Przybliżenie małego kąta - Small-angle approximation

W przybliżeniu jednakowe zachowanie niektórych (trygonometrycznych) funkcji dla x → 0

W przybliżenia małych kątów może być stosowany do w przybliżeniu wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych , pod warunkiem, że kąt, o którym mowa jest mała i jest mierzona w radianach :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ sin \ theta & \ około \ theta \ \ \ cos \ theta & \ około 1 {\ Frac {\ theta ^ {2}} {2}} \ około 1 \ \ \ tan \theta &\ok \theta \end{aligned}}}$

Te przybliżenia mają szeroki zakres zastosowań w dziedzinach fizyki i inżynierii , w tym w mechanice , elektromagnetyzmie , optyce , kartografii , astronomii i informatyce . Jednym z powodów jest to, że mogą znacznie uprościć równania różniczkowe , na które nie trzeba odpowiadać z absolutną precyzją.

Istnieje wiele sposobów wykazania ważności przybliżeń małych kątów. Najbardziej bezpośrednią metodą jest obcięcie szeregu Maclaurina dla każdej funkcji trygonometrycznej. W zależności od porządku aproksymacji , jest aproksymowany jako albo lub jako . ${\ Displaystyle \ textstyle \ cos \ theta}$${\ Displaystyle 1}$${\textstyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$

Uzasadnienia

Graficzny

Dokładność aproksymacji można zobaczyć poniżej na rysunku 1 i rysunku 2. Ponieważ miara kąta zbliża się do zera, różnica między aproksymacją a funkcją pierwotną również zbliża się do 0.

• 

  Rysunek 1. Porównanie podstawowych nieparzystych funkcji trygonometrycznych z θ . Widać, że gdy kąt zbliża się do 0, przybliżenia stają się lepsze.

• 

  Rysunek 2. Porównanie cos θ do 1 − θ ²/2. Widać, że gdy kąt zbliża się do 0, przybliżenie staje się lepsze.

Geometryczny

Czerwona część po prawej stronie, d , to różnica między długościami przeciwprostokątnej H i sąsiedniego boku A . Jak pokazano, H i A są prawie tej samej długości, co oznacza, że cos θ jest bliski 1 iθ ²/2 pomaga pozbyć się czerwieni.

${\ Displaystyle \ cos {\ theta} \ około 1-{\ Frac {\ theta ^ {2}} {2}}}$

Przeciwna noga, O , jest w przybliżeniu równa długości niebieskiego łuku, s . Zbieranie faktów z geometrii, s = Aθ , z trygonometrii, sin θ =O/hi tan θ =O/A, a z rysunku O ≈ s i H ≈ A prowadzi do:

${\ Displaystyle \ sin \ theta = {\ Frac {O} {H}} \ około {\ Frac {O} {A}} = \ tan \ theta = {\ Frac {O} {A}} \ około {\ frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta .}$

uproszczenie liści,

${\ Displaystyle \ sin \ theta \ w przybliżeniu \ tan \ theta \ w przybliżeniu \ theta.}$

Rachunek różniczkowy

Korzystając z twierdzenia o ściśnięciu , możemy udowodnić to, co jest formalnym przeformułowaniem aproksymacji dla małych wartości θ. ${\textstyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1,}$${\displaystyle \sin(\theta)\ok \theta}$

Bardziej ostrożne zastosowanie twierdzenia o ściśnięciu dowodzi tego, z czego wnioskujemy, że dla małych wartości θ. ${\textstyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}=1,}$${\displaystyle \tan(\theta)\ok \theta}$

Wreszcie reguła L'Hôpitala mówi nam to, co przestawia się na małe wartości θ. Alternatywnie możemy użyć formuły podwójnego kąta . Pozwalając , otrzymujemy to . ${\textstyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\cos(\theta )-1}{\theta ^{2}}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac { -\sin(\theta )}{2\theta }}=-{\frac {1}{2}},}$${\textstyle \cos(\theta )\ok 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$ ${\ Displaystyle \ cos 2A \ równoważne 1-2 \ sin ^ {2} A}$${\ Displaystyle \ theta = 2A}$${\textstyle \cos \theta =1-2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\ok 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$

Algebraiczny

Przybliżenie małokątowe funkcji sinus.

Rozwinięcie Maclaurina (rozwinięcie Taylora około 0) odpowiedniej funkcji trygonometrycznej to

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ sin \ theta & = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} \theta ^{2n+1}\\&=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{ \frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}}$

gdzie θ jest kątem w radianach. Mówiąc jaśniej,

${\ Displaystyle \ sin \ theta = \ theta - {\ Frac {\ theta ^ {3}}{6}} + {\ Frac {\ theta ^ {5}} {120}} - {\ Frac {\ theta ^ {7}}{5040}}+\cdots }$

Łatwo zauważyć, że drugi najbardziej znaczący termin (trzeciego rzędu) odpada jako sześcian pierwszego terminu; tak więc, nawet dla niezbyt małego argumentu, takiego jak 0,01, wartość drugiego najważniejszego terminu jest rzędu0,000 001 , lub1/10 000pierwszy termin. Można więc bezpiecznie przybliżyć:

${\ Displaystyle \ sin \ theta \ ok \ theta}$

Co za tym idzie, ponieważ cosinus małego kąta jest bardzo zbliżony do 1, a tangens jest przez sinus podzielony przez cosinus,

${\ Displaystyle \ tan \ theta \ w przybliżeniu \ sin \ theta \ w przybliżeniu \ theta}$,

Błąd przybliżeń

Rysunek 3. Wykres błędów względnych dla przybliżeń małych kątów.

Rysunek 3 pokazuje błędy względne małych przybliżeń kątowych. Kąty, przy których błąd względny przekracza 1%, są następujące:

• cos θ ≈ 1 przy około 0,1408 radianach (8,07°)
• tan θ ≈ θ przy około 0,1730 radianach (9,91°)
• sin θ ≈ θ przy około 0,2441 radianach (13,99°)
• cos θ ≈ 1 −θ ²/2 przy około 0,6620 radianach (37,93°)

Suma kątów i różnica

Twierdzenia o dodawaniu i odejmowaniu kątów sprowadzają się do następującego, gdy jeden z kątów jest mały ( β ≈ 0):

cos( α + β )	≈ cos( α ) − β sin( α ),
cos( α − β )	≈ cos( α ) + β sin( α ),
grzech( α + β )	≈ sin( α ) + β cos( α ),
grzech( α − β )	≈ sin( α ) − β cos( α ).

Specyficzne zastosowania

Astronomia

W astronomii The kątowy rozmiar lub kąta przeciwległego obrazu odległego przedmiotu jest często tylko kilka sekund łuku , więc jest dobrze nadaje się do małego kąta zbliżenia. Wielkość liniowa ( D ) jest powiązana z wielkością kątową ( X ) i odległością od obserwatora ( d ) za pomocą prostego wzoru:

${\ Displaystyle D = X {\ Frac {d} {206 \ 265}}}$

gdzie X jest mierzone w sekundach kątowych.

Numer 206 265 jest w przybliżeniu równa liczbie sekund kątowych w okręgu (1 296 000 ), podzielone przez 2π .

Dokładna formuła to

${\ Displaystyle D = d \ tan \ lewo (X {\ Frac {2 \ pi} {1 \ 296 \ 000}} \ po prawej)}$

a powyższe przybliżenie następuje, gdy tan X jest zastąpiony przez X .

Ruch wahadła

Drugiego rzędu cosinus przybliżenie Jest to szczególnie użyteczne przy obliczaniu energii potencjalnej o wahadła , który może być zastosowany z Lagrange'a znaleźć pośredni (energii), równanie ruchu.

Przy obliczaniu okresu wahadła prostego stosuje się przybliżenie małego kąta dla sinusa, aby umożliwić łatwe rozwiązanie powstałego równania różniczkowego przez porównanie z równaniem różniczkowym opisującym prosty ruch harmoniczny .

Optyka

W optyce przybliżenia małokątowe stanowią podstawę przybliżenia przyosiowego .

Zakłócenia fal

Przybliżenia sinusa i stycznej dla małych kątów są używane w odniesieniu do eksperymentu z podwójną szczeliną lub siatki dyfrakcyjnej w celu uproszczenia równań, np. „odstęp między prążkami” = „długość fali” × „odległość od szczeliny do ekranu” ÷ „odstęp między szczelinami”.

Mechanika konstrukcji

Przybliżenie małego kąta pojawia się również w mechanice konstrukcji, zwłaszcza w analizach stateczności i bifurkacji (głównie słupów obciążonych osiowo gotowych do wyboczenia ). Prowadzi to do znacznych uproszczeń, jednak kosztem dokładności i wglądu w prawdziwe zachowanie.

Sterowanie

Zasada 1 do 60 stosowana w nawigacji lotniczej ma swoją podstawę w przybliżeniu małego kąta, plus fakt, że jeden radian wynosi około 60 stopni.

Interpolacja

Wzory na dodawanie i odejmowanie z małym kątem można wykorzystać do interpolacji między wartościami tabeli trygonometrycznej :

Przykład: grzech (0,755)

grzech(0.755)	= grzech (0,75 + 0,005)
	≈ sin(0,75) + (0,005) cos(0,75)
	≈ (0,6816) + (0,005) (0,7317)	[Uzyskane wartości sin(0,75) i cos(0,75) z tabeli trygonometrycznej]
	0,6853.

Zobacz też

• Chudy trójkąt
• Nieskończone oscylacje wahadła
• Versine i haversine
• Exsecant i excosecant

Bibliografia