Relacja zwrotna - Reflexive relation

W matematyce , A jednorodny binarny stosunek R w zbiorze X jest zwrotny , gdy dotyczy każdy element X do siebie.

Przykładem relacji zwrotnej jest relacja „ jest równa ” na zbiorze liczb rzeczywistych , ponieważ każda liczba rzeczywista jest sobie równa. Mówi się, że relacja refleksyjna ma właściwość refleksyjną lub ma refleksyjność . Zwrotność, obok symetrii i przechodniości , jest jedną z trzech właściwości określających relacje równoważności .

Definicje

Niech będzie relacją binarną na zbiorze , który z definicji jest tylko podzbiorem For any notacja oznacza, że podczas gdy „nie ” oznacza, że

Związek nazywa zwrotny , jeżeli dla każdej albo równoważnie, gdy w którym oznacza związek tożsamości w The refleksyjnym zamknięciem z jest związkiem , który może być równoważnie zdefiniowane jako najmniejsze (w odniesieniu do ) relacja zwrotna na który jest rozszerzeniem w stosunku jest zwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy równa się jego zwrotnemu zamknięciu.

Zwrotny zmniejszenie lub irreflexive ziaren od jest najmniejsza (w odniesieniu do ) związek o takim samym zwrotne Zamknięcie jest równa The irreflexive jądro może być, w pewnym sensie traktować jako konstrukcja, która jest „obok” o zwrotnej zamknięcie na przykład, zamknięcie zwrotnego kanonicznej ścisłym nierówności na Real jest zwykle nie restrykcyjne nierówności podczas zwrotnej redukcji Is

Powiązane definicje

Istnieje kilka definicji związanych z własnością zwrotną. Relacja nazywa się:

bezrefleksyjny ,Antyrefleksyjny lubAliorelatywny
Jeśli nie wiąże ze sobą żadnego elementu; to znaczy, jeśli nie dla każdego A relacja jest zwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy jej uzupełnienie w jest zwrotne. Asymetryczny związek musi irreflexive. Relacja przechodnia i zwrotna jest z konieczności asymetryczna.
Lewa quasi-refleksyjna
Jeśli kiedykolwiek są takie, to koniecznie
Prawo quasi-refleksyjne
Jeśli kiedykolwiek są takie, to koniecznie
Quasi-refleksyjny
Jeśli każdy element, który jest powiązany z jakimś elementem, jest również powiązany z nim samym. Wprost oznacza to, że ilekroć są takie, to koniecznie i ekwiwalentnie, relacja binarna jest quasi-zwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy jest zarówno lewa quasi-zwrotna, jak i prawa quasi-zwrotna. Relacja jest quasi-zwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy jej symetryczne zamknięcie jest lewe (lub prawe) quasi-zwrotne.
Antysymetryczny
Jeśli kiedykolwiek są takie, to koniecznie
Corefleksyjny
Jeśli kiedykolwiek są takie, to koniecznie relacja A jest współzwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy jej symetryczne zamknięcie jest antysymetryczne .

Relacja zwrotna na niepustym zbiorze nie może być ani zwrotna, ani asymetryczna ( jest nazywana asymetryczną, jeśli implikuje nie ), ani antyprzechodnia ( jest antyprzechodnia, jeśli implikuje nie ).

Przykłady

Przykłady relacji zwrotnych obejmują:

  • "jest równy" ( równość )
  • „jest podzbiorem ” (ustaw włączenie)
  • "dzielenie" ( podzielność )
  • "jest większa niż lub równa"
  • „jest mniejsze lub równe”

Przykłady relacji zwrotnych obejmują:

  • "nie jest równy"
  • „jest względnie pierwszym względem” (dla liczb całkowitych, ponieważ 1 jest względnie pierwszym względem siebie)
  • „jest właściwym podzbiorem”
  • "jest większy niż"
  • "jest mniej niż"

Przykładem relacji niezwrotnej, co oznacza, że ​​nie wiąże ona ze sobą żadnego elementu, jest relacja „większe niż” ( ) na liczbach rzeczywistych . Nie każda relacja, która nie jest zwrotna, jest niezwrotna; można zdefiniować relacje, w których niektóre elementy są ze sobą powiązane, a inne nie (czyli ani wszystkie, ani żadne). Na przykład relacja binarna „iloczyn parzysty i iloczynu ” jest refleksyjna na zbiorze liczb parzystych , niezwrotna na zbiorze liczb nieparzystych i ani refleksyjna ani niezwrotna na zbiorze liczb naturalnych .

Przykładem relacji quasi-zwrotnej jest „ma taką samą granicę jak” na zbiorze ciągów liczb rzeczywistych: nie każdy ciąg ma granicę, a zatem relacja nie jest zwrotna, ale jeśli ciąg ma taką samą granicę jak sekwencja, to ma taki sam limit jak sam. Przykładem lewej quasi-zwrotnej relacji jest lewa relacja euklidesowa , która jest zawsze lewa quasi-zwrotna, ale niekoniecznie prawa quasi-zwrotna, a zatem niekoniecznie quasi-zwrotna.

Przykładem relacji współrefleksyjnej jest relacja na liczbach całkowitych, w której każda liczba nieparzysta jest ze sobą związana i nie ma innych relacji. Relacja równości jest jedynym przykładem relacji zarówno refleksyjnej, jak i współrefleksyjnej, a każda relacja współrefleksyjna jest podzbiorem relacji tożsamości. Związek relacji współrefleksyjnej i relacji przechodniej w tym samym zbiorze jest zawsze przechodni.

Liczba relacji refleksyjnych

Liczba relacji zwrotnych na zbiorze -elementowym wynosi

Liczba n- elementowych relacji binarnych różnych typów
Elementy Każdy Przechodni Zwrotny Przed Sprzedaż Częściowe zamówienie Całkowite zamówienie w przedsprzedaży Całkowite zamówienie Relacja równoważności
0 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 1 1 1 1 1 1
2 16 13 4 4 3 3 2 2
3 512 171 64 29 19 13 6 5
4 65 536 3994 4096 355 219 75 24 15
n 2 n 2 2 n 2n S ( n , k ) n ! S ( n , k )
OEIS A002416 A006905 A053763 A000798 A001035 A000670 A000142 A000110

Logika filozoficzna

Autorzy zajmujący się logiką filozoficzną często posługują się inną terminologią. Relacje zwrotne w sensie matematycznym nazywamy w logice filozoficznej całkowicie refleksyjnymi , a relacje quasi-zwrotne – refleksyjnymi .

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki