Dyspersja przestrzenna - Spatial dispersion

W fizyce z ciągłych , rozproszenie przestrzenne jest zjawiskiem, w którym parametry materiału, takiego jak przenikalności lub przewodności posiada zależności od wektora falowego . Zwykle zakłada się, że taka zależność nie występuje ze względu na prostotę, jednak we wszystkich materiałach istnieje w różnym stopniu rozproszenie przestrzenne.

Dyspersję przestrzenną można porównać do dyspersji czasowej, często nazywanej po prostu dyspersją . Dyspersja czasowa reprezentuje efekty pamięciowe w systemach, powszechnie spotykane w optyce i elektronice. Z drugiej strony dyspersja przestrzenna reprezentuje efekty rozprzestrzeniania się i jest zwykle znacząca tylko w mikroskopijnych skalach długości. Przestrzenna dyspersja przyczynia się do stosunkowo niewielkich zaburzeń optyki, dając słabe efekty, takie jak aktywność optyczna . Dyspersja przestrzenna i dyspersja czasowa mogą wystąpić w tym samym systemie.

Pochodzenie: nielokalna odpowiedź

Źródłem dyspersji przestrzennej jest nielokalna reakcja, w której odpowiedź na pole siłowe pojawia się w wielu miejscach i może pojawić się nawet w miejscach, w których siła jest zerowa. Dzieje się tak zwykle z powodu rozprzestrzeniania się efektów przez ukryte mikroskopijne stopnie swobody.

Jako przykład rozważmy prąd, który jest napędzany w odpowiedzi na pole elektryczne , które zmienia się w przestrzeni (x) i czasie (t). Uproszczone prawa, takie jak prawo Ohma, mówiłyby, że są one bezpośrednio proporcjonalne do siebie , ale to się psuje, jeśli system ma pamięć (dyspersja czasowa) lub rozprzestrzenianie (dyspersja przestrzenna). Najbardziej ogólną odpowiedź liniową daje: ${\ Displaystyle J (x, t)}$${\ Displaystyle E (x, t)}$${\ displaystyle J = \ sigma E}$

${\ Displaystyle J (x, t) = \ int _ {- \ infty} ^ {- \ infty} dx '\ int _ {- \ infty} ^ {- \ infty} dt' \, \ sigma (x, x ', t, t') E (x ', t'),}$

gdzie jest nielokalna funkcja przewodnictwa. ${\ Displaystyle \ sigma (x, x ', t, t') dx '\, dt'}$

Jeśli system jest niezmienny w czasie ( symetria translacji czasu ) i niezmienny w przestrzeni (symetria translacji przestrzeni), to możemy uprościć, ponieważ dla jakiegoś jądra splotu . Możemy również rozważyć rozwiązania fal płaskich dla i podobne: ${\ Displaystyle \ sigma (x, x ', t, t') = \ sigma _ {\ rm {sym}} (x-x ', t-t')}$${\ displaystyle \ sigma _ {\ rm {sym}}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle J}$

${\ Displaystyle J (x, t) = \ operatorname {Re} (J_ {0} e ^ {ikx-i \ omega t})}$

${\ Displaystyle E (x, t) = \ operatorname {Re} (E_ {0} e ^ {ikx-i \ omega t})}$

co daje niezwykle prostą zależność między złożonymi amplitudami dwóch fal płaskich:

${\ Displaystyle J_ {0} = {\ tilde {\ sigma}} (k, \ omega) E_ {0}.}$

gdzie funkcja jest dana przez transformatę Fouriera funkcji odpowiedzi przestrzenno-czasowej: ${\ Displaystyle {\ tilde {\ sigma}} (k, \ omega)}$

${\ Displaystyle {\ tilde {\ sigma}} (k, \ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {- \ infty} dx '' \ int _ {- \ infty} ^ {- \ infty} dt '' \, e ^ {- ikx '' + i \ omega t ''} \ sigma _ {\ rm {sym}} (x '', t '').}$

Funkcja przewodnictwa ma dyspersję przestrzenną, jeśli jest zależna od wektora falowego k . Dzieje się tak, jeśli funkcja przestrzenna nie jest punktową ( funkcja delta ) odpowiedzią w xx ' . ${\ Displaystyle {\ tilde {\ sigma}} (k, \ omega)}$${\ Displaystyle \ sigma _ {\ rm {sym}} (x-x ', t-t')}$

Przestrzenna dyspersja w elektromagnetyzmie

W elektromagnetyzmie dyspersja przestrzenna odgrywa rolę w kilku efektach materialnych, takich jak aktywność optyczna i poszerzenie dopplerowskie . Dyspersja przestrzenna odgrywa również ważną rolę w rozumieniu metamateriałów elektromagnetycznych . Najczęściej interesujące jest przestrzenne rozproszenie przenikalności elektrycznej ε .

Kryształowa optyka

Wewnątrz kryształów może występować kombinacja dyspersji przestrzennej, dyspersji czasowej i anizotropii. Konstytutywny stosunek do polaryzacji wektora można zapisać jako:

${\ Displaystyle P_ {i} ({\ vec {k}}, \ omega) = \ suma _ {j} (\ epsilon _ {ij} ({\ vec {k}}, \ omega) - \ epsilon _ { 0} \ delta _ {ij}) E_ {j} ({\ vec {k}}, \ omega),}$

tj. przenikalność jest tensorem zależnym od fali i częstotliwości .

Biorąc pod uwagę równania Maxwella , można znaleźć tryby normalne fali płaskiej wewnątrz takich kryształów. Występują, gdy następująca zależność jest spełniona dla niezerowego wektora pola elektrycznego : ${\ displaystyle {\ vec {E}}}$

${\ Displaystyle \ omega ^ {2} \ mu _ {0} \ epsilon ({\ vec {k}}, \ omega) {\ vec {E}} - ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {k}}) {\ vec {E}} + ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {E}}) {\ vec {k}} = 0.}$

Dyspersja przestrzenna w może prowadzić do dziwnych zjawisk, takich jak istnienie wielu modów o tej samej częstotliwości i kierunku fal, ale o różnych wielkościach fal. ${\ Displaystyle \ epsilon ({\ vec {k}}, \ omega)}$

W pobliżu powierzchni i granic kryształu nie można już opisywać odpowiedzi systemu w kategoriach falowych. Aby uzyskać pełny opis, należy powrócić do pełnej nielokalnej funkcji odpowiedzi (bez symetrii translacyjnej), jednak efekt końcowy można czasami opisać za pomocą „dodatkowych warunków brzegowych” (ABC).

W ośrodkach izotropowych

W materiałach, które nie mają odpowiedniej struktury krystalicznej, dyspersja przestrzenna może być ważna.

Chociaż symetria wymaga, aby przenikalność była izotropowa dla zerowego wektora falowego, to ograniczenie nie ma zastosowania do niezerowego wektora falowego. Nierozotropowa przenikalność dla niezerowego wektora falowego prowadzi do efektów, takich jak aktywność optyczna w roztworach cząsteczek chiralnych. W materiałach izotropowych bez aktywności optycznej tensor przenikalności można rozbić na składowe poprzeczne i podłużne, odnosząc się do odpowiedzi na pola elektryczne prostopadłe lub równoległe do falowodu.

W przypadku częstotliwości w pobliżu linii absorpcyjnej (np. Ekscyton ) dyspersja przestrzenna może odgrywać ważną rolę.

Tłumienie Landau

W fizyce plazmy fala może być bezkolizyjnie tłumiona przez cząsteczki plazmy, których prędkość odpowiada prędkości fazowej fali. Jest to zwykle przedstawiane jako przestrzennie rozproszona utrata przenikalności plazmy.

Niejednoznaczność przenikalności – przenikalności przy niezerowej częstotliwości

Przy niezerowych częstotliwościach wszystkie magnetyzacje można przedstawić jako polaryzacje zmieniające się w czasie . Ponadto, ponieważ pola elektryczne i magnetyczne są bezpośrednio powiązane przez , namagnesowanie indukowane przez pole magnetyczne można zamiast tego przedstawić jako polaryzację indukowaną przez pole elektryczne, chociaż jest ona silnie dyspersyjna. ${\ Displaystyle \ nabla \ razy E = - \ częściowe B / \ częściowe t}$

Oznacza to, że przy niezerowej częstotliwości każdy wkład w przenikalność μ może być alternatywnie reprezentowany przez przestrzennie dyspersyjny udział w przenikalności ε . Wartości przepuszczalności i przenikalności są różne w tej alternatywnej reprezentacji, jednak nie prowadzi to do zauważalnych różnic w rzeczywistych wielkościach, takich jak pole elektryczne, gęstość strumienia magnetycznego, momenty magnetyczne i prąd.

W wyniku tego, występuje najczęściej w zakresie częstotliwości optycznych ustawione μ do przepuszczalności próżniowej μ ₀ i tylko za dyspersyjne przenikalności ε . Trwają dyskusje na temat tego, czy jest to właściwe w metamateriałach, w których stosowane są efektywne przybliżenia średnich dla μ , oraz debata na temat rzeczywistości „ujemnej przepuszczalności” obserwowanej w metamateriałach z indeksem ujemnym .

Dyspersja przestrzenna w akustyce

W akustyce , zwłaszcza w ciałach stałych, dyspersja przestrzenna może być znacząca dla długości fal porównywalnych z rozstawem sieci, który zwykle występuje przy bardzo wysokich częstotliwościach ( gigaherc i więcej).

W ciałach stałych różnica w propagacji dla poprzecznych modów akustycznych i podłużnych modów akustycznych wynika z przestrzennego rozproszenia w tensorze sprężystości, który wiąże naprężenia i odkształcenia. W przypadku drgań biegunowych ( fononów optycznych ) rozróżnienie między modami podłużnymi i poprzecznymi można postrzegać jako przestrzenne rozproszenie sił przywracających, wynikające z „ukrytego” niemechanicznego stopnia swobody, jakim jest pole elektromagnetyczne.

Wiele efektów fal elektromagnetycznych z dyspersji przestrzennej znajduje analogię w falach akustycznych. Na przykład występuje aktywność akustyczna - rotacja płaszczyzny polaryzacji poprzecznych fal dźwiękowych - w materiałach chiralnych, analogiczna do aktywności optycznej.

Bibliografia