Skośne linie - Skew lines

Prostokątny równoległościan . Linia przechodząca przez odcinek AD i prosta przechodząca przez odcinek B 1 B są liniami skośnymi, ponieważ nie leżą na tej samej płaszczyźnie.

W geometrii trójwymiarowej , proste skośne są dwie linie , które NIE przecinają się i nie są równoległe . Prostym przykładem pary skośnych linii jest para linii przechodzących przez przeciwległe krawędzie regularnego czworościanu . Dwie linie, które obie leżą w tej samej płaszczyźnie, muszą albo przecinać się, albo być równoległe, więc linie skośne mogą istnieć tylko w trzech lub więcej wymiarach . Dwie linie są skośne wtedy i tylko wtedy, gdy nie są współpłaszczyznowe .

Ogólne stanowisko

Jeśli cztery punkty zostaną wybrane losowo i jednolicie w obrębie sześcianu jednostkowego , prawie na pewno zdefiniują one parę skośnych linii. Po wybraniu pierwszych trzech punktów czwarty punkt zdefiniuje linię nieskośną wtedy i tylko wtedy, gdy jest współpłaszczyznowa z pierwszymi trzema punktami. Jednak płaszczyzna przechodząca przez pierwsze trzy punkty tworzy podzbiór miary zerowej sześcianu, a prawdopodobieństwo, że czwarty punkt leży na tej płaszczyźnie, wynosi zero. Jeśli tak się nie stanie, linie zdefiniowane przez punkty będą skośne.

Podobnie, w przestrzeni trójwymiarowej bardzo małe zaburzenie dowolnych dwóch równoległych lub przecinających się linii prawie na pewno zmieni je w linie skośne. Dlatego wszystkie cztery punkty w położeniu ogólnym zawsze tworzą linie skośne.

W tym sensie linie skośne są „zwykłym” przypadkiem, a linie równoległe lub przecinające się są przypadkami specjalnymi.

Formuły

Testowanie skośności

Jeśli każda linia parę skośnych linii jest określona przez dwa punkty , że przechodzi, to te cztery punkty nie mogą być w jednej płaszczyźnie, więc muszą być wierzchołki o Tetrahedron niezerowych objętości . I odwrotnie, dowolne dwie pary punktów definiujących czworościan o niezerowej objętości również definiują parę linii skośnych. Dlatego test, czy dwie pary punktów definiują linie skośne, polega na zastosowaniu wzoru na objętość czworościanu w odniesieniu do jego czterech wierzchołków. Oznaczający jeden punkt za 1 x 3 wektora A, w którym te trzy elementy są trzy wartości współrzędnych Punktu, podobnie oznaczający , b , c i d dla innych punktów, można sprawdzić, czy za pośrednictwem linii i b jest skośny względem linii przechodzącej c i d , sprawdzając, czy wzór na objętość czworościanu daje wynik niezerowy:

Najbliższe punkty

Wyrażając dwie linie jako wektory:

Iloczyn z i jest prostopadła do linii.

Płaszczyzna utworzona przez przesunięcia linii 2 wzdłuż zawiera punkt i jest prostopadła do .

Dlatego punkt przecięcia Linii 1 z wyżej wymienioną płaszczyzną, który jest jednocześnie punktem na Linii 1, który jest najbliższy Linii 2, jest określony wzorem

Podobnie, punkt na Linii 2 najbliżej Linii 1 jest określony wzorem (gdzie )

Teraz i tworzą najkrótszy odcinek łączący Linia 1 i Linia 2.

Dystans

Odległość między najbliższymi punktami na dwóch liniach skośnych można wyrazić za pomocą wektorów:

Tutaj wektor 1 × 3 x reprezentuje dowolny punkt na prostej przechodzącej przez określony punkt a, gdzie b reprezentuje kierunek prostej, a wartość liczby rzeczywistej określa, gdzie punkt znajduje się na prostej, i podobnie dla dowolnego punktu y na linii prostą przechodzącą przez określony punkt c w kierunku d .

Iloczyn z B i D jest prostopadła do linii, jak to wektor jednostkowy

Wtedy odległość między liniami wynosi

(jeśli | b × d | jest równe zero, proste są równoległe i nie można użyć tej metody).

Więcej niż dwie linie

Konfiguracje

Konfiguracja skosu linii jest zestaw linii, w którym wszystkie pary są skosu. Mówi się, że dwie konfiguracje są izotopowe, jeśli możliwe jest ciągłe przekształcanie jednej konfiguracji w drugą, zachowując podczas całej transformacji niezmiennik, że wszystkie pary linii pozostają skośne. Dowolne dwie konfiguracje dwóch linii są łatwo widoczne jako izotopowe, a konfiguracje tej samej liczby linii o wymiarach większych niż trzy są zawsze izotopowe, ale istnieje wiele nieizotopowych konfiguracji trzech lub więcej linii w trzech wymiarach ( Viro & Viro 1990 ). Liczba nieizotopowych konfiguracji n linii w R 3 , zaczynając od n = 1, wynosi

1, 1, 2, 3, 7, 19, 74, ... (sekwencja A110887 w OEIS ).

Rządzone powierzchnie

Fibration z przestrzeni rzutowej przez skośnymi liniami na zagnieżdżonych hiperboloidy .

Jeśli ktoś obraca linię L wokół innej linii M, pochylona, ​​ale nie prostopadła do niej, powierzchnia obrotu omiatana przez L jest hiperboloidą jednego arkusza . Na przykład, trzy hiperboloidy widoczne na rysunku mogą być uformowane w ten sposób, obracając linię L wokół centralnej białej linii pionowej M . Kopie L na tej powierzchni tworzą regulus ; hiperboloida zawiera również drugą rodzinę linii, które są również skośne do M w tej samej odległości co L od niego, ale z przeciwnym kątem, które tworzą przeciwny regulus. Dwa reguli przedstawiają hiperboloidę jako powierzchnię o liniach .

Afiniczne przekształcenie tego powierzchnia prostokreślna wytwarza powierzchnię, która na ogół ma eliptyczny przekrój poprzeczny, w odróżnieniu od okrągłego przekroju poprzecznego wytwarzanej przez obrót wokół L L '; takie powierzchnie są również nazywane hiperboloidami z jednego arkusza i znowu są rządzone przez dwie rodziny wzajemnie skośnych linii. Trzecim typem powierzchni o liniach jest paraboloida hiperboliczna . Podobnie jak hiperboloid na jednym arkuszu, paraboloida hiperboliczna ma dwie rodziny linii skośnych; w każdej z dwóch rodzin proste są równoległe do wspólnej płaszczyzny, chociaż nie względem siebie. Wszystkie trzy linie skośne w R 3 leżą na dokładnie jednej prostopadłej powierzchni jednego z tych typów ( Hilbert & Cohn-Vossen 1952 ).

Twierdzenie Gallucciego

Jeśli wszystkie trzy linie skośne stykają się z trzema innymi liniami skośnymi, każda poprzeczna linia pierwszego zestawu trzech spotyka się z jakąkolwiek poprzeczną z drugiej serii.

Skośne mieszkania w wyższych wymiarach

W przestrzeni wyższych wymiarów, o płaskim o wymiarze k jest określany jako k Mieszkanie. Tak więc linię można również nazwać 1-płaskim.

Uogólniając koncepcję linii skośnych do przestrzeni d- wymiarowej, i- płaskie i j- płaskie mogą być skośne, jeśli i + j < d . Podobnie jak w przypadku linii w 3-przestrzeni, płaskie skośne to takie, które nie są ani równoległe, ani przecinające się.

W afinicznej przestrzeni d dwie płaszczyzny dowolnego wymiaru mogą być równoległe. Jednak w przestrzeni rzutowej równoległość nie istnieje; dwa mieszkania muszą się przecinać lub być skośne. Niech I będzie zbiorem punktów na í Mieszkanie, i niech J będzie zbiorem punktów na j Mieszkanie. W rzutowej przestrzeni d , jeśli i + j d, to przecięcie I i J musi zawierać a ( i + j - d ) -płaskie. ( 0- płaskie to punkt).

W każdej geometrii, jeśli I i J przecinają się na k- płaskim, dla k ≥ 0 , wtedy punkty I J wyznaczają a ( i + j - k ) -płaskie.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Linki zewnętrzne