Piaskowy Licznik -The Sand Reckoner

Piaskowy rachmistrz ( gr . Ψαμμίτης , Psammitowie ) to dzieło Archimedesa , starożytnego greckiego matematyka z III wieku pne , w którym postanowił określić górną granicę liczby ziaren piasku mieszczących się we wszechświecie . W tym celu musiał oszacować wielkość wszechświata według współczesnego modelu i wymyślić sposób na mówienie o ekstremalnie dużych liczbach. Prace, znany również w języku łacińskim jako Archimedis Syracusani arenarius & Dimensio Circuli , co stanowi około ośmiu stron w tłumaczeniu, skierowana jest do syrakuzańskiego króla Gelo II (syn Hiero II ) i jest prawdopodobnie najbardziej dostępne prace Archimedesa; w pewnym sensie jest to pierwszy artykuł naukowo-ekspozycyjny .

Nazywanie dużych liczb

Najpierw Archimedes musiał wymyślić system nazewnictwa dużych liczb . Stosowany w tamtym czasie system liczbowy mógł wyrażać liczby aż do miriady (μυριάς — 10 000), a używając samego słowa miriad , można natychmiast rozszerzyć to na nazywanie wszystkich liczb aż do miriadów (10 8 ). Archimedes nazwał liczby do 10 8 „pierwszego rzędu”, a samą 10 8 nazwał „jednostką drugiego rzędu”. Wielokrotności tej jednostki stały się następnie drugim rzędem, aż do tej jednostki wziętej niezliczoną ilość razy, 10 8 ·10 8 =10 16 . Stało się to „jednostką trzeciego rzędu”, której wielokrotności były trzeciorzędne i tak dalej. Archimedes kontynuował nazywanie liczb w ten sposób aż do miriady miriad razy jednostka 10 8-go rzędu, tj . .

Po wykonaniu tej czynności Archimedes nazwał zdefiniowane przez siebie rozkazy „porządkami pierwszego okresu”, a ostatni „jednostką drugiego okresu”. Następnie skonstruował rzędy drugiego okresu, biorąc wielokrotności tej jednostki w sposób analogiczny do sposobu, w jaki konstruowano rzędy pierwszego okresu. Kontynuując w ten sposób, w końcu dotarł do rozkazów okresu miriad-miriadów. Największą liczbą wymienioną przez Archimedesa była ostatnia liczba w tym okresie, czyli

Innym sposobem opisania tej liczby jest jedynka, po której następuje ( krótka skala ) osiemdziesiąt biliardów (80·10 15 ) zer.

System Archimedesa przypomina pozycyjny system liczbowy o podstawie 10 8 , co jest niezwykłe, ponieważ starożytni Grecy używali bardzo prostego systemu do zapisywania liczb , który używa 27 różnych liter alfabetu dla jednostek od 1 do 9, od dziesiątek 10 do 90 i setki od 100 do 900.

Archimedes odkrył również i udowodnił prawo wykładników , niezbędne do manipulowania uprawnień 10.

Szacowanie wielkości wszechświata

Archimedes oszacował następnie górną granicę liczby ziaren piasku wymaganych do wypełnienia Wszechświata. Aby to zrobić, użył heliocentryczną modelu z Arystarch z Samos . Oryginalne dzieło Arystarcha zaginęło. Ta praca Archimedesa jest jednak jednym z niewielu zachowanych odniesień do jego teorii, zgodnie z którą Słońce pozostaje niewzruszone, podczas gdy Ziemia krąży wokół Słońca. Własnymi słowami Archimedesa:

Jego hipotezy [Arystarcha] są takie, że gwiazdy stałe i Słońce pozostają niewzruszone, że Ziemia krąży wokół Słońca po obwodzie koła, Słońce leży w środku orbity i że sfera gwiazd stałych, usytuowana Mniej więcej w tym samym środku co Słońce, jest tak wielki, że okrąg, w którym, jak przypuszcza, obraca się Ziemia, ma taką proporcję do odległości gwiazd stałych, jaką ma środek kuli do jej powierzchni.

Powodem tak dużych rozmiarów tego modelu jest to, że Grecy nie byli w stanie zaobserwować paralaksy gwiezdnej dostępnymi technikami, co oznacza, że ​​każda paralaksa jest niezwykle subtelna i gwiazdy muszą być umieszczone w dużej odległości od Ziemi (zakładając, że heliocentryzm jest prawdziwy ).

Według Archimedesa Arystarch nie podał, jak daleko gwiazdy znajdują się od Ziemi. Archimedes musiał więc przyjąć następujące założenia:

  • Wszechświat był kulisty
  • Stosunek średnicy Wszechświata do średnicy orbity Ziemi wokół Słońca był równy stosunkowi średnicy orbity Ziemi wokół Słońca do średnicy Ziemi.

Założenie to można również wyrazić stwierdzeniem, że paralaksa gwiazdowa wywołana ruchem Ziemi wokół jej orbity równa się paralaksie słonecznej wywołanej ruchem wokół Ziemi. Umieść w stosunku:

Aby uzyskać górną granicę, Archimedes przyjął następujące założenia dotyczące ich wymiarów:

  • że obwód Ziemi nie był większy niż 300 miriadów stadionów (5,55·10 5 km).
  • że Księżyc nie jest większy od Ziemi, a Słońce nie jest więcej niż trzydzieści razy większe od Księżyca.
  • że średnica kątowa Słońca widziana z Ziemi jest większa niż 1/200 kąta prostego (π/400 radianów = 0,45 ° stopni ).

Archimedes wywnioskował następnie, że średnica Wszechświata wynosi nie więcej niż 10 14 stadiów (w nowoczesnych jednostkach około 2 lat świetlnych ) i że do jego wypełnienia potrzeba nie więcej niż 10 63 ziaren piasku. Przy tych pomiarach każde ziarnko piasku w eksperymencie myślowym Archimedesa miałoby około 19 μm (0,019 mm) średnicy.

Obliczanie liczby ziaren piasku we Wszechświecie Arystochowskim

Archimedes twierdzi, że czterdzieści nasion maku ułożonych obok siebie równałoby się jednemu greckiemu daktylowi (o szerokości palca), który miał około 19 mm (3/4 cala) długości. Ponieważ objętość przebiega jako sześcian o wymiarze liniowym („Ponieważ udowodniono, że kule mają trzykrotny stosunek do siebie swoich średnic”), to kula o średnicy jednego daktyla zawierałaby (używając naszego obecnego systemu liczbowego) 40 3 , lub 64 000 nasion maku.

Następnie twierdził (bez dowodów), że każde ziarno maku może zawierać miriadę (10 000) ziaren piasku. Mnożąc te dwie liczby razem, zaproponował 640 000 000 jako liczbę hipotetycznych ziaren piasku w kuli o średnicy jednego daktyla.

Aby ułatwić dalsze obliczenia, zaokrąglił w górę 640 milionów do miliarda, zauważając tylko, że pierwsza liczba jest mniejsza od drugiej, a zatem liczba ziaren piasku obliczona później przekroczy rzeczywistą liczbę ziaren. Przypomnijmy, że meta-celem Archimedesa w tym eseju było pokazanie, jak obliczać za pomocą tego, co wcześniej uważano za niemożliwie duże, a nie tylko dokładne obliczenie liczby ziaren piasku we wszechświecie.

Grecki stadion miał długość 600 greckich stóp, a każda stopa miała 16 daktylów, więc na stadionie było 9600 daktylów. Archimedes zaokrąglił tę liczbę do 10 000 (miriady), aby ułatwić obliczenia, zauważając ponownie, że uzyskana liczba przekroczy rzeczywistą liczbę ziaren piasku.

Sześcian 10 000 to bilion (10 12 ); a pomnożenie miliarda (liczba ziarenek piasku w kuli daktylowej) przez bilion (liczba kulek daktylowych w kuli stadionowej) daje 10 21 , liczbę ziaren piasku w kuli stadionowej.

Archimedes oszacował, że Wszechświat Arystarchii ma średnicę 10 14 stadionów, a zatem we wszechświecie będzie (10 14 ) 3 sfer stadionowych, czyli 10 42 . Pomnożenie 10 21 przez 10 42 daje 10 63 , liczbę ziaren piasku we Wszechświecie Arystarchii.

Zgodnie z szacunkami Archimedesa miriady (10 000) ziaren piasku w maku; 64 000 nasion maku w kuli daktylowej; długość stadionu jako 10 000 daktylów; a przyjmując 19mm jako szerokość daktyla, średnica typowego ziarna piasku Archimedesa wynosiłaby 18,3 μm, co dziś nazwalibyśmy ziarnem mułu . Obecnie najmniejsze ziarno piasku określa się jako o średnicy 50 μm.

Dodatkowe obliczenia

Archimedes przeprowadził po drodze kilka interesujących eksperymentów i obliczeń. Jeden eksperyment polegał na oszacowaniu wielkości kątowej Słońca widzianego z Ziemi. Metoda Archimedesa jest szczególnie interesująca, ponieważ uwzględnia skończoną wielkość źrenicy oka, dlatego może być pierwszym znanym przykładem eksperymentowania w psychofizyce , gałęzi psychologii zajmującej się mechaniką ludzkiej percepcji, której rozwój przypisuje się generalnie Hermannowi. von Helmholtza . Kolejne interesujące obliczenia wyjaśniają paralaksę słoneczną i różne odległości między obserwatorem a Słońcem, oglądanym z centrum Ziemi lub z powierzchni Ziemi o wschodzie słońca. To może być pierwsze znane obliczenie dotyczące paralaksy słonecznej.

Cytat

Są tacy, królu Gelonie, którzy uważają, że ilość piasku jest nieskończona w mnogości; przez piasek rozumiem nie tylko to, co istnieje w Syrakuzach i reszcie Sycylii, ale także to, co znajduje się w każdym regionie, czy to zamieszkałym, czy niezamieszkanym. Znowu są tacy, którzy, nie uznając jej za nieskończoną, sądzą jednak, że nie wymieniono żadnej liczby, która byłaby wystarczająco duża, by przekroczyć jej wielkość. I jest jasne, że ci, którzy podzielają ten pogląd, jeśli wyobrazili sobie masę utworzoną z piasku pod innymi względami tak dużą jak masa Ziemi, w tym wszystkie morza i zagłębienia Ziemi wypełnione do wysokości równej do tej z najwyższych gór, byłoby wiele razy dalej od rozpoznania, że ​​można wyrazić jakąkolwiek liczbę, która przekraczałaby mnogość tak pobranego piasku.

Ale postaram się pokazać za pomocą dowodów geometrycznych, które będziecie mogli prześledzić, że z liczb podanych przeze mnie i podanych w dziele, które wysłałem do Zeukcypa, niektóre przekraczają nie tylko liczbę masy piasek o takiej samej wielkości jak Ziemia wypełniony w opisany sposób, ale także o masie równej co do wielkości Wszechświatowi.

—  Archimedis Syracusani Arenarius i Dimensio Circuli

Bibliografia

Dalsza lektura

Zewnętrzne linki