Skośne linie - Skew lines
W geometrii trójwymiarowej , proste skośne są dwie linie , które NIE przecinają się i nie są równoległe . Prostym przykładem pary skośnych linii jest para linii przechodzących przez przeciwległe krawędzie regularnego czworościanu . Dwie linie, które obie leżą w tej samej płaszczyźnie, muszą albo przecinać się, albo być równoległe, więc linie skośne mogą istnieć tylko w trzech lub więcej wymiarach . Dwie linie są skośne wtedy i tylko wtedy, gdy nie są współpłaszczyznowe .
Ogólne stanowisko
Jeśli cztery punkty zostaną wybrane losowo i jednolicie w obrębie sześcianu jednostkowego , prawie na pewno zdefiniują one parę skośnych linii. Po wybraniu pierwszych trzech punktów czwarty punkt zdefiniuje linię nieskośną wtedy i tylko wtedy, gdy jest współpłaszczyznowa z pierwszymi trzema punktami. Jednak płaszczyzna przechodząca przez pierwsze trzy punkty tworzy podzbiór miary zerowej sześcianu, a prawdopodobieństwo, że czwarty punkt leży na tej płaszczyźnie, wynosi zero. Jeśli tak się nie stanie, linie zdefiniowane przez punkty będą skośne.
Podobnie, w przestrzeni trójwymiarowej bardzo małe zaburzenie dowolnych dwóch równoległych lub przecinających się linii prawie na pewno zmieni je w linie skośne. Dlatego wszystkie cztery punkty w położeniu ogólnym zawsze tworzą linie skośne.
W tym sensie linie skośne są „zwykłym” przypadkiem, a linie równoległe lub przecinające się są przypadkami specjalnymi.
Formuły
Testowanie skośności
Jeśli każda linia parę skośnych linii jest określona przez dwa punkty , że przechodzi, to te cztery punkty nie mogą być w jednej płaszczyźnie, więc muszą być wierzchołki o Tetrahedron niezerowych objętości . I odwrotnie, dowolne dwie pary punktów definiujących czworościan o niezerowej objętości również definiują parę linii skośnych. Dlatego test, czy dwie pary punktów definiują linie skośne, polega na zastosowaniu wzoru na objętość czworościanu w odniesieniu do jego czterech wierzchołków. Oznaczający jeden punkt za 1 x 3 wektora A, w którym te trzy elementy są trzy wartości współrzędnych Punktu, podobnie oznaczający , b , c i d dla innych punktów, można sprawdzić, czy za pośrednictwem linii i b jest skośny względem linii przechodzącej c i d , sprawdzając, czy wzór na objętość czworościanu daje wynik niezerowy:
Najbliższe punkty
Wyrażając dwie linie jako wektory:
Iloczyn z i jest prostopadła do linii.
Płaszczyzna utworzona przez przesunięcia linii 2 wzdłuż zawiera punkt i jest prostopadła do .
Dlatego punkt przecięcia Linii 1 z wyżej wymienioną płaszczyzną, który jest jednocześnie punktem na Linii 1, który jest najbliższy Linii 2, jest określony wzorem
Podobnie, punkt na Linii 2 najbliżej Linii 1 jest określony wzorem (gdzie )
Teraz i tworzą najkrótszy odcinek łączący Linia 1 i Linia 2.
Dystans
Odległość między najbliższymi punktami na dwóch liniach skośnych można wyrazić za pomocą wektorów:
Tutaj wektor 1 × 3 x reprezentuje dowolny punkt na prostej przechodzącej przez określony punkt a, gdzie b reprezentuje kierunek prostej, a wartość liczby rzeczywistej określa, gdzie punkt znajduje się na prostej, i podobnie dla dowolnego punktu y na linii prostą przechodzącą przez określony punkt c w kierunku d .
Iloczyn z B i D jest prostopadła do linii, jak to wektor jednostkowy
Wtedy odległość między liniami wynosi
(jeśli | b × d | jest równe zero, proste są równoległe i nie można użyć tej metody).
Więcej niż dwie linie
Konfiguracje
Konfiguracja skosu linii jest zestaw linii, w którym wszystkie pary są skosu. Mówi się, że dwie konfiguracje są izotopowe, jeśli możliwe jest ciągłe przekształcanie jednej konfiguracji w drugą, zachowując podczas całej transformacji niezmiennik, że wszystkie pary linii pozostają skośne. Dowolne dwie konfiguracje dwóch linii są łatwo widoczne jako izotopowe, a konfiguracje tej samej liczby linii o wymiarach większych niż trzy są zawsze izotopowe, ale istnieje wiele nieizotopowych konfiguracji trzech lub więcej linii w trzech wymiarach ( Viro & Viro 1990 ). Liczba nieizotopowych konfiguracji n linii w R 3 , zaczynając od n = 1, wynosi
Rządzone powierzchnie
Jeśli ktoś obraca linię L wokół innej linii M, pochylona, ale nie prostopadła do niej, powierzchnia obrotu omiatana przez L jest hiperboloidą jednego arkusza . Na przykład, trzy hiperboloidy widoczne na rysunku mogą być uformowane w ten sposób, obracając linię L wokół centralnej białej linii pionowej M . Kopie L na tej powierzchni tworzą regulus ; hiperboloida zawiera również drugą rodzinę linii, które są również skośne do M w tej samej odległości co L od niego, ale z przeciwnym kątem, które tworzą przeciwny regulus. Dwa reguli przedstawiają hiperboloidę jako powierzchnię o liniach .
Afiniczne przekształcenie tego powierzchnia prostokreślna wytwarza powierzchnię, która na ogół ma eliptyczny przekrój poprzeczny, w odróżnieniu od okrągłego przekroju poprzecznego wytwarzanej przez obrót wokół L L '; takie powierzchnie są również nazywane hiperboloidami z jednego arkusza i znowu są rządzone przez dwie rodziny wzajemnie skośnych linii. Trzecim typem powierzchni o liniach jest paraboloida hiperboliczna . Podobnie jak hiperboloid na jednym arkuszu, paraboloida hiperboliczna ma dwie rodziny linii skośnych; w każdej z dwóch rodzin proste są równoległe do wspólnej płaszczyzny, chociaż nie względem siebie. Wszystkie trzy linie skośne w R 3 leżą na dokładnie jednej prostopadłej powierzchni jednego z tych typów ( Hilbert & Cohn-Vossen 1952 ).
Twierdzenie Gallucciego
Jeśli wszystkie trzy linie skośne stykają się z trzema innymi liniami skośnymi, każda poprzeczna linia pierwszego zestawu trzech spotyka się z jakąkolwiek poprzeczną z drugiej serii.
Skośne mieszkania w wyższych wymiarach
W przestrzeni wyższych wymiarów, o płaskim o wymiarze k jest określany jako k Mieszkanie. Tak więc linię można również nazwać 1-płaskim.
Uogólniając koncepcję linii skośnych do przestrzeni d- wymiarowej, i- płaskie i j- płaskie mogą być skośne, jeśli i + j < d . Podobnie jak w przypadku linii w 3-przestrzeni, płaskie skośne to takie, które nie są ani równoległe, ani przecinające się.
W afinicznej przestrzeni d dwie płaszczyzny dowolnego wymiaru mogą być równoległe. Jednak w przestrzeni rzutowej równoległość nie istnieje; dwa mieszkania muszą się przecinać lub być skośne. Niech I będzie zbiorem punktów na í Mieszkanie, i niech J będzie zbiorem punktów na j Mieszkanie. W rzutowej przestrzeni d , jeśli i + j ≥ d, to przecięcie I i J musi zawierać a ( i + j - d ) -płaskie. ( 0- płaskie to punkt).
W każdej geometrii, jeśli I i J przecinają się na k- płaskim, dla k ≥ 0 , wtedy punkty I ∪ J wyznaczają a ( i + j - k ) -płaskie.
Zobacz też
Uwagi
Bibliografia
- Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (wyd. 2), Chelsea, str. 13–17, ISBN 0-8284-1087-9 .
- Viro, Julia Drobotukhina; Viro, Oleg (1990), „Konfiguracje linii skośnych” (PDF) , Leningrad Math. J. (po rosyjsku), 1 (4): 1027–1050 . Zmieniona wersja w języku angielskim: arXiv : math.GT/0611374 .