Uśrednianie sygnału - Signal averaging
Uśrednianie sygnału jest przetwarzanie sygnału technika stosowana w dziedzinie czasu , przeznaczone do zwiększenia wytrzymałości sygnału w stosunku do szumu , który jest zaciemnienie go. Uśredniając zestaw powtórzonych pomiarów, zwiększy się stosunek sygnału do szumu (SNR), idealnie proporcjonalnie do pierwiastka kwadratowego z liczby pomiarów.
Wyprowadzanie SNR dla uśrednionych sygnałów
Założyłem, że
- Sygnał nie jest skorelowany z szumem, a szum nie jest skorelowany : .
- Moc sygnału jest stała w powtórzonych pomiarach.
- Hałas jest losowy, ze średnią zerową i stałą wariancją w powtórzonych pomiarach: i .
- Stosunek sygnału do szumu definiujemy (kanonicznie) jako .
Moc szumów dla próbkowanych sygnałów
Zakładając, że próbkujemy szum, otrzymujemy wariancję na próbkę
.
Uśrednianie zmiennej losowej prowadzi do następującej wariancji:
.
Ponieważ wariancja hałasu jest stała :
,
wykazanie, że uśrednienie realizacji tego samego, nieskorelowanego szumu zmniejsza moc szumu o czynnik , a zmniejsza poziom szumu o czynnik .
Moc sygnału dla próbkowanych sygnałów
Uwzględnienie wektorów próbek sygnału o długości :
,
potęga takiego wektora to po prostu
.
Ponownie, uśrednianie wektorów daje następujący uśredniony wektor
.
W przypadku , gdy widzimy, że osiąga maksimum
.
W tym przypadku stosunek sygnału do szumu również osiąga maksimum,
.
Jest to przypadek nadpróbkowania , w którym obserwowany sygnał jest skorelowany (ponieważ nadpróbkowanie oznacza, że obserwacje sygnału są silnie skorelowane).
Sygnały zablokowane czasowo
Uśrednianie jest stosowane w celu wzmocnienia składowej sygnału zsynchronizowanego w czasie w zaszumionych pomiarach; blokada czasowa implikuje, że sygnał jest okresem obserwacji, więc kończymy w maksymalnym przypadku powyżej.
Uśrednianie nieparzystych i parzystych prób
Specyficznym sposobem uzyskiwania powtórzeń jest uśrednianie wszystkich nieparzystych i parzystych prób w oddzielnych buforach. Ma to tę zaletę, że umożliwia porównanie wyników parzystych i nieparzystych z przeplatanych prób. Średnia nieparzystych i parzystych średnich generuje pełny uśredniony wynik, podczas gdy różnica między nieparzystymi i parzystymi średnimi podzielona przez dwa stanowi oszacowanie szumu.
Implementacja algorytmiczna
Poniżej znajduje się symulacja MATLAB procesu uśredniania:
N=1000; % signal length
even=zeros(N,1); % even buffer
odd=even; % odd buffer
actual_noise=even;% keep track of noise level
x=sin(linspace(0,4*pi,N))'; % tracked signal
for ii=1:256 % number of replicates
n = randn(N,1); % random noise
actual_noise = actual_noise+n;
if (mod(ii,2))
even = even+n+x;
else
odd=odd+n+x;
end
end
even_avg = even/(ii/2); % even buffer average
odd_avg = odd/(ii/2); % odd buffer average
act_avg = actual_noise/ii; % actual noise level
db(rms(act_avg))
db(rms((even_avg-odd_avg)/2))
plot((odd_avg+even_avg));
hold on;
plot((even_avg-odd_avg)/2)
Powyższy proces uśredniania i ogólnie prowadzi do oszacowania sygnału. W porównaniu z surowym wykresem, uśredniony składnik szumu jest redukowany z każdą uśrednioną próbą. Podczas uśredniania rzeczywistych sygnałów, podstawowy składnik może nie zawsze być tak wyraźny, co skutkuje powtarzającymi się średnimi w poszukiwaniu spójnych składników w dwóch lub trzech powtórzeniach. Jest mało prawdopodobne, że dwa lub więcej spójnych wyników uzyskano tylko przez przypadek.
Uśrednianie sygnału zwykle w dużym stopniu opiera się na założeniu, że składnik szumu sygnału jest losowy, ma zerową średnią i nie jest powiązany z sygnałem. Istnieją jednak przypadki, w których szum nie jest nieskorelowany. Typowym przykładem szumu skorelowanego jest szum kwantyzacji (np. szum powstały podczas konwersji z sygnału analogowego na cyfrowy).