Paradoks Russella - Russell's paradox

W logice matematycznej , paradoks Russella (znany również jako antynomia Russella ), to set-teoretyczny paradoks odkryta przez brytyjskiego filozofa i matematyka Bertranda Russella w 1901 roku pokazuje paradoks Russella, że każda teoria mnogości, która zawiera nieograniczone zasadnicze rozumienie prowadzi do sprzeczności. Paradoks został już niezależnie odkryty w 1899 roku przez niemieckiego matematyka Ernsta Zermelo . Jednak Zermelo nie opublikował pomysłu, który był znany tylko Davidowi Hilbertowi , Edmundowi Husserlowi i innym naukowcom zUniwersytet w Getyndze . Pod koniec lat 90. XIX wieku Georg Cantor – uważany za twórcę nowoczesnej teorii mnogości – już zdał sobie sprawę, że jego teoria doprowadzi do sprzeczności, o czym powiedział Hilbertowi i Richardowi Dedekindowi listownie.

Zgodnie z zasadą rozumienia nieograniczonego, dla każdej wystarczająco dobrze określonej własności istnieje zbiór wszystkich i tylko obiektów, które mają tę własność. Niech R będzie zbiorem wszystkich zbiorów, które nie są same w sobie członkami. Jeśli R nie jest członkiem samego siebie, to z jego definicji wynika, że jest członkiem samego siebie; jeśli jest członkiem samego siebie, to nie jest członkiem samego siebie, ponieważ jest zbiorem wszystkich zbiorów, które same nie są członkami. Wynikająca z tego sprzeczność to paradoks Russella. W symbolach:

{\ Displaystyle {\ tekst {Niech}} R = \ {x \ średni x \ nie \ w x \} {\ tekst {, a następnie}} R \ w R \ jeśli R \ nie \ w R}

Russell wykazał również, że pewną wersję paradoksu można wyprowadzić w systemie aksjomatycznym skonstruowanym przez niemieckiego filozofa i matematyka Gottloba Fregego , podważając w ten sposób próbę Fregego zredukowania matematyki do logiki i kwestionując program logiczny . Dwóch wpływowych sposoby unikania paradoksu były zarówno zaproponowany w 1908 roku: własne Russella teorii typów i teorii mnogości Zermelo . W szczególności aksjomaty Zermelo ograniczały zasadę nieograniczonego rozumienia. Z dodatkowym wkładem Abrahama Fraenkla , teoria mnogości Zermelo rozwinęła się w obecnie standardową teorię mnogości Zermelo-Fraenkla (powszechnie znaną jako ZFC, gdy zawiera aksjomat wyboru ). Główna różnica między rozwiązaniem tego paradoksu, zaproponowanym przez Russella i Zermelo, polega na tym, że Zermelo zmodyfikował aksjomaty teorii mnogości , zachowując standardowy język logiczny, podczas gdy Russell zmodyfikował sam język logiczny. Język ZFC, z pomocą Thoralfa Skolema , okazał się językiem logiki pierwszego rzędu .

Prezentacja nieformalna

Większość często spotykanych zestawów nie jest członkami samych siebie. Rozważmy na przykład zbiór wszystkich kwadratów na płaszczyźnie . Zbiór ten sam w sobie nie jest kwadratem w płaszczyźnie, a więc nie jest elementem samego siebie. Nazwijmy zbiór „normalnym”, jeśli nie jest członkiem samego siebie, i „nienormalnym”, jeśli jest członkiem samego siebie. Oczywiście każdy zestaw musi być albo normalny, albo nienormalny. Układ kwadratów w płaszczyźnie jest normalny. W przeciwieństwie do tego, zbiór komplementarny, który zawiera wszystko, co nie jest kwadratem na płaszczyźnie, sam nie jest kwadratem na płaszczyźnie, a więc jest jednym ze swoich własnych elementów i dlatego jest nienormalny.

Rozważmy teraz zbiór wszystkich normalnych zbiorów, R , i spróbujemy określić, czy R jest normalne, czy nienormalne. Gdyby R było normalne, byłoby zawarte w zbiorze wszystkich normalnych zbiorów (samo w sobie), a zatem byłoby nienormalne; z drugiej strony, gdyby R było nienormalne, nie byłoby zawarte w zbiorze wszystkich normalnych zbiorów (samo w sobie), a zatem byłoby normalne. Prowadzi to do wniosku, że R nie jest ani normalne, ani nienormalne: paradoks Russella.

Formalna prezentacja

Termin „ teoria mnogości naiwnych ” jest używany na różne sposoby. W jednym z zastosowań naiwna teoria mnogości jest teorią formalną, którą możemy nazwać NST, sformułowaną w języku pierwszego rzędu z binarnym predykatem nielogicznym i zawierającą aksjomat ekstensjonalizmu : ${\ Displaystyle \ w}$

\forall x\\forall y\(\forall z\(z\inx\iff z\iny)\implikuje x=y)

i schemat aksjomatu nieograniczonego rozumienia :

{\ Displaystyle \ istnieje r \ dla wszystkich x (x \ w r \ iff \ varphi (x))}

dla dowolnej formuły ze zmienną $x$ jako wolną zmienną wewnątrz . Zastępstwo dla . Następnie dzięki egzystencjalnej konkretyzacji (ponowne użycie symbolu ) i uniwersalnej konkretyzacji mamy $\varphi$ $\varphi$ $x\notin x$ ${\ Displaystyle \ varphi (x)}$ $y$

{\ Displaystyle r \ w r \ jeśli r \ nie w r}

sprzeczność. Dlatego NST jest niespójny .

Odpowiedzi oparte na teorii mnogości

Z zasady eksplozji z logiki klasycznej , każdy propozycja może być udowodnione ze sprzeczności . Dlatego obecność sprzeczności, takich jak paradoks Russella, w aksjomatycznej teorii mnogości jest katastrofalna; ponieważ jeśli jakakolwiek formuła może być udowodniona jako prawdziwa, niszczy ona konwencjonalne znaczenie prawdy i fałszu. Ponadto, ponieważ teoria mnogości była postrzegana jako podstawa aksjomatycznego rozwoju wszystkich innych gałęzi matematyki, paradoks Russella zagrażał podstawom matematyki jako całości. To zmotywowało wiele badań na przełomie XIX i XX wieku do opracowania spójnej (wolnej od sprzeczności) teorii mnogości.

W 1908 roku Ernst Zermelo zaproponował aksjomatyzację teorii mnogości, która pozwoliła uniknąć paradoksów naiwnej teorii mnogości poprzez zastąpienie rozumienia zbioru arbitralnego słabszymi aksjomatami istnienia, takimi jak jego aksjomat separacji ( Aussonderung ). Modyfikacje tej teorii aksjomatycznej zaproponowane w latach dwudziestych przez Abrahama Fraenkla , Thoralfa Skolema i samego Zermelo zaowocowały aksjomatyczną teorią mnogości zwaną ZFC . Teoria ta stała się powszechnie akceptowana, gdy aksjomat wyboru Zermelo przestał być kontrowersyjny, a ZFC do dziś pozostaje kanoniczną aksjomatyczną teorią mnogości .

ZFC nie zakłada, że dla każdej właściwości istnieje zbiór wszystkich rzeczy spełniających tę właściwość. Raczej twierdzi, że przy dowolnym zbiorze X istnieje dowolny podzbiór X definiowalny przy użyciu logiki pierwszego rzędu . Omawiany powyżej obiekt R nie może być skonstruowany w ten sposób i dlatego nie jest zbiorem ZFC. W niektórych rozszerzeniach ZFC obiekty takie jak R nazywane są odpowiednimi klasami .

ZFC milczy na temat typów, chociaż skumulowana hierarchia ma pojęcie warstw, które przypominają typy. Sam Zermelo nigdy nie zaakceptował sformułowania ZFC przez Skolema w języku logiki pierwszego rzędu. Jak zauważa José Ferreirós, Zermelo upierał się zamiast tego, że „funkcje zdaniowe (warunki lub predykaty) używane do oddzielania podzbiorów, jak również funkcje zastępujące, mogą być „całkowicie arbitralne” [ganz beliebig ];”; współczesna interpretacja tego stwierdzenia jest taka, że Zermelo chciał włączyć kwantyfikację wyższego rzędu , aby uniknąć paradoksu Skolema . Około 1930 r. Zermelo wprowadził także (najwyraźniej niezależnie od von Neumanna) aksjomat fundacji , a zatem – jak zauważa Ferreirós – „zabraniając zbiorów »kołowych« i »nieugruntowanych«, [ZFC] włączył jedną z kluczowych motywacji TT [ teoria typów]—zasada typów argumentów”. Ten ZFC drugiego rzędu preferowany przez Zermelo, zawierający aksjomat fundacji, pozwalał na bogatą hierarchię kumulacyjną. Ferreirós pisze, że „warstwy Zermelo są zasadniczo takie same, jak typy we współczesnych wersjach prostej TT [teorii typów] zaproponowanej przez Gödla i Tarskiego. Można opisać kumulatywną hierarchię, w której Zermelo rozwinął swoje modele jako wszechświat kumulatywnego TT, w którym dozwolone są typy nieskończone (gdy przyjmiemy niedysdykatywny punkt widzenia, porzucając ideę, że klasy są konstruowane, akceptacja typów nieskończonych nie jest nienaturalna). " zasadniczo o tych samych zamierzonych obiektach. Główna różnica polega na tym, że TT opiera się na silnej logice wyższego rzędu, podczas gdy Zermelo zastosował logikę drugiego rzędu, a ZFC można również nadać sformułowanie pierwszego rzędu. "Opis" pierwszego rzędu skumulowanej hierarchii jest znacznie słabsza, o czym świadczy istnienie modeli przeliczalnych (paradoks Skolema), ale ma pewne istotne zalety.”

W ZFC, mając dany zbiór A , możliwe jest zdefiniowanie zbioru B, który składa się dokładnie ze zbiorów w A , które nie są same w sobie członkami. B nie może być w A według tego samego rozumowania w Paradoksie Russella. Ta odmiana paradoksu Russella pokazuje, że żaden zestaw nie zawiera wszystkiego.

Dzięki pracy Zermelo i innych, zwłaszcza Johna von Neumanna , struktura tego, co niektórzy postrzegają jako „naturalne” obiekty opisane przez ZFC, ostatecznie stała się jasna; są to elementy wszechświata von Neumanna , V , zbudowany ze zbioru pustego przez transfinitely iteracji się ustawić siłę działania. W ten sposób można teraz ponownie rozumować o zbiorach w sposób nieaksjomatyczny bez naruszania paradoksu Russella, mianowicie przez rozumowanie o elementach V . To, czy właściwe jest myślenie o zbiorach w ten sposób, jest punktem spornym wśród rywalizujących punktów widzenia na filozofię matematyki .

Inne rozwiązania paradoksu Russella, z bazowego strategii bliżej do tej teorii typów , m.in. Quine „s nowe fundamenty i Scott-Potter teorii mnogości . Jeszcze innym podejściem jest zdefiniowanie relacji przynależności wielokrotnej z odpowiednio zmodyfikowanym schematem rozumienia, jak w teorii zbiorów podwójnego rozszerzenia .

Historia

Russell odkrył ten paradoks w maju lub czerwcu 1901 r. Według własnej relacji w swoim wstępie do filozofii matematycznej z 1919 r. „próbował odkryć pewną wadę w dowodzie Cantora, że nie ma największego kardynała”. W liście z 1902 r. ogłosił odkrycie do Gottloba Frege'a paradoksu w Begriffsschrift Fregego z 1879 r. i sformułował problem zarówno w kategoriach logiki, jak i teorii mnogości, a w szczególności w kategoriach definicji funkcji Fregego :

Jest tylko jeden punkt, w którym napotkałem trudności. Stwierdzasz (s. 17 [s. 23 powyżej]), że funkcja również może działać jako element nieokreślony. Dawniej w to wierzyłem, ale teraz ten pogląd wydaje mi się wątpliwy z powodu następującej sprzeczności. Niech szer być orzecznikiem: być orzeczenie, które nie mogą być orzekane samoistnie. Może w być orzekana o sobie? Z każdej odpowiedzi wynika jej przeciwieństwo. Dlatego musimy dojść do wniosku, że w nie jest predykatem. Podobnie nie ma klasy (jako całości) tych klas, z których każda wzięta jako całość, nie należą do siebie. Wnioskuję z tego, że w pewnych okolicznościach dający się zdefiniować zbiór [Menge] nie tworzy całości.

Russell omówił to szczegółowo w swoich Zasadach matematyki z 1903 roku , w których powtórzył swoje pierwsze spotkanie z paradoksem:

Zanim opuścimy fundamentalne pytania, trzeba bardziej szczegółowo zbadać wspomnianą już pojedynczą sprzeczność w odniesieniu do predykatów, które same w sobie nie są przewidywalne. [...] Mogę wspomnieć, że zostałem do tego doprowadzony w dążeniu do pogodzenia dowodu Kantora..."

Russell pisał do Fregego o paradoksie w chwili, gdy Frege przygotowywał drugi tom swojej Grundgesetze der Arithmetik . Frege bardzo szybko zareagował na Russella; ukazał się jego list z 22 czerwca 1902, z komentarzem van Heijenoorta w Heijenoort 1967:126-127. Frege napisał następnie załącznik, w którym przyznał się do paradoksu, i zaproponował rozwiązanie, które Russell poparłby w swoich Zasadach Matematyki , ale później niektórzy uznali je za niezadowalające. Ze swojej strony Russell pracował w drukarniach i dodał dodatek na temat doktryny typów .

Ernst Zermelo w swojej książce (1908) Nowy dowód na możliwość dobrego uporządkowania (opublikowany w tym samym czasie, w którym opublikował „pierwszą aksjomatyczną teorię mnogości”), twierdził, że wcześniej odkryto antynomię w naiwnej teorii mnogości Cantora. Twierdzi on: „A jednak nawet elementarna forma, jaką Russell ⁹ nadał antynomii mnogościowej, mogła ich przekonać [J. König, Jourdain, F. Bernstein], że rozwiązania tych trudności nie należy szukać w poddaniu się uporządkowania, ale tylko w odpowiednim ograniczeniu pojęcia zbioru”. Przypis 9 przedstawia swoje twierdzenie:

⁹1903 , s. 366–368. Jednakże sam odkryłem tę antynomię, niezależnie od Russella, i przekazałem ją przed 1903 r. między innymi profesorowi Hilbertowi .

Frege wysłał kopię swojej Grundgesetze der Arithmetik do Hilberta; jak wspomniano powyżej, ostatni tom Fregego wspominał o paradoksie, który Russell przekazał Frege'owi. Po otrzymaniu ostatniego tomu Fregego, 7 listopada 1903 r., Hilbert napisał list do Fregego, w którym powiedział, odnosząc się do paradoksu Russella: „Sądzę, że dr Zermelo odkrył go trzy lub cztery lata temu”. Pisemna relacja rzeczywistego argumentu Zermelo zostało odkryte w Nachlaß od Edmunda Husserla .

W 1923 Ludwig Wittgenstein zaproponował „usunięcie” paradoksu Russella w następujący sposób:

Powodem, dla którego funkcja nie może być swoim własnym argumentem, jest to, że znak funkcji zawiera już prototyp jej argumentu i nie może zawierać samej siebie. Załóżmy bowiem, że funkcja F(fx) mogłaby być swoim własnym argumentem: w takim przypadku byłoby zdanie F(F(fx)) , w którym funkcja zewnętrzna F i funkcja wewnętrzna F muszą mieć różne znaczenia, ponieważ wewnętrzna ma postać O(fx), a zewnętrzna ma postać Y(O(fx)) . Jedynie litera „F” jest wspólna dla tych dwóch funkcji, ale sama litera nic nie znaczy. Staje się to natychmiast jasne, jeśli zamiast F(Fu) napiszemy (do) : F(Ou) . Ou = Fu . To usuwa paradoks Russella. ( Tractatus Logico-Philosophicus , 3.333)

Russell i Alfred North Whitehead napisali swoją trzytomową Principia Mathematica z nadzieją na osiągnięcie tego, czego nie udało się zrobić Frege. Próbowali pozbyć się paradoksów naiwnej teorii mnogości , posługując się wymyśloną w tym celu teorią typów . Chociaż udało im się w pewien sposób ugruntować arytmetykę, wcale nie jest oczywiste, że zrobili to za pomocą czysto logicznych środków. Podczas gdy Principia Mathematica unikała znanych paradoksów i pozwalała na wyprowadzenie dużej części matematyki, jej system powodował nowe problemy.

W każdym razie Kurt Gödel w latach 1930-31 udowodnił, że podczas gdy logika większości Principia Mathematica , obecnie znana jako logika pierwszego rzędu , jest kompletna , arytmetyka Peano jest z konieczności niekompletna, jeśli jest spójna . Jest to bardzo szeroko – choć nie powszechnie – uważane za wykazanie, że logiczny program Fregego jest niemożliwy do zrealizowania.

W 2001 roku w Monachium odbyła się Międzynarodowa Konferencja Stulecia z okazji pierwszych stu lat paradoksu Russella, a jej materiały zostały opublikowane.

Zastosowane wersje

Istnieje kilka wersji tego paradoksu, które są bliższe prawdziwym sytuacjom i mogą być łatwiejsze do zrozumienia dla nielogów. Na przykład paradoks fryzjera zakłada fryzjera, który goli wszystkich mężczyzn, którzy się nie golą, i tylko mężczyzn, którzy się nie golą. Kiedy myśli się o tym, czy fryzjer powinien się ogolić, czy nie, zaczyna się pojawiać paradoks.

Łatwo obalać „wersje laika”, takie jak paradoks fryzjerski, wydaje się, że taki fryzjer nie istnieje lub że fryzjer ma łysienie i dlatego się nie goli. Cały paradoks Russella polega na tym, że odpowiedź „takiego zbioru nie istnieje” oznacza, że definicja pojęcia zbioru w ramach danej teorii jest niezadowalająca. Zwróć uwagę na różnicę między stwierdzeniami „takiego zbioru nie ma” a „jest to zbiór pusty ”. To jak różnica między powiedzeniem „Nie ma wiadra” a powiedzeniem „Wiadro jest puste”.

Chlubnym wyjątkiem od powyższego może być paradoks Grellinga–Nelsona , w którym słowa i znaczenie są elementami scenariusza, a nie ludzie i strzyżenie włosów. Choć łatwo jest obalić paradoks fryzjera, mówiąc, że taki fryzjer nie istnieje (i nie może ) istnieć, nie da się powiedzieć czegoś podobnego o sensownie zdefiniowanym słowie.

Aplikacje i tematy pokrewne

Paradoksy w stylu Russella

Jak pokazano powyżej dla paradoksu fryzjera, paradoks Russella nie jest trudny do przedłużenia. Brać:

Czasownik <V>, które mogą być zastosowane do jej materialnego formy.

Sformułuj zdanie:

<V>er, który <V> to wszyscy (i tylko ci), którzy sami nie <V>,

Czasami słowo „wszystkie” jest zastępowane przez „wszystkie <V>”.

Przykładem może być „malowanie”:

Farba er że farba wszystko (i tylko tych), które nie malować się.

lub „wybrać”

Elekt lub ( przedstawiciel ), że elekt wszystko, że nie wybiera się.

Paradoksy, które mieszczą się w tym schemacie, obejmują:

Fryzjer z "goleniem" .
Oryginalny paradoks Russella z „zawierają”: pojemnik (zestaw), który zawiera wszystkie (pojemniki), które nie zawierają samych siebie.
Paradoks Grelling-Nelson z „describer”: Pakiet describer (Word), który opisuje wszystkie słowa, które nie opisują siebie.
Paradoks Richarda z „oznaczeniem”: denotator (liczba), który oznacza wszystkie denotatory (liczby), które nie oznaczają samych siebie. (W tym paradoksie wszystkie opisy liczb otrzymują przypisaną liczbę. Termin „oznaczający wszystkie denotatory (liczby), które nie oznaczają samych siebie” nazywa się tu Richardian .)
„Kłamię”, czyli paradoks kłamcy i paradoks Epimenidesa , których początki są starożytne
Paradoks Russella-Myhilla

Powiązane paradoksy

Paradoks burali-fortiego , o rodzaju zlecenia wszystkich dołkowych porządków
Kleene-Rosser paradoks , pokazując, że oryginalny rachunek lambda jest niespójne, za pomocą samodzielnego negując rachunku
Paradoks Curry'ego (nazwany na cześć Haskella Curry'ego ), który nie wymaga negacji
Najmniejsza nieciekawe całkowitą paradoksem
Paradoks Girarda w teorii typów

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Źródła

Potter, Michael (15 stycznia 2004), Teoria mnogości i jej filozofia , Clarendon Press ( Oxford University Press ), ISBN 978-0-19-926973-0
van Heijenoort, Jean (1967), Od Frege do Gödla: książka źródłowa w logice matematycznej, 1879-1931, (trzeci druk 1976) , Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press , ISBN 0-674-32449-8
Livio, Mario (6 stycznia 2009), Czy Bóg jest matematykiem? , Nowy Jork: Simon & Schuster , ISBN 978-0-7432-9405-8

Zewnętrzne linki

„Paradoks Russella” . Internetowa Encyklopedia Filozofii .
Irvine, Andrew David (2016). „Paradoks Russella” . W Zalcie Edward N. (red.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .
Weisstein, Eric W. „Antynomia Russella” . MatematykaŚwiat .
Paradoks Russella w Cut-the-Knot

Languages

In other projects