Twierdzenie Skolema – Noether - Skolem–Noether theorem

W teorii pierścienia , oddział matematyki The Skolem-Noether twierdzenie charakteryzuje Automorfizmy o prostych pierścieni . Jest to fundamentalny wynik w teorii centralnych algebr prostych .

Twierdzenie to zostało po raz pierwszy opublikowane przez Thoralfa Skolema w 1927 r. W jego artykule Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme ( niem . O teorii asocjacyjnych systemów liczbowych ), a później odkryte ponownie przez Emmy Noether .

Komunikat

W ogólnym preparacie pozwolić i B są proste pierścienie jednolite i pozwolić K jest środek B . Środek k jest polem, ponieważ mając x niezerowe w k , prostota B oznacza, że ​​niezerowy dwustronny ideał BxB = (x) jest całością B , a zatem x jest jednostką . Jeżeli wymiar od B nad k jest skończona, to znaczy, jeśli B jest Algebra centralna prosta skończonego wymiaru, a również k -algebra, następnie podano k Homomorfizmy -algebra

f , g  : AB ,

istnieje jednostka b w B taka, że ​​dla wszystkich a w A

g ( a ) = b · f ( a ) · b −1 .

W szczególności każdy automorfizm centralnej prostej k- algebry jest automorfizmem wewnętrznym .

Dowód

Najpierw przypuśćmy . Następnie f i g określają działania A na ; niech oznacza otrzymane w ten sposób moduły A. Ponieważ mapa f jest iniekcyjna dzięki prostocie A , więc A jest również skończenie wymiarowe. Stąd dwa proste moduły A są izomorficzne i są skończonymi bezpośrednimi sumami prostych modułów A. Ponieważ mają ten sam wymiar, wynika, że nie jest izomorfizmem A -modules . Ale takie b musi być elementem . W ogólnym przypadku jest algebrą macierzy i to jest proste. W pierwszej części zastosowanej do map istnieje takie, że

dla wszystkich i . Biorąc , znajdujemy

dla wszystkich z . To znaczy, że b jest włączone, więc możemy pisać . W tym czasie znajdujemy

,

który jest tym, czego szukano.

Uwagi

Bibliografia