Numer Salem - Salem number

W matematyce , A numer Salem jest prawdziwe algebraiczna całkowitą α  > 1 której koniugat korzenie mają absolutną wartość nie większą niż 1, i co najmniej jeden z nich ma wartość bezwzględną dokładnie 1. Liczby Salem są interesujące diofantycznego zbliżenia i analizy harmonicznej . Są one nazwane po Raphaël Salem .

Nieruchomości

Ponieważ ma pierwiastek wartości bezwzględnej 1, minimalna wielomianu dla szeregu Salem musi być odwrotnością . Oznacza to, że 1 / α jest pierwiastkiem, a wszystkie pozostałe korzenie mają wartość bezwzględną dokładnie jeden. W konsekwencji α musi być urządzenie w pierścieniu algebraicznych całkowitymi , są z normą  1.

Każda liczba Salem jest liczba Perron (prawdziwa liczba algebraiczna większa niż jeden, którego wszystkie koniugaty mają mniejszą wartość bezwzględną).

Relacja z numerami Pisot-Vijayaraghavan

Najmniejszy znany numer Salem jest największym prawdziwy pierwiastek z wielomianu Lehmer użytkownika (nazwany Derrick Henry Lehmer )

${\ Displaystyle P (x) = x ^ {10} + x ^ {9} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} + x + 1}$

co o X = 1,17628: przypuszcza się, że jest to rzeczywiście najmniejsza liczba Salem, a najmniejszy możliwy Mahler środek o nieredukowalnego nie wielomian cyklotomiczny.

Wielomian Lehmer jest czynnikiem krótszej 12 stopni wielomianu,

${\ Displaystyle Q (x) = x ^ {12} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} + 1}$

Wszystkie dwanaście korzeni, które spełniają relację

${\ Displaystyle x ^ {630} -1 = {\ Frac {(x ^ {315} -1) (X ^ {210} -1) (X ^ {126} -1) ^ {2} (x ^ { 90} -1) (x ^ -1 {3}) {3} ^ (x ^ -1 {2}) ^ {5} (x-1) ^ {3}} {(x ^ {35} -1 ) (x ^ {15} -1) ^ {2} (x ^ {14} -1) ^ {2} (x ^ {5} -1) ^ {6} \ x ^ {68}}}}$

Numery Salem może być wykonana z numerami Pisot-Vijayaraghavan . Przypomnieć, najmniejsza z ostatni jest unikatowy prawdziwym źródłem sześciennego wielomianu

${\ Displaystyle x ^ {3} -x-1}$

znany jako liczba z tworzywa sztucznego i w przybliżeniu równe 1.324718. Może to być wykorzystywane do generowania liczb rodzinę Salem tym najmniejszego znalezionego dotychczas. Ogólne podejście ma mieć minimalną wielomianu P ( x ) od liczby Pisot-Vijayaraghavan i jego wzajemne wielomian , P * ( x ) i rozwiązać równanie

${\ Displaystyle x ^ {n} P (x) = \ Pm p ^ {*}, (x) \}$

integralnego n Powyżej granicy. Odjęcie jednej strony, z drugiej faktoringu i pomijając czynniki trywialne następnie uzyskując minimalną wielomian określonych numerów Salem. Na przykład, przy użyciu ujemnego sprawę z powyższego

${\ Displaystyle x ^ {A} (x ^ {3} -x-1) = - (x ^ {3} + x ^ {2} -1)}$

Następnie do n = 8, to czynniki jak

${\ Displaystyle (X-1) (X ^ {10} + x ^ {9} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} + x + 1) = 0}$

gdzie Decic jest wielomian Lehmer użytkownika. Zastosowanie większej n przyniesie rodzinę korzenia zbliża się ilość tworzywa sztucznego . To może być lepiej zrozumiany poprzez N p korzeni obustronnie

${\ Displaystyle x (x ^ {3} -x-1) ^ {1 / n} = \ pm (x ^ {3} + x ^ {2} -1) ^ {1 / n}}$

tak, n idzie wyżej, x zbliży się do roztworu x ³  -  x  - 1 = 0. Jeżeli używany jest pozytywny, wówczas x zbliża liczbę plastikową przeciwnym kierunku. Korzystanie minimalny wielomian następna najmniejsza liczba Pisot-Vijayaraghavan daje,

${\ Displaystyle x ^ {A} (x ^ {4} -x ^ -1 {3}) = - (x ^ {4} + x-1)}$

który dla n = 7 czynniki jak

${\ Displaystyle (X-1) (X ^ {10} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} + 1) = 0}$

Decic nie wygenerowany w poprzednim i ma pierwiastek x  = 1.216391 ... który jest 5 najmniejsza znana liczba Salem. A n  → nieskończoności, ten z kolei ma tendencję do większej rzeczywistym pierwiastka  X ⁴  -  x ³  - 1 = 0.

Referencje

• Borwein, Peter (2002). Obliczeniowe wycieczki w analizie i teorii liczb . CMS Książki w matematyce. Springer-Verlag . ISBN  0-387-95444-9 . ZBL  1020.12001 .Facet. 3.
• Boyd, David (2001) [1994], "numer Salem" , w Hazewinkel, Michiel , Encyclopedia of Mathematics , Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-1-55608-010-4
• MJ Mossinghoff. „Numery Mały Salem” . Źródło 2016-01-07 .
• Salem, R. (1963). Liczby algebraiczne i analizy Fouriera . Heath monografie matematyczne. Boston, MA: DC Heath and Company . ZBL  0126.07802 .