Optymalizacja scenariusza - Scenario optimization

Podejście scenariusz lub podejście optymalizacji scenariusz jest techniką, w celu uzyskania roztworów do solidnego optymalizacji i optymalizacji losowych ograniczającej problemy na podstawie próby z ograniczeniami . Odnosi się również do rozumowania indukcyjnego w modelowaniu i podejmowaniu decyzji. Technika ta istnieje od dziesięcioleci jako podejście heurystyczne, a ostatnio otrzymała systematyczne podstawy teoretyczne.

W optymalizacji cechy odporności przekładają się na ograniczenia, które są parametryzowane przez niepewne elementy problemu. W metodzie scenariuszowej rozwiązanie uzyskuje się jedynie patrząc na losową próbkę ograniczeń ( podejście heurystyczne ) zwanych scenariuszami, a głęboko ugruntowana teoria mówi użytkownikowi, jak „solidne” jest dane rozwiązanie w stosunku do innych ograniczeń. Teoria ta uzasadnia użycie randomizacji w optymalizacji odpornej i ograniczonej przypadkiem.

Optymalizacja oparta na danych

Czasami scenariusze są uzyskiwane jako losowe ekstrakcje z modelu. Częściej jednak scenariusze są przykładami niepewnych ograniczeń, które uzyskuje się jako obserwacje ( nauka oparta na danych ). W tym drugim przypadku do generowania scenariuszy nie jest potrzebny żaden model niepewności. Co więcej, co najbardziej godne uwagi, również w tym przypadku optymalizacji scenariuszy towarzyszy w pełni rozwinięta teoria, ponieważ wszystkie wyniki optymalizacji scenariuszy nie mają rozkładu i dlatego mogą być stosowane nawet wtedy, gdy model niepewności nie jest dostępny.

Wyniki teoretyczne

W przypadku ograniczeń, które są wypukłe (np. w problemach półokreślonych dotyczących LMI, Linear Matrix Inequalities ) opracowano głęboką analizę teoretyczną, która pokazuje, że prawdopodobieństwo, że nowe ograniczenie nie zostanie spełnione, wynika z rozkładu zdominowanego przez rozkład Beta . Ten wynik jest ciasny, ponieważ jest dokładny dla całej klasy wypukłych problemów. Mówiąc bardziej ogólnie, różne poziomy empiryczne okazały się podążać za rozkładem Dirichleta , którego marginesami są rozkład beta. Rozważono również podejście scenariuszowe z regularyzacją i dostępne są przydatne algorytmy o zmniejszonej złożoności obliczeniowej. Rozszerzenia do bardziej złożonych, niewypukłych ustawień są nadal przedmiotem aktywnych badań. ${\displaystyle L_{1}}$

W ramach podejścia scenariuszowego możliwe jest również dążenie do kompromisu ryzyko-zwrot. Co więcej, do zastosowania tego podejścia do kontroli można zastosować pełnoprawną metodę. Najpierw próbkowane są ograniczenia, a następnie użytkownik zaczyna kolejno usuwać niektóre ograniczenia. Można to zrobić na różne sposoby, nawet według zachłannych algorytmów. Po wyeliminowaniu jeszcze jednego ograniczenia, optymalne rozwiązanie jest aktualizowane i określana jest odpowiednia wartość optymalna. W miarę postępu tej procedury użytkownik konstruuje empiryczną „krzywą wartości”, czyli krzywą reprezentującą wartość osiągniętą po usunięciu coraz większej liczby ograniczeń. Teoria scenariuszy dostarcza precyzyjnych ocen tego, jak solidne są różne rozwiązania. ${\ Displaystyle N}$

Niezwykły postęp w teorii został dokonany dzięki niedawnemu podejściu czekania i oceny: ocenia się złożoność rozwiązania (jak precyzyjnie zdefiniowano w cytowanym artykule) i na podstawie jego wartości formułuje się precyzyjne oceny niezawodności rozwiązania. Wyniki te rzucają światło na głęboko ugruntowane powiązania między pojęciami złożoności i ryzyka. Pokrewne podejście, nazwane „Powtarzalne projektowanie scenariuszy”, ma na celu zmniejszenie złożoności próbki rozwiązania poprzez wielokrotne naprzemienne fazy projektowania scenariusza (przy zmniejszonej liczbie próbek) z losowym sprawdzeniem wykonalności powstałego rozwiązania.

Przykład

Rozważ funkcję, która reprezentuje zwrot z inwestycji ; zależy to od naszego wektora wyborów inwestycyjnych oraz od stanu rynkowego, jaki będzie panował pod koniec okresu inwestycyjnego. ${\ Displaystyle R_ {\ delta} (x)}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle \ delta}$

Mając stochastyczny model warunków rynkowych, rozważamy możliwe stany (randomizacja niepewności). Alternatywnie scenariusze można uzyskać z zapisu obserwacji. ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle \ delta _ {1} \ kropki \ delta _ {N}}$${\ Displaystyle \ delta _ {i}}$

Postanowiliśmy rozwiązać program optymalizacji scenariuszy

${\ Displaystyle \ max _ {x} \ min _ {i = 1, \ kropki, N} R_ {\ delta _ {i}} (x). \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)}$

Odpowiada to wybraniu wektora portfela x tak, aby uzyskać możliwie najlepszy zwrot w najgorszym przypadku.

Po rozwiązaniu (1) osiągana jest optymalna strategia inwestycyjna wraz z odpowiadającym jej optymalnym zwrotem . Chociaż uzyskano to patrząc tylko na możliwe stany rynkowe, teoria scenariuszy mówi nam, że rozwiązanie jest solidne do poziomu , to znaczy, że zwrot zostanie osiągnięty z prawdopodobieństwem dla innych stanów rynkowych. ${\displaystyle x^{\ast}}$${\ Displaystyle R ^ {\ ast}}$${\ Displaystyle R ^ {\ ast}}$${\ Displaystyle N}$${\displaystyle \varepsilon}$${\ Displaystyle R ^ {\ ast}}$${\ Displaystyle 1-\ varepsilon }$

W finansach ilościowych najgorsze podejście może być zbyt konserwatywne. Jedną z alternatyw jest odrzucenie niektórych dziwnych sytuacji, aby zmniejszyć pesymizm; ponadto optymalizację scenariuszy można zastosować do innych miar ryzyka, w tym CVaR – Warunkowej Wartości Zagrożonej – zwiększając w ten sposób elastyczność jej stosowania.

Pola aplikacji

Obszary zastosowania obejmują: przewidywanie , teorię systemów , analizę regresji ( w szczególności modele predyktorów interwałowych ), nauki aktuarialne , sterowanie optymalne , matematykę finansową , uczenie maszynowe , podejmowanie decyzji , łańcuch dostaw i zarządzanie .

Bibliografia