Pięciokąt Robbinsa - Robbins pentagon

Nierozwiązany problem w matematyce :

Czy pięciokąt Robbinsa może mieć irracjonalne przekątne?

(więcej nierozwiązanych problemów z matematyki)
Pięciokąt Robbinsa o powierzchni 13.104
Pięciokąt Robbinsa o powierzchni 7392

W geometrii , A Robbins pięciokąta jest cykliczny pięciokąt , których długości boków i część są wszystkie liczby wymierne .

Historia

Pięciokąty Robbinsa zostały nazwane przez Buchholza i MacDougalla (2008) na cześć Davida P. Robbinsa , który wcześniej podał wzór na pole powierzchni pięciokąta cyklicznego w funkcji długości jego krawędzi. Buchholz i MacDougall wybrali tę nazwę przez analogię do nazwania trójkątów Czapli imieniem Hero z Aleksandrii , odkrywcy wzoru Czapli na pole trójkąta w funkcji długości jego krawędzi.

Powierzchnia i obwód

Każdy pięciokąt Robbinsa można przeskalować tak, aby jego boki i powierzchnia były liczbami całkowitymi. Mocniej Buchholz i MacDougall wykazali, że jeśli długości boków są liczbami całkowitymi, a pole powierzchni jest wymierne, to pole jest z konieczności również liczbą całkowitą, a obwód jest z konieczności liczbą parzystą .

Przekątne

Buchholz i MacDougall wykazali również, że w każdym pięciokącie Robbinsa albo wszystkie pięć wewnętrznych przekątnych są liczbami wymiernymi, albo żadna z nich nie jest. Jeżeli pięć przekątne są racjonalne (przypadek nazywany Brahmagupta pięciokąta w Sastry (2005) ), a promień jego ograniczonego koła musi być racjonalny i pięciokąt może być podzielony na trzy trójkąty Heron przez odcięcie wzdłuż dowolnej niezaszczepione krzyżujących się po przekątnych lub na pięć trójkątów Czapli, przecinając je wzdłuż pięciu promieni od środka koła do jego wierzchołków.

Buchholz i MacDougall przeprowadzili poszukiwania obliczeniowe pięciokątów Robbinsa z niewymiernymi przekątnymi, ale nie byli w stanie ich znaleźć. Na podstawie tego negatywnego wyniku zasugerowali, że pięciokąty Robbinsa z nieracjonalnymi przekątnymi mogą nie istnieć.

Bibliografia

  • Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A. (2008), "Cykliczne wielokąty z wymiernymi bokami i powierzchnią" , Journal of Number Theory , 128 (1): 17-48, doi : 10.1016/j.jnt.2007.05.005 , MR  2382768.
  • Robbins, David P. (1994), „Obszary wielokątów wpisanych w okrąg”, Geometria dyskretna i obliczeniowa , 12 (2): 223-236, doi : 10.1007/BF02574377 , MR  1283889
  • Robbins, David P. (1995), „Obszary wielokątów wpisane w okrąg”, The American Mathematical Monthly , 102 (6): 523-530, doi : 10.2307/2974766 , JSTOR  2974766 , MR  1336638.
  • Sastry, KRS (2005), "Budowa n-gonów Brahmagupta" (PDF) , Forum Geometricorum , 5 : 119-126, MR  2195739.