rzeczywiście odnosi się do dowolnej domeny , która nie zawiera pojedyncze punkt , lub równoważnie, gdzie każdy jest punkt granica od . Bardziej ogólna definicja mająca zastosowanie do domeny ogólnej jest następująca:

Definicja. Jeśli jest arbitralnym podzbiorem , mówimy, że jest ciągły w przypadku, gdy dla każdego istnieje takie, że dla wszystkich oznacza to , że . Mówimy, że jest to mapa ciągła, jeśli jest ciągła w każdym .

Konsekwencją tej definicji jest to, że jest trywialnie ciągła w każdym odosobnionym punkcie . To nieco nieintuicyjne leczenia izolowanych punktach niezbędne jest zapewnienie, że nasza definicja ciągłości dla funkcji na prostej rzeczywistej jest zgodne z najbardziej ogólnej definicji ciągłości pomiędzy mapami dla przestrzeni topologicznych (która zawiera przestrzenie metryczne i zwłaszcza w szczególnych przypadkach). Ta definicja, która wykracza poza zakres naszej dyskusji o rzeczywistej analizie, została podana poniżej dla kompletności.

Definicja. Jeśli i są przestrzenie topologiczne, mówimy, że jest ciągła na razie jest sąsiedztwo z w każdej dzielnicy od w . Mówimy, że jest to mapa ciągła, jeśli jest otwarta dla każdego otwartego w .

(Tu odnosi się do preimage z niedostatecznie ).

Jednolita ciągłość

Definicja. Jeśli jest to podzbiór liczb rzeczywistych , mówimy funkcja jest jednostajnie ciągła na razie, dla każdego , istnieje takie, że dla wszystkich , zakłada, że .

Jawnie, gdy funkcja jest jednostajnie ciągła na , wybór potrzebne do spełnienia definicji musi działać dla wszystkich lub dla danego . W przeciwieństwie do tego, gdy funkcja jest ciągła w każdym punkcie (lub mówi się, że jest ciągła na ), wybór może zależeć od obu i . W przeciwieństwie do prostej ciągłości, jednostajna ciągłość jest właściwością funkcji, która ma sens tylko w określonej dziedzinie; mówienie o jednolitej ciągłości w jednym punkcie nie ma sensu.

Na zwartym zestawie można łatwo wykazać, że wszystkie funkcje ciągłe są jednostajnie ciągłe. Jeśli jest ograniczonym niezwartym podzbiorem , to istnieje, że jest ciągły, ale nie jednostajnie ciągły. Rozważmy prosty przykład zdefiniowany przez . Wybierając punkty bliskie 0, zawsze możemy dokonać dowolnego pojedynczego wyboru , dla danego .

Absolutna ciągłość

Definicja. Niech będzie interwałem na linii rzeczywistej . Funkcja jest uważane za całkowicie ciągły na gdy dla każdej liczby dodatniej , jest liczbą dodatnią , takie, że gdy skończoną sekwencję parami rozłącznych podprzedziały z spełnia

następnie

Funkcje bezwzględnie ciągłe są ciągłe: rozważmy przypadek n = 1 w tej definicji. Zbiór wszystkich absolutnie ciągłych funkcji na I oznaczamy AC( I ). Ciągłość absolutna jest podstawowym pojęciem w teorii integracji Lebesgue'a, pozwalającym na sformułowanie uogólnionej wersji podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego, które ma zastosowanie do całki Lebesgue'a.

Różnicowanie

Pojęcie pochodnej funkcji lub różniczkowalności wywodzi się z koncepcji aproksymacji funkcji w pobliżu danego punktu za pomocą „najlepszego” przybliżenia liniowego. To przybliżenie, jeśli istnieje, jest unikalne i jest podane przez prostą styczną do funkcji w danym punkcie , a nachylenie prostej jest pochodną funkcji w .

Funkcja jest różniczkowalna, jeśli granica

istnieje. Ten limit jest znany jako pochodna w a funkcja ewentualnie określone tylko na podzbiorze , jest pochodną (lub pochodną funkcji ) o . Jeśli pochodna istnieje wszędzie, mówimy, że funkcja jest różniczkowalna .

Prostą konsekwencją definicji jest ciągła przy, jeśli jest tam różniczkowalna. Różniczkowalność jest zatem silniejszym warunkiem regularności (warunkiem opisującym „gładkość” funkcji) niż ciągłości i jest możliwe, że funkcja jest ciągła na całej linii rzeczywistej, ale nigdzie nie może być różniczkowalna (patrz nigdzie różniczkowalna funkcja ciągła Weierstrassa ). Można również dyskutować o istnieniu pochodnych wyższego rzędu, znajdując pochodną funkcji pochodnej i tak dalej.

Funkcje można klasyfikować według ich klasy różniczkowalności . Klasa (czasami wskazująca przedział stosowalności) składa się ze wszystkich funkcji ciągłych. Klasa składa się ze wszystkich funkcji różniczkowalnych, których pochodna jest ciągła; takie funkcje nazywane są ciągle różniczkowalne . Zatem funkcja jest dokładnie funkcją, której pochodna istnieje i jest klasy . Ogólnie rzecz biorąc, klasy można zdefiniować rekurencyjnie , deklarując, że są zbiorem wszystkich funkcji ciągłych i deklarując, że każda dodatnia liczba całkowita jest zbiorem wszystkich różniczkowalnych funkcji, których pochodna jest w . W szczególności jest zawarty w for every , a istnieją przykłady pokazujące, że to ograniczenie jest ścisłe. Klasa jest przecięciem zbiorów, które zmienia się na nieujemnych liczbach całkowitych, a elementy tej klasy są znane jako gładkie funkcje . Klasa składa się ze wszystkich funkcji analitycznych i jest ściśle zawarta w (patrz funkcja bump dla gładkiej funkcji, która nie jest analityczna).

Seria

Seria formalizuje nieprecyzyjne pojęcie sumy nieskończonego ciągu liczb. Pomysł, że przyjęcie sumy „nieskończonej” liczby terminów może prowadzić do skończonego wyniku, był sprzeczny z intuicją starożytnych Greków i doprowadził do sformułowania szeregu paradoksów przez Zenona i innych filozofów. Współczesne pojęcie przypisywania wartości do serii unika zajmowania się źle zdefiniowanym pojęciem dodawania „nieskończonej” liczby terminów. Zamiast tego rozważana jest skończona suma pierwszych członów ciągu, znana jako suma częściowa, a pojęcie granicy stosuje się do ciągu sum częściowych, gdy rośnie bez ograniczenia. Szeregowi przypisywana jest wartość tego limitu, jeśli istnieje.

Mając (nieskończony) ciąg , możemy zdefiniować skojarzoną serię jako formalny obiekt matematyczny , czasami po prostu zapisywany jako . Te cząstkowe sumy szeregu są numery . Szereg jest zbieżny, jeśli ciąg składający się z jego sum częściowych , jest zbieżny; w przeciwnym razie jest rozbieżne . Sumą szeregu zbieżnego jest definiowana jako liczba .

Słowo „suma” jest tu używane w sensie metaforycznym jako skrót określający granicę ciągu sum częściowych i nie powinno być interpretowane jako zwykłe „dodawanie” nieskończonej liczby terminów. Na przykład, w przeciwieństwie do zachowania sum skończonych, przegrupowanie terminów szeregu nieskończonego może skutkować zbieżnością do innej liczby ( dalszą dyskusję można znaleźć w artykule na temat twierdzenia o przegrupowaniu Riemanna ).

Przykładem szeregu zbieżnego jest szereg geometryczny, który stanowi podstawę jednego ze słynnych paradoksów Zenona :

Natomiast szereg harmoniczny jest znany od średniowiecza jako szereg rozbieżny:

(Tutaj „ ” jest jedynie konwencją zapisu wskazującą, że sumy częściowe szeregu rosną bez ograniczeń.)

Mówi się, że szereg jest zbieżny absolutnie, jeśli jest zbieżny. Szereg zbieżny, dla którego rozbieżności mówi się, że są zbieżne niebezwzględnie . Łatwo wykazać, że zbieżność bezwzględna szeregu implikuje jego zbieżność. Z drugiej strony przykładem szeregu, który jest zbieżny nieabsolutnie, jest:

Seria Taylora

Szereg Taylora funkcji rzeczywistej lub zespolonej ƒ ( x ), która jest nieskończenie różniczkowalna przy liczbie rzeczywistej lub zespolonej a jest szeregiem potęgowym

co można zapisać w bardziej zwartej notacji sigma jako

gdzie n ! oznacza silni z n a ƒ  ( n ) ( ) oznacza brak p pochodną o ƒ oceniano w punkcie a . Pochodna rzędu zero ƒ jest zdefiniowana jako sama ƒ i ( xa ) 0 i 0! oba są zdefiniowane jako 1. W przypadku, gdy a = 0 , szereg nazywany jest również szeregiem Maclaurina.

Szeregi Taylora f o punkcie a mogą być rozbieżne, zbieżne tylko w punkcie a , zbieżne dla wszystkich x takich, że (największe takie R, dla którego zbieżność jest gwarantowana, nazywa się promieniem zbieżności ) lub zbieżne na całej linii rzeczywistej. Nawet zbieżny szereg Taylora może być zbieżny do wartości innej niż wartość funkcji w tym punkcie. Jeżeli szereg Taylora w punkcie ma niezerowy promień zbieżności i sumuje się do funkcji na dysku zbieżności , to funkcja jest analityczna . Funkcje analityczne mają wiele podstawowych właściwości. W szczególności funkcja analityczna zmiennej rzeczywistej rozciąga się naturalnie na funkcję zmiennej złożonej. W ten sposób funkcja wykładnicza , logarytm , funkcje trygonometryczne i ich odwrotności zostają rozszerzone na funkcje zmiennej zespolonej.

Szeregi Fouriera

Szereg Fouriera rozkłada funkcje okresowe lub sygnały okresowe na sumę (prawdopodobnie nieskończonego) zbioru prostych funkcji oscylacyjnych, mianowicie sinusów i cosinusów (lub złożonych wykładników ). Badanie szeregu Fouriera zazwyczaj występuje i jest obsługiwana w obrębie gałęzi matematyki > Analiza matematyczna > analizy Fouriera .

Integracja

Całkowanie jest formalizacją problemu znalezienia obszaru ograniczonego krzywą i związanych z tym problemów określenia długości krzywej lub objętości zamkniętej przez powierzchnię. Podstawowa strategia rozwiązywania tego typu problemów znana była już starożytnym Grekom i Chińczykom i była znana jako metoda wyczerpania . Ogólnie rzecz biorąc, żądany obszar jest ograniczony odpowiednio od góry i od dołu przez coraz dokładniejsze opisywanie i wpisywanie przybliżeń wielokątnych, których dokładne obszary można obliczyć. Rozważając przybliżenia składające się z coraz większej ("nieskończonej") liczby mniejszych i mniejszych ("nieskończenie małych") elementów, można wywnioskować obszar ograniczony przez krzywą, ponieważ górna i dolna granica określone przez przybliżenia zbiegają się wokół wspólnego wartość.

Duch tej podstawowej strategii można łatwo dostrzec w definicji całki Riemanna, w której mówi się, że całka istnieje, jeśli górne i dolne sumy Riemanna (lub Darboux) zbiegają się do wspólnej wartości jako cieńsze i cieńsze prostokątne plastry („udoskonalenia”). ") są rozważane. Chociaż maszyna użyta do jej zdefiniowania jest znacznie bardziej skomplikowana w porównaniu do całki Riemanna, całka Lebesgue'a została zdefiniowana z myślą o podobnych podstawowych założeniach. W porównaniu z całką Riemanna, bardziej wyrafinowana całka Lebesgue'a umożliwia zdefiniowanie i obliczenie pola (lub długości, objętości itp.; ogólnie określanego jako „miara”) dla znacznie bardziej skomplikowanych i nieregularnych podzbiorów przestrzeni euklidesowej, chociaż nadal istnieją podzbiory „niemierzalne”, do których nie można przypisać obszaru.

Integracja Riemanna

Całka Riemanna jest zdefiniowana za pomocą sum Riemanna funkcji w odniesieniu do oznaczonych podziałów przedziału. Niech będzie przedziałem domkniętym linii rzeczywistej; następnie znakowana strefa z skończony Sekwencja

Powoduje to podział interwału na podprzedziały indeksowane przez , z których każdy jest „oznaczony” wyróżniającym się punktem . Dla funkcji ograniczony , możemy zdefiniować sumy Riemanna w odniesieniu do oznakowanego partycji jako

gdzie jest szerokość podprzedziału . Zatem każdy wyraz sumy jest polem prostokąta o wysokości równej wartości funkcji w wyróżnionym punkcie danego podprzedziału, a szerokości równej szerokości podprzedziału. Siatki takiej oznaczone partycji szerokość największej podprzedziału utworzonej przez partycji . Mówimy, że całka Riemanna z on jest, jeśli dla dowolnego istnieje taka, że ​​dla każdej oznaczonej partycji z siatką , mamy

Czasami jest to oznaczane . Gdy wybrane znaczniki podają maksymalną (odpowiednio minimalną) wartość każdego przedziału, suma Riemanna jest znana jako górna (odpowiednio dolna) suma Darboux . Funkcja jest całkowalna Darboux, jeśli można sprawić , by górna i dolna suma Darboux były arbitralnie blisko siebie dla wystarczająco małej siatki. Chociaż ta definicja nadaje całce Darbouxa wygląd szczególnego przypadku całki Riemanna, są one w rzeczywistości równoważne w tym sensie, że funkcja jest całkowalna Darboux wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowalna Riemanna, a wartości całki są równe. W rzeczywistości podręczniki do rachunku różniczkowego i analizy rzeczywistej często łączą te dwie rzeczy, wprowadzając definicję całki Darboux jako całki Riemanna, ze względu na nieco łatwiejszą do zastosowania definicję tej pierwszej.

Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego twierdzi, że integracja i zróżnicowanie są operacje odwrotne w pewnym sensie.

Integracja i miara Lebesgue'a

Całkowanie Lebesgue'a jest konstrukcją matematyczną, która rozszerza całkę na większą klasę funkcji; rozszerza również dziedziny, na których można zdefiniować te funkcje. Pojęcie miary , abstrakcji długości, powierzchni lub objętości, jest kluczowe dla teorii całkowego prawdopodobieństwa Lebesgue'a .

Dystrybucje

Dystrybucje (lub funkcje uogólnione ) to obiekty, które uogólniają funkcje . Rozkłady umożliwiają rozróżnienie funkcji, których pochodne nie istnieją w sensie klasycznym. W szczególności każda funkcja całkowalna lokalnie ma pochodną dystrybucyjną.

Związek ze złożoną analizą

Analiza rzeczywista to obszar analizy, który bada takie pojęcia, jak ciągi i ich granice, ciągłość, różniczkowanie , całkowanie i ciągi funkcji. Z definicji analiza rzeczywista skupia się na liczbach rzeczywistych , często obejmując nieskończoność dodatnią i ujemną, tworząc rozszerzoną linię rzeczywistą . Analiza rzeczywista jest ściśle związana z analizą zespoloną , która w szerokim zakresie bada te same właściwości liczb zespolonych . W analizie złożonej naturalne jest definiowanie różniczkowania za pomocą funkcji holomorficznych , które mają szereg przydatnych właściwości, takich jak powtarzalne różniczkowanie, wyrażalność jako szereg potęgowy i spełnienie wzoru całkowego Cauchy'ego .

W rzeczywistej analizie zwykle bardziej naturalne jest uwzględnienie funkcji różniczkowalnych , gładkich lub harmonicznych , które mają szersze zastosowanie, ale mogą brakować niektórych potężniejszych właściwości funkcji holomorficznych. Jednak wyniki, takie jak podstawowe twierdzenie algebry, są prostsze, gdy są wyrażone w liczbach zespolonych.

W analizie rzeczywistej często stosuje się techniki z teorii funkcji analitycznych zmiennej zespolonej – np. obliczanie całek rzeczywistych za pomocą rachunku reszt .

Ważne wyniki

Istotne wyniki obejmują Bolzano-Weierstrassa i twierdzenia Heinego-Borel The pośredni Twierdzenie o wartości i wartość średnią twierdzenie , Wzór Taylora The podstawowym twierdzenie rachunku The twierdzenie Arzelà-Ascoli The twierdzenie kamienny Weierstrassa , lemat Fatou za oraz zbieżności monotoniczne i dominują twierdzenia o zbieżności .

Uogólnienia i pokrewne obszary matematyki

Różne pomysły z prawdziwej analizy można uogólnić od rzeczywistej linii do szerszych lub bardziej abstrakcyjnych kontekstów. Te uogólnienia łączą prawdziwą analizę z innymi dyscyplinami i poddyscyplinami. Na przykład uogólnienie idei, takich jak funkcje ciągłe i zwartość od analizy rzeczywistej do przestrzeni metrycznych i przestrzeni topologicznych, łączy analizę rzeczywistą z dziedziną ogólnej topologii , podczas gdy uogólnienie skończenie wymiarowych przestrzeni euklidesowych na nieskończenie wymiarowe analogi doprowadziło do koncepcji przestrzeni Banacha i przestrzeni Hilberta i, bardziej ogólnie, do analizy funkcjonalnej . Badania Georga Cantora nad zbiorami i sekwencjami liczb rzeczywistych, odwzorowaniami między nimi oraz podstawowymi zagadnieniami analizy rzeczywistej dały początek naiwnej teorii mnogości . Badanie zagadnień zbieżności ciągów funkcji ostatecznie dało początek analizie Fouriera jako subdyscyplinie analizy matematycznej. Badanie konsekwencji uogólniania różniczkowalności z funkcji zmiennej rzeczywistej na funkcje zmiennej zespolonej dało początek koncepcji funkcji holomorficznych i poczęciu analizy zespolonej jako kolejnej odrębnej subdyscypliny analizy. Z drugiej strony uogólnienie całkowania ze zmysłu Riemanna na sens Lebesgue'a doprowadziło do sformułowania pojęcia abstrakcyjnych przestrzeni miar , podstawowego pojęcia w teorii miary . Wreszcie uogólnienie całkowania od linii rzeczywistej do krzywych i powierzchni w przestrzeni wyższych wymiarów zaowocowało badaniem rachunku wektorowego , którego dalsze uogólnienie i formalizacja odegrały ważną rolę w ewolucji pojęć form różniczkowych i rozmaitości gładkich (różnicowalnych). w geometrii różniczkowej i innych ściśle powiązanych dziedzinach geometrii i topologii .

Zobacz też

Bibliografia

Bibliografia

Linki zewnętrzne