Pierścień wielomianowy - Polynomial ring

W matematyce , zwłaszcza w dziedzinie Algebra , A wielomian pierścień lub wielomian Algebra jest do pierścienia (który również algebrę ) uformowany z zestawu z wielomianów w jednym lub więcej wielomianami (tradycyjnie zwane również zmienne ), ze współczynnikami w innym pierścieniem , często pole .

Często termin „pierścień wielomianowy” odnosi się domyślnie do szczególnego przypadku pierścienia wielomianowego w jednym nieokreślonym polu. Znaczenie takich wielomianowych pierścieni zależy od dużej liczby właściwości, które mają one wspólne z pierścieniem liczb całkowitych .

Pierścienie wielomianowe występują i są często fundamentalne w wielu dziedzinach matematyki, takich jak teoria liczb , algebra przemienna i geometria algebraiczna . W teorii pierścienia , wiele klas pierścienie, takie jak pierścień z jednoznacznością rozkładu , regularne pierścienie , pierścienie grupowe , pierścienie formalnego szeregu potęgowego , wielomiany Ore , sortowane pierścienie , które zostały wprowadzone do uogólniania pewne właściwości wielomianowych pierścieni.

Blisko spokrewnionym pojęciem jest pojęcie pierścienia funkcji wielomianowych na przestrzeni wektorowej i, bardziej ogólnie, pierścienia funkcji regularnych na rozmaitości algebraicznej .

Definicja (przypadek jednowymiarowy)

Pierścień wielomianów , K [ X ] , w X nad zakresu (lub, bardziej ogólnie, przemienne pierścień ) K może być określona (są inne równoważne definicje, które są powszechnie stosowane), jako zestaw wyrażeń zwane wielomiany w X , formy

gdzie P 0 , P 1 , ..., p m , że współczynniki z p są elementy K , P m ≠ 0 , jeżeli m > 0 , a X , X 2 , ..., symbole, które są uważane za "mocy" o X , i postępuj zgodnie ze zwykłymi regułami potęgowania : X 0 = 1 , X 1 = X , i dla dowolnych nieujemnych liczb całkowitych k i l . Symbol X nazywamy nieokreślonym lub zmiennym. (Termin „zmienna” pochodzi z terminologii funkcji wielomianowych . Jednak tutaj X nie ma żadnej wartości (poza sobą) i nie może się zmieniać, będąc stałą w pierścieniu wielomianowym.)

Dwa wielomiany są równe, gdy odpowiednie współczynniki każdego X k są równe.

Można myśleć o pierścieniu K [ X ] jako powstającym z K przez dodanie jednego nowego elementu X, który jest zewnętrzny względem K , łączy się ze wszystkimi elementami K i nie ma innych specyficznych właściwości. (Może być używany do definiowania pierścieni wielomianowych).

Pierścień wielomianowy w X nad K jest wyposażony w dodawanie, mnożenie i mnożenie przez skalar, które czynią go algebrą przemienną . Operacje te są zdefiniowane zgodnie ze zwykłymi zasadami manipulowania wyrażeniami algebraicznymi. W szczególności, jeśli

oraz

następnie

oraz

gdzie k = max( m , n ), l = m + n ,

oraz

W tych wzorach wielomiany p i q są rozszerzane przez dodanie „terminów fikcyjnych” o zerowych współczynnikach, tak że wszystkie p i oraz q i pojawiające się we wzorach są zdefiniowane. W szczególności, jeśli m < n , wtedy p i = 0 dla m < in .

Mnożenie skalarne jest szczególnym przypadkiem mnożenia, w którym p = p 0 sprowadza się do stałego członu (wyrazu niezależnego od X ); to jest

Łatwo jest sprawdzić, czy te trzy operacje spełniają aksjomaty algebry przemiennej nad K . Dlatego pierścienie wielomianowe są również nazywane algebrami wielomianowymi .

Często preferowana jest inna równoważna definicja, choć mniej intuicyjna, ponieważ łatwiej jest uczynić ją całkowicie rygorystyczną, która polega na zdefiniowaniu wielomianu jako nieskończonego ciągu ( p 0 , p 1 , p 2 , …) elementów K , mających Właściwość, że tylko skończona liczba elementów jest niezerowa, lub równoważnie, sekwencja, dla której istnieje pewna liczba m , tak że p n = 0 dla n > m . W tym przypadku p 0 i X są traktowane jako alternatywne zapisy odpowiednio dla sekwencji ( p 0 , 0, 0, …) i (0, 1, 0, 0, …) . Proste użycie reguł działania pokazuje, że wyrażenie

jest wtedy alternatywną notacją dla ciągu

( p 0 , p 1 , p 2 , …, p m , 0, 0, …) .

Terminologia

Pozwolić

być niezerowym wielomianem z

Stały okres od p jest wynosi zero w przypadku wielomianu zerowego.

Stopień z p , napisany ° C ( P ) jest największym K tak, że współczynnik X K nie jest równe zero.

Prowadzi współczynnik z p jest

W szczególnym przypadku wielomianu zerowego, którego wszystkie współczynniki wynoszą zero, wiodący współczynnik jest niezdefiniowany, a stopień został różnie niezdefiniowany, zdefiniowany jako −1 lub zdefiniowany jako −∞ .

Stałej wielomianu jest albo zerem wielomianowej lub wielomianem stopnia zerowego.

Niezerowy wielomian monic jeśli współczynnik jest przednia

Mając dwa wielomiany p i q , jeden ma

i nad polem lub ogólniej integralną domeną ,

Wynika z tego natychmiast, że jeśli K jest dziedziną całkową, to tak samo jest z K [ X ] .

Wynika z tego również, że jeśli K jest dziedziną integralną, wielomian jest jednostką (czyli ma odwrotność multiplikatywną ) wtedy i tylko wtedy, gdy jest stała i jest jednostką w K .

Dwa wielomiany są skojarzone, jeśli jeden z nich jest iloczynem drugiego przez jednostkę.

Na polu każdy niezerowy wielomian jest powiązany z unikalnym wielomianem monicznym.

Podane dwa wielomiany, p i q , jeden mówi, że p dzieli q , p jest dzielnikiem z Q lub q jest wielokrotnością p , jeżeli istnieje wielomian R takie, że q = pr .

Wielomian jest nierozkładalny, jeśli nie jest iloczynem dwóch niestałych wielomianów lub równoważnie, jeśli jego dzielniki są albo stałymi wielomianami, albo mają ten sam stopień.

Ocena wielomianowa

Niech K będzie polem lub, bardziej ogólnie, pierścieniem przemiennym , a R pierścieniem zawierającym K . Dla dowolnego wielomianu p w K [ X ] i dowolnego elementu a w R , podstawienie X za a w p definiuje element R , który jest oznaczony jako P ( a ) . Pierwiastek ten otrzymuje się przeprowadzając w R po podstawieniu operacje wskazane przez wyrażenie wielomianu. To obliczenie jest nazywany ocenę z P na . Na przykład, jeśli mamy

mamy

(w pierwszym przykładzie R = K , aw drugim R = K [ X ] ). Podstawienie X dla siebie skutkuje

wyjaśnienie, dlaczego zdania „Niech P będzie wielomianem” i „Niech P ( X ) będzie wielomianem” są równoważne.

Funkcja wielomianu zdefiniowana przez wielomian P jest funkcją od K do K zdefiniowaną przez Jeśli K jest ciałem nieskończonym, dwa różne wielomiany definiują różne funkcje wielomianowe, ale ta właściwość jest fałszywa dla ciał skończonych. Na przykład, jeśli K jest polem o q elementach, to wielomiany 0 i X qX definiują funkcję zerową.

Dla każdego a w R , ocena w a , czyli mapa definiuje homomorfizm algebry od K [ X ] do R , który jest unikalnym homomorfizmem od K [ X ] do R , który ustala K , i odwzorowuje X na a . Innymi słowy, K [ X ] ma następującą uniwersalną własność . Dla każdego pierścienia R zawierającego K i każdego elementu a z R istnieje unikalny homomorfizm algebry od K [ X ] do R , który ustala K i odwzorowuje X na a . Jak w przypadku wszystkich właściwości uniwersalnych, definiuje to parę ( K [ X ], X ) aż do unikalnego izomorfizmu, a zatem może być traktowane jako definicja K [ X ] .

Wielomiany jednowymiarowe nad ciałem

Jeżeli K jest pole , wielomian pierścień K [ X ] ma wiele właściwości, które są podobne do tych z pierścieniem liczb całkowitych Większość tych podobieństw wynikać z podobieństwa między dłuższą podziału całkowite i długi podziału wielomianu .

Większość właściwości K [ X ] wymienionych w tej sekcji nie pozostaje prawdziwa, jeśli K nie jest polem lub jeśli weźmie się pod uwagę wielomiany w kilku nieokreślonych.

Podobnie jak w przypadku liczb całkowitych, euklidesowy podział wielomianów ma właściwość unikalności. Oznacza to, że przy danych dwóch wielomianach a i b ≠ 0 w K [ X ] , istnieje unikalna para ( q , r ) wielomianów takich, że a = bq + r , i albo r = 0 albo deg( r ) < deg( b ) . To sprawia, że K [ X ] jest domeną euklidesową . Jednak większość innych domen euklidesowych (z wyjątkiem liczb całkowitych) nie ma żadnej właściwości unikalności dzielenia ani łatwego algorytmu (takiego jak dzielenie długie) do obliczania dzielenia euklidesowego.

Podział euklidesowy jest podstawą algorytmu euklidesowego dla wielomianów, który oblicza największy wspólny dzielnik dwóch wielomianów. Tutaj „największy” oznacza „mający maksymalny stopień” lub, równoważnie, maksymalny dla preorderu określonego przez stopień. Mając największy wspólny dzielnik dwóch wielomianów, pozostałe największe wspólne dzielniki otrzymuje się przez pomnożenie przez stałą niezerową (tzn. wszystkie największe wspólne dzielniki a i b są ze sobą powiązane). W szczególności, dwa wielomiany, które nie są zerowe, mają unikalny największy wspólny dzielnik, który jest moniczny (współczynnik wiodący równy1 ).

Rozszerzony algorytm Euklidesa pozwala obliczeniowej (i udowodnienia) tożsamość bézouta . W przypadku K [ X ] można to stwierdzić następująco. Mając dwa wielomiany p i q o odpowiednich stopniach m i n , jeśli ich moniczny największy wspólny dzielnik g ma stopień d , to istnieje unikalna para ( a , b ) wielomianów taka , że

oraz

(Aby było to prawdą w przypadku granicznym, w którym m = d lub n = d , należy określić jako ujemny stopień wielomianu zerowego. Co więcej, równość może wystąpić tylko wtedy, gdy p i q są ze sobą powiązane). raczej specyficzne dla K [ X ] . W przypadku liczb całkowitych taka sama właściwość ma wartość true, jeśli stopnie zostaną zastąpione przez wartości bezwzględnych, ale za to, że wyjątkowość, trzeba wymagać to > 0 .

Lemat Euklidesa dotyczy K [ X ] . To znaczy, jeśli a dzieli bc i jest względnie pierwsza z b , to a dzieli c . Tutaj coprime oznacza, że ​​moniczny największy wspólny dzielnik to:1 . Dowód: Zgodnie z hipotezą i identycznością Bézouta istnieją e , p i q takie, że ae = bc i 1 = ap + bq . Więc

Wyjątkowy faktoryzacji właściwość wynika z lematu Euklidesa. W przypadku liczb całkowitych jest to podstawowe twierdzenie arytmetyki . W przypadku K [ X ] , można stwierdzić, że: każdy wielomian niestały może być wyrażony w unikalny sposób jako iloczyn stałej i jednego lub kilku nierozkładalnych wielomianów monicznych; rozkład ten jest unikalny aż do kolejności czynników. Innymi słowy K [ X ] jest unikalną dziedziną faktoryzacji . Jeśli K jest ciałem liczb zespolonych, podstawowe twierdzenie algebry głosi, że wielomian jednowymiarowy jest nieredukowalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego stopień jest jeden. W tym przypadku unikatową własność faktoryzacji można przeformułować następująco: każdy niestały jednowymiarowy wielomian na liczbach zespolonych może być wyrażony w unikalny sposób jako iloczyn stałej i jednego lub kilku wielomianów postaci Xr ; rozkład ten jest unikalny aż do kolejności czynników. Dla każdego czynnika r jest pierwiastkiem wielomianu, a liczba wystąpień czynnika jest wielokrotnością odpowiadającego pierwiastka.

Pochodzenie

(Formal) pochodnej wielomianu

jest wielomianem

W przypadku wielomianów o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych jest to standardowa pochodna . Powyższy wzór określa pochodną wielomianu, nawet jeśli współczynniki należą do pierścienia, na którym nie zdefiniowano pojęcia granicy . Pochodna sprawia, że ​​pierścień wielomianowy staje się algebrą różniczkową .

Istnienie pochodnej jest jedną z głównych właściwości pierścienia wielomianowego, która nie jest dzielona z liczbami całkowitymi i ułatwia niektóre obliczenia na pierścieniu wielomianowym niż na liczbach całkowitych.

Faktoryzacja bez kwadratów

Interpolacja Lagrange'a

Rozkład wielomianowy

Faktoryzacja

Z wyjątkiem faktoryzacji, wszystkie poprzednie własności K [ X ]efektywne , ponieważ ich dowody, jak naszkicowano powyżej, są powiązane z algorytmami testowania własności i obliczania wielomianów, których istnienie zostało stwierdzone. Ponadto algorytmy te są wydajne, ponieważ ich złożoność obliczeniowa jest funkcją kwadratową wielkości wejściowej.

Sytuacja jest zupełnie inna w przypadku faktoryzacji: dowód unikalnej faktoryzacji nie daje żadnej wskazówki co do metody faktoryzacji. Już dla liczb całkowitych nie jest znany algorytm rozkładania ich na czynniki w czasie wielomianowym . Jest to podstawa kryptosystemu RSA , szeroko stosowanego do bezpiecznej komunikacji internetowej.

W przypadku K [ X ] współczynniki i metody ich obliczania silnie zależą od K . Na liczbach zespolonych wszystkie czynniki nieredukowalne (te, które nie mogą być dalej rozkładane na czynniki) mają stopień pierwszy, podczas gdy na liczbach rzeczywistych istnieją wielomiany nieredukowalne stopnia 2, a na liczbach wymiernych istnieją wielomiany nierozkładalne dowolnego stopień. Na przykład wielomian jest nieredukowalny na liczbach wymiernych, jest rozkładany na czynniki takie jak na liczby rzeczywiste i na liczby zespolone.

Istnienie algorytmu faktoryzacji zależy również od pola podłoża. W przypadku liczb rzeczywistych lub zespolonych twierdzenie Abela-Ruffiniego pokazuje, że pierwiastki niektórych wielomianów, a tym samym czynniki nieredukowalne, nie mogą być dokładnie obliczone. Dlatego algorytm faktoryzacji może obliczyć tylko przybliżenia czynników. Opracowano różne algorytmy do obliczania takich przybliżeń, patrz Odnajdywanie pierwiastków wielomianów .

Istnieje przykład ciała K takiego, że istnieją dokładne algorytmy operacji arytmetycznych K , ale nie może istnieć żaden algorytm rozstrzygania, czy wielomian postaci jest nierozkładalny, czy też jest iloczynem wielomianów niższego stopnia.

Z drugiej strony, nad liczbami wymiernymi i nad ciałami skończonymi sytuacja jest lepsza niż w przypadku faktoryzacji liczb całkowitych , ponieważ istnieją algorytmy faktoryzacji, które mają złożoność wielomianową . Są one implementowane w większości systemów algebry komputerowej ogólnego przeznaczenia .

Minimalny wielomian

Jeśli θ jest elementem asocjacyjnej K -algebry L , ocena wielomianowa w θ jest unikalnym homomorfizmem algebry φ z K [ X ] do L , który odwzorowuje X na θ i nie wpływa na elementy samego K (jest to tożsamość mapa na K ). Polega na zastąpieniu X przez θ w każdym wielomianu. To jest,

Obrazem tego homomorfizmu oceny jest podalgebra generowana przez x , która jest z konieczności przemienna. Jeśli φ jest injekcją, podalgebra generowana przez θ jest izomorficzna z K [ X ] . W tym przypadku ta podalgebra jest często oznaczana przez K [ θ ] . Niejednoznaczność notacji jest generalnie nieszkodliwa ze względu na izomorfizm.

Jeśli homomorfizm oceny nie jest injektywny, oznacza to, że jego jądro jest niezerowym ideałem , składającym się ze wszystkich wielomianów, które stają się zerem, gdy X zostanie zastąpione przez θ . To idealny obejmuje wszystkie wielokrotności pewnego Monic wielomianu, który nazywa się minimalny wielomian z x . Termin minimalny jest motywowany faktem, że jego stopień jest minimalny wśród stopni elementów ideału.

Istnieją dwa główne przypadki, w których brane są pod uwagę wielomiany minimalne.

W teorii pola i teorii liczb , element θ o polu rozszerzenia L z K jest algebraiczna przez K , jeśli jest pierwiastkiem pewnym wielomianem współczynników K . Minimalny wielomian przez K z θ jest zatem monic wielomianem minimalnym stopniu, że ma θ jako pierwiastka. Ponieważ L jest ciałem, ten wielomian minimalny jest z konieczności nieredukowalny po K . Na przykład, minimalny wielomian (nad liczbami rzeczywistymi, jak i przez wymierne) liczby zespolonej i to . W wielomian cyklotomiczny są minimalne wielomiany tych korzeni jedności .

W liniowym Algebra The n x n kwadratowych macierzy ponad K stanowią asocjacyjny K -algebrze o skończonym wymiarze (jako przestrzeń wektorową). Dlatego homomorfizm oceny nie może być iniekcyjny, a każda macierz ma minimalny wielomian (niekoniecznie nieredukowalny). Według twierdzenia Cayleya-Hamiltona , homomorfizm oceny mapuje do zera charakterystyczny wielomian macierzy. Wynika z tego, że wielomian minimalny dzieli wielomian charakterystyczny, a zatem stopień wielomianu minimalnego wynosi co najwyżej n .

Pierścień ilorazu

W przypadku K [ X ] , pierścień ilorazowy przez ideał może być zbudowany, jak w przypadku ogólnym, jako zbiór klas równoważności . Jednak ponieważ każda klasa równoważności zawiera dokładnie jeden wielomian o minimalnym stopniu, inna konstrukcja jest często wygodniejsza.

Biorąc pod uwagę, wielomian p stopnia d The pierścień iloraz z K [ X ] przez idealny generowane przez p mogą być identyfikowane z przestrzeni wektorowej wielomianów stopni mniej niż D , z „mnożenie modulo p ” jako złożonych działań, mnożenie modulo p składające się z reszty z dzielenia przez p (zwykłego) iloczynu wielomianów. Ten pierścień ilorazowy jest różnie oznaczany jako lub po prostu

Pierścień jest polem wtedy i tylko wtedy, gdy p jest wielomianem nierozkładalnym . W rzeczywistości, jeśli p jest nieredukowalne, każdy niezerowy wielomian q niższego stopnia jest względnie pierwszy z p , a tożsamość Bézouta pozwala na obliczenie r i s takie, że sp + qr = 1 ; Tak więc, R jest Liczba odwrotna od Q modulo p . I odwrotnie, jeśli p jest redukowalne, to istnieją wielomiany a, b o stopniach niższych niż deg( p ) takie, że ab = p  ; więc a, b są niezerowymi dzielnikami zera modulo p i nie mogą być odwracalne.

Na przykład standardową definicję ciała liczb zespolonych można podsumować stwierdzeniem, że jest to pierścień ilorazowy

i że obraz X w jest oznaczony przez i . W rzeczywistości, według powyższego opisu, iloraz ten składa się ze wszystkich wielomianów pierwszego stopnia w i , które mają postać a + bi , z a i b w Pozostała część dzielenia euklidesowego jest potrzebna do pomnożenia dwóch elementów pierścienia ilorazu otrzymuje się przez zastąpienie i 2 przez -1 w ich iloczynie jako wielomiany (jest to dokładnie zwykła definicja iloczynu liczb zespolonych).

Niech θ będzie elementem algebraicznym w K -algebrze A . Przez algebraiczne oznacza, że θ ma minimalny wielomian p . Pierwszy pierścień Izomorfizm twierdzenie stwierdza, że homomorfizm podstawienie indukuje izomorfizm się na obraz K [ θ ] z homomorfizmu podstawienia. W szczególności, jeżeli jest prostym przedłużeniem od K generowane przez θ ten umożliwia identyfikację A i Identyfikacja ta jest szeroko stosowana w algebraicznej teorii liczb .

Moduły

Twierdzenie struktura skończenie wytworzonych modułów na głównej idealnej domeny stosuje się K [ X ], gdy K jest to pole. Oznacza to, że każdy moduł skończenie generowane przez K [ X ] można rozłożyć na bezpośrednim sumy z wolnego modułu i skończenie wielu modułów w postaci , w której P oznacza nierozkładalny wielomian przez K , a k jest liczbą całkowitą dodatnią.

Definicja (przypadek wielowymiarowy)

Biorąc pod uwagę n symboli zwanych nieokreślonymi , jednomian (zwany również iloczynem potęgowym )

jest formalnym produktem tych nieokreślonych, prawdopodobnie podniesionym do nieujemnej potęgi. Jak zwykle można pominąć wykładniki równe jeden i czynniki o wykładniku zerowym. W szczególności,

Krotka wykładników α = ( α 1 , ..., α n ) jest nazywany multidegree lub wykładnik wektor z Jednomian. Dla mniej kłopotliwej notacji skrót

jest często używany. Stopień z Jednomian X α często uściślenia ° α lub | α | , jest sumą jego wykładników:

Wielomian tych wielomianami, ze współczynnikami w zakresie, albo bardziej ogólnie w pierścieniu , K jest ograniczony liniową kombinacją od jednomianów

ze współczynnikami w K . Stopni z wielomianem niezerową jest maksymalnie stopniami jego jednomianów z niezerowych współczynników.

Zbiór wielomianów w oznaczonych jest więc przestrzenią wektorową (lub wolnym modułem , jeśli K jest pierścieniem), której podstawą są jednomiany.

jest oczywiście wyposażone (patrz poniżej) z mnożenia, który sprawia, że pierścień , a asocjacyjnej Algebra nad K , zwany wielomian pierścień n wielomianami ponad K (przedimka odzwierciedla jest jednoznacznie zdefiniowane się do opisu i kolejności Nieokreślone.Jeżeli pierścień K jest przemienny , jest również pierścieniem przemiennym.

Operacje w K [ X 1 , ..., X n ]

Dodawanie i mnożenie przez skalar wielomianów to te z przestrzeni wektorowej lub modułu swobodnego wyposażonego w określoną bazę (tutaj baza jednomianów). Niech gdzie I i J są skończonymi zbiorami wektorów wykładniczych.

Mnożenie przez skalar p i przez skalar to

Dodanie p i q to

gdzie jeśli i jeśli Ponadto, jeśli ma się dla niektórych odpowiedni składnik zerowy, jest usuwany z wyniku.

Mnożenie to

gdzie jest zbiorem sum jednego wektora wykładniczego w I i drugiego w J (zwykła suma wektorów). W szczególności iloczyn dwóch jednomianów jest jednomianem, którego wektor wykładniczy jest sumą wektorów wykładniczych czynników.

Weryfikacja aksjomatów algebry asocjacyjnej jest prosta.

Wyrażenie wielomianowe

Wielomian ekspresji jest ekspresja zbudowany z elementów skalarnych ( K ), wielomianami i operatorów dodawania, mnożenia i potęgowania do nieujemne uprawnień całkowitych.

Ponieważ wszystkie te operacje są zdefiniowane w wielomian ekspresji stanowi wielomian, który jest elementem Definicja wielomianu jako liniowa kombinacja jednomianów szczególna wielomian ekspresyjnego, który jest często nazywany postać kanoniczną , normalnie postać lub postać rozszerzona wielomianu. Biorąc pod uwagę wielomian wyrażenie, można obliczyć rozszerzoną formę reprezentowane wielomian przez rozszerzenie z prawem rozdzielczej wszystkie produkty, które mają sumę wśród swoich czynników, a następnie za pomocą przemienności (z wyjątkiem iloczyn dwóch skalarów) oraz zespolenie przekształcania wyrazy otrzymanej sumy na iloczyny skalara i jednomianu; następnie uzyskuje się formę kanoniczną przez przegrupowanie podobnych terminów .

Rozróżnienie między wyrażeniem wielomianowym a wielomianem, który reprezentuje, jest stosunkowo nowe i jest głównie motywowane rozwojem algebry komputerowej , gdzie na przykład test, czy dwa wyrażenia wielomianowe reprezentują ten sam wielomian, może być obliczeniem nietrywialnym.

Charakterystyka kategoryczna

Jeśli K jest pierścieniem przemiennym, to wielomianowy pierścień K [ X 1 , …, X n ] ma następującą uniwersalną własność : dla każdej przemiennej K -algebry A i każdej n - krotki ( x 1 , …, x n ) elementów z A , jest unikalny homomorfizm algebra z K [ X 1 , ..., x n ] dla A , która mapuje każdy z odpowiednim ten homomorfizm jest w homomorfizmu oceny , która składa się zastępując o w każdym wielomianu.

Jak to ma miejsce w przypadku każdej uniwersalnej właściwości, to charakteryzuje parę aż do unikalnego izomorfizmu .

Można to również interpretować w kategoriach funktorów sprzężonych . Dokładniej, niech SET i ALG będą odpowiednio kategoriami zbiorów i przemiennymi K -algebrami (tu i poniżej morfizmy są zdefiniowane trywialnie). Istnieje zapominający funktor, który odwzorowuje algebry na ich zbiory bazowe. Z drugiej strony mapa definiuje funktor w przeciwnym kierunku. (Jeśli X jest nieskończone, K [ X ] jest zbiorem wszystkich wielomianów w skończonej liczbie elementów X .)

Uniwersalna własność pierścienia wielomianowego oznacza, że F i POLfunktorami sprzężonymi . Oznacza to, że istnieje bijection

Można to również wyrazić mówiąc, że pierścienie wielomianowe są swobodnymi algebrami przemiennymi , ponieważ są obiektami swobodnymi w kategorii algebr przemiennych. Podobnie pierścień wielomianowy ze współczynnikami całkowitymi jest swobodnym pierścieniem przemiennym nad zbiorem zmiennych, ponieważ pierścienie przemienne i algebry przemienne nad liczbami całkowitymi to to samo.

Stopniowana struktura

Jednowymiarowa w pierścieniu a wielowymiarowa

Wielomian w może być uważany za wielomian jednowymiarowy w nieokreślonym nad pierścieniem , przegrupowując terminy, które zawierają tę samą moc tego, używając tożsamości

co wynika z rozdzielności i asocjatywności operacji pierścieniowych.

Oznacza to, że mamy izomorfizm algebry

który odwzorowuje każdy nieokreślony na siebie. (Ten izomorfizm jest często zapisywany jako równość, co jest uzasadnione faktem, że pierścienie wielomianowe są zdefiniowane aż do unikalnego izomorfizmu.)

Innymi słowy, wielowymiarowy pierścień wielomianowy można uznać za jednowymiarowy wielomian na mniejszym pierścieniu wielomianowym. Jest to powszechnie stosowane do udowodnienia właściwości wielowymiarowych pierścieni wielomianowych poprzez indukcję na liczbie nieokreślonych.

Główne takie właściwości są wymienione poniżej.

Właściwości, które przechodzą od R do R [ X ]

W tej sekcji R jest pierścieniem przemiennym, K jest polem, X oznacza pojedynczy nieokreślony i, jak zwykle, jest pierścieniem liczb całkowitych. Oto lista głównych właściwości pierścienia, które pozostają prawdziwe przy przejściu z R do R [ X ] .

  • Jeśli R jest dziedziną całkową, to samo dotyczy R [ X ] (ponieważ wiodący współczynnik iloczynu wielomianów jest, jeśli nie zerem, iloczynem wiodących współczynników czynników).
    • W szczególności i są domenami integralnymi.
  • Jeśli R jest unikalną dziedziną faktoryzacji, to to samo dotyczy R [ X ] . Wynika to z lematu Gaussa i unikalnej właściwości faktoryzacji, gdzie L jest polem ułamków R .
    • W szczególności, i to pierścień z jednoznacznością rozkładu.
  • Jeśli R jest pierścieniem Noetherian , to to samo dotyczy R [ X ] .
    • W szczególności i są pierścieniami Noetherian; to jest podstawowe twierdzenie Hilberta .
  • Jeśli R jest pierścieniem Noetherian, to gdzie „ ” oznacza wymiar Krulla .
    • W szczególności i
  • Jeśli R jest regularnym pierścieniem , to samo dotyczy R [ X ] ; w tym przypadku trzeba
    gdzie " " oznacza wymiar globalny .
    • W szczególności i są regularnymi pierścieniami, a Ta ostatnia równość jest
    twierdzeniem Hilberta o syzygy .

Kilka nieokreślonych nad polem

Pierścienie wielomianowe w kilku zmiennych nad polem mają fundamentalne znaczenie w teorii niezmienniczej i geometrii algebraicznej . Niektóre z ich właściwości, takie jak opisane powyżej, można sprowadzić do przypadku pojedynczego nieokreślonego, ale nie zawsze tak jest. W szczególności, ze względu na zastosowania geometryczne, wiele interesujących właściwości musi być niezmiennych przy przekształceniach afinicznych lub rzutowych nieoznaczonych. To często oznacza, że ​​nie można wybrać jednego z nieokreślonych do ponownego wystąpienia na nieokreślonych.

Twierdzenie Bézouta , Nullstellensatz Hilberta i hipoteza Jakobianu należą do najbardziej znanych własności, które są specyficzne dla wielomianów wielomianowych nad ciałem .

Hilberta Nullstellensatz

Nullstellensatz (niem. „twierdzenie o zerowym miejscu”) jest twierdzeniem, po raz pierwszy udowodnionym przez Davida Hilberta , które rozszerza na przypadek wielowymiarowy niektóre aspekty podstawowego twierdzenia algebry . Jest to podstawa geometrii algebraicznej , ponieważ ustanawia silne powiązanie między właściwościami algebraicznymi a właściwościami geometrycznymi rozmaitości algebraicznych , które są (w przybliżeniu) zbiorem punktów określonych przez niejawne równania wielomianowe .

Nullstellensatz ma trzy główne wersje, z których każda jest następstwem innej. Dwie z tych wersji są podane poniżej. W przypadku trzeciej wersji czytelnik odsyła do głównego artykułu na temat Nullstellensatz.

Pierwsza wersja uogólnia fakt, że niezerowy jednowymiarowy wielomian ma zespolone zero wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest stałą. Stwierdzenie to: zbiór wielomianów S in ma wspólne zero w algebraicznie domkniętym ciele zawierającym K , wtedy i tylko wtedy, gdy 1 nie należy do ideału generowanego przez S , to znaczy, jeżeli 1 nie jest kombinacją liniową elementów S ze współczynnikami wielomianu .

Druga wersja uogólnia fakt, że nieprzywiedlne jednowymiarowe wielomiany ciągu liczb zespolonych są kojarzy się wielomianem postaci oświadczenie jest: Jeśli K jest algebraicznie zamknięte, wówczas ideały maksymalne z mieć formę

Twierdzenie Bezouta

Twierdzenie Bézouta może być postrzegane jako wielowymiarowe uogólnienie wersji podstawowego twierdzenia algebry, które twierdzi, że jednowymiarowy wielomian stopnia n ma n pierwiastków złożonych, jeśli są one liczone z ich krotnościami.

W przypadku wielomianów dwuwymiarowych stwierdza się, że dwa wielomiany stopni d i e w dwóch zmiennych, które nie mają wspólnych czynników o stopniu dodatnim, mają dokładnie de wspólne zera w algebraicznie domkniętym ciele zawierającym współczynniki, jeśli zera są liczone z ich wielokrotność i zawierają zera w nieskończoności .

Aby stwierdzić ogólny przypadek i nie traktować „zera w nieskończoności” jako specjalnych zer, wygodnie jest pracować z wielomianami jednorodnymi i brać pod uwagę zera w przestrzeni rzutowej . W tym kontekście rzutowe zero wielomianu jednorodnego jest, aż do skalowania, ( n + 1) - krotką elementów K o różnej postaci (0, …, 0) i taką, że . Tutaj „do skali” oznacza, że i są traktowane jako to samo zero dla każdej wartości niezerowej Innymi słowy, zero jest zbiorem jednorodnych współrzędnych punktu w przestrzeni rzutowej o wymiarze n .

Następnie Bézout za stany twierdzenie: podany n jednorodne wielomianami stopni w n + 1 wielomianami, które mają tylko skończoną liczbę wspólnych zer rzutowych w algebraicznie zamkniętego przedłużenia o K , wówczas suma krotności tych zer jest produktem

przypuszczenie jakobian

Uogólnienia

Pierścienie wielomianowe można uogólniać na wiele sposobów, w tym pierścienie wielomianowe z uogólnionymi wykładnikami, pierścienie szeregów potęgowych, nieprzemienne pierścienie wielomianowe , skośne pierścienie wielomianowe i platformy wielomianowe .

Nieskończenie wiele zmiennych

Jednym z drobnych uogólnień pierścieni wielomianowych jest dopuszczenie nieskończenie wielu nieokreśloności. Każdy jednomian wciąż obejmuje tylko skończoną liczbę nieokreślonych (tak, że jego stopień pozostaje skończony), a każdy wielomian jest wciąż (skończoną) liniową kombinacją jednomianów. Tak więc każdy pojedynczy wielomian obejmuje tylko skończoną liczbę nieoznaczonych, a wszelkie skończone obliczenia obejmujące wielomiany pozostają wewnątrz pewnego podpierścienia wielomianów w skończonej liczbie nieoznaczonych. To uogólnienie ma tę samą właściwość zwykłych pierścieni wielomianowych, że jest algebrą przemienną swobodną , jedyną różnicą jest to, że jest to obiekt swobodny w zbiorze nieskończonym.

Można również rozważyć ściśle większy pierścień, definiując jako uogólniony wielomian nieskończoną (lub skończoną) sumę formalną jednomianów o ograniczonym stopniu. Ten pierścień jest większy niż zwykły pierścień wielomianowy, ponieważ zawiera nieskończone sumy zmiennych. Jest jednak mniejszy niż pierścień szeregów potęgowych w nieskończenie wielu zmiennych . Taki pierścień służy do konstruowania pierścienia funkcji symetrycznych na zbiorze nieskończonym.

Wykładniki uogólnione

Proste uogólnienie zmienia tylko zbiór, z którego są rysowane wykładniki zmiennej. Wzory na dodawanie i mnożenie mają sens, o ile można dodać wykładniki: X iX j = X i + j . Zbiór, dla którego dodawanie ma sens (jest domknięty i asocjacyjny) nazywamy monoidem . Zestaw funkcji z monoid N w pierścieniu R , które są tylko skończoną wartość niezerową w wielu miejscach może mieć strukturę pierścienia zwanej R [ N ], w pierścieniu monoid z N ze współczynników R . Dodatek jest definiowany pod względem składników, tak że jeśli c = a + b , wtedy c n = a n + b n dla każdego n w N . Mnożenie jest zdefiniowane jako iloczyn Cauchy'ego, więc jeśli c = ab , to dla każdego n w N , c n jest sumą wszystkich a i b j gdzie i , j mieszczą się we wszystkich parach elementów N, których suma do n .

Gdy N jest przemienne, wygodnie jest oznaczyć funkcję a w R [ N ] jako sumę formalną:

a następnie wzory na dodawanie i mnożenie są znane:

oraz

gdzie ta ostatnia suma jest przejmowana przez wszystkie i , j w N tej sumy do n .

Niektórzy autorzy, tacy jak ( Lang 2002 , II,§3), posuwają się tak daleko, że przyjmują tę definicję monoidu jako punkt wyjścia, a regularne wielomiany o pojedynczej zmiennej są szczególnym przypadkiem, w którym N jest monoidem nieujemnych liczb całkowitych. Wielomiany w kilku zmiennych po prostu przyjmują N jako bezpośredni iloczyn kilku kopii monoidu nieujemnych liczb całkowitych.

Kilka interesujących przykładów pierścieni i grup jest tworzonych przez przyjęcie N jako addytywnego monoidu nieujemnych liczb wymiernych ( Osbourne 2000 , §4.4) . Zobacz także seria Puiseux .

Seria mocy

Szeregi potęgowe uogólniają wybór wykładnika w innym kierunku, dopuszczając nieskończenie wiele niezerowych wyrazów. Wymaga to różnych hipotez dotyczących monoidu N stosowanego do wykładników, aby zapewnić, że sumy w iloczynie Cauchy'ego są sumami skończonymi. Alternatywnie, na pierścieniu można umieścić topologię, a następnie ograniczyć się do zbieżnych sum nieskończonych. Dla standardowego wyboru N , nieujemnych liczb całkowitych, nie ma problemu, a pierścień formalnego szeregu potęgowego jest zdefiniowany jako zbiór funkcji od N do pierścienia R z dodawaniem składowych i mnożeniem przez Cauchy'ego produkt. Pierścień szeregu potęgowego może być również postrzegany jako dopełnienie pierścieniowe pierścienia wielomianowego względem ideału generowanego przez x .

Nieprzemienne pierścienie wielomianowe

Dla pierścieni wielomianowych więcej niż jednej zmiennej iloczyny XY i YX są po prostu zdefiniowane jako równe. Bardziej ogólne pojęcie pierścienia wielomianowego uzyskuje się, gdy zachowane jest rozróżnienie między tymi dwoma formalnymi produktami. Formalnie pierścień wielomianowy w n nieprzemiennych zmiennych ze współczynnikami w pierścieniu R jest pierścieniem monoidalnym R [ N ], gdzie monoid N jest wolnym monoidem na n literach, znanym również jako zbiór wszystkich ciągów w alfabecie n symboli , z mnożeniem przez konkatenację. Ani współczynniki, ani zmienne nie muszą komunikować się między sobą, ale współczynniki i zmienne komunikują się ze sobą.

Podobnie jak pierścień wielomian n zmiennych współczynnikach w przemiennej pierścienia R jest wolna przemienne R -algebra rangi n The nieprzemienna pierścień wielomian n zmiennych współczynnikach w przemiennej pierścienia R jest wolna asocjacyjne, unital R -algebra na n generatorów, co jest nieprzemienne, gdy n  > 1.

Pierścienie różnicowe i skośno-wielomianowe

Inne uogólnienia wielomianów to pierścienie różniczkowe i skośno-wielomianowe.

Różnica wielomian pierścień jest pierścieniem operatorów różnicowych utworzone z pierścieniem B , a wyprowadzenia hemibursztynianu z R do R . To wyprowadzenie działa na R i będzie oznaczane jako X , gdy jest postrzegane jako operator. Elementy R działają również na R przez mnożenie. Kompozycja operatorów jest oznaczona jak zwykle mnożenia. Wynika z tego, że relację δ ( ab ) = ( b ) + δ ( a ) b można przepisać jako

Relację tę można rozszerzyć, aby zdefiniować mnożenie skośne między dwoma wielomianami w X ze współczynnikami w R , co czyni je nieprzemiennym pierścieniem.

W standardowym przykładzie, zwanym algebrą Weyla , R jest (zwykłym) pierścieniem wielomianowym k [ Y ], a δ jest standardową pochodną wielomianową . Przyjmując a = Y w powyższej relacji, otrzymujemy kanoniczną relację komutacji , XYYX = 1. Rozszerzenie tej relacji o asocjatywność i rozdzielność pozwala na jawne skonstruowanie algebry Weyla .( Lam 2001 , §1,ex1.9 ).

Skosu wielomianem pierścień jest określony podobnie do pierścienia B i pierścień endomorfizm f z R , rozszerzając mnożenia ze stosunku Xr = f ( r ) ⋅ X do wytwarzania asocjacyjny mnożenia, który rozdziela niż standardowy dodatek. Bardziej ogólnie, biorąc pod uwagę homomorfizm F od monoidu N liczb całkowitych dodatnich do pierścienia endomorfizmu R , wzór X nr = F ( n )( r )⋅ X n pozwala na skonstruowanie pierścienia skośno-wielomianowego. ( Lam 2001 , §1,ex 1.11) Ukośne pierścienie wielomianowe są ściśle związane z algebrami iloczynów krzyżowych .

Platformy wielomianowe

Definicja wielomianu pierścień może być uogólnione rozluźnienie wymóg algebraiczną struktura R bycia pola lub pierścień wymogu, że R jest tylko semifield lub platformy ; wynikowa struktura wielomianowa/rozszerzenie R [ X ] jest wielomianem rig . Na przykład zbiór wszystkich wielomianów wielowymiarowych o współczynnikach liczb naturalnych jest zestawem wielomianowym.

Zobacz też

Bibliografia