Relacja zwrotna - Reflexive relation
Przechodnie relacje binarne | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Wszystkie definicje milcząco wymagają, aby jednorodna relacja była przechodnia : „ ✓ ” wskazuje, że właściwość kolumny jest wymagana w definicji wiersza. Na przykład definicja relacji równoważności wymaga, aby była ona symetryczna. Wymieniono tutaj dodatkowe właściwości, które może spełniać relacja jednorodna.
|
W matematyce , A jednorodny binarny stosunek R w zbiorze X jest zwrotny , gdy dotyczy każdy element X do siebie.
Przykładem relacji zwrotnej jest relacja „ jest równa ” na zbiorze liczb rzeczywistych , ponieważ każda liczba rzeczywista jest sobie równa. Mówi się, że relacja refleksyjna ma właściwość refleksyjną lub ma refleksyjność . Zwrotność, obok symetrii i przechodniości , jest jedną z trzech właściwości określających relacje równoważności .
Definicje
Niech będzie relacją binarną na zbiorze , który z definicji jest tylko podzbiorem For any notacja oznacza, że podczas gdy „nie ” oznacza, że
Związek nazywa zwrotny , jeżeli dla każdej albo równoważnie, gdy w którym oznacza związek tożsamości w The refleksyjnym zamknięciem z jest związkiem , który może być równoważnie zdefiniowane jako najmniejsze (w odniesieniu do ) relacja zwrotna na który jest rozszerzeniem w stosunku jest zwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy równa się jego zwrotnemu zamknięciu.
Zwrotny zmniejszenie lub irreflexive ziaren od jest najmniejsza (w odniesieniu do ) związek o takim samym zwrotne Zamknięcie jest równa The irreflexive jądro może być, w pewnym sensie traktować jako konstrukcja, która jest „obok” o zwrotnej zamknięcie na przykład, zamknięcie zwrotnego kanonicznej ścisłym nierówności na Real jest zwykle nie restrykcyjne nierówności podczas zwrotnej redukcji Is
Powiązane definicje
Istnieje kilka definicji związanych z własnością zwrotną. Relacja nazywa się:
- bezrefleksyjny ,Antyrefleksyjny lubAliorelatywny
- Jeśli nie wiąże ze sobą żadnego elementu; to znaczy, jeśli nie dla każdego A relacja jest zwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy jej uzupełnienie w jest zwrotne. Asymetryczny związek musi irreflexive. Relacja przechodnia i zwrotna jest z konieczności asymetryczna.
- Lewa quasi-refleksyjna
- Jeśli kiedykolwiek są takie, to koniecznie
- Prawo quasi-refleksyjne
- Jeśli kiedykolwiek są takie, to koniecznie
- Quasi-refleksyjny
- Jeśli każdy element, który jest powiązany z jakimś elementem, jest również powiązany z nim samym. Wprost oznacza to, że ilekroć są takie, to koniecznie i ekwiwalentnie, relacja binarna jest quasi-zwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy jest zarówno lewa quasi-zwrotna, jak i prawa quasi-zwrotna. Relacja jest quasi-zwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy jej symetryczne zamknięcie jest lewe (lub prawe) quasi-zwrotne.
- Antysymetryczny
- Jeśli kiedykolwiek są takie, to koniecznie
- Corefleksyjny
- Jeśli kiedykolwiek są takie, to koniecznie relacja A jest współzwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy jej symetryczne zamknięcie jest antysymetryczne .
Relacja zwrotna na niepustym zbiorze nie może być ani zwrotna, ani asymetryczna ( jest nazywana asymetryczną, jeśli implikuje nie ), ani antyprzechodnia ( jest antyprzechodnia, jeśli implikuje nie ).
Przykłady
Przykłady relacji zwrotnych obejmują:
- "jest równy" ( równość )
- „jest podzbiorem ” (ustaw włączenie)
- "dzielenie" ( podzielność )
- "jest większa niż lub równa"
- „jest mniejsze lub równe”
Przykłady relacji zwrotnych obejmują:
- "nie jest równy"
- „jest względnie pierwszym względem” (dla liczb całkowitych, ponieważ 1 jest względnie pierwszym względem siebie)
- „jest właściwym podzbiorem”
- "jest większy niż"
- "jest mniej niż"
Przykładem relacji niezwrotnej, co oznacza, że nie wiąże ona ze sobą żadnego elementu, jest relacja „większe niż” ( ) na liczbach rzeczywistych . Nie każda relacja, która nie jest zwrotna, jest niezwrotna; można zdefiniować relacje, w których niektóre elementy są ze sobą powiązane, a inne nie (czyli ani wszystkie, ani żadne). Na przykład relacja binarna „iloczyn parzysty i iloczynu ” jest refleksyjna na zbiorze liczb parzystych , niezwrotna na zbiorze liczb nieparzystych i ani refleksyjna ani niezwrotna na zbiorze liczb naturalnych .
Przykładem relacji quasi-zwrotnej jest „ma taką samą granicę jak” na zbiorze ciągów liczb rzeczywistych: nie każdy ciąg ma granicę, a zatem relacja nie jest zwrotna, ale jeśli ciąg ma taką samą granicę jak sekwencja, to ma taki sam limit jak sam. Przykładem lewej quasi-zwrotnej relacji jest lewa relacja euklidesowa , która jest zawsze lewa quasi-zwrotna, ale niekoniecznie prawa quasi-zwrotna, a zatem niekoniecznie quasi-zwrotna.
Przykładem relacji współrefleksyjnej jest relacja na liczbach całkowitych, w której każda liczba nieparzysta jest ze sobą związana i nie ma innych relacji. Relacja równości jest jedynym przykładem relacji zarówno refleksyjnej, jak i współrefleksyjnej, a każda relacja współrefleksyjna jest podzbiorem relacji tożsamości. Związek relacji współrefleksyjnej i relacji przechodniej w tym samym zbiorze jest zawsze przechodni.
Liczba relacji refleksyjnych
Liczba relacji zwrotnych na zbiorze -elementowym wynosi
Elementy | Każdy | Przechodni | Zwrotny | Przed Sprzedaż | Częściowe zamówienie | Całkowite zamówienie w przedsprzedaży | Całkowite zamówienie | Relacja równoważności |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 16 | 13 | 4 | 4 | 3 | 3 | 2 | 2 |
3 | 512 | 171 | 64 | 29 | 19 | 13 | 6 | 5 |
4 | 65 536 | 3994 | 4096 | 355 | 219 | 75 | 24 | 15 |
n | 2 n 2 | 2 n 2 − n | S ( n , k ) | n ! | S ( n , k ) | |||
OEIS | A002416 | A006905 | A053763 | A000798 | A001035 | A000670 | A000142 | A000110 |
Logika filozoficzna
Autorzy zajmujący się logiką filozoficzną często posługują się inną terminologią. Relacje zwrotne w sensie matematycznym nazywamy w logice filozoficznej całkowicie refleksyjnymi , a relacje quasi-zwrotne – refleksyjnymi .
Uwagi
Bibliografia
- Levy, A. (1979) Podstawowa teoria mnogości , Perspektywy w logice matematycznej, Springer-Verlag. Przedruk 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5
- Lidl, R. i Pilz, G. (1998). Stosowana algebra abstrakcyjna , teksty licencjackie z matematyki , Springer-Verlag. ISBN 0-387-98290-6
- Quine, WV (1951). Logika matematyczna , wydanie poprawione. Przedruk 2003, Harvard University Press. ISBN 0-674-55451-5
- Gunther Schmidt, 2010. Matematyka relacyjna . Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7 .
Zewnętrzne linki
- „Refleksyjność” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]