Błąd aproksymacji - Approximation error

Wykres (niebieski) z przybliżeniem liniowym (czerwony) przy a = 0. Błąd przybliżenia to odstęp między krzywymi, który rośnie dla wartości x dalej od 0.${\ Displaystyle f (x) = e ^ {x}}$${\displaystyle P_{1}(x)=1+x}$

Błąd aproksymacji w niektórych danych jest rozbieżność pomiędzy dokładną wartość i pewnego zbliżenia do niego. Błąd aproksymacji może wystąpić, ponieważ:

1. pomiaru z danymi nie jest dokładne ze względu na instrumentach. (np. dokładny odczyt kartki papieru wynosi 4,5 cm, ale ponieważ linijka nie używa miejsc dziesiętnych, zaokrągla się ją do 5 cm.) lub
2. przybliżenia

W matematycznej zakresie analizy numerycznej The numeryczną stabilność o algorytm wskazuje jak błąd jest propagowana przez algorytm.

Formalna definicja

Powszechnie rozróżnia się błąd względny i błąd absolutny.

Biorąc pod uwagę pewną wartość v i jej przybliżenie v _ok , błąd bezwzględny wynosi

${\ Displaystyle \ epsilon = | v-v_ {\ tekst {ok}} | \ ,}$

gdzie pionowe kreski oznaczają wartość bezwzględną . Jeśli błąd względny jest ${\displaystyle v\neq 0,}$

${\ Displaystyle \ eta = {\ Frac {\ epsilon} {| v |}} = \ lewo | {\ Frac {v-v_ {\ tekst {ok}}} {v}} \ po prawej | = \ po lewej | 1 -{\frac {v_{\text{ok}}}{v}}\right|,}$

a błąd procentowy to

${\ Displaystyle \ delta = 100 \$

Słowem, błąd bezwzględny to wielkość różnicy między dokładną wartością a przybliżeniem. Błąd względny to błąd bezwzględny podzielony przez wielkość dokładnej wartości. Błąd procentowy to błąd względny wyrażony w przeliczeniu na 100.

Granica błędu to górna granica względnego lub bezwzględnego rozmiaru błędu aproksymacji.

Uogólnienia

Definicje te można rozszerzyć do przypadku, gdy i są wektorami n- wymiarowymi , zastępując wartość bezwzględną n -normą . ${\displaystyle v}$${\displaystyle v_{\tekst{ok}}}$

Przykłady

Najlepsze wymierne aproksymacje dla π (zielone kółko), e (niebieski romb), ϕ (różowy prostokąt), (√3)/2 (szary sześciokąt), 1/√2 (czerwony ośmiokąt) i 1/√3 (pomarańczowy trójkąt) obliczone na podstawie ich ciągłych rozwinięć ułamkowych, wykreślonych jako nachylenia y / x z błędami od ich prawdziwych wartości (czarne kreski)  

• v
• t
• mi

Na przykład, jeśli dokładna wartość wynosi 50, a przybliżenie 49,9, to błąd bezwzględny wynosi 0,1, a błąd względny 0,1/50 = 0,002 = 0,2%. Innym przykładem byłoby, gdyby przy pomiarze zlewki o pojemności 6 ml odczytana wartość wynosiła 5 ml. Prawidłowy odczyt to 6 ml, co oznacza, że ​​błąd procentowy w tej konkretnej sytuacji wynosi po zaokrągleniu 16,7%.

Błąd względny jest często używany do porównywania przybliżeń liczb o bardzo różnej wielkości; na przykład aproksymacja liczby 1000 z błędem bezwzględnym 3 jest w większości zastosowań znacznie gorsza niż aproksymacja liczby 1 000 000 z błędem bezwzględnym 3; w pierwszym przypadku błąd względny wynosi 0,003, aw drugim tylko 0,000003.

Należy pamiętać o dwóch cechach błędu względnego. Po pierwsze, błąd względny jest niezdefiniowany, gdy prawdziwa wartość wynosi zero, tak jak pojawia się w mianowniku (patrz poniżej). Po drugie, błąd względny ma sens tylko wtedy, gdy jest mierzony na skali ilorazowej (tj. skali, która ma prawdziwe znaczące zero), w przeciwnym razie byłby wrażliwy na jednostki miary. Na przykład, gdy błąd bezwzględny pomiaru temperatury podany w skali Celsjusza wynosi 1°C, a wartość rzeczywista wynosi 2°C, błąd względny wynosi 0,5, a błąd procentowy 50%. W tym samym przypadku, gdy temperatura jest podana w stopniach Kelwina , ten sam błąd bezwzględny 1 K z tego samego prawdziwej wartości 275.15 K daje błąd względny 3,63 x 10 ^{- 3} i błąd procent tylko 0,363%. Temperatura Celsjusza jest mierzona na skali interwałowej , podczas gdy skala Kelvina ma prawdziwe zero, a więc jest skalą ilorazową.

Instrumenty

W większości przyrządów wskazujących dokładność jest gwarantowana do pewnego procentu odczytu w pełnej skali. Granice tych odchyleń od określonych wartości są znane jako błędy graniczne lub błędy gwarancyjne.

Zobacz też

• Akceptowana i eksperymentalna wartość
• Względna różnica
• Niepewność
• Eksperymentalna analiza niepewności
• Propagacja niepewności
• Błędy i reszty w statystykach
• Błąd zaokrąglenia
• Błąd kwantyzacji
• Niepewność pomiaru
• Błąd pomiaru
• Maszyna epsilon

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Błąd procentowy” . MatematykaŚwiat .