Sinusoida - Sine wave

Wykresy funkcji sinus (ciągły czerwony) i cosinus (niebieski kropkowany) są sinusoidami różnych faz

Sinusoidą lub sinusoida jest matematycznym krzywej , która opisuje płynną okresowej oscylacji . Fala sinusoidalna to fala ciągła . Jego nazwa pochodzi od funkcji sinus , której jest wykresem . Występuje często zarówno w matematyce czystej i stosowanej , jak i fizyce , inżynierii , przetwarzaniu sygnałów i wielu innych dziedzinach. Jego najbardziej podstawową formą w funkcji czasu ( t ) jest:

gdzie:
  • A , amplituda , szczytowe odchylenie funkcji od zera.
  • f , zwykła częstotliwość , liczba oscylacji (cykli), które występują w każdej sekundzie czasu.
  • ω = 2π f , częstotliwość kątowa , szybkość zmiany argumentu funkcji w radianach na sekundę
  • , faza , określa (w radianach ) gdzie w swoim cyklu oscylacja wynosi t = 0.
    Gdy jest niezerowe, cały przebieg wydaje się być przesunięty w czasie o φ / ω sekund. Wartość ujemna oznacza opóźnienie, a wartość dodatnia oznacza zaliczkę.
Oscylacja nietłumionego układu sprężyna-masa wokół równowagi jest falą sinusoidalną.

Fala sinusoidalna jest ważna w fizyce, ponieważ zachowuje swój kształt fali po dodaniu do innej fali sinusoidalnej o tej samej częstotliwości i dowolnej fazie i wielkości. Jest to jedyny przebieg okresowy, który ma tę właściwość. Ta właściwość prowadzi do jej znaczenia w analizie Fouriera i czyni ją wyjątkową akustycznie.

Ogólna forma

Ogólnie funkcja może mieć również:

  • zmienna przestrzenna x, która reprezentuje pozycję w wymiarze, w którym fala się rozchodzi, oraz charakterystyczny parametr k zwany liczbą falową (lub liczbą falową kątową), która reprezentuje proporcjonalność między częstotliwością kątową ω a prędkością liniową ( prędkość propagacji ) v ;
  • niezerowa amplituda centrum, D

który jest

  • , jeśli fala porusza się w prawo
  • , jeśli fala porusza się w lewo.

Liczba falowa jest związana z częstotliwością kątową przez:

gdzie λ (lambda) to długość fali , f to częstotliwość , a v to prędkość liniowa.

To równanie daje falę sinusoidalną dla jednego wymiaru; zatem podane powyżej uogólnione równanie podaje przemieszczenie fali w położeniu x w czasie t wzdłuż pojedynczej linii. Można to na przykład uznać za wartość fali wzdłuż drutu.

W dwóch lub trzech wymiarach przestrzennych to samo równanie opisuje biegnącą falę płaską, jeśli położenie x i liczbę falową k zinterpretujemy jako wektory, a ich iloczyn jako iloczyn skalarny . W przypadku bardziej złożonych fal, takich jak wysokość fali wody w stawie po upuszczeniu kamienia, potrzebne są bardziej złożone równania.

Występowanie

Ilustruje fundamentalny stosunek fali cosinus do okręgu.

Ta fala wzór często występuje w przyrodzie, włączając w falowanie , dźwiękowe fale i lekkich fal.

Cosinus fali mówi się sinusoidalny , ponieważ , który jest fala sinusoidalna z przesunięciem fazowym o p / 2 radianów . Z powodu tego wyprzedzenia często mówi się, że funkcja cosinus przewodzi funkcji sinus lub sinus jest opóźniony w stosunku do funkcji cosinus.

Ludzkie ucho może rozpoznać pojedyncze fale sinusoidalne jako brzmiące czysto, ponieważ fale sinusoidalne są reprezentacjami pojedynczej częstotliwości bez harmonicznych .

Dla ludzkiego ucha dźwięk składający się z więcej niż jednej fali sinusoidalnej będzie miał dostrzegalną harmonię; dodanie różnych fal sinusoidalnych skutkuje innym kształtem fali, a tym samym zmienia barwę dźwięku. Obecność wyższych harmonicznych oprócz podstawowej powoduje zmienność barwy, przez co ta sama nuta (ta sama częstotliwość) grana na różnych instrumentach brzmi inaczej. Z drugiej strony, jeśli dźwięk zawiera fale aperiodyczne wraz z falami sinusoidalnymi (które są okresowe), dźwięk będzie odbierany jako zaszumiony, ponieważ hałas jest charakteryzowany jako aperiodyczny lub mający niepowtarzalny wzór.

Szeregi Fouriera

Przebiegi sinusoidalne, kwadratowe , trójkątne i piłokształtne

W 1822 roku francuski matematyk Joseph Fourier odkrył, że fale sinusoidalne mogą być używane jako proste elementy składowe do opisywania i przybliżania dowolnych przebiegów okresowych, w tym fal prostokątnych . Fourier użył go jako narzędzia analitycznego w badaniu fal i przepływu ciepła. Jest często stosowany w przetwarzaniu sygnałów i statystycznej analizie szeregów czasowych .

Fale wędrowne i stojące

Ponieważ fale sinusoidalne rozchodzą się bez zmiany kształtu w rozproszonych układach liniowych , są one często wykorzystywane do analizy propagacji fal . Fale sinusoidalne rozchodzące się w przestrzeni w dwóch kierunkach można przedstawić jako

Kiedy dwie fale o tej samej amplitudzie i częstotliwości , poruszające się w przeciwnych kierunkach, nakładają się na siebie, powstaje wzór fali stojącej . Zauważ, że na szarpanej strunie fale zakłócające to fale odbite od stałych punktów końcowych struny. Dlatego fale stojące występują tylko przy pewnych częstotliwościach, które określa się mianem częstotliwości rezonansowych i składają się z częstotliwości podstawowej i jej wyższych harmonicznych . Częstotliwości rezonansowe struny są proporcjonalne do: długości między nieruchomymi końcami; napięcie łańcucha; i odwrotnie proporcjonalna do masy na jednostkę długości sznurka.

Zobacz też

Dalsza lektura

  • „Sinusoida” . Encyklopedia Matematyki . Springer . Pobrano 8 grudnia 2013 .