Funkcja ciągła - Continuous function

W matematyce , o ciągłą funkcją jest funkcja , która nie ma żadnych gwałtownych zmian w wartości , znane jako nieciągłości . Dokładniej, funkcja jest ciągła, jeśli można zapewnić dowolnie małe zmiany jej wyjścia, ograniczając się do wystarczająco małych zmian jej wejścia. Jeśli funkcja nie jest ciągła, mówi się, że funkcja jest nieciągła . Aż do XIX wieku matematycy w dużej mierze opierali się na intuicyjnych pojęciach ciągłości, podczas których podejmowano próby jej sformalizowania, takie jak definicja epsilon-delta .

Ciągłość funkcji jest jednym z podstawowych pojęć topologii , które w pełni omówiono poniżej. Część wprowadzająca tego artykułu skupia się na szczególnym przypadku, w którym wejścia i wyjścia funkcji są liczbami rzeczywistymi . Silniejszą formą ciągłości jest ciągłość jednostajna . Ponadto w tym artykule omówiono definicję bardziej ogólnego przypadku funkcji między dwiema przestrzeniami metrycznymi . W teorii porządku , zwłaszcza w teorii domen , rozważa się pojęcie ciągłości znane jako ciągłość Scotta . Istnieją inne formy ciągłości, ale nie są one omawiane w tym artykule.

Na przykład funkcja H ( t ) oznaczająca wysokość rosnącego kwiatu w czasie t byłaby uważana za ciągłą. Natomiast funkcja M ( t ) oznaczająca ilość pieniędzy na rachunku bankowym w czasie t byłaby uważana za nieciągłą, ponieważ „przeskakuje” w każdym momencie wpłaty lub wypłaty pieniędzy.

Historia

Postać definicji ciągłości epsilon-delta została po raz pierwszy podana przez Bernarda Bolzano w 1817 roku. Augustin-Louis Cauchy zdefiniował ciągłość w następujący sposób: nieskończenie mały przyrost zmiennej niezależnej x zawsze powoduje nieskończenie małą zmianę zmiennej zależnej y ( patrz np. Cours d'Analyse , s. 34). Cauchy zdefiniował nieskończenie małe ilości w kategoriach wielkości zmiennych, a jego definicja ciągłości ściśle odpowiada definicji nieskończenie małej używanej dzisiaj (patrz mikrociągłość ). Formalną definicję i rozróżnienie między punktową ciągłością a jednolitą ciągłością po raz pierwszy podał Bolzano w latach 30. XIX wieku, ale praca została opublikowana dopiero w latach 30. XX wieku. Podobnie jak Bolzano, Karl Weierstrass zaprzeczył ciągłości funkcji w punkcie c, chyba że została ona zdefiniowana w i po obu stronach c , ale Édouard Goursat zezwolił na zdefiniowanie funkcji tylko w i z jednej strony c , a Camille Jordan pozwolił na to nawet jeśli funkcja została zdefiniowana tylko w c . Wszystkie trzy z tych nierównoważnych definicji punktowej ciągłości są nadal w użyciu. Eduard Heine przedstawił pierwszą opublikowaną definicję jednolitej ciągłości w 1872 roku, ale oparł te idee na wykładach Petera Gustava Lejeune Dirichleta w 1854 roku.

Prawdziwe funkcje

Definicja

Funkcja jest ciągła w dziedzinie , ale nie jest ciągła w dziedzinie, ponieważ jest niezdefiniowana w

Funkcja rzeczywista , czyli funkcja od liczb rzeczywistych do liczb rzeczywistych, może być reprezentowana przez wykres na płaszczyźnie kartezjańskiej ; taka funkcja jest ciągła, jeśli, z grubsza mówiąc, wykres jest pojedynczą nieprzerwaną krzywą, której domeną jest cała linia rzeczywista. Bardziej rygorystyczna matematycznie definicja jest podana poniżej.

Rygorystyczna definicja ciągłości funkcji rzeczywistych jest zwykle podawana na pierwszym kursie rachunku różniczkowego w postaci pojęcia granicy . Po pierwsze, mówimy , że funkcja f ze zmienną x jest ciągła w punkcie c na linii rzeczywistej, jeśli granica w miarę zbliżania się x do tego punktu c jest równa wartości ; a po drugie, funkcją (w całości) mówi się, ciągły , jeśli jest ciągła w każdym punkcie. Mówi się, że funkcja jest nieciągła (lub ma nieciągłość ) w pewnym momencie, gdy nie jest tam ciągła. Same te punkty są również określane jako nieciągłości .

Istnieje kilka różnych definicji ciągłości funkcji. Czasami mówi się, że funkcja jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny. W tym przypadku funkcja z dziedziną wszystkich rzeczywistych liczb całkowitych jest ciągła. Czasami wyjątek stanowią granice domeny. Na przykład wykres funkcji z dziedziną wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych ma lewy punkt końcowy. W tym przypadku tylko granica z prawej strony jest wymagana, aby równać się wartości funkcji. Zgodnie z tą definicją f jest ciągła na granicy, a więc dla wszystkich nieujemnych argumentów. Najbardziej powszechną i restrykcyjną definicją jest to, że funkcja jest ciągła, jeśli jest ciągła we wszystkich liczbach rzeczywistych. W tym przypadku poprzednie dwa przykłady nie są ciągłe, ale każda funkcja wielomianowa jest ciągła, podobnie jak funkcje sinus , cosinus i wykładnicze . Należy zachować ostrożność przy używaniu słowa ciągły , aby z kontekstu jasno wynikało, jakie znaczenie tego słowa jest zamierzone.

Korzystając z notacji matematycznej, istnieje kilka sposobów definiowania funkcji ciągłych w każdym z trzech wymienionych powyżej sensów.

Pozwolić

być funkcją zdefiniowaną na podzbiorze zbioru liczb rzeczywistych.

Podzbiór ten jest domeną z F . Niektóre możliwe wybory obejmują

( to cały zbiór liczb rzeczywistych) lub, dla liczb rzeczywistych a i b ,
( jest przedziałem domkniętym ), lub
( jest przedziałem otwartym ).

W przypadku gdy dziedzina jest zdefiniowana jako przedział otwarty i nie należy do , a wartości i nie mają znaczenia dla ciągłości na .

Definicja w kategoriach granic funkcji

Funkcja F ma ciągły w pewnym punkcie c jej domeny, gdy ograniczenie stanowi co X zbliża C przez domenę f istnieje i jest równa w notacji matematycznej, to zapisuje się jako

W szczegółach oznacza to trzy warunki: po pierwsze, f musi być zdefiniowane w c (gwarantowane przez wymóg, że c należy do dziedziny f ). Po drugie, musi istnieć granica po lewej stronie tego równania. Po trzecie, wartość tego limitu musi być równa

(Tutaj założyliśmy, że dziedzina f nie ma żadnych punktów odosobnionych .)

Definicja w kategoriach sąsiedztwa

Sąsiedztwo z punktu C jest zbiorem, który zawiera przynajmniej wszystkie punkty w pewnej ustalonej odległości ok . Intuicyjnie funkcja jest ciągła w punkcie c, jeśli zakres f w otoczeniu c zmniejsza się do jednego punktu, gdy szerokość otoczenia wokół c zmniejsza się do zera. Dokładniej, funkcja f jest ciągła w punkcie c swojej dziedziny, jeśli dla dowolnego sąsiedztwa istnieje takie sąsiedztwo w tej dziedzinie, że zawsze

Ta definicja wymaga jedynie, aby domena i domena były przestrzeniami topologicznymi, a zatem jest definicją najbardziej ogólną. Z definicji tej wynika, że ​​funkcja f jest automatycznie ciągła w każdym izolowanym punkcie swojej dziedziny. Jako konkretny przykład, każda funkcja o wartościach rzeczywistych na zbiorze liczb całkowitych jest ciągła.

Definicja w kategoriach granic ciągów

Sekwencja zbiega się do exp(0)

Zamiast tego można wymagać, aby dla dowolnego ciągu punktów w dziedzinie, który jest zbieżny do c , odpowiedni ciąg był zbieżny do W notacji matematycznej,

Definicje Weierstrassa i Jordana (epsilon–delta) funkcji ciągłych

Ilustracja definicji: wartość spełnia warunek definicji.

Wyraźnie w tym określenia limitu funkcji otrzymujemy samodzielne znaczenie: Biorąc pod uwagę funkcję jak powyżej, a element z obszaru D , F mówi się w sposób ciągły w momencie , gdy zachodzi: dla dowolnej liczby jednakże małe, istnieje taka liczba , że dla wszystkich x w dziedzinie f o wartości spełnia

Alternatywnie napisane ciągłość na drodze, że dla każdego istnieje takie, że dla wszystkich :

Bardziej intuicyjnie, możemy powiedzieć, że jeśli chcemy, aby wszystkie wartości, które mają pozostać w jakimś małym mieście dookoła po prostu trzeba wybrać dostatecznie małym otoczeniu dla x wartości około Jeżeli możemy to zrobić bez względu na to, jak małe sąsiedztwo jest następnie f jest ciągła w

Współcześnie jest to uogólnione przez definicję ciągłości funkcji względem podstawy topologii , tutaj topologii metrycznej .

Weierstrass wymagał, aby przedział mieścił się w całości w domenie D , ale Jordan usunął to ograniczenie.

Definicja w zakresie kontroli reszty

W dowodach i analizie numerycznej często musimy wiedzieć, jak szybko granice się zbiegają, czyli innymi słowy, kontrolować resztę. Możemy to sformalizować do definicji ciągłości. Funkcja nazywana jest funkcją kontrolną, jeśli

  • C nie maleje

Funkcja jest C -ciągła w if

Funkcja jest ciągła, jeśli jest C- ciągła dla jakiejś funkcji sterującej C .

Podejście to prowadzi naturalnie do doprecyzowania pojęcia ciągłości poprzez ograniczenie zestawu dopuszczalnych funkcji kontrolnych. Dla danego zbioru funkcji sterujących funkcja jest -ciągła jeśli jest -ciągła dla niektórych Na przykład funkcje ciągłe Lipschitza i Höldera wykładnika α poniżej są zdefiniowane przez zbiór funkcji sterujących

odpowiednio

Definicja za pomocą oscylacji

Brak ciągłości funkcji w punkcie jest określany ilościowo przez jej oscylację .

Ciągłość można również zdefiniować w kategoriach oscylacji : funkcja f jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy jej oscylacja w tym punkcie wynosi zero; w symbolach Zaletą tej definicji jest to, że określa ona ilościowo nieciągłość: oscylacja określa, jak bardzo funkcja jest nieciągła w danym punkcie.

Definicja ta jest przydatna w opisowej teorii mnogości do badania zbioru nieciągłości i punktów ciągłych – punkty ciągłe są przecięciem zbiorów, w których oscylacja jest mniejsza niż (stąd zbiór ) – i daje bardzo szybki dowód jednego kierunku Warunek całkowalności Lebesgue'a .

Oscylacja jest równoważna definicji przez proste przeorganizowanie i użycie granicy ( lim sup , lim inf ) do zdefiniowania oscylacji: jeśli (w danym punkcie) dla danego nie ma spełniającego definicję, to Oscylacja jest co najmniej i odwrotnie, jeśli dla każdego istnieje pożądana oscylacja wynosi 0. Definicję oscylacji można naturalnie uogólnić na mapy z przestrzeni topologicznej do przestrzeni metrycznej.

Definicja za pomocą hiperrzeczywistych

Cauchy zdefiniował ciągłość funkcji w następujących intuicyjnych terminach: nieskończenie mała zmiana zmiennej niezależnej odpowiada nieskończenie małej zmianie zmiennej zależnej (patrz Cours d'analyse , strona 34). Niestandardowa analiza jest sposobem na uczynienie tego matematycznie rygorystycznym. Linia rzeczywista jest powiększana przez dodanie nieskończonych i nieskończenie małych liczb w celu utworzenia liczb hiperrzeczywistych . W analizie niestandardowej ciągłość można zdefiniować w następujący sposób.

Prawdziwy wycenione funkcja f jest ciągła w x , jeśli jego naturalnym przedłużeniem do hyperreals ma tę właściwość, że dla wszystkich nieskończenie dx , jest nieskończenie

(patrz mikrociągłość ). Innymi słowy, nieskończenie mały przyrost zmiennej niezależnej zawsze powoduje nieskończenie małą zmianę zmiennej zależnej, dając współczesne wyrażenie definicji ciągłości Augustyna-Louisa Cauchy'ego .

Budowa funkcji ciągłych

Wykres funkcji sześciennej nie zawiera skoków ani dziur. Funkcja jest ciągła.

Sprawdzanie ciągłości danej funkcji można uprościć sprawdzając jedną z powyższych właściwości definiujących dla bloków budulcowych danej funkcji. Łatwo jest wykazać, że suma dwóch funkcji, ciągłych w pewnej dziedzinie, jest również ciągła w tej dziedzinie. Dany

to suma funkcji ciągłych
(zdefiniowane przez dla wszystkich ) jest ciągła in

To samo dotyczy iloczynu funkcji ciągłych ,

(zdefiniowane przez dla wszystkich ) jest ciągła in

Łącząc powyższe zachowania ciągłości z ciągłością funkcji stałych i funkcji tożsamości na , dochodzi się do ciągłości wszystkich funkcji wielomianowych na , takich jak .

(na zdjęciu po prawej).
Wykres ciągłej funkcji wymiernej . Funkcja nie jest zdefiniowana dla Linie pionowe i poziome są asymptotami .

W ten sam sposób można pokazać, że odwrotność funkcji ciągłej

(zdefiniowane przez dla wszystkich takich, że ) jest ciągła in

Oznacza to, że bez korzeni na iloraz funkcji ciągłych

(zdefiniowane przez dla wszystkich , takie, że ) jest również ciągłe na .

Na przykład funkcja (na zdjęciu)

jest zdefiniowany dla wszystkich liczb rzeczywistych i jest ciągły w każdym takim punkcie. Jest to więc funkcja ciągła. Kwestia ciągłości w nie powstaje, ponieważ nie należy do dziedziny Nie ma funkcji ciągłej, która byłaby zgodna dla wszystkich
Funkcje sinc i cos

Ponieważ funkcja sinus jest ciągła dla wszystkich liczb rzeczywistych, funkcja sinc jest zdefiniowana i ciągła dla wszystkich liczb rzeczywistych Jednak, w przeciwieństwie do poprzedniego przykładu, G można rozszerzyć do funkcji ciągłej na wszystkich liczbach rzeczywistych, definiując wartość jako 1, która jest granica, kiedy x zbliża się do 0, tj.

Tak więc, poprzez ustawienie

funkcja sinc staje się funkcją ciągłą na wszystkich liczbach rzeczywistych. Termin usuwalna osobliwość jest używany w takich przypadkach, gdy (prze)definiowanie wartości funkcji tak, aby pokrywały się z odpowiednimi granicami, powoduje, że funkcja jest ciągła w określonych punktach.

Bardziej skomplikowaną konstrukcją funkcji ciągłych jest złożenie funkcji . Biorąc pod uwagę dwie ciągłe funkcje

ich skład, oznaczony jako i zdefiniowany przez, jest ciągły.

Taka konstrukcja pozwala np. stwierdzić, że

jest ciągły dla wszystkich

Przykłady funkcji nieciągłych

Wykres funkcji signum. To pokazuje, że . Zatem funkcja signum jest nieciągła przy 0 (patrz sekcja 2.1.3 ).

Przykładem funkcji nieciągłej jest funkcja skokowa Heaviside'a zdefiniowana przez

Wybierz na przykład . Wtedy nie ma -neighborhood wokół , to znaczy nie otwarty przedział z która zmusi wszystkie wartości są w -neighborhood dnia , czyli w terminie . Intuicyjnie możemy myśleć o tego rodzaju nieciągłości jako o nagłym skoku wartości funkcji.

Podobnie funkcja signum lub znak

jest nieciągły, ale ciągły wszędzie indziej. Jeszcze inny przykład: funkcja

jest ciągły wszędzie z wyjątkiem .

Wykres punktowy funkcji Thomae na przedziale (0,1). Najwyższy punkt w środku pokazuje f(1/2) = 1/2.

Oprócz prawdopodobnych ciągłości i nieciągłości jak wyżej, istnieją również funkcje o zachowaniu, często ukute patologicznie , np . funkcja Thomaego ,

jest ciągła na wszystkich liczbach niewymiernych i nieciągła na wszystkich liczbach wymiernych. W podobnym duchu, funkcja Dirichleta The funkcja wskaźnik dla zbioru liczb wymiernych,

nigdzie nie jest ciągły.

Nieruchomości

Przydatny lemat

Niech będzie funkcją, która jest ciągła w punkcie a być taką wartość, wtedy w całej pewnym otoczeniu

Dowód: Z definicji ciągłości weź , wtedy istnieje takie, że

Załóżmy, że w sąsiedztwie jest punkt, dla którego mamy sprzeczność

Twierdzenie o wartości pośredniej

Twierdzenie Darboux jest twierdzenie istnienie oparte na nieruchomości numer o kompletności i stanów:

Jeśli funkcja o wartościach rzeczywistych f jest ciągła na przedziale domkniętym, a k jest pewną liczbą pomiędzy a wtedy istnieje taka liczba , że

Na przykład, jeśli dziecko urośnie od 1 m do 1,5 m w wieku od 2 do 6 lat, to w pewnym momencie między 2 a 6 rokiem życia musi mieć 1,25 m wzrostu.

W konsekwencji, jeśli f jest ciągła na i a różnią się znak , to w pewnym momencie musi być równa zeru .

Twierdzenie o wartościach ekstremalnych

Te wartości skrajne twierdzenie , że jeśli funkcja f jest określony w zamkniętym przedziale (lub każda zamknięta i zbiór ograniczony) i ma ciągły, to funkcja osiąga maksimum, to znaczy nie występuje w wszystkim To samo odnosi się do minimum f . Te stwierdzenia nie są na ogół prawdziwe, jeśli funkcja jest zdefiniowana na otwartym przedziale (lub dowolnym zbiorze, który nie jest jednocześnie zamknięty i ograniczony), jak na przykład funkcja ciągła zdefiniowana na otwartym przedziale (0,1), nie osiąga maksimum, będąc powyżej nieograniczonym.

Związek z różniczkowalnością i całkowalnością

Każda zróżnicowana funkcja

jest ciągła, jak można to wykazać. Rozmawiać nie posiada: na przykład, wartość bezwzględna funkcja

jest wszędzie ciągły. Nie da się go jednak różnicować (ale tak jest wszędzie indziej). Funkcja Weierstrassa jest również wszędzie ciągła, ale nigdzie nie różniczkowalna.

Pochodną o różniczkowej funkcji f ( x ) nie muszą być ciągłe. Jeśli f′ ( x ) jest ciągłe, mówimy , że f ( x ) jest ciągle różniczkowalne. Zbiór takich funkcji jest określany Ogólniej, zbiór funkcji

(z otwartego przedziału (lub otwarte podzestawu z ) dla liczb rzeczywistych), tak że F jest czasy różniczkowalną i tak, aby -ty pochodną f jest ciągłą oznaczamy widoczny klasy różniczkowalność . W dziedzinie grafiki komputerowej właściwości związane (ale nie identyczne) są czasami nazywane (ciągłość położenia), (ciągłość styczności) i (ciągłość krzywizny); zobacz Gładkość krzywych i powierzchni .

Każda ciągła funkcja

jest całkowalna (na przykład w sensie całki Riemanna ). Odwrotność nie zachodzi, jak pokazuje (całkowalna, ale nieciągła) funkcja znaku .

Granice punktowe i jednolite

Ciąg funkcji ciągłych, których (punktowa) funkcja graniczna jest nieciągła. Konwergencja nie jest jednolita.

Biorąc pod uwagę sekwencję

funkcji takich, że granica
istnieje dla wszystkich , wynikowa funkcja jest określana jako
granica punktowa ciągu funkcji Funkcja graniczna punktowa nie musi być ciągła, nawet jeśli wszystkie funkcje są ciągłe, jak pokazuje animacja po prawej stronie. Jednak f jest ciągła, jeśli wszystkie funkcje są ciągłe, a ciąg jest zbieżny jednostajnie , zgodnie z twierdzeniem o jednostajnej zbieżności . Twierdzenie to można wykorzystać do wykazania, że funkcje wykładnicze , logarytmy , funkcja pierwiastka kwadratowego i funkcje trygonometryczne są ciągłe.

Kierunkowość i półciągłość

Funkcje nieciągłe mogą być nieciągłe w sposób ograniczony, dając początek koncepcji ciągłości kierunkowej (lub funkcji ciągłej prawo- i lewostronnej) oraz półciągłości . Z grubsza mówiąc, funkcja jest prawostronnie ciągła, jeśli przy zbliżaniu się do punktu granicznego z prawej strony nie występuje skok. Formalnie mówi się, że f jest prawostronnie ciągłe w punkcie c, jeśli zachodzi co następuje: Dla dowolnej liczby, jakkolwiek małej, istnieje taka liczba , że dla wszystkich

x w dziedzinie o wartości woli spełnia

Jest to ten sam warunek, co w przypadku funkcji ciągłych, z tą różnicą, że wymagane jest trzymanie tylko dla x ściśle większego niż c . Wymaganie go zamiast tego dla wszystkich x with daje pojęcie funkcji

lewostronnych . Funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest zarówno prawostronna, jak i lewostronna.

Funkcja f jest funkcją półciągłą dolną, jeśli, z grubsza, wszelkie skoki, które mogą wystąpić, tylko idą w dół, ale nie w górę. Oznacza to, że dla każdego istnieje pewna liczba taka, że ​​dla wszystkich

x w dziedzinie o wartości spełnia
Warunek odwrotny to górna półciągłość .

Funkcje ciągłe między przestrzeniami metrycznymi

Pojęcie ciągłych funkcji o wartościach rzeczywistych można uogólnić na funkcje między przestrzeniami metrycznymi . Przestrzeń metryczna to zbiór X wyposażony w funkcję (zwaną metryką ), którą można traktować jako miarę odległości dowolnych dwóch elementów w

X . Formalnie metryka jest funkcją
spełnia szereg wymagań, w szczególności trójkąt nierówności . Biorąc pod uwagę dwie przestrzenie metryczne i oraz funkcję
wtedy f jest ciągłe w punkcie (w odniesieniu do danych metryk), jeśli dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej istnieje dodatnia liczba rzeczywista taka, że ​​wszystkie spełniające również będą spełniały Podobnie jak w przypadku funkcji rzeczywistych powyżej, jest to równoważne z warunkiem, dla każdego ciągu w
X z granicą, którą mamy Ten ostatni warunek można osłabić w następujący sposób: f jest ciągła w punkcie c wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu zbieżnego w X z granicą c , ciąg jest ciągiem Cauchy'ego , a c jest w domena f .

Zbiór punktów, w których funkcja pomiędzy przestrzeniami metrycznymi jest ciągła, jest

zbiorem  – wynika to z definicji ciągłości.

To pojęcie ciągłości jest stosowane na przykład w analizie funkcjonalnej . Kluczowe stwierdzenie w tym obszarze mówi, że operator liniowy

pomiędzy unormowanymi przestrzeniami wektorowymi V i W (które są przestrzeniami wektorowymi wyposażonymi w normę zgodną oznaczoną ) jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest
ograniczona , czyli istnieje stała K taka, że
dla wszystkich

Ciągłość jednolita, Höldera i Lipschitza

W przypadku funkcji ciągłej Lipschitza istnieje podwójny stożek (zaznaczony na biało), którego wierzchołek można przesunąć wzdłuż wykresu, tak że wykres zawsze pozostaje całkowicie poza stożkiem.

Pojęcie ciągłości dla funkcji pomiędzy przestrzeniami metrycznymi można wzmocnić na różne sposoby, ograniczając sposób zależności od i

c w powyższej definicji. Intuicyjnie funkcja f jak powyżej jest jednostajnie ciągła, jeśli nie zależy od punktu c . Dokładniej, wymagane jest, aby dla każdej liczby rzeczywistej istniało takie, że dla każdego z mamy to Tak więc każda jednostajnie ciągła funkcja jest ciągła. Odwrotność nie obowiązuje ogólnie, ale obowiązuje, gdy przestrzeń domeny X jest zwarta . Mapy jednostajnie ciągłe można zdefiniować w bardziej ogólnej sytuacji przestrzeni jednorodnych .

Funkcja jest ciągła Höldera z wykładnikiem α (liczba rzeczywista), jeśli istnieje stała K taka, że ​​dla wszystkich nierówności

trzyma. Każda funkcja ciągła Höldera jest jednostajnie ciągła. Szczególny przypadek określany jest jako
ciągłość Lipschitza . Oznacza to, że funkcja jest ciągła Lipschitza, jeśli istnieje stała K taka, że ​​nierówność
obowiązuje dla każdego Warunek Lipschitza występuje na przykład w
twierdzeniu Picarda-Lindelöfa dotyczącym rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych .

Funkcje ciągłe między przestrzeniami topologicznymi

Innym, bardziej abstrakcyjnym pojęciem ciągłości jest ciągłość funkcji pomiędzy przestrzeniami topologicznymi, w których generalnie nie ma formalnego pojęcia odległości, jak ma to miejsce w przypadku przestrzeni metrycznych . Przestrzeń topologiczna jest zbiorem X wraz z topologią na X , który jest zbiorem podzbiorów w X spełniających kilka wymagań związanych z ich związkami i skrzyżowań, że uogólnienie właściwości otwartych kulek w przestrzeniach metrycznych, a jednocześnie pozwala mówić o te dzielnice danego punktu. Elementy topologii zwane otwarte podzbiory o X (w odniesieniu do topologii).

Funkcja

między dwiema przestrzeniami topologicznych X i Y jest ciągła, jeśli dla każdego zbioru otwartego
odwrotny obrazu
jest otwartym podzbiorem X . Oznacza to, że f jest funkcją między zbiorami X i Y (nie na elementach topologii ), ale ciągłość f zależy od topologii użytych na X i Y .

Jest to równoważne pod warunkiem, że preimages tych i zamkniętej (które są komplementarne z otwartych podzbiorów) w Y są zamknięte X .

Skrajny przykład: jeśli zestaw X otrzyma topologię dyskretną (w której każdy podzbiór jest otwarty), wszystkie funkcje

do dowolnej przestrzeni topologicznej T są ciągłe. Z drugiej strony, jeśli X jest wyposażony w niedyskretną topologię (w której jedynymi otwartymi podzbiorami są zbiór pusty i X ), a przestrzeń T zbiór wynosi co najmniej T 0 , to jedynymi funkcjami ciągłymi są funkcje stałe. I odwrotnie, każda funkcja, której zakres jest niedyskretny, jest ciągła.

Ciągłość w punkcie

Ciągłość w punkcie: dla każdego sąsiedztwa V od , istnieje sąsiedztwo U od x takie, że

Tłumaczenie na język sąsiedztw

definicji ciągłości prowadzi do następującej definicji ciągłości w punkcie:
Funkcja jest ciągła w punkcie , wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej okolicy V o w Y , to jest w okolicy U z X takich, że

Ta definicja jest równoważna z tym samym stwierdzeniem z sąsiedztwami ograniczonymi do otwartych sąsiedztw i można ją powtórzyć na kilka sposobów, używając wstępnych obrazów zamiast obrazów.

Ponadto, ponieważ każdy zbiór, który zawiera sąsiedztwo jest również sąsiedztwem i jest największym podzbiorem

U z X takim, że definicja ta może być uproszczona do:
Funkcja jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy jest otoczeniem x dla każdego otoczenia V o w Y .

Ponieważ zbiór otwarty jest zbiorem, który jest sąsiedztwem wszystkich jego punktów, funkcja jest ciągła w każdym punkcie

X wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją ciągłą.

Jeśli X i Y są przestrzenie metryczne, jest to równoważne pod uwagę układ sąsiedztwa z otwartymi kulki skupionych w x i f ( x ) zamiast wszystkich dzielnicach. Oddaje to powyższą definicję ciągłości w kontekście przestrzeni metrycznych. W ogólnych przestrzeniach topologicznych nie ma pojęcia bliskości ani odległości. Jeśli jednak przestrzeń docelowa jest przestrzenią

Hausdorffa , nadal prawdą jest, że f jest ciągłe w a wtedy i tylko wtedy, gdy granica f w miarę zbliżania się x do a wynosi f ( a ). W izolowanym punkcie każda funkcja jest ciągła.

Biorąc pod uwagę, mapa jest ciągła w wtedy i tylko wtedy, gdy jest to filtr o tym, że

zbieżny do w której wyraża się poprzez pisanie następnie koniecznie w If oznacza filtr sąsiedztwo przy czym jest ciągła w wtedy i tylko wtedy, gdy w Co więcej, zdarza się to tylko wtedy, gdy filtr wstępny jest podstawa filtra dla filtra sąsiedztwa w

Alternatywne definicje

Istnieje kilka równoważnych definicji struktury topologicznej, a zatem istnieje kilka równoważnych sposobów definiowania funkcji ciągłej.

Sekwencje i sieci

W kilku kontekstach topologia przestrzeni jest dogodnie określana za pomocą punktów granicznych . W wielu przypadkach osiąga się to poprzez określenie, kiedy punkt jest granicą ciągu , ale dla niektórych przestrzeni, które są w pewnym sensie zbyt duże, określa się również, kiedy punkt jest granicą bardziej ogólnych zbiorów punktów indeksowanych przez skierowane zestaw , znany jako sieci . Funkcja jest (Heine-)ciągła tylko wtedy, gdy przyjmuje granice ciągów do granic ciągów. W pierwszym przypadku wystarczające jest również zachowanie granic; w tym ostatnim funkcja może zachowywać wszystkie granice ciągów, ale nadal nie być ciągła, a zachowanie sieci jest warunkiem koniecznym i wystarczającym.

Mówiąc dokładniej, funkcja jest

sekwencyjnie ciągła, jeśli za każdym razem, gdy sekwencja w X zbiega się do granicy x , sekwencja ta zbiega się do f ( x ). W ten sposób sekwencyjnie ciągłe funkcje „zachowują granice sekwencyjne”. Każda funkcja ciągła jest sekwencyjnie ciągła. Jeśli X jest pierwszą policzalną przestrzenią, a wybór jest policzalny , to zachodzi również odwrotność: każda funkcja zachowująca granice sekwencyjne jest ciągła. W szczególności, jeśli X jest przestrzenią metryczną, ciągłość sekwencyjna i ciągłość są równoważne. W przypadku przestrzeni nieprzeliczalnych od początku ciągłość sekwencyjna może być ściśle słabsza niż ciągłość. (Przestrzenie, dla których te dwie własności są równoważne, nazywamy przestrzeniami sekwencyjnymi ). To motywuje rozważanie sieci zamiast sekwencji w ogólnych przestrzeniach topologicznych. Funkcje ciągłe zachowują granice sieci iw rzeczywistości ta właściwość charakteryzuje funkcje ciągłe.

Rozważmy na przykład przypadek funkcji o wartościach rzeczywistych jednej zmiennej rzeczywistej:

Twierdzenie  —  funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest sekwencyjnie ciągła w tym punkcie.

Dowód

Dowód. Załóżmy, że jest to ciągłość w (w sensie ciągłości ). Niech będzie ciągiem zbieżnym o (taki ciąg istnieje zawsze, np. ); ponieważ jest ciągłe w

Dla każdego takiego możemy znaleźć liczbę naturalną taką, że
ponieważ zbiega się w ; łącząc to z otrzymujemy
Załóżmy przeciwnie, że jest sekwencyjnie ciągły i postępuj przez sprzeczność: załóżmy, że nie jest ciągły w
wtedy możemy wziąć i nazwać odpowiedni punkt : w ten sposób zdefiniowaliśmy ciąg taki, że
przez konstrukcję a , co jest sprzeczne z hipotezą sekwencyjnej ciągłości. ∎

Definicje operatora zamknięcia i operatora wewnętrznego

Z punktu widzenia operatora wewnętrznego funkcja pomiędzy przestrzeniami topologicznymi jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego podzbioru

Pod względem operatora domknięcia jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego podzbioru

Innymi słowy, dany element należący do domknięcia podzbioru koniecznie należy do domknięcia in Jeśli zadeklarujemy, że punkt jest
bliski podzbioru , to ta terminologia pozwala na prosty opis ciągłości w języku angielskim : jest ciągły, jeśli i tylko wtedy, gdy dla każdego podzbioru odwzorowuje punkty, które są blisko punktów, które są blisko Podobnie, jest ciągła w ustalonym danym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zawsze jest blisko podzbioru, to jest blisko

Zamiast określać przestrzenie topologiczne za pomocą ich otwartych podzbiorów , dowolna topologia może

być alternatywnie określona przez operatora zamknięcia lub operatora wewnętrznego . W szczególności, na mapie, który wysyła podzbiór przestrzeni topologicznej jej topologicznych zamknięcia spełniającym aksjomaty zamykające Kuratowskiemu i odwrotnie, dla każdego operatora zamknięcia istnieje unikalne Topologia on (w szczególności ) w taki sposób, że dla każdego podzbioru jest równa topologicznej zamknięcia z in Jeśli zbiory i są skojarzone z operatorami domknięcia (obydwa oznaczone przez ), to mapa jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego podzbioru

Podobnie, na mapie, który wysyła podzbiór z jego

topologicznej wnętrza określa operatora wewnętrzną i odwrotnie, każdy operator wnętrze powoduje unikalne Topologia on (w szczególności ) w taki sposób, że dla każdego wynosi topologicznej wnętrza od w If zestawów i oznaczają powiązane z operatorami wewnętrznymi (oba oznaczone przez ), to mapa jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego podzbioru

Filtry i filtry wstępne

Ciągłość można również scharakteryzować za pomocą filtrów . Funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, ilekroć

filtr na zbieżny w do punktu, wtedy filtr wstępny zbiega się w celu scharakteryzowania Pozostaje to prawdą, jeżeli słowo „filtr” zastępuje się wyrazami „wstępny”.

Nieruchomości

Jeśli i są ciągłe, to taki jest skład If jest ciągły i

Możliwe topologie na ustalonym zbiorze Xczęściowo uporządkowane : mówi się, że topologia jest

bardziej zgrubna niż inna topologia (notacja: ) jeśli każdy otwarty podzbiór w odniesieniu do jest również otwarty w odniesieniu do To, odwzorowanie tożsamości
jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy (zobacz także porównanie topologii ). Mówiąc bardziej ogólnie, funkcja ciągła
pozostaje ciągła, jeśli topologia zostanie zastąpiona
gorszą topologią i/lub zostanie zastąpiona drobniejszą topologią .

Homeomorfizmy

Symetryczna wobec koncepcji mapy ciągłej jest mapa otwarta , dla której otwarte są obrazy zbiorów otwartych. W rzeczywistości, jeśli otwarte odwzorowanie f ma funkcję odwrotną , to odwrotność jest ciągła, a jeśli ciągłe odwzorowanie g ma odwrotność, odwrotność ta jest otwarta. Biorąc pod uwagę bijective funkcji F pomiędzy dwoma pomieszczeniami topologicznych odwrotnością funkcji nie musi być ciągła. Bijektywna funkcja ciągła z ciągłą funkcją odwrotną nazywana jest

homeomorfizmem .

Jeśli ciągła bijection ma na domenie jest zwarta i jego codomain jest Hausdorffa , to jest homeomorfizmem.

Definiowanie topologii za pomocą funkcji ciągłych

Biorąc pod uwagę funkcję

gdzie X jest przestrzenią topologiczną, a S jest zbiorem (bez określonej topologii), ostateczna topologia na S jest definiowana przez przyzwolenie, aby otwarte zbiory S były tymi podzbiorami A z S, dla których są otwarte w
X . Jeśli S ma istniejącą topologię, f jest ciągłe w odniesieniu do tej topologii wtedy i tylko wtedy, gdy istniejąca topologia jest bardziej zgrubna niż ostateczna topologia na S . Tak więc ostateczną topologię można scharakteryzować jako najlepszą topologię na S, która sprawia, że f jest ciągłe. Jeśli f jest surjektywne , topologia ta jest kanonicznie utożsamiana z topologią ilorazową w relacji równoważności określonej przez f .

Podwójnie, dla funkcji f ze zbioru S do przestrzeni topologicznej X , początkowa topologia na S jest definiowana przez oznaczenie jako zbiór otwarty każdego podzbioru A z S takiego, że dla pewnego otwartego podzbioru

U z X . Jeśli S ma istniejącą topologię, f jest ciągłe w odniesieniu do tej topologii wtedy i tylko wtedy, gdy istniejąca topologia jest dokładniejsza niż początkowa topologia w S . Zatem początkową topologię można scharakteryzować jako najgrubszą topologię na S, która sprawia, że f jest ciągłe. Jeśli f jest za pomocą wstrzyknięć, Topologia kanonicznej jest identyfikowany z topologią podprzestrzeni z S , patrząc w podgrupie X .

Topologia na zbiorze S jest jednoznacznie określona przez klasę wszystkich funkcji ciągłych we wszystkich przestrzeniach topologicznych

X . Podwójnie podobny pomysł można zastosować do map

Powiązane pojęcia

Jeśli jest funkcją ciągłą z pewnego podzbioru przestrzeni topologicznej, to anciągła rozbudowa odcelujest każda funkcja ciągłataka, żedla każdego, który jest stanem, który często napisane jakw słowach, to jest jakaś funkcja ciągła, że

ograniczatonapojęcie to jest stosowane, na przykład, wprzedłużacza twierdzenia TietzeiHahn-Banach twierdzenie. Niebyłyciągłe, to nie mogły mieć ciągłego rozszerzenia. Jeślijestprzestrzenią Hausdorffaijestgęsty podzbiórodówczesnego ciągłej rozbudowydojeżeli taki istnieje, będzie wyjątkowy.

Różne inne dziedziny matematyki używają pojęcia ciągłości w różnych, ale powiązanych ze sobą znaczeniach. Na przykład, w teorii kolejności , funkcję celu, zachowując pomiędzy poszczególnymi rodzajami

częściowy porządek X i Y jest ciągły , czy dla każdego skierowanego podzbioru A o X mamy tutaj jest Supremum względem uporządkowania w X i Y , odpowiednio . To pojęcie ciągłości jest takie samo jak ciągłość topologiczna, gdy częściowo uporządkowanym zbiorom nadaje się topologię Scotta .

W kategorii teorii , funktor

między dwiema kategoriami nazywa się ciągłą , jeśli dojeżdża z małymi granicami . To jest do powiedzenia,
na każdy mały (to znaczy, indeksowanej zbioru I , w przeciwieństwie do klasy ) schematu z przedmiotów w .

Przestrzeń ciągłość jest uogólnieniem przestrzeni metrycznych i Posets, który wykorzystuje koncepcję quantales , a które mogą być wykorzystane w celu ujednolicenia pojęć przestrzeni metrycznych i domen .

Zobacz też

Bibliografia

Bibliografia