Powierzchnia Riemanna - Riemann surface

Powierzchnia Riemanna dla funkcji f ( Z ) =  √ oo . Dwa poziome osie reprezentują rzeczywistych i urojonych części Z , a oś pionowa przedstawia część rzeczywistą √ Z . Urojona część √ Z reprezentuje zabarwienia punktów. Dla tej funkcji jest to również wysokość po obróceniu wykresu o 180° wokół osi pionowej.

W matematyce , szczególnie w analizie zespolonej , powierzchnia Riemanna jest jednowymiarową rozmaitością złożoną . Powierzchnie te zostały po raz pierwszy zbadane i nazwane na cześć Bernharda Riemanna . Powierzchnie Riemanna można traktować jako zdeformowane wersje płaszczyzny zespolonej : lokalnie w pobliżu każdego punktu wyglądają jak plamy płaszczyzny zespolonej, ale topologia globalna może być zupełnie inna. Na przykład mogą wyglądać jak kula lub torus lub kilka sklejonych ze sobą arkuszy.

Główne zainteresowanie powierzchniami Riemanna polega na tym, że między nimi można zdefiniować funkcje holomorficzne . Powierzchnie Riemanna są obecnie uważane za naturalne miejsce do badania globalnego zachowania tych funkcji, zwłaszcza funkcji wielowartościowych, takich jak pierwiastek kwadratowy i inne funkcje algebraiczne lub logarytm .

Każda powierzchnia Riemanna jest dwuwymiarową rzeczywistą rozmaitością analityczną (tj. powierzchnią ), ale zawiera więcej struktury (w szczególności strukturę złożoną ), która jest potrzebna do jednoznacznego zdefiniowania funkcji holomorficznych. Dwuwymiarowa rozmaitość rzeczywista może zostać przekształcona w powierzchnię Riemanna (zwykle na kilka nierównoważnych sposobów) wtedy i tylko wtedy, gdy jest orientowalna i metryzowalna . Tak więc kula i torus dopuszczają złożone struktury, ale wstęga Möbiusa , butelka Kleina i rzeczywista płaszczyzna rzutowa nie.

Fakty geometryczne dotyczące powierzchni Riemanna są tak „ładne”, jak to tylko możliwe i często dostarczają intuicji i motywacji do uogólnień na inne krzywe, rozmaitości lub odmiany. Twierdzenie Riemanna-Rocha jest doskonałym przykładem tego wpływu.

Definicje

Istnieje kilka równoważnych definicji powierzchni Riemanna.

1. Powierzchnia Riemanna X jest połączoną złożoną rozmaitością o złożonym wymiarze jeden. To oznacza, że X jest połączona przestrzeń Hausdorff które są obdarzone atlasu z wykresów do otwartego dyskowego w płaszczyźnie zespolonej : dla każdego punktu x ∈ X jest sąsiedztwo z X to homeomorficzny do otwartego dyskowego kompleksu samolot, a mapy przejść między dwoma nakładającymi się wykresami muszą być holomorficzne .
2. Powierzchnia Riemanna to zorientowana rozmaitość drugiego wymiaru (rzeczywistego) – powierzchnia dwustronna – wraz ze strukturą konforemną . Ponownie, środki rur, który lokalnie w każdym punkcie X do X , przestrzeń jest homeomorficzny podzbioru rzeczywistej płaszczyzny. Dodatek „Riemann” oznacza, że X posiada dodatkową strukturę, która umożliwia pomiar kąta na rozmaitości, a mianowicie klasę równoważności tak zwanych metryk Riemanna . Dwie takie metryki są uważane za równoważne, jeśli kąty, które mierzą, są takie same. Wybór klasy równoważności metryk na X jest dodatkowym punktem odniesienia struktury konforemnej.

Złożona struktura daje początek strukturze konforemnej, wybierając standardową metrykę euklidesową podaną na płaszczyźnie zespolonej i przenosząc ją do X za pomocą wykresów. Wykazanie, że struktura konforemna determinuje strukturę złożoną jest trudniejsze.

Przykłady

Kula Riemanna.

Torus.

• 

  f ( z ) = arcsin z

• 

  f ( z ) = log z

• 

  f ( z ) = z ^1/2

• 

  f ( z ) = z ^1/3

• 

  f ( z ) = z ^1/4

Dalsze definicje i właściwości

Tak jak w przypadku jakiegokolwiek mapie pomiędzy złożonymi rurami rozgałęźnymi, A funkcja f : M → N między dwoma powierzchniami Riemanna M i N są nazywane holomorficzny jeśli dla każdego wykresu g w Atlas z M i każdego wykresu h w atlasu N MAP h ∘ F ∘ g ^-1 jest holomorficzny (jako funkcja od C do C ), gdziekolwiek jest zdefiniowany. Kompozycja dwóch map holomorficznych jest holomorficzna. Dwie powierzchnie Riemanna M i N są nazywane biholomorficznymi (lub konformalnie równoważnymi, aby podkreślić konformalny punkt widzenia), jeśli istnieje bijektywna funkcja holomorficzna od M do N, której odwrotność jest również holomorficzna (okazuje się, że ten drugi warunek jest automatyczny i może dlatego należy je pominąć). Dwie konformalnie równoważne powierzchnie Riemanna są pod każdym względem identyczne.

Orientacyjność

Każda powierzchnia Riemanna, będąca rozmaitością złożoną, jest orientowana jak rozmaitość rzeczywista. Dla złożonych wykresów f i g z funkcją przejścia h = f ( g ^-1 ( z )), h można traktować jako odwzorowanie z otwartego zbioru R ² do R ^{2 ,} którego jakobian w punkcie z jest po prostu rzeczywistym odwzorowaniem liniowym dane przez pomnożenie przez liczbę zespoloną h '( z ). Jednak rzeczywisty wyznacznik mnożenia przez liczbę zespoloną α wynosi | α | ² , więc jakobian h ma dodatni wyznacznik. W konsekwencji kompleksowy atlas jest atlasem zorientowanym.

Funkcje

Każda niezwarta powierzchnia Riemanna dopuszcza niestałe funkcje holomorficzne (o wartościach w C ). W rzeczywistości każda niezwarta powierzchnia Riemanna jest rozmaitością Steina .

W przeciwieństwie do tego, na zwartej powierzchni Riemanna X każda funkcja holomorficzna o wartościach w C jest stała ze względu na zasadę maksimum . Jednak zawsze istnieją niestałe funkcje meromorficzne ( funkcje holomorficzne o wartościach w sferze Riemanna C ∪ {∞}). Bardziej szczegółowo, dziedzina funkcji z X jest skończoną przedłużenie od C ( t ), pole funkcji jednej zmiennej, to znaczy każde dwie funkcje meromorficzne są algebraicznie zależne. To stwierdzenie uogólnia się na wyższe wymiary, patrz Siegel (1955) . Funkcje meromorficzne można podać dość wyraźnie, w kategoriach funkcji teta Riemanna i mapy powierzchni Abela-Jacobiego .

Analityczne a algebraiczne

Istnienie niestałych funkcji meromorficznych można wykorzystać do wykazania, że ​​każda zwarta powierzchnia Riemanna jest odmianą rzutową , tj. może być dana równaniami wielomianowymi wewnątrz przestrzeni rzutowej . Właściwie można wykazać, że każda zwarta powierzchnia Riemanna może być osadzona w złożonej trójwymiarowej przestrzeni rzutowej . Jest to zaskakujące twierdzenie: powierzchnie Riemanna są podawane przez lokalnie załatane wykresy. Jeśli dodamy jeden warunek globalny, a mianowicie zwartość, powierzchnia jest z konieczności algebraiczna. Ta cecha powierzchni Riemanna pozwala na ich badanie za pomocą metod geometrii analitycznej lub algebraicznej . Odpowiadające temu zdanie dla obiektów wyższych wymiarów jest fałszywe, tzn. istnieją zwarte zespolone dwurozmaitoniki, które nie są algebraiczne. Z drugiej strony, każda rzutowa rozmaitość zespolona jest z konieczności algebraiczna, patrz twierdzenie Chowa .

Jako przykład rozważmy torus T  :=  C /( Z  +  τ Z ). Funkcja Weierstrassa należąca do sieci Z  +  τ Z jest funkcją meromorficzną na T . Ta funkcja i jej pochodna generują pole funkcji T . Jest równanie ${\ Displaystyle \ wp _ {\ tau} (z)}$ ${\ Displaystyle \ wp _ {\ tau} '(z)}$

${\displaystyle [\wp '(z)]^{2}=4[\wp(z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},}$

gdzie współczynniki g ₂ i g ₃ zależą od τ, dając w ten sposób krzywą eliptyczną E _τ w sensie geometrii algebraicznej. Odwrócenie tego jest realizowane przez j-niezmiennik j ( E ), który może być użyty do określenia τ, a zatem torusa.

Klasyfikacja powierzchni Riemanna

Zbiór wszystkich powierzchni Riemanna można podzielić na trzy podzbiory: hiperboliczne, paraboliczne i eliptyczne powierzchnie Riemanna. Geometrycznie odpowiadają one powierzchniom o ujemnej, zanikającej lub dodatniej stałej krzywiźnie przekroju . Oznacza to, że każda połączona powierzchnia Riemanna przyjmuje unikatową, kompletną, dwuwymiarową metrykę Riemanna o stałej krzywiźnie równej lub należącej do konforemnej klasy metryk Riemanna, określonej przez jej strukturę jako powierzchnię Riemanna. Można to postrzegać jako konsekwencję istnienia współrzędnych izotermicznych . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle -1,0}$${\ Displaystyle 1}$

W złożonych kategoriach analitycznych twierdzenie o uniformizacji Poincaré-Koebe (uogólnienie twierdzenia Riemanna o odwzorowaniu ) stwierdza, że ​​każda po prostu połączona powierzchnia Riemanna jest konformalnie równoważna z jednym z poniższych:

• Sfera Riemanna , która jest izomorficzna z  ;${\ Displaystyle {\ widehat {\ mathbf {C}}}: = \ mathbf {C} \ filiżanka \ {\ infty \}}$${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {1} (\ mathbf {C})}$
• Płaszczyzna złożona ;${\ Displaystyle \ mathbf {C} }$
• Otwarty na dysku , który jest izomorficzna z górnej półpłaszczyźnie .${\ Displaystyle \ mathbf {D} : = \ {z \ w \ mathbf {C}: | z | <1 \}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {H} : = \ {z \ w \ mathbf {C} : \ operatorname {im} (z)> 0 \}}$

Powierzchnia Riemanna jest eliptyczna, paraboliczna lub hiperboliczna w zależności od tego, czy jej uniwersalna osłona jest izomorficzna z , lub . Elementy w każdej klasie pozwalają na dokładniejszy opis. ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {1} (\ mathbf {C})}$${\ Displaystyle \ mathbf {C} }$${\ Displaystyle \ mathbf {D}}$

Eliptyczne powierzchnie Riemanna

Sfera Riemanna jest jedynym przykładem, ponieważ nie istnieje grupa działająca na nią poprzez transformacje biholomorficzne swobodnie i prawidłowo nieciągłe, a zatem każda powierzchnia Riemanna, której uniwersalna pokrywa jest izomorficzna z nią, sama musi być z nią izomorficzna. ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {1} (\ mathbf {C})}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {1} (\ mathbf {C})}$

Paraboliczne powierzchnie Riemanna

Jeżeli jest powierzchnią Riemanna, której pokrycie uniwersalne jest izomorficzne z płaszczyzną zespoloną, to jest to izomorficzna jedna z następujących powierzchni: ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbf {C} }$

• ${\ Displaystyle \ mathbf {C} }$ samo;
• Iloraz ;${\ Displaystyle \ mathbf {C} / \ mathbf {Z}}$
• Iloraz gdzie z .${\ Displaystyle \ mathbf {C} / (\ mathbf {Z} + \ mathbf {Z} \ tau)}$${\ Displaystyle \ tau \ w \ mathbf {C}}$${\ Displaystyle \ operatorname {im} (\ tau)> 0}$

Topologicznie istnieją tylko trzy typy: płaszczyzna, walec i torus . Ale podczas gdy w dwóch pierwszych przypadkach (paraboliczna) struktura powierzchni Riemanna jest unikalna, zmiana parametru w trzecim przypadku daje nieizomorficzne powierzchnie Riemanna. Opis przez parametr daje przestrzeń Teichmüllera „zaznaczonych” powierzchni Riemanna (oprócz struktury powierzchni Riemanna dodaje się dane topologiczne „zaznaczenia”, które można postrzegać jako stały homeomorfizm torusa). Aby otrzymać analityczną przestrzeń modułów (zapominając oznaczenie) bierze się iloraz przestrzeni Teichmüllera przez grupę klas odwzorowania . W tym przypadku jest to krzywa modularna . ${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle \ tau}$

Hiperboliczne powierzchnie Riemanna

W pozostałych przypadkach jest to hiperboliczna powierzchnia Riemanna, czyli izomorficzna do ilorazu górnej półpłaszczyzny przez grupę fuchsowską (jest to czasami nazywane modelem fuchsowskim dla powierzchni). Topologicznym typem może być dowolna orientowana powierzchnia z wyjątkiem torusa i kuli . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Szczególnie interesujący jest przypadek, gdy jest zwarty. Następnie jego typ topologiczny jest opisany przez rodzaj . Jego przestrzeń Teichmüllera i przestrzeń moduli są -wymiarowe. Można podać podobną klasyfikację powierzchni Riemanna typu skończonego (czyli homeomorficznego do powierzchni zamkniętej minus skończona liczba punktów). Ogólnie jednak przestrzeń moduli powierzchni Riemanna o nieskończonym typie topologicznym jest zbyt duża, aby przyjąć taki opis. ${\ Displaystyle X}$${\displaystyle g\geq 2}$${\ Displaystyle 6g-6}$

Mapy pomiędzy powierzchniami Riemanna

Klasyfikacja geometryczna widoczne na mapach pomiędzy powierzchniami Riemanna, jak opisano w tw Liouville'a i twierdzenia mały Picard maps z hiperbolicznej do paraboliczne do eliptycznych są łatwe, ale mapy z eliptycznych do paraboliczny lub paraboliczne do hiperboliczny są bardzo ograniczone (w istocie, na ogół stała !). W sferze występują inkluzje dysku w płaszczyźnie: ale każde odwzorowanie holomorficzne ze sfery na płaszczyznę jest stałe, każde odwzorowanie holomorficzne z płaszczyzny na dysk jednostkowy jest stałe (twierdzenie Liouville'a), a właściwie każde odwzorowanie holomorficzne z płaszczyzna do płaszczyzny minus dwa punkty jest stała (twierdzenie Małego Picarda)! ${\ Displaystyle \ Delta \ podzbiór \ mathbf {C} \ podzbiór {\ widehat {\ mathbf {C}}}}$

Przebite kule

Stwierdzenia te są wyjaśnione przez rozważenie typu kuli Riemanna z wieloma przebiciami. Bez przebić, jest to sfera Riemanna, która jest eliptyczna. Z jednym przebiciem, które można umieścić w nieskończoności, jest to płaszczyzna złożona, która jest paraboliczna. W przypadku dwóch nakłuć, jest to przebita płaszczyzna lub alternatywnie pierścień lub cylinder, który jest paraboliczny. Przy trzech lub więcej przebiciach jest hiperboliczny – porównaj parę spodni . Można odwzorować od jednego przebicia do dwóch, za pomocą mapy wykładniczej (która jest pełna i ma zasadniczą osobliwość w nieskończoności, więc nie jest zdefiniowana w nieskończoności i nie trafia do zera i nieskończoności), ale wszystkie mapy od zera do jednego lub więcej przebić, lub jedno lub dwa nakłucia do trzech lub więcej są stałe. ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {C}}}}$

Rozgałęzione przestrzenie osłonowe

Kontynuując w tym duchu, zwarte powierzchnie Riemanna mogą być mapowane na powierzchnie niższego rodzaju, ale nie do wyższego rodzaju, z wyjątkiem map stałych. Dzieje się tak, ponieważ mapy holomorficzne i meromorficzne zachowują się lokalnie tak, jak mapy niestałe są rozgałęzionymi mapami pokrywającymi , a dla zwartych powierzchni Riemanna są one ograniczone przez wzór Riemanna-Hurwitza w topologii algebraicznej , który wiąże charakterystykę Eulera przestrzeni i rozgałęzionego pokrycia . ${\ Displaystyle Z \ mapsto Z ^ {n},}$

Na przykład hiperboliczne powierzchnie Riemanna to rozgałęzione przestrzenie pokrywające sferę (mają niestałe funkcje meromorficzne), ale sfera nie pokrywa się ani w żaden inny sposób nie mapuje do wyższych powierzchni rodzaju, chyba że jako stała.

Izometrie powierzchni Riemanna

Grupa izometryczna ujednoliconej powierzchni Riemanna (odpowiednik grupy automorfizmu konformalnego ) odzwierciedla jej geometrię:

• rodzaj 0 – grupa izometryczna sfery to grupa Möbiusa przekształceń rzutowych prostej zespolonej,
• grupa izometryczna płaszczyzny to podgrupa ustalająca nieskończoność, a płaszczyzny przebitej to podgrupa pozostawiająca niezmienny zbiór zawierający tylko nieskończoność i zero: albo ustalając je obie, albo zamieniając je (1/ z ).
• grupa izometryczna górnej półpłaszczyzny jest rzeczywistą grupą Möbiusa; jest to sprzężone z grupą automorfizmu dysku.
• rodzaj 1 – grupa izometryczna torusa jest na ogół translacjami (jako odmiana abelowa ), chociaż krata kwadratowa i sześciokątna mają symetrie addycyjne z obrotu o 90° i 60°.
• Dla rodzaju g ≥ 2, grupa izometryczna jest skończona i ma rząd co najwyżej 84( g- 1), według twierdzenia Hurwitza o automorfizmach ; powierzchnie, które realizują to ograniczenie, nazywane są powierzchniami Hurwitza.
• Wiadomo, że każda skończona grupa może być zrealizowana jako pełna grupa izometrii jakiejś powierzchni Riemanna.
  • W przypadku rodzaju 2 kolejność jest zmaksymalizowana przez powierzchnię Bolza , z porządkiem 48.
  • W przypadku rodzaju 3 kolejność jest maksymalizowana przez kwartykę Kleina z porządkiem 168; jest to pierwsza powierzchnia Hurwitza, a jej grupa automorfizmu jest izomorficzna z unikalną grupą prostą rzędu 168, która jest drugą najmniejszą nieabelową grupą prostą. Ta grupa jest izomorficzna zarówno z PSL(2,7) jak i PSL(3,2) .
  • W przypadku rodzaju 4 powierzchnia Bringa jest powierzchnią wysoce symetryczną.
  • W przypadku rodzaju 7 kolejność jest zmaksymalizowana przez powierzchnię Macbeath , z porządkiem 504; jest to druga powierzchnia Hurwitza, a jej grupa automorfizmu jest izomorficzna z PSL(2,8), czwartą najmniejszą nieabelową grupą prostą.

Klasyfikacja funkcjonalno-teoretyczna

Powyższy schemat klasyfikacji jest zwykle używany przez geometrów. Istnieje inna klasyfikacja powierzchni Riemanna, która jest zwykle stosowana przez złożonych analityków. Stosuje inną definicję terminów „paraboliczny” i „hiperboliczny”. W tym alternatywnym schemacie klasyfikacji powierzchnia Riemanna jest nazywana paraboliczną, jeśli na powierzchni nie ma niestałych ujemnych funkcji subharmonicznych i jest inaczej nazywana hiperboliczną . Ta klasa powierzchni hiperbolicznych jest dalej dzielona na podklasy w zależności od tego, czy przestrzenie funkcyjne inne niż ujemne funkcje subharmoniczne są zdegenerowane, np. powierzchnie Riemanna, na których wszystkie ograniczone funkcje holomorficzne są stałe, lub na których wszystkie ograniczone funkcje harmoniczne są stałe, lub na których wszystkie dodatnie funkcje harmoniczne są stałe itp.

Aby uniknąć nieporozumień, klasyfikację opartą na metrykach stałej krzywizny nazywamy klasyfikacją geometryczną , a klasyfikację opartą na degeneracji przestrzeni funkcyjnych klasyfikacją funkcjonalno-teoretyczną . Na przykład powierzchnia Riemanna składająca się z „wszystkich liczb zespolonych oprócz 0 i 1” jest paraboliczna w klasyfikacji funkcji teoretycznej, ale jest hiperboliczna w klasyfikacji geometrycznej.

Zobacz też

• Dessin d'enfant
• Rozdzielacz Kählera
• Powierzchnia Lorentza
• Mapowanie grupy klas

Twierdzenia dotyczące powierzchni Riemanna

• Twierdzenie o rozgałęzieniu
• Twierdzenie o automorfizmach Hurwitza
• Twierdzenie o tożsamości dla powierzchni Riemanna
• Twierdzenie Riemanna-Rocha
• Wzór Riemanna-Hurwitza

Uwagi

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• „Powierzchnia Riemanna” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]