Potencjał skalarny - Scalar potential

Potencjał skalarny , w uproszczeniu, opisuje sytuację, w której różnica w energiach potencjalnych obiektu w dwóch różnych pozycjach zależy tylko od pozycji, a nie od drogi, jaką obiekt przebył w drodze z jednej pozycji do drugiej. Jest to pole skalarne w trzech przestrzeniach: wartość bezkierunkowa (skalarna), która zależy tylko od jego położenia. Znanym przykładem jest energia potencjalna wynikająca z grawitacji.

studnia potencjału grawitacyjnego o rosnącej masie, gdzie ${\ Displaystyle \ mathbf {F} = - \ Nabla P}$

Skalarny potencjał jest podstawowym pojęciem w analizie wektorowej i fizyki (przymiotnik skalarne jest często pomijane, jeśli nie ma niebezpieczeństwa pomylenia z potencjału wektorowego ). Potencjał skalarny jest przykładem pola skalarnego . Przy danym polu wektorowym F potencjał skalarny P jest zdefiniowany tak, że:

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = - \ nabla P = - \ lewo ({\ Frac {\ częściowy P} {\ częściowy x}}, {\ Frac {\ częściowy P} {\ częściowy r}}, {\ frac {\częściowe P}{\częściowe z}}\prawo),}$

∇ gdzie P jest gradientu od P , a druga część równania minus Gradient w funkcji współrzędnych kartezjańskich x , y , z . W niektórych przypadkach matematycy mogą używać znaku dodatniego przed gradientem, aby określić potencjał. Z powodu tej definicji P w kategoriach gradientu, kierunek F w dowolnym punkcie jest kierunkiem najbardziej stromego spadku P w tym punkcie, jego wielkość jest szybkością tego spadku na jednostkę długości.

Aby F można było opisać wyłącznie w kategoriach potencjału skalarnego, którekolwiek z poniższych równoważnych stwierdzeń musi być prawdziwe:

1. ${\ Displaystyle - \ int _ {a} ^ {b} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {l} = P (\ mathbf {b}) - P (\ mathbf {a})}$, gdzie integracja przebiega nad łukiem Jordana przechodzącym z lokalizacji a do lokalizacji b , a P ( b ) jest oceniane przez P w lokalizacji b .
2. ${\ Displaystyle \ oint \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {l} = 0}$, gdzie całka znajduje się po dowolnej prostej zamkniętej ścieżce, zwanej inaczej krzywą Jordana .
3. ${\displaystyle {\nabla}\razy {\mathbf {F}}=0.}$

Pierwszy z tych stanów stanowi zasadniczą twierdzenie gradientu i odnosi się do dowolnego pola wektorowego gradient z różniczkowej jednym o wartości skalarnej pola P . Drugim warunkiem jest wymóg F, aby można go było wyrazić jako gradient funkcji skalarnej. Trzeci warunek ponownego wyraża drugi warunek w kategoriach zwinięcie z F używając Zasadnicze twierdzenie curl . O polu wektorowym F spełniającym te warunki mówi się, że jest nierotacyjne (konserwatywne).

Potencjały skalarne odgrywają znaczącą rolę w wielu dziedzinach fizyki i inżynierii. Potencjał ciężkości jest potencjał skalarny związane z wagi na jednostkę masy, to znaczy przyspieszenie w wyniku tej dziedzinie, w zależności od położenia. Potencjał grawitacyjny to grawitacyjna energia potencjalna na jednostkę masy. W elektrostatycznej potencjał elektryczny jest potencjałem skalarne związana z polem elektrycznym , to znaczy, z siłą elektrostatycznym na jednostkę ładunku . Potencjał elektryczny jest w tym przypadku elektrostatyczną energią potencjalną na jednostkę ładunku. W dynamice płynów irrotacyjne pola lamelarne mają potencjał skalarny tylko w szczególnym przypadku, gdy jest to pole Laplace'a . Pewne aspekty siły jądrowej można opisać potencjałem Yukawy . Potencjał odgrywa znaczącą rolę w lagranżowskich i hamiltonowskich sformułowaniach mechaniki klasycznej . Co więcej, potencjał skalarny jest podstawową wielkością w mechanice kwantowej .

Nie każde pole wektorowe ma potencjał skalarny. Te, które mają, nazywane są konserwatywnymi , co odpowiada pojęciu siły zachowawczej w fizyce. Przykładami sił niezachowawczych są siły tarcia, siły magnetyczne, aw mechanice płynów pole prędkości pola elektromagnetycznego . Jednak dzięki twierdzeniu o rozkładzie Helmholtza wszystkie pola wektorowe można opisać w kategoriach potencjału skalarnego i odpowiadającego mu potencjału wektorowego . W elektrodynamice elektromagnetyczne potencjały skalarne i wektorowe są znane razem jako czteropotencjał elektromagnetyczny .

Warunki integralności

Jeśli C jest konserwatywna pole wektorowe (zwany również bezwirowy , zwijanie -Darmowy lub potencjał ) oraz jej elementy mają ciągłe pochodne cząstkowe The potencjał z F, w stosunku do punktu odniesienia, jest określona w odniesieniu do całki linii : ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _{0}}$

${\ Displaystyle V (\ mathbf {R} ) = - \ int _ {C} \ mathbf {F} (\ mathbf {R}) \ cdot \ d \ mathbf {r} = - \ int _ {a} ^ {b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt,}$

gdzie C jest sparametryzowaną ścieżką od do${\ Displaystyle \ mathbf {r} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {r} ,}$

${\ Displaystyle \ mathbf {r} (t), a \ leq t \ równoważnik b, \ mathbf {r} (a) = \ mathbf {r_ {0}}, \ mathbf {r} (b) = \ mathbf { r} .}$

Fakt, że całka krzywoliniowa zależy od ścieżki C tylko przez jej punkty końcowe i jest w istocie właściwością niezależności od ścieżki konserwatywnego pola wektorowego. Z podstawowego twierdzenia o całkach krzywoliniowych wynika, że ​​jeśli V jest zdefiniowane w ten sposób, to tak, że V jest potencjałem skalarnym konserwatywnego pola wektorowego F . Potencjał skalarny nie jest określony przez samo pole wektorowe: w rzeczywistości gradient funkcji nie ma wpływu, jeśli zostanie do niej dodana stała. Jeśli V jest zdefiniowane w kategoriach całki krzywoliniowej, niejednoznaczność V odzwierciedla swobodę wyboru punktu odniesienia${\ Displaystyle \ mathbf {r} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {r}}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} = - \ Nabla V}$${\displaystyle \mathbf {r} _{0}.}$

Wysokość jako grawitacyjna energia potencjalna

jednorodne pole grawitacyjne w pobliżu powierzchni Ziemi

Wykres dwuwymiarowego wycinka potencjału grawitacyjnego w jednolitym ciele kulistym i wokół niego. Te punkty przegięcia z przekroju poprzecznego na powierzchni ciała.

Przykładem jest (prawie) jednorodne pole grawitacyjne w pobliżu powierzchni Ziemi. Ma energię potencjalną

${\displaystyle U=mgh}$

gdzie U to grawitacyjna energia potencjalna, a h to wysokość nad powierzchnią. Oznacza to, że grawitacyjna energia potencjalna na mapie konturowej jest proporcjonalna do wysokości. Na mapie konturowej dwuwymiarowy ujemny gradient wysokości jest dwuwymiarowym polem wektorowym, którego wektory są zawsze prostopadłe do konturów, a także prostopadłe do kierunku grawitacji. Ale na pagórkowatym obszarze reprezentowanym przez mapę konturową trójwymiarowy ujemny gradient U zawsze wskazuje prosto w dół w kierunku grawitacji; F . Jednak piłka tocząca się w dół wzgórza nie może ruszyć się bezpośrednio w dół ze względu na normalną siłę powierzchni wzgórza, która znosi składową grawitacji prostopadłą do powierzchni wzgórza. Składowa grawitacji, która pozostaje do poruszania kulą, jest równoległa do powierzchni:

${\ Displaystyle F_ {S} = - mg \ \ sin \ theta}$

gdzie θ jest kątem nachylenia, a składową F _S prostopadłą do grawitacji jest

${\ Displaystyle F_ {P} = - mg \ \ sin \ theta \ \ cos \ theta = - {1 \ ponad 2} mg \ sin 2 \ theta.}$

Ta siła F _P , równoległa do podłoża, jest największa, gdy θ wynosi 45 stopni.

Niech Δ h będzie równym odstępem wysokości między warstwicami na mapie warstwicowej, a x będzie odległością między dwoma warstwicami. Następnie

${\ Displaystyle \ theta = \ tan ^ {-1} {\ Frac {\ Delta h} {\ Delta x}}}$

po to aby

${\ Displaystyle F_ {P} = - mg {\ Delta x \ \ Delta h \ nad \ Delta x ^ {2} + \ Delta h ^ {2}}.}$

Jednak na mapie konturowej gradient jest odwrotnie proporcjonalny do Δ x , co nie jest podobne do siły F _P : wysokość na mapie konturowej nie jest dokładnie dwuwymiarowym polem potencjału. Wielkości sił są różne, ale kierunki sił są takie same na mapie warstwicowej, jak i na pagórkowatym obszarze powierzchni Ziemi reprezentowanym przez mapę warstwicową.

Ciśnienie jako potencjał wyporu

W mechanice płynów płyn w równowadze, ale w obecności jednorodnego pola grawitacyjnego, przenika jednolita siła wyporu, która znosi siłę grawitacji: w ten sposób płyn utrzymuje równowagę. Ta siła wyporu to ujemny gradient ciśnienia :

${\ Displaystyle \ mathbf {f_ {B}} = - \ nabla p. \,}$

Ponieważ siła wyporu skierowana jest w górę, w kierunku przeciwnym do grawitacji, ciśnienie w cieczy wzrasta w dół. Ciśnienie w statycznym akwenie wzrasta proporcjonalnie do głębokości pod powierzchnią wody. Powierzchnie o stałym nacisku to płaszczyzny równoległe do powierzchni, które można scharakteryzować jako płaszczyznę zerowego ciśnienia.

Jeżeli ciecz ma wir pionowy (którego oś obrotu jest prostopadła do powierzchni), wówczas wir powoduje obniżenie pola ciśnienia. Powierzchnia cieczy wewnątrz wiru jest ciągnięta w dół, podobnie jak wszelkie powierzchnie o równym ciśnieniu, które nadal pozostają równoległe do powierzchni cieczy. Efekt jest najsilniejszy wewnątrz wiru i szybko maleje wraz z odległością od osi wiru.

Siłę wyporu wywołaną przez płyn działający na ciało stałe zanurzone i otoczone przez ten płyn można uzyskać poprzez całkowanie gradientu podciśnienia wzdłuż powierzchni obiektu:

${\ Displaystyle F_ {B} = - \ oint _ {S} \ nabla p \ cdot \ d \ mathbf {S}.}$

Potencjał skalarny w przestrzeni euklidesowej

W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej potencjał skalarny bezrotacyjnego pola wektorowego E jest określony wzorem${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ Displaystyle \ Phi (\ mathbf {R} ) = {1 \ ponad 4 \ pi} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} {\ Frac {\ operator {div} \ mathbf {E} ( \mathbf {r} ')}{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|}}\,dV(\mathbf {r} ')}$

gdzie jest nieskończenie małym elementem objętości względem r' . Następnie ${\ Displaystyle dV (\ mathbf {r} ')}$

${\ Displaystyle \ mathbf {e} =- \ mathbf {\ nabla} \ Phi =- {1 \ ponad 4 \ pi} \ mathbf {\ nabla} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} {\ frac {\operatorname {div} \mathbf {E} (\mathbf {r} ')}{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|}}\,dV(\mathbf {r} ' )}$

Dotyczy to warunkiem E jest ciągły i znika asymptotycznie do zera do nieskończoności, rozpadająca się szybciej niż 1 / R , a jeśli odchylenie od E również znika w nieskończoność, rozpadająca się szybciej niż 1 / R ² .

Napisane w inny sposób, niech

${\ Displaystyle \ Gamma (\ mathbf {R} ) = {\ Frac {1} {4 \ pi}} {\ Frac {1} {\ | \ mathbf {R} \ |}}}$

być potencjałem newtonowskim . To podstawowe rozwiązania tego równania Laplace'a , co oznacza, że Laplace'a z y jest równa negatywowi funkcji delta Diraca :

${\ Displaystyle \ Nabla ^ {2} \ Gamma (\ mathbf {R}) + \ delta (\ mathbf {R}) = 0.}$

Wtedy potencjał jest rozbieżność splotu z e z y :

${\ Displaystyle \ Phi = \ operatorname {div} (\ mathbf {E} * \ Gamma).}$

Rzeczywiście, splot wirującego pola wektorowego o niezmiennym potencjale rotacyjnym jest również nierotacyjny. Dla bezrotacyjnego pola wektorowego G można wykazać, że

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {G} = \ mathbf {\ nabla} (\ mathbf {\ nabla} \ cdot {} \ mathbf {G}).}$

W związku z tym

${\ Displaystyle \ nabla \ operatorname {div} (\ mathbf {E} * \ Gamma) = \ nabla ^ {2} (\ mathbf {E} * \ Gamma) = \ mathbf {E} * \ nabla ^ {2} \Gamma =-\mathbf {E} *\delta =-\mathbf {E} }$

jako wymagane.

Bardziej ogólnie, formuła

${\ Displaystyle \ Phi = \ operatorname {div} (\ mathbf {E} * \ Gamma)}$

utrzymuje się w n- wymiarowej przestrzeni euklidesowej ( n > 2 ) z Newtonowskim potencjałem danym wtedy przez

${\ Displaystyle \ Gamma (\ mathbf {R} ) = {\ Frac {1} {n (n-2) \ omega _ {n} \ | \ mathbf {r} \ | ^ {n-2}}}}$

gdzie ω _n jest objętością jednostki n -ball. Dowód jest identyczny. Alternatywnie, całkowanie przez części (lub ściślej, własności splotu ) daje:

${\ Displaystyle \ Phi (\ mathbf {R} ) = - {\ Frac {1} {n \ omega _ {n}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ Frac {\ mathbf {E} (\mathbf {r} ')\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|^{n}} }\,dV(\mathbf {r} ').}$

Zobacz też

• Twierdzenie gradientowe
• Podstawowe twierdzenie o analizie wektorowej
• Linie i powierzchnie ekwipotencjalne (izopotencjalne)

Bibliografia