Prawdziwy numer - Real number

Symbol zbioru liczb rzeczywistych

W matematyce , A faktyczna liczba jest wartością ciągłej ilości , która może stanowić odległości wzdłuż linii (lub, alternatywnie, liczby, która może być reprezentowana jako nieskończona rozszerzalności dziesiętnym ). Przymiotnik prawdziwy w tym kontekście została wprowadzona w 17 wieku przez Kartezjusza , który wyróżnia się między prawdziwymi i wyimaginowanymi korzeni z wielomianów . Liczby rzeczywiste obejmują wszystkie liczby wymierne , takie jak liczba całkowita -5 i ułamek 4/3 oraz wszystkie liczby niewymierne , takie jak √ 2 (1,41421356..., pierwiastek kwadratowy z 2 , niewymierna liczba algebraiczna ). W liczbach niewymiernych zawarte są liczby rzeczywiste transcendentalne , takie jak π (3.14159265...). Oprócz pomiaru odległości, liczby rzeczywiste mogą być używane do pomiaru wielkości, takich jak czas , masa , energia , prędkość i wiele innych. Zbiór liczb rzeczywistych jest oznaczony symbolem R lub i jest czasami nazywany „rzeczywistością”. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Liczby rzeczywiste można traktować jako punkty na nieskończenie długiej linii zwanej osią liczbową lub linią rzeczywistą , gdzie punkty odpowiadające liczbom całkowitym są równo rozmieszczone. Każda liczba rzeczywista może być określona przez możliwie nieskończoną reprezentację dziesiętną , taką jak 8.632, gdzie każda kolejna cyfra jest mierzona w jednostkach 1/10 wielkości poprzedniej. Prostą rzeczywistą można traktować jako część płaszczyzny zespolonej , a liczby rzeczywiste można traktować jako część liczb zespolonych .

Liczby rzeczywiste można traktować jako punkty na nieskończenie długiej osi liczbowej

Te opisy liczb rzeczywistych nie są wystarczająco rygorystyczne według współczesnych standardów czystej matematyki. Odkrycie odpowiednio rygorystycznej definicji liczb rzeczywistych — a nawet uświadomienie sobie, że potrzebna jest lepsza definicja — było jednym z najważniejszych osiągnięć XIX-wiecznej matematyki. Obecny standard definition aksjomatem jest to, że liczby rzeczywiste tworzą niepowtarzalny DEDEKIND-kompletne ciało uporządkowane (  +, ·; <), ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ maksymalnie o izomorfizmu , natomiast popularne konstruktywne definicje liczb rzeczywistych obejmują deklarując je jako klasy równoważności z sekwencjami Cauchy'ego (racjonalnego liczb), cięcia Dedekind lub nieskończone reprezentacje dziesiętne wraz z precyzyjnymi interpretacjami operacji arytmetycznych i relacji porządku. Wszystkie te definicje spełniają definicję aksjomatyczną, a zatem są równoważne.

Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych jest niepoliczalny w tym sensie, że podczas gdy zarówno zbiór wszystkich liczb naturalnych, jak i zbiór wszystkich liczb rzeczywistych są zbiorami nieskończonymi , nie może istnieć żadna funkcja jeden do jednego od liczb rzeczywistych do liczb naturalnych . W rzeczywistości, liczność zbioru wszystkich liczb rzeczywistych, oznaczoną i nazwał cardinality continuum , jest większe niż liczności zbioru wszystkich liczb naturalnych (oznaczoną , „alef-zero” ). ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \aleph_{0}}$

Stwierdzenie, że nie ma podzbioru liczb rzeczywistych o kardynalności ściśle większej i ściśle mniejszej niż jest znane jako hipoteza continuum (CH). Nie da się tego udowodnić ani obalić przy użyciu aksjomatów teorii mnogości Zermelo-Fraenkla, w tym aksjomatu wyboru (ZFC) — standardowej podstawy współczesnej matematyki. W rzeczywistości niektóre modele ZFC spełniają CH, podczas gdy inne go naruszają. ${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Historia

Liczby rzeczywiste obejmują liczby wymierne , które zawierają liczby całkowite , które z kolei zawierają liczby naturalne${\ Displaystyle (\ mathbb {R} )}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {Q} )}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z} )}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {N} )}$

Proste ułamki były używane przez Egipcjan około 1000 pne; Vedic „ Shulba Sutry ” ( „Zasady akordów”) w c. 600 pne obejmuje to, co może być pierwszym „użyciem” liczb niewymiernych . Koncepcja irracjonalności została implicite zaakceptowana przez wczesnych matematyków indyjskich, takich jak Manava ( ok. 750-690 pne) , którzy byli świadomi, że pierwiastki kwadratowe niektórych liczb, takich jak 2 i 61, nie mogą być dokładnie określone. Około 500 rpne greccy matematycy kierowani przez Pitagorasa zdali sobie sprawę z potrzeby liczb niewymiernych, w szczególności nieracjonalności pierwiastka kwadratowego z 2 .

W średniowieczu przyniosły akceptacji zera , liczb ujemnych , liczb całkowitych i ułamkowych liczb, najpierw przez Indian i chińskich matematyków , a następnie przez matematyków arabskich , którzy byli także pierwszym w leczeniu liczb niewymiernych jak algebraicznych obiektów (ten ostatni jest możliwe przez rozwój algebry). Matematycy arabscy ​​połączyli pojęcia „ liczby ” i „ wielkości ” w bardziej ogólną ideę liczb rzeczywistych. Egipski matematyk Abū Kāmil Shujā ibn Aslam ( ok. 850-930) był pierwszym, który przyjął liczby niewymierne jako rozwiązania równań kwadratowych lub jako współczynniki w równaniu (często w postaci pierwiastków kwadratowych, pierwiastków sześciennych i pierwiastków czwartych ).

W XVI wieku Simon Stevin stworzył podstawy dla nowoczesnej notacji dziesiętnej i podkreślał, że pod tym względem nie ma różnicy między liczbami wymiernymi a niewymiernymi.

W XVII wieku Kartezjusz wprowadził termin „rzeczywisty”, aby opisać pierwiastki wielomianu, odróżniając je od „wyimaginowanych”.

W XVIII i XIX wieku było dużo pracy nad liczbami irracjonalnymi i transcendentalnymi . Johann Heinrich Lambert (1761) przedstawił pierwszy błędny dowód, że π nie może być racjonalne; Adrien-Marie Legendre (1794) uzupełnił dowód i pokazał, że π nie jest pierwiastkiem kwadratowym z liczby wymiernej. Paolo Ruffini (1799) i Niels Henrik Abel (1842) obaj skonstruowali dowody twierdzenia Abela-Ruffiniego : że ogólne równania kwintyczne lub wyższe nie mogą być rozwiązane za pomocą ogólnego wzoru zawierającego tylko operacje arytmetyczne i pierwiastki.

Évariste Galois (1832) opracował techniki określania, czy dane równanie może być rozwiązane przez pierwiastki, co dało początek teorii Galois . Joseph Liouville (1840) wykazał, że ani e, ani e ^{2 nie} mogą być pierwiastkiem całkowitoliczbowego równania kwadratowego , a następnie ustalił istnienie liczb przestępnych; Georg Cantor (1873) rozszerzył i znacznie uprościł ten dowód. Charles Hermite (1873) jako pierwszy udowodnił, że e jest transcendentalne, a Ferdinand von Lindemann (1882) wykazał, że π jest transcendentalne. Dowód Lindemanna został znacznie uproszczony przez Weierstrassa (1885), jeszcze dalej przez Davida Hilberta (1893), aw końcu został znormalizowany przez Adolfa Hurwitza i Paula Gordana .

Rozwój rachunku różniczkowego w XVIII wieku wykorzystywał cały zbiór liczb rzeczywistych bez ich rygorystycznego definiowania. Pierwsza ścisła definicja została opublikowana przez Georga Cantora w 1871 roku. W 1874 roku wykazał, że zbiór wszystkich liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalnie nieskończony , natomiast zbiór wszystkich liczb algebraicznych jest przeliczalnie nieskończony . Wbrew powszechnie panującym przekonaniom, jego pierwsza metoda nie była jego słynnym argumentem diagonalnym , który opublikował w 1891 roku. Więcej informacji można znaleźć w pierwszym dowodach nieobliczalnych Cantora .

Definicja

System liczb rzeczywistych można zdefiniować aksjomatycznie aż do izomorfizmu , który jest opisany poniżej. Istnieje również wiele sposobów konstruowania „systemu liczb rzeczywistych”, a popularne podejście polega na rozpoczynaniu od liczb naturalnych, następnie definiowaniu liczb wymiernych algebraicznie, a na końcu definiowaniu liczb rzeczywistych jako klas równoważności ich ciągów Cauchy'ego lub jako cięć Dedekinda , które są pewne. podzbiory liczb wymiernych. Innym podejściem jest rozpoczęcie od pewnej rygorystycznej aksjomatyzacji geometrii euklidesowej (powiedzmy Hilberta lub Tarskiego ), a następnie geometryczne zdefiniowanie systemu liczb rzeczywistych. Wszystkie te konstrukcje liczb rzeczywistych okazały się równoważne, w tym sensie, że powstałe systemy liczbowe są izomorficzne . ${\ Displaystyle (\ mathbb {R} ; {} + {}; {} \ cdot {}; {} < {})}$

Podejście aksjomatyczne

Niech oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, a następnie: ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

• Zbiór jest polem , co oznacza, że dodawanie i mnożenie są zdefiniowane i mają zwykłe właściwości.${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Pole jest uporządkowane , co oznacza , że istnieje porządek całkowity ≥ taki , że dla wszystkich liczb rzeczywistych x , y i z : ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
  • jeśli x ≥ y , to x + z ≥ y + z ;
  • jeśli x ≥ 0 i y ≥ 0, to xy ≥ 0.
• Kolejność jest Dedekind uzupełniony , co oznacza, że każdy niepusty podzbiór S z ze związkiem górna granica w posiada przynajmniej górna granica (znane supremum) w .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Ostatnia właściwość odróżnia liczby rzeczywiste od wymiernych (i od innych, bardziej egzotycznych pól uporządkowanych ). Na przykład ma racjonalną górną granicę (np. 1,42), ale nie mniej racjonalną górną granicę, ponieważ nie jest racjonalna. ${\ Displaystyle \ {x \ w \ mathbb {Q}: x ^ {2} <2 \}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Te własności implikują własność Archimedesa (która nie jest implikowana przez inne definicje zupełności), która stwierdza, że ​​zbiór liczb całkowitych nie ma górnej granicy w liczbach rzeczywistych. W rzeczywistości, gdyby to było fałszywe, wtedy liczby całkowite miałyby najmniejszą górną granicę N ; wtedy N – 1 nie byłoby ograniczeniem górnym i istniałaby liczba całkowita n taka, że n > N – 1 , a zatem n + 1 > N , co jest sprzeczne z właściwością ograniczenia górnego N .

Liczby rzeczywiste są jednoznacznie określone przez powyższe właściwości. Dokładniej, biorąc pod uwagę dowolne dwa uporządkowane pola Dedekind-zupełne i , istnieje unikalny izomorfizm pola od do . Ta wyjątkowość pozwala nam myśleć o nich jako o zasadniczo tym samym przedmiocie matematycznym. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {1}}$${\displaystyle \mathbb {R_{2}}}$

Dla innej aksjomatyzacji , zob . aksjomatyzacja rzeczywistości Tarskiego . ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Konstrukcja z liczb wymiernych

Liczby rzeczywiste mogą być konstruowane jako uzupełnienie liczb wymiernych, w taki sposób, że ciąg zdefiniowany przez rozwinięcie dziesiętne lub dwójkowe, np. (3; 3.1; 3.14; 3.141; 3.1415; ...) zbiega się w jednoznaczną liczbę rzeczywistą —w tym przypadku π . Aby uzyskać szczegółowe informacje i inne konstrukcje liczb rzeczywistych, zobacz konstrukcja liczb rzeczywistych .

Nieruchomości

Podstawowe właściwości

• Każda niezerowa liczba rzeczywista jest ujemna lub dodatnia .
• Suma i iloczyn dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych jest ponownie nieujemną liczbą rzeczywistą, tj. są one zamknięte w ramach tych operacji i tworzą stożek dodatni , dając w ten sposób liniowy porządek liczb rzeczywistych wzdłuż liczby linia .
• Liczby rzeczywiste nadrobić to nieskończony zbiór liczb, które nie mogą być injectively odwzorowanych do nieskończonego zbioru liczb naturalnych , czyli istnieją uncountably nieskończenie wiele liczb rzeczywistych, natomiast liczby naturalne nazywamy przeliczalnie nieskończony . To dowodzi, że w pewnym sensie jest więcej liczb rzeczywistych niż elementów w jakimkolwiek zbiorze policzalnym.
• Istnieje hierarchia przeliczalnie nieskończonych podzbiorów liczb rzeczywistych, np. liczb całkowitych , wymiernych , liczb algebraicznych i liczb obliczalnych , przy czym każdy zbiór jest właściwym podzbiorem następnego w sekwencji. Do uzupełnienia wszystkich tych zestawów ( irracjonalny , transcendentalne i nie obliczalnych liczb rzeczywistych) w liczb rzeczywistych są uncountably nieskończone zbiory.
• Rzeczywiste liczby mogą być stosowane do ekspresji pomiarów z ciągłych ilości. Mogą być wyrażane przez reprezentacje dziesiętne , większość z nich ma nieskończoną sekwencję cyfr na prawo od przecinka dziesiętnego ; są one często przedstawiane jako 324.823122147..., gdzie wielokropek (trzy kropki) wskazuje, że nadal będzie więcej cyfr. Sugeruje to, że możemy precyzyjnie oznaczyć tylko kilka wybranych liczb rzeczywistych skończoną liczbą symboli.

Mówiąc bardziej formalnie, liczby rzeczywiste mają dwie podstawowe właściwości: są polem uporządkowanym i mają najmniejszą właściwość górnej granicy . Pierwsza mówi, że liczby rzeczywiste składają się z pola , z dodawaniem i mnożeniem oraz dzieleniem przez liczby niezerowe, które można całkowicie uporządkować na osi liczbowej w sposób zgodny z dodawaniem i mnożeniem. Drugi mówi, że jeśli niepusty zbiór liczb rzeczywistych ma górną granicę , to ma realną najmniejszą górną granicę . Drugi warunek odróżnia liczby rzeczywiste od liczb wymiernych: na przykład zbiór liczb wymiernych, których kwadrat jest mniejszy niż 2, jest zbiorem z górnym ograniczeniem (np. 1,5), ale bez (wymiernego) najmniejszego ograniczenia górnego: stąd liczby wymierne nie spełniają najmniejszej górnej granicy właściwości.

Kompletność

Głównym powodem używania liczb rzeczywistych jest to, że wiele ciągów ma ograniczenia . Bardziej formalnie, liczby rzeczywiste są zupełne (w sensie przestrzeni metrycznych lub przestrzeni jednorodnych , co jest innym sensem niż kompletność Dedekinda z poprzedniego rozdziału):

Sekwencja ( x _n ) rzeczywistych liczb jest nazywana sekwencją Cauchy- jeżeli dla każdej ε> 0 istnieje liczba całkowita N (ewentualnie w zależności od ε) tak, że odległość | x _n − x _m | jest mniejsze niż ε dla wszystkich n i m, które są większe niż N . Ta definicja, pierwotnie podana przez Cauchy'ego , formalizuje fakt, że x _{n w} końcu pojawia się i pozostaje arbitralnie blisko siebie.

Ciąg ( x _n ) zbiega się do granicy x , jeśli jego elementy w końcu dochodzą i pozostają arbitralnie blisko x , to znaczy, jeśli dla dowolnego ε > 0 istnieje liczba całkowita N (prawdopodobnie zależna od ε) taka, że ​​odległość | x _n − x | jest mniejsza niż ε dla n większej niż N .

Każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy'ego, a odwrotność jest prawdziwa dla liczb rzeczywistych, a to oznacza, że przestrzeń topologiczna liczb rzeczywistych jest kompletna.

Zbiór liczb wymiernych nie jest kompletny. Na przykład sekwencja (1; 1.4; 1.41; 1.414; 1.4142; 1.41421; ...), w której każdy termin dodaje cyfrę rozwinięcia dziesiętnego dodatniego pierwiastka kwadratowego z 2, to Cauchy, ale nie jest zbieżna do liczba wymierna (w liczbach rzeczywistych, przeciwnie, zbiega się do dodatniego pierwiastka kwadratowego z 2).

Własność zupełności liczb rzeczywistych jest podstawą, na której buduje się rachunek różniczkowy , a bardziej ogólnie analizę matematyczną . W szczególności test, że sekwencja jest sekwencją Cauchy'ego, pozwala udowodnić, że sekwencja ma granicę, bez obliczania jej, a nawet bez jej znajomości.

Na przykład standardowy szereg funkcji wykładniczej

${\ Displaystyle e ^ {x} = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {x ^ {n}} {n!}}}$

zbiega się do liczby rzeczywistej dla każdego x , ponieważ sumy

${\ Displaystyle \ suma _ {n = N} ^ {M} {\ Frac {x ^ {n}} {n!}}}$

może być dowolnie małe (niezależnie od M ), wybierając N wystarczająco duże. To dowodzi, że ciąg jest Cauchy'ego, a zatem jest zbieżny, pokazując, że jest dobrze zdefiniowany dla każdego x . ${\ Displaystyle e ^ {x}}$

"Pełne zamówione pole"

Liczby rzeczywiste są często opisywane jako „pełne pole uporządkowane”, wyrażenie, które można interpretować na kilka sposobów.

Po pierwsze, zamówienie może być kompletne . Łatwo zauważyć, że żadne pole uporządkowane nie może być kratą zupełną, ponieważ nie może mieć największego elementu (zakładając, że dowolny element z , z + 1 jest większy).

Dodatkowo zlecenie może być Dedekind-kompletne , patrz § Podejście aksjomatyczne . Wynik niepowtarzalności na końcu tej sekcji uzasadnia użycie słowa „the” w wyrażeniu „kompletne uporządkowane pole”, gdy chodzi o znaczenie „kompletnego”. To poczucie kompletności jest najściślej związane z konstruowaniem realiów z cięć Dedekinda, ponieważ ta konstrukcja zaczyna się od uporządkowanego pola (wymiernych), a następnie stanowi jego dopełnienie przez Dedekinda w standardowy sposób.

Te dwa pojęcia kompletności ignorują strukturę pola. Jednak uporządkowana grupa (w tym przypadku addytywna grupa pola) definiuje jednorodną strukturę, a jednolite struktury mają pojęcie zupełności ; opis w § Kompletność jest przypadkiem szczególnym. (Odnosimy się do pojęcia kompletności w jednolitych przestrzeni zamiast związanego i lepiej znanym pojęciem dla przestrzeni metrycznych , ponieważ definicja przestrzeni metrycznej opiera się już o charakteryzację liczb rzeczywistych.) Nie jest prawdą, że jest tylko jednolicie kompletne uporządkowane pole, ale jest to jedyne jednolicie kompletne pole Archimedesa , i rzeczywiście często słyszy się wyrażenie „kompletne pole Archimedesa” zamiast „kompletne pole uporządkowane”. Każde jednolicie kompletne pole Archimedesa musi być również Dedekind-kompletne (i vice versa), uzasadniając użycie "the" w wyrażeniu "kompletne pole Archimedesa". To poczucie zupełności jest najściślej związane z konstruowaniem liczb rzeczywistych z ciągów Cauchy'ego (konstrukcja przeprowadzona w całości w tym artykule), ponieważ zaczyna się od pola Archimedesa (wymiernych) i stanowi jego jednolite uzupełnienie w standardzie sposób. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Ale oryginalne użycie wyrażenia „kompletne pole Archimedesa” zostało użyte przez Davida Hilberta , który miał na myśli jeszcze coś innego. Miał na myśli, że liczby rzeczywiste tworzą największe pole Archimedesa w tym sensie, że każde inne pole Archimedesa jest podciałem . Jest więc „kompletny” w tym sensie, że nic więcej nie może być do niego dodane bez uczynienia go już dłużej polem Archimedesa. To poczucie kompletności jest najściślej związane z konstruowaniem liczb rzeczywistych z liczb surrealistycznych , ponieważ konstrukcja ta zaczyna się od odpowiedniej klasy, która zawiera każde uporządkowane pole (surreali), a następnie wybiera z niego największe podciało Archimedesa. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Zaawansowane właściwości

Reale są niepoliczalne ; to znaczy, że istnieje ściśle więcej liczb rzeczywistych niż liczb naturalnych , mimo że oba zbiory są nieskończone . W rzeczywistości liczność liczb rzeczywistych jest równa liczności zbioru podzbiorów (tj. zbioru potęgowego) liczb naturalnych, a argument diagonalny Cantora mówi, że liczność tego drugiego zbioru jest ściśle większa niż liczność . Ponieważ zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalny, prawie wszystkie liczby rzeczywiste są przestępne . Nieistnienie podzbioru liczb rzeczywistych o kardynalności ściśle między liczbami całkowitymi a liczbami rzeczywistymi jest znane jako hipoteza continuum . Hipotezy kontinuum nie można ani udowodnić, ani obalić; jest niezależna od aksjomatów teorii mnogości . ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

Jako przestrzeń topologiczna, liczby rzeczywiste są separowalne . Dzieje się tak, ponieważ zbiór wymiernych, które są policzalne, jest gęsty w liczbach rzeczywistych. Liczby niewymierne są również gęste w liczbach rzeczywistych, jednak są niepoliczalne i mają taką samą moc jak liczby rzeczywiste.

Liczby rzeczywiste tworzą przestrzeń metryczną : odległość między x i y jest definiowana jako wartość bezwzględna | x − y | . Ze względu na to , że są zbiorem całkowicie uporządkowanym , przenoszą również topologię porządku ; Topologia wynikające z metryki a wynikający z rzędu są identyczne, ale różne wydajność prezentacji dla topologii w topologii rzędu zamówionej odstępach w topologii metrycznej jak epsilon kulek. Konstrukcja cięć Dedekind wykorzystuje prezentację topologii porządku, podczas gdy konstrukcja sekwencji Cauchy'ego wykorzystuje prezentację topologii metrycznej. Liczb rzeczywistych tworzą skurczu (stąd podłączone i po prostu podłączony ), oddzielić i pełną metrykę przestrzeni Hausdorffa wymiaru  1. Liczby rzeczywiste są lokalnie zwarta , ale nie zwarta . Istnieją różne właściwości, które jednoznacznie je określają; na przykład wszystkie topologie nieograniczonego, połączonego i rozdzielnego porządku są z konieczności homeomorficzne z rzeczywistymi.

Każda nieujemna liczba rzeczywista ma pierwiastek kwadratowy w , chociaż żadna ujemna nie ma. To pokazuje, że porządek na jest określony przez jego strukturę algebraiczną. Ponadto każdy wielomian nieparzystego stopnia dopuszcza co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty: te dwie własności stanowią doskonały przykład rzeczywistego ciała zamkniętego . Udowodnienie tego jest pierwszą połową jednego dowodu podstawowego twierdzenia algebry . ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Liczb rzeczywistych przeprowadzić kanoniczną środek The środek Lebesgue'a , która jest miarą Haar ich struktury jak grupa topologiczna znormalizowane tak, że odstęp jednostka [0, 1] środka 1. Istnieją zestawy liczb rzeczywistych, które nie są Lebesgue'a wymierne np . zestawy Vitali .

Najwyższy aksjomat liczb rzeczywistych odnosi się do podzbiorów liczb rzeczywistych i dlatego jest twierdzeniem logicznym drugiego rzędu. Nie jest możliwe scharakteryzowanie liczb rzeczywistych za pomocą samej logiki pierwszego rzędu : twierdzenie Löwenheima-Skolema implikuje, że istnieje policzalny gęsty podzbiór liczb rzeczywistych spełniający dokładnie te same zdania w logice pierwszego rzędu, co same liczby rzeczywiste. Zbiór liczb hiperrzeczywistych spełnia te same zdania pierwszego rzędu co . Zamówione pola, które spełniają te same zdania pierwszej kolejności, jak nazywane są niestandardowe modele z . To właśnie sprawia, że niestandardowa analiza działa; udowadniając stwierdzenie pierwszego rzędu w jakimś niestandardowym modelu (co może być łatwiejsze niż udowodnienie tego w ), wiemy, że to samo stwierdzenie musi być prawdziwe również w przypadku . ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Dziedzinie liczb rzeczywistych jest pole rozszerzenie pola liczb wymiernych, a zatem może być postrzegany jako przestrzeni wektorowej nad . Teoria mnogości Zermelo-Fraenkla z aksjomatem wyboru gwarantuje istnienie podstawy tej przestrzeni wektorowej: istnieje zbiór B liczb rzeczywistych taki, że każdą liczbę rzeczywistą można zapisać jednoznacznie jako skończoną liniową kombinację elementów tego zbioru, używając tylko współczynniki racjonalne i takie, że żaden element B nie jest racjonalną kombinacją liniową pozostałych. Twierdzenie o istnieniu jest jednak czysto teoretyczne, ponieważ taka baza nigdy nie została jednoznacznie opisana. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

Twierdzenie zermelo zakłada, że prawdziwe liczby mogą być dobrze zorganizowany , jeśli zakłada aksjomat wyboru: istnieje całkowity porządek na z własności, że każdy niepusty podzbiór z ma najmniejszego elementu w tej kolejności. (Standardowe uporządkowanie ≤ liczb rzeczywistych nie jest dobrym uporządkowaniem, ponieważ np. przedział otwarty nie zawiera najmniejszego elementu w tym uporządkowaniu.) Znowu istnienie takiego dobrego uporządkowania jest czysto teoretyczne, ponieważ nie zostało wyraźnie opisane. Jeśli założymy, że V=L dodatkowo do aksjomatów ZF, można wykazać, że prawidłowe uporządkowanie liczb rzeczywistych jest jednoznacznie definiowalne za pomocą wzoru. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Liczba rzeczywista może być albo obliczalna, albo nieobliczalna; albo algorytmicznie losowe, albo nie; i albo arytmetycznie losowo, albo nie.

Zastosowania i połączenia z innymi obszarami

Liczby rzeczywiste i logika

Liczby rzeczywiste są najczęściej sformalizowane za pomocą aksjomatyzacji Zermelo-Fraenkla teorii mnogości, ale niektórzy matematycy badają liczby rzeczywiste z innymi logicznymi podstawami matematyki. W szczególności liczby rzeczywiste są również badane w matematyce odwrotnej i matematyce konstruktywnej .

W Hiperrzeczywista numery jak opracowane przez Edwin Hewitt , Abraham Robinson i inni rozszerzyć zestaw liczb rzeczywistych wprowadzając nieskończenie numery i nieskończone, pozwalając na budowę nieskończenie rachunku w sposób bliżej pierwotnych intuicji Leibniza , Euler , Cauchy'ego i innych.

Edward Nelson jest wewnętrzny teorii zestaw wzbogaca Zermelo-Fraenkel teorii zbiorów składniowo wprowadzając jednoargumentowy orzeczenie «standardowych». W tym ujęciu nieskończenie małe są (nie „standardowymi”) elementami zbioru liczb rzeczywistych (a nie są elementami ich rozszerzenia, jak w teorii Robinsona).

Że hipoteza continuum zakłada, że liczność zbioru liczb rzeczywistych jest ; tj. najmniejsza nieskończona liczba kardynalna po , liczności liczb całkowitych. Paul Cohen udowodnił w 1963, że jest to aksjomat niezależny od innych aksjomatów teorii mnogości; to znaczy: można wybrać albo hipotezę continuum, albo jej negację jako aksjomat teorii mnogości, bez sprzeczności. ${\displaystyle \aleph_{1}}$${\displaystyle \aleph_{0}}$

W fizyce

W naukach fizycznych większość stałych fizycznych, takich jak uniwersalna stała grawitacyjna, oraz zmienne fizyczne, takie jak położenie, masa, prędkość i ładunek elektryczny, modeluje się za pomocą liczb rzeczywistych. W rzeczywistości podstawowe teorie fizyczne, takie jak mechanika klasyczna , elektromagnetyzm , mechanika kwantowa , ogólna teoria względności i model standardowy są opisane za pomocą struktur matematycznych, zazwyczaj gładkich rozmaitości lub przestrzeni Hilberta , które są oparte na liczbach rzeczywistych, chociaż rzeczywiste pomiary wielkości fizycznych charakteryzują się skończoną dokładnością i precyzją .

Fizycy czasami sugerowali, że bardziej fundamentalna teoria zastąpiłaby liczby rzeczywiste wielkościami, które nie tworzą kontinuum, ale takie propozycje pozostają spekulatywne.

W obliczeniach

Z pewnymi wyjątkami większość kalkulatorów nie działa na liczbach rzeczywistych. Zamiast tego pracują z przybliżeniami o skończonej precyzji, zwanymi liczbami zmiennoprzecinkowymi . W rzeczywistości większość obliczeń naukowych wykorzystuje arytmetykę zmiennoprzecinkową. Liczby rzeczywiste spełniają zwykłe zasady arytmetyki , ale liczby zmiennoprzecinkowe nie .

Komputery nie mogą bezpośrednio przechowywać dowolnych liczb rzeczywistych zawierających nieskończenie wiele cyfr. Osiągalna precyzja jest ograniczona przez liczbę bitów przydzielonych do zapisania numeru, czy jako liczb zmiennoprzecinkowych lub numerów arbitralny precyzji . Jednak systemy algebry komputerowej mogą operować na wielkościach irracjonalnych dokładnie poprzez manipulowanie dla nich wzorami (takimi jak lub ), a nie ich przybliżeniem racjonalnym lub dziesiętnym. Na ogół nie jest możliwe ustalenie, czy dwa takie wyrażenia są równe ( problem stały ). ${\displaystyle {\sqrt {2}},}$ ${\ Displaystyle \ arcsin (2/23)}$${\ Displaystyle \ textstyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {x} \ dx}$

Liczba rzeczywista nazywana jest obliczalną, jeśli istnieje algorytm, który podaje jej cyfry. Ponieważ istnieje tylko przeliczalnie wiele algorytmów, ale niepoliczalna liczba liczb rzeczywistych, prawie wszystkie liczby rzeczywiste nie są obliczalne. Co więcej, równość dwóch liczb obliczalnych jest nierozstrzygalnym problemem . Niektórzy konstruktywiści akceptują istnienie tylko tych rzeczywistości, które są obliczalne. Zbiór liczb definiowalnych jest szerszy, ale wciąż tylko policzalny.

„Real” w teorii mnogości

W teorii mnogości , a konkretnie opisowej teorii mnogości , przestrzeń Baire'a jest używana jako substytut liczb rzeczywistych, ponieważ te ostatnie mają pewne własności topologiczne (powiązanie), które są kłopotliwe z technicznego punktu widzenia. Elementy przestrzeni Baire'a są określane jako „realne”.

Słownictwo i notacja

Matematyków użyć symboli R , lub alternatywnie, The literę "R" w tablicy pogrubienie (kodowane Unicode jako U + 211D ℝ PODWÓJNEJ Struck KAPITAŁOWEJ R (HTML  · )), reprezentujące zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Ponieważ zestaw jest naturalnie obdarzony strukturze pola wyrażenie dziedzinie liczb rzeczywistych jest często stosowany, gdy jego właściwości algebraiczne są pod uwagę. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ℝ  ℝ, ℝ

Często odnotowuje się odpowiednio zbiory dodatnich liczb rzeczywistych i ujemnych liczb rzeczywistych oraz ; i są również używane. Można odnotować nieujemne liczby rzeczywiste, ale często widzi się ten zbiór odnotowany We francuskiej matematyce dodatnie liczby rzeczywiste i ujemne liczby rzeczywiste zwykle zawierają zero , a te zestawy są odpowiednio zapisywane i W tym rozumieniu odpowiednie zestawy bez zera są nazywane ściśle dodatnie liczby rzeczywiste i ściśle ujemne liczby rzeczywiste i są odnotowywane i${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {-}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {-}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+} \ filiżanka \ {0 \}}.$${\ Displaystyle \ mathbb {R_ {+}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R_ {-}} .}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} *}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {-} *.}$

Notacja oznacza iloczyn kartezjański z n kopii , który stanowi N - wymiarowej przestrzeni wektorów na polu liczb rzeczywistych; ta przestrzeń wektorowa może być utożsamiana z n - wymiarową przestrzenią geometrii euklidesowej, gdy tylko zostanie wybrany układ współrzędnych w tej ostatniej. Na przykład, wartość od składa się krotki trzech liczb rzeczywistych i określa współrzędne o punkt w przestrzeni 3-wymiarowej. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

W matematyce liczba rzeczywista jest używana jako przymiotnik, co oznacza, że ​​pole bazowe jest polem liczb rzeczywistych (lub polem rzeczywistym ). Na przykład, rzeczywistej matrycy , prawdziwym wielomianu i prawdziwej algebry Liego . Słowo to jest również używane jako rzeczownik , oznaczający liczbę rzeczywistą (jak w „zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych”).

Uogólnienia i rozszerzenia

Liczby rzeczywiste można uogólniać i rozszerzać w kilku różnych kierunkach:

• Te liczby zespolone zawierają rozwiązania wszystkich wielomianowych równania, a tym samym są algebraicznie zamknięte pole przeciwieństwie do rzeczywistych. Jednak liczby zespolone nie są polem uporządkowanym .
• Affinely rozszerzony system liczbowy prawdziwy dodaje dwa elementy + ∞ i -∞. To kompaktowa przestrzeń . Nie jest już polem ani nawet grupą addytywną, ale nadal ma porządek całkowity ; co więcej, jest to pełna krata .
• Prawdziwy rzutowe linia dodaje tylko jedną wartość ∞. To także kompaktowa przestrzeń. Ponownie nie jest to już pole ani nawet grupa addytywna. Pozwala jednak na dzielenie niezerowego elementu przez zero. Ma cykliczny porządek opisany relacją separacji .
• Te długie prostej pasty razem ℵ ₁ * + ℵ ₁ kopii prostej rzeczywistej powiększonej o jeden punkt (tutaj ℵ ₁ * oznacza odwróconą kolejnością ℵ ₁ ), aby utworzyć zbiór uporządkowany, który jest „lokalnie” identyczne z liczb rzeczywistych, ale jakoś dłużej; na przykład istnieje osadzenie z zachowaniem kolejności ℵ ₁ w długiej linii rzeczywistej, ale nie w liczbach rzeczywistych. Długa prawdziwa linia to największy zamówiony zestaw, który jest kompletny i lokalnie Archimedesa. Podobnie jak w poprzednich dwóch przykładach, ten zestaw nie jest już polem ani grupą dodatków.
• Pola uporządkowane rozszerzające liczby rzeczywiste to liczby hiperrzeczywiste i liczby nadrzeczywiste ; oba zawierają nieskończenie małe i nieskończenie duże liczby, a zatem są niearchimedesowymi polami uporządkowanymi .
• Operatory samosprzężone na przestrzeni Hilberta (na przykład samosprzężone macierze kwadratowe zespolone ) uogólniają liczby rzeczywiste pod wieloma względami: mogą być uporządkowane (choć nie całkowicie uporządkowane), są zupełne, wszystkie ich wartości własne są rzeczywiste i tworzą rzeczywista algebra asocjacyjna . Operatory dodatnio-określone odpowiadają dodatnim liczbom rzeczywistym, a operatory normalne odpowiadają liczbom zespolonym.

Zobacz też

• Kompletność liczb rzeczywistych
• Ułamek ciągły
• Definiowalne liczby rzeczywiste
• Pozytywne liczby rzeczywiste
• Prawdziwa analiza

Uwagi

Bibliografia

Cytaty

Źródła

Zewnętrzne linki

• „Liczba rzeczywista” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]