Szkielet (teoria kategorii) - Skeleton (category theory)

W matematyce , o szkielet z kategorii jest podkategorii , które, z grubsza rzecz biorąc, nie zawiera żadnych zbędnych isomorphisms . W pewnym sensie szkielet kategorii jest „najmniejszą” kategorią ekwiwalentną , która obejmuje wszystkie „kategoryczne właściwości” oryginału. W rzeczywistości dwie kategorie są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają izomorficzne szkielety. Kategorię nazywamy szkieletową, jeśli obiekty izomorficzne są koniecznie identyczne.

Definicja

Szkielet kategorii C jest równoważną kategorią D, w której żadne dwa odrębne obiekty nie są izomorficzne. Powszechnie uważa się, że jest to podkategoria. Szczegółowo, szkielet C jest kategorią D taką, że:

• D jest podkategorii z C : każdy przedmiot D Przedmiotem C

${\ Displaystyle \ operatorname {Ob} (D) \ subseteq \ operatorname {Ob} (C)}$

dla każdej pary przedmiotów d ₁ a d ₂ w D , że morfizmami w D są morfizmami w ° C , a więc

${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {D} (d_ {1}, d_ {2}) \ subseteq \ operatorname {Hom} _ {C} (d_ {1}, d_ {2})}$

a tożsamości i kompozycje w D są ograniczeniami tych w C .

• Włączenie D w C jest pełne , co oznacza, że ​​dla każdej pary obiektów d ₁ i d ₂ z D wzmacniamy powyższą relację podzbioru do równości:

${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {D} (d_ {1}, d_ {2}) = \ operatorname {Hom} _ {C} (d_ {1}, d_ {2})}$

• Włączenie D w C jest zasadniczo suriekcją : Każdy C -przedmiot jest izomorficzna z pewnym D -przedmiot.
• D to szkielet: Żadne dwa odrębne obiekty D nie są izomorficzne.

Istnienie i wyjątkowość

To podstawowy fakt, że każda mała kategoria ma szkielet; bardziej ogólnie, każda dostępna kategoria ma szkielet. (Jest to równoważne aksjomatowi wyboru .) Ponadto, chociaż kategoria może mieć wiele odrębnych szkieletów, dowolne dwa szkielety są izomorficzne jako kategorie , więc aż do izomorfizmu kategorii, szkielet kategorii jest unikalny .

Znaczenie szkieletów wynika z faktu, że są one (do izomorfizmu kategorii), kanoniczne przedstawiciele klas równoważności kategorii pod względem równoważności o równoważności kategorii . Wynika to z faktu, że każdy szkielet kategorii C jest równoważny C i że dwie kategorie są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają szkielety izomorficzne.

Przykłady

• Kategoria Zbiór wszystkich zbiorów zawiera podkategorię wszystkich liczb kardynalnych jako szkielet.
• Kategoria K -Vect wszystkich miejsc wektora z ustalonym obszarze ma podkategorii składają się wszystkie siły , gdzie α jest liczbą Cardinal jako szkielet; dla dowolnych skończonych m i n , odwzorowania są dokładnie macierzami n × m z wpisami w K .${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle K ^ {(\ alfa )}}$${\ Displaystyle K ^ {m} \ do K ^ {n}}$
• FinSet , kategoria wszystkich skończonych zbiorów ma FinOrd , kategorię wszystkich skończonych liczb porządkowych , jako szkielet.
• Kategoria wszystkich uporządkowanych zbiorów ma podkategorię wszystkich liczb porządkowych jako szkielet.
• Preorder , czyli mała kategorii tak, że dla każdej pary przedmiotów , przy czym zestaw ma albo jednego elementu lub jest pusty, posiada częściowy porządek jako szkielet.${\ Displaystyle A, B}$${\ Displaystyle {\ mbox {Hom}} (A, B)}$

Zobacz też

• Słowniczek teorii kategorii
• Cienka kategoria

Bibliografia

• Adamek, Jiří, Herrlich, Horst i Strecker, George E. (1990). Kategorie abstrakcyjne i konkretne . Pierwotnie opublikowany przez John Wiley & Sons. ISBN  0-471-60922-6 . (teraz darmowa edycja on-line)
• Robert Goldblatt (1984). Topoi, Analiza kategorialna logiki (Studia logiki i podstaw matematyki, 98). Północna Holandia. Przedrukowane 2006 przez Dover Publications.