Zero funkcji - Zero of a function

Wykres funkcji ?'"`UNIQ--postMath-0000001-QINU`"'?  dla ?'"`UNIQ--postMath-0000002-QINU`"'?  w ?'"`UNIQ--postMath-00000003-QINU`"'?, z zerami w ?'"`UNIQ--postMath-00000004-QINU`"'? i ?'"`UNIQ--postMath-00000005- QINU"""?  zaznaczony na czerwono.
Wykres funkcji dla in , z zerami w i zaznaczony na czerwono .

W matematyce , A zera (czasami zwany główny ) o rzeczywistym -, kompleks - lub ogólnie funkcja wektorowa jest członkiem z domeny o tak że znika w ; oznacza to, że funkcja osiąga wartość 0 w , lub równoważnie, jest rozwiązaniem równania . „Zero” funkcji jest zatem wartością wejściową, która daje wynik równy 0.

Pierwiastek z wielomianem jest zero odpowiednich funkcji wielomianu . Podstawowym twierdzenie algebraicznych wykazuje, że wartość niezerową wielomianowe zawiera szereg pierwiastków najwyżej równa jej stopnia , a liczba korzeni i stopnia są równe, gdy weźmie się pod uwagę złożonych korzeni (lub, bardziej ogólnie, korzenie w sposób rozszerzenie algebraicznie domknięte ) liczone z ich krotnościami . Na przykład wielomian stopnia drugiego, określony przez

ma dwa pierwiastki i , ponieważ

.

Jeśli funkcja odwzorowuje liczb rzeczywistych do liczb rzeczywistych, a następnie jego Zera są -coordinates tych punktach, w których jego wykres spełnia x -działający . Alternatywną nazwą takiego punktu w tym kontekście jest -przechwytywanie.

Rozwiązanie równania

Każde równanie w nieznanym można przepisać jako

przegrupowując wszystkie terminy po lewej stronie. Wynika z tego, że rozwiązania takiego równania są dokładnie zerami funkcji . Innymi słowy, „zero funkcji” jest dokładnie „rozwiązaniem równania otrzymanego przez przyrównanie funkcji do 0”, a badanie zer funkcji jest dokładnie tym samym, co badanie rozwiązań równań.

Pierwiastki wielomianowe

Każdy wielomian rzeczywisty nieparzystego stopnia ma nieparzystą liczbę pierwiastków rzeczywistych (zliczanie krotności ); podobnie wielomian rzeczywisty parzystego stopnia musi mieć parzystą liczbę pierwiastków rzeczywistych. W konsekwencji rzeczywiste wielomiany nieparzyste muszą mieć co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty (ponieważ najmniejsza nieparzysta liczba całkowita wynosi 1), podczas gdy nawet wielomiany mogą nie mieć żadnego. Zasadę tę można udowodnić odwołując się do twierdzenia o wartościach pośrednich : ponieważ funkcje wielomianowe są ciągłe , wartość funkcji musi przecinać zero, zmieniając się z ujemnej na dodatnią lub odwrotnie (co zawsze dzieje się w przypadku funkcji nieparzystych).

Podstawowe twierdzenie algebry

Podstawowe twierdzenie algebry mówi, że każdy wielomian stopnia ma złożone pierwiastki, liczone z ich krotnościami. Nierzeczywiste pierwiastki wielomianów o rzeczywistych współczynnikach występują w parach sprzężonych . Wzory Viety wiążą współczynniki wielomianu z sumami i iloczynami jego pierwiastków.

Korzenie obliczeniowe

Obliczanie pierwiastków funkcji, na przykład funkcji wielomianowych , często wymaga użycia technik specjalistycznych lub aproksymacyjnych (np . metoda Newtona ). Jednak niektóre funkcje wielomianowe, w tym wszystkie o stopniu nie większym niż 4, mogą mieć wszystkie swoje pierwiastki wyrażone algebraicznie w kategoriach ich współczynników (więcej informacji znajdziesz w rozwiązaniu algebraicznym ).

Zestaw zerowy

W różnych dziedzinach matematyki, zestaw zera z funkcji jest zbiór wszystkich zer. Dokładniej, jeżeli jest funkcją wartości rzeczywistej (lub, bardziej ogólnie, funkcji o wartościach w pewnej dodatkowej grupie ), jego zerowania jest The obraz odwrotny od się .

Termin zbiór zer jest zwykle używany, gdy istnieje nieskończenie wiele zer i mają one pewne nietrywialne własności topologiczne . Na przykład zestaw poziomów funkcji jest zerowym zestawem . Zestaw cozero od jest uzupełnieniem zestawu zero (czyli podzbiór , na którym jest niezerowe).

Aplikacje

W geometrii algebraicznej pierwsza definicja rozmaitości algebraicznej to zbiory zerowe. W szczególności, afiniczny algebraiczna zestaw jest przecięcie zbiorów zero różnych wielomianów, w wielomian pierścienia nad dziedzinie . W tym kontekście zestaw zerowy jest czasami nazywany miejscem zerowym .

W analizie i geometrii , każdy zamknięty podzbiór od jest zestaw zera do niezawodnego działania określonej na wszystkich . Rozciąga się to na każdą gładką rozmaitość jako konsekwencję parazwartości .

W geometrii różniczkowej zbiory zer są często używane do definiowania rozmaitości . Ważnym przypadkiem szczególnym jest przypadek, który jest funkcją płynną od do . Jeśli zerowy jest regularna wartość z , to zbiór zerowy jest gładka kolektor wymiaru przez twierdzenia wartości regularnej .

Na przykład jednostka - sfera w jest zbiorem zerowym funkcji o wartościach rzeczywistych .

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura