Twierdzenie Skolema – Noether - Skolem–Noether theorem
W teorii pierścienia , oddział matematyki The Skolem-Noether twierdzenie charakteryzuje Automorfizmy o prostych pierścieni . Jest to fundamentalny wynik w teorii centralnych algebr prostych .
Twierdzenie to zostało po raz pierwszy opublikowane przez Thoralfa Skolema w 1927 r. W jego artykule Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme ( niem . O teorii asocjacyjnych systemów liczbowych ), a później odkryte ponownie przez Emmy Noether .
Komunikat
W ogólnym preparacie pozwolić i B są proste pierścienie jednolite i pozwolić K jest środek B . Środek k jest polem, ponieważ mając x niezerowe w k , prostota B oznacza, że niezerowy dwustronny ideał BxB = (x) jest całością B , a zatem x jest jednostką . Jeżeli wymiar od B nad k jest skończona, to znaczy, jeśli B jest Algebra centralna prosta skończonego wymiaru, a również k -algebra, następnie podano k Homomorfizmy -algebra
- f , g : A → B ,
istnieje jednostka b w B taka, że dla wszystkich a w A
- g ( a ) = b · f ( a ) · b −1 .
W szczególności każdy automorfizm centralnej prostej k- algebry jest automorfizmem wewnętrznym .
Dowód
Najpierw przypuśćmy . Następnie f i g określają działania A na ; niech oznacza otrzymane w ten sposób moduły A. Ponieważ mapa f jest iniekcyjna dzięki prostocie A , więc A jest również skończenie wymiarowe. Stąd dwa proste moduły A są izomorficzne i są skończonymi bezpośrednimi sumami prostych modułów A. Ponieważ mają ten sam wymiar, wynika, że nie jest izomorfizmem A -modules . Ale takie b musi być elementem . W ogólnym przypadku jest algebrą macierzy i to jest proste. W pierwszej części zastosowanej do map istnieje takie, że
dla wszystkich i . Biorąc , znajdujemy
dla wszystkich z . To znaczy, że b jest włączone, więc możemy pisać . W tym czasie znajdujemy
- ,
który jest tym, czego szukano.
Uwagi
Bibliografia
- Skolem, Thoralf (1927). „Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme”. Skrifter Oslo (po niemiecku) (12): 50. JFM 54.0154.02 .
- Dyskusja w rozdziale IV Milne , teoria pola klas [1]
- Gille Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Centralne algebry proste i kohomologia Galois . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 101 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001 .
- Lorenz, Falko (2008). Algebra. Tom II: Pola ze strukturą, algebrami i tematami zaawansowanymi . Skoczek. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001 .