Spin (fizyka) - Spin (physics)

Spin jest wewnętrzną formą momentu pędu niesionego przez cząstki elementarne , a więc przez cząstki kompozytowe ( hadrony ) i jądra atomowe .

Spin jest jednym z dwóch rodzajów momentu pędu w mechanice kwantowej, drugim jest orbitalny moment pędu . Orbitalny operator momentu pędu jest kwantowo-mechanicznym odpowiednikiem klasycznego momentu pędu orbitalnego i pojawia się, gdy jego funkcja falowa ma strukturę okresową, gdy zmienia się kąt. W przypadku fotonów spin jest kwantowo-mechanicznym odpowiednikiem polaryzacji światła; dla elektronów spin nie ma klasycznego odpowiednika.

Istnienie momentu pędu spinu elektronów wywnioskowano z eksperymentów, takich jak eksperyment Sterna-Gerlacha , w którym zaobserwowano, że atomy srebra posiadają dwa możliwe dyskretne momenty pędu, pomimo braku orbitalnego momentu pędu. Istnienie spinu elektronu można również wywnioskować teoretycznie z twierdzenia o statystyce spinowej i z zasady wykluczania Pauliego – i odwrotnie, biorąc pod uwagę konkretny spin elektronu, można wyprowadzić zasadę wykluczenia Pauliego.

Wirowanie jest opisana matematycznie jako wektora dla pewnych cząsteczek, takich jak fotony i jako spinors i bispinors dla innych cząsteczek, takich jak elektrony. Spinory i bispinory zachowują się podobnie do wektorów : mają określone wielkości i zmieniają się pod wpływem obrotów; jednak posługują się niekonwencjonalnym „kierunkiem”. Wszystkie cząstki elementarne danego rodzaju mają tę samą wielkość spinowego momentu pędu, chociaż jego kierunek może się zmieniać. Są one wskazywane przez przypisanie cząstce spinowej liczby kwantowej .

SI modułu z przędzalniczego jest taka sama, jak klasyczne pędu (czyli N · m · a lub Js lub kg -m 2 -s -1 ). W praktyce spin podaje się jako bezwymiarową spinową liczbę kwantową, dzieląc spinowy moment pędu przez zredukowaną stałą Plancka ħ , która ma takie same wymiary jak moment pędu, chociaż nie jest to pełne obliczenie tej wartości. Bardzo często „spinowa liczba kwantowa” nazywana jest po prostu „spinową”. Fakt, że jest to liczba kwantowa, jest domniemany.

Historia

Wolfgang Pauli w 1924 roku jako pierwszy zaproponował podwojenie liczby dostępnych stanów elektronowych ze względu na dwuwartościową nieklasyczną „ukrytą rotację”. W 1925 roku George Uhlenbeck i Samuel Goudsmit w Leiden University zaproponował prostą interpretację fizyczną przędzenia cząstek wokół własnej osi, w duchu starej teorii kwantowej z Bohra i Sommerfeld . Ralph Kronig przewidział model Uhlenbecka-Goudsmita w dyskusji z Hendrikiem Kramersem kilka miesięcy wcześniej w Kopenhadze, ale nie opublikował. Teoria matematyczna została dogłębnie opracowana przez Pauliego w 1927 roku. Kiedy Paul Dirac wyprowadził swoją relatywistyczną mechanikę kwantową w 1928 roku, spin elektronu był jej istotną częścią.

Liczba kwantowa

Jak sama nazwa wskazuje, spin został pierwotnie pomyślany jako obrót cząstki wokół pewnej osi. Chociaż pytanie, czy cząstki elementarne rzeczywiście się obracają, jest niejednoznaczne (ponieważ wydają się punktowe ), obraz ten jest poprawny, o ile spin podlega tym samym prawom matematycznym, co skwantowane pędy kątowe ; w szczególności spin oznacza, że ​​faza cząstki zmienia się wraz z kątem. Z drugiej strony spin ma pewne szczególne właściwości, które odróżniają go od orbitalnego pędu kątowego:

Konwencjonalna definicja spinowej liczby kwantowej to s = n/2, gdzie n może być dowolną nieujemną liczbą całkowitą . Stąd dozwolone wartości s wynoszą 0,1/2, 1, 3/2, 2, itd. Wartość s dla cząstki elementarnej zależy tylko od typu cząstki i nie można jej zmienić w żaden znany sposób (w przeciwieństwie do kierunku wirowania opisanego poniżej). Spinowy moment pędu S dowolnego układu fizycznego jest kwantowany . Dozwolone wartości S to

gdzie h jest stałą Plancka , a = h/jest zredukowaną stałą Plancka. W przeciwieństwie do tego, orbitalny moment pędu może przyjmować tylko wartości całkowite s ; tj. parzyste wartości n .

Fermiony i bozony

Te cząstki o spinach półcałkowitych, takie jak 1/2, 3/2, 5/2, są znane jako fermiony , podczas gdy te cząstki o spinie całkowitym, takie jak 0, 1, 2, znane są jako bozony . Obie rodziny cząstek słuchać różne zasady i ogólnie mają różne role w otaczającym nas świecie. Kluczową różnicą między tymi dwiema rodzinami jest to, że fermiony są zgodne z zasadą wykluczenia Pauliego : to znaczy, że nie mogą istnieć dwa identyczne fermiony jednocześnie mające te same liczby kwantowe (czyli z grubsza mające tę samą pozycję, prędkość i kierunek wirowania). Fermiony przestrzegają zasad statystyki Fermiego-Diraca . W przeciwieństwie do tego, bozony podlegają zasadom statystyki Bosego-Einsteina i nie mają takiego ograniczenia, więc mogą „zbierać się” w identyczne stany. Ponadto cząstki kompozytowe mogą mieć spiny inne niż ich cząstki składowe. Na przykład atom helu-4 w stanie podstawowym ma spin 0 i zachowuje się jak bozon, mimo że wszystkie kwarki i elektrony, z których się składa, są fermionami.

Ma to poważne konsekwencje:

Fermiony elementarne z innymi spinami (3/2, 5/2itp.) nie są znane.
Bozony elementarne z innymi spinami (0, 2, 3, itd.) nie były historycznie znane, chociaż zostały potraktowane w znacznym stopniu teoretycznie i są dobrze ugruntowane w ich odpowiednich teoriach głównego nurtu. W szczególności teoretycy zaproponowali istnienie grawitonu (którego istnienie przewidywały niektóre teorie grawitacji kwantowej ) o spinie 2 oraz bozonu Higgsa (wyjaśniającego łamanie symetrii elektrosłabej ) o spinie 0. Od 2013 r. uważa się, że bozon Higgsa o ​​spinie 0 ma istnieć. Jest to pierwsza skalarna cząstka elementarna (spin 0), o której wiadomo, że istnieje w przyrodzie.
  • Jądra atomowe mają spin jądrowy, który może być liczbą połówkową lub całkowitą, tak że jądra mogą być albo fermionami, albo bozonami.

Twierdzenie o statystyce spinowej

W spin-statystyki twierdzenie rozdziela cząstki na dwie grupy: bozonów i fermionami , gdzie Bozony następujących zaleceń statystyk BEC i fermionami następujących zaleceń statystyki Fermiego Diraca (a więc w zasadzie wykluczania Pauli ). W szczególności teoria mówi, że cząstki o spinie całkowitym są bozonami, podczas gdy wszystkie inne cząstki mają spiny połówkowe i są fermionami. Na przykład, elektrony mają spin w liczbie połówkowej i są fermionami, które podlegają zasadzie wykluczenia Pauliego, podczas gdy fotony mają spin w liczbie całkowitej, a nie. Twierdzenie to opiera się zarówno na mechanice kwantowej, jak i na szczególnej teorii względności , a to połączenie spinu i statystyki zostało nazwane „jednym z najważniejszych zastosowań szczególnej teorii względności”.

Związek z rotacją klasyczną

Ponieważ cząstki elementarne są punktowe, samorotacja nie jest dla nich dobrze zdefiniowana. Jednak spin implikuje, że faza cząstki zależy od kąta jak , dla rotacji kąta θ wokół osi równoległej do spinu S . Jest to równoważne kwantowo-mechanicznej interpretacji pędu jako zależności fazowej w położeniu oraz orbitalnego momentu pędu jako zależności fazowej w położeniu kątowym.

Spin fotonu to kwantowo-mechaniczny opis polaryzacji światła , gdzie spin +1 i spin -1 reprezentują dwa przeciwne kierunki polaryzacji kołowej . Zatem światło o określonej polaryzacji kołowej składa się z fotonów o tym samym spinie, wszystkich +1 lub wszystkich -1. Spin reprezentuje również polaryzację dla innych bozonów wektorowych.

W przypadku fermionów obraz jest mniej wyraźny. Prędkość kątowa jest równa twierdzeniu Ehrenfesta pochodnej hamiltonianu od jego sprzężonego pędu , który jest całkowitym operatorem momentu pędu J = L + S . Zatem jeśli hamiltonian H jest zależny od spinu S , dH / dS jest niezerowe, a spin powoduje prędkość kątową, a co za tym idzie rotację rzeczywistą, czyli zmianę zależności kąta fazowego w czasie. Jednak to, czy dotyczy to elektronu swobodnego, jest niejednoznaczne, ponieważ dla elektronu S 2 jest stałe, a zatem kwestią interpretacji jest, czy hamiltonian zawiera taki wyraz. Niemniej jednak w równaniu Diraca pojawia się spin , a zatem relatywistyczny hamiltonian elektronu, traktowany jako pole Diraca , można interpretować jako zawierający zależność w spinie S . Zgodnie z tą interpretacją swobodne elektrony również obracają się samoczynnie, z efektem Zitterbewegung rozumianym jako ta rotacja.

Momenty magnetyczne

Schematyczny diagram przedstawiający spin neutronu jako czarną strzałkę i linie pola magnetycznego związane z momentem magnetycznym neutronu . Neutron ma ujemny moment magnetyczny. Podczas gdy spin neutronu na tym schemacie jest skierowany w górę, linie pola magnetycznego w środku dipola są skierowane w dół.

Cząstki ze spinem mogą posiadać magnetyczny moment dipolowy , podobnie jak wirujące, naładowane elektrycznie ciało w klasycznej elektrodynamice . Te momenty magnetyczne można doświadczalnie zaobserwować na kilka sposobów, np. poprzez ugięcie cząstek przez niejednorodne pola magnetyczne w eksperymencie Sterna-Gerlacha lub przez pomiar pól magnetycznych generowanych przez same cząstki.

Wewnętrzna magnetyczny chwila μ o spin-1/2cząstka o ładunku q , masie m i spinowym momencie pędu S , is

gdzie bezwymiarowa wielkość g s nazywana jest spinowym współczynnikiem g . Dla obrotów wyłącznie orbitalnych byłby to 1 (przy założeniu, że masa i ładunek zajmują kule o równym promieniu).

Elektron, będąc naładowaną cząstką elementarną, posiada niezerowy moment magnetyczny . Jednym z sukcesów teorii elektrodynamikę kwantowej jest jej dokładne przewidywanie elektronów g czynnika a , która została eksperymentalnie określona, aby wartość−2.002 319 304 362 56 (35) , gdzie cyfry w nawiasach oznaczają niepewność pomiaru w dwóch ostatnich cyfrach przy jednym odchyleniu standardowym . Wartość 2 wynika z równania Diraca , podstawowego równania łączącego spin elektronu z jego właściwościami elektromagnetycznymi oraz poprawkę0,002 319 304 ... powstaje w wyniku oddziaływania elektronu z otaczającym polem elektromagnetycznym , w tym z własnym polem.

Cząstki kompozytowe posiadają również momenty magnetyczne związane z ich spinem. W szczególności neutron ma niezerowy moment magnetyczny, mimo że jest elektrycznie obojętny. Fakt ten był wczesną wskazówką, że neutron nie jest cząstką elementarną. W rzeczywistości składa się z kwarków , które są elektrycznie naładowanymi cząstkami. Moment magnetyczny neutronu pochodzi z obrotów poszczególnych kwarków i ich ruchów orbitalnych.

Neutrina są zarówno elementarne, jak i elektrycznie obojętne. Minimalnie rozszerzony Model Standardowy uwzględniający niezerowe masy neutrin przewiduje momenty magnetyczne neutrin:

gdzie μ ν to momenty magnetyczne neutrin, m ν to masy neutrin, a μ B to magneton Bohra . Nowa fizyka powyżej skali elektrosłabej może jednak prowadzić do znacznie wyższych momentów magnetycznych neutrin. Można wykazać w sposób niezależny od modelu, że neutrino momenty magnetyczne większe niż około 10 -14  ľ B są „nienaturalne”, ponieważ będą one również prowadzić do dużych radiacyjnych składek do masy neutrin. Ponieważ wiadomo, że masy neutrin wynoszą co najwyżej około 1 eV, duże poprawki radiacyjne musiałyby być „dostrojone”, aby znosić się nawzajem w dużym stopniu i pozostawić małą masę neutrin. Pomiar momentów magnetycznych neutrin jest aktywnym obszarem badań. Wyniki eksperymentów wykazały, że moment magnetyczny neutrin jest mniejszy niż1,2 × 10 -10  razy moment magnetyczny elektronu.

Z drugiej strony cząstki elementarne o spinie, ale bez ładunku elektrycznego, takie jak foton czy bozon Z , nie mają momentu magnetycznego.

Temperatura Curie i utrata wyrównania

W zwykłych materiałach magnetyczne momenty dipolowe poszczególnych atomów wytwarzają pola magnetyczne, które wzajemnie się znoszą, ponieważ każdy dipol wskazuje w losowym kierunku, a ogólna średnia jest bardzo bliska zeru. Materiały ferromagnetyczne poniżej ich temperatury Curie wykazują jednak domeny magnetyczne, w których momenty dipolowe atomów są lokalnie wyrównane, wytwarzając makroskopowe, niezerowe pole magnetyczne z domeny. Są to zwykłe „magnesy”, które wszyscy znamy.

W materiałach paramagnetycznych momenty dipolowe poszczególnych atomów samorzutnie dopasowują się do przyłożonego zewnętrznie pola magnetycznego. Z drugiej strony w materiałach diamagnetycznych momenty dipolowe poszczególnych atomów samorzutnie ustawiają się w przeciwną stronę do każdego przyłożonego z zewnątrz pola magnetycznego, nawet jeśli wymaga to energii.

Badanie zachowania takich „ modeli spinowych ” jest kwitnącym obszarem badań fizyki materii skondensowanej . Na przykład model Isinga opisuje spiny (dipole), które mają tylko dwa możliwe stany, w górę iw dół, podczas gdy w modelu Heisenberga wektor spinu może wskazywać w dowolnym kierunku. Modele te mają wiele interesujących właściwości, które doprowadziły do ​​interesujących wyników w teorii przejść fazowych .

Kierunek

Liczba kwantowa i krotność projekcji spinowej

W mechanice klasycznej moment pędu cząstki ma nie tylko wielkość (jak szybko obraca się ciało), ale także kierunek (w górę lub w dół na osi obrotu cząstki). Spin kwantowo-mechaniczny również zawiera informacje o kierunku, ale w bardziej subtelnej formie. Mechaniki kwantowej stwierdza się, że składnik z krętu dla danej spin s cząstki mierzona wzdłuż jakiegokolwiek kierunku może odbywać się tylko na wartościach

gdzie S i jest składową spinu wzdłuż i- tej osi (albo x , y lub z ), s i jest liczbą kwantową rzutu spinu wzdłuż i- tej osi, a s jest główną liczbą kwantową spinu (omówioną w Poprzednia sekcja). Tradycyjnie wybranym kierunkiem jest  oś z :

gdzie S z jest składową spinu wzdłuż  osi z , s z jest liczbą kwantową rzutu spinu wzdłuż  osi z .

Widać, że są 2 s + 1 możliwe wartości s z . Liczba „ 2 s + 1 ” to krotność systemu wirowania. Na przykład, są tylko dwie możliwe wartości dla wirowania1/2cząstka: s z = +1/2oraz s z = −1/2. Odpowiadają one stanom kwantowym, w których składowa spinowa jest skierowana odpowiednio w kierunkach + z lub - z i są często określane jako „spin up” i „spin down”. Na spin-3/2cząstka, jak barion delta , możliwe wartości to +3/2, +1/2, −1/2, −3/2.

Wektor

Pojedynczy punkt w przestrzeni może obracać się w sposób ciągły bez splątania. Zauważ, że po obrocie o 360 stopni spirala przechodzi między orientacją zgodną z ruchem wskazówek zegara i przeciwną do ruchu wskazówek zegara. To powraca do swojej pierwotnej konfiguracji po przędzenia pełne 720 ° .

Dla danego stanu kwantowego można by pomyśleć o wektorze spinowym, którego składowe są wartościami oczekiwanymi składowych spinowych wzdłuż każdej osi, czyli . Wektor ten opisałby wtedy „kierunek”, w którym wskazuje spin, co odpowiada klasycznemu pojęciu osi obrotu . Okazuje się, że wektor wirowania nie jest bardzo przydatne w rzeczywistych obliczeń mechaniki kwantowej, ponieważ nie może być zmierzona bezpośrednio: s x , a y i y z nie posiadają jednocześnie wartość stała, ponieważ kwantowej stosunku niepewności między nimi. Jednak w przypadku statystycznie dużych zbiorów cząstek, które zostały umieszczone w tym samym czystym stanie kwantowym, na przykład za pomocą aparatu Sterna-Gerlacha , wektor spinu ma dobrze zdefiniowane znaczenie eksperymentalne: określa kierunek w zwykłej przestrzeni w którym kolejny detektor musi być zorientowany w celu osiągnięcia maksymalnego możliwego prawdopodobieństwa (100%) wykrycia każdej cząstki w kolekcji. Do wirowania-1/2 cząstek, prawdopodobieństwo to płynnie spada wraz ze wzrostem kąta między wektorem spinu a detektorem, aż do kąta 180° – czyli dla detektorów zorientowanych w kierunku przeciwnym do wektora spinu – oczekiwanie na wykrycie cząstek z kolekcji osiąga minimum 0%.

Jako koncepcja jakościowa wektor spinu jest często przydatny, ponieważ można go łatwo zobrazować klasycznie. Na przykład spin kwantowo-mechaniczny może wykazywać zjawiska analogiczne do klasycznych efektów żyroskopowych . Na przykład, można wywrzeć pewien rodzaj „ momentu obrotowego ” na elektron, umieszczając go w polu magnetycznym (pole to działa na wewnętrzny magnetyczny moment dipolowy elektronu — patrz następna sekcja). W rezultacie wektor spinu ulega precesji , podobnie jak w klasycznym żyroskopie. Zjawisko to znane jest jako elektronowy rezonans spinowy (ESR). Równoważne zachowanie protonów w jądrach atomowych jest wykorzystywane w spektroskopii i obrazowaniu jądrowego rezonansu magnetycznego (NMR).

Matematycznie stany spinu kwantowo-mechanicznego opisywane są przez obiekty wektorowe, znane jako spinory . Istnieją subtelne różnice między zachowaniem spinorów i wektorów przy obrotach współrzędnych . Na przykład obracanie spin-1/2cząstka o 360° nie sprowadza jej z powrotem do tego samego stanu kwantowego, ale do stanu z przeciwną fazą kwantową ; jest to zasadniczo wykrywalne za pomocą eksperymentów interferencyjnych . Aby przywrócić cząsteczkę do jej dokładnego pierwotnego stanu, potrzebny jest obrót o 720°. ( Sztuka z płytą i pasek Möbiusa dają analogie niekwantowe.) Cząstka o zerowym spinie może mieć tylko jeden stan kwantowy, nawet po przyłożeniu momentu obrotowego. Obrót cząstki o spinie-2 o 180° może przywrócić ją do tego samego stanu kwantowego, a cząsteczka o spinie 4 powinna zostać obrócona o 90°, aby przywrócić ją do tego samego stanu kwantowego. Cząstka o spinie-2 może być analogiczna do prostego drążka, który wygląda tak samo nawet po obróceniu się o 180°, a cząstkę o spinie 0 można wyobrazić sobie jako kulę, która wygląda tak samo pod dowolnym kątem, pod jakim jest obrócona.

Sformułowanie matematyczne

Operator

Spin podlega relacjom komutacyjnym analogicznym do orbitalnego momentu pędu :

gdzie ε jkl to symbol Levi-Civita . Wynika stąd, (jak pędu ), które to wektory z i (wyrażone jako technologii wspomagających w ogólnej S podstawie ) mają

Operatory podnoszenia i opuszczania spinu działające na te wektory własne dają

gdzie .

Ale w przeciwieństwie do orbitalnego momentu pędu, wektory własne nie są harmonicznymi sferycznymi . Nie są to funkcje θ i φ . Nie ma również powodu, aby wykluczyć półcałkowite wartości s i m s .

Wszystkie cząstki kwantowo-mechaniczne posiadają wewnętrzny spin (chociaż wartość ta może być równa zeru). Rzut spinu na dowolną oś jest kwantowany w jednostkach zredukowanej stałej Plancka , tak że funkcją stanu cząstki jest powiedzmy nie , ale , gdzie może przyjmować tylko wartości następującego zbioru dyskretnego:

Wyróżnia się bozony (spin całkowitoliczbowy) i fermiony (spin półcałkowity). Całkowity moment pędu zachowany w procesach interakcji jest więc sumą orbitalnego momentu pędu i spinu.

Matryce Pauliego

Operatory kwantowo-mechaniczne związane z spin-1/2 obserwowalne

gdzie w elementach kartezjańskich

W szczególnym przypadku wirowania1/2cząstki, σ x , σ y i σ z to trzy macierze Pauliego :

Zasada wykluczenia Pauliego

W przypadku układów o identycznych cząstkach N jest to związane z zasadą wykluczenia Pauliego , która stwierdza, że ​​jej funkcja falowa musi się zmieniać po wymianie dowolnych dwóch cząstek N, jak

Zatem dla bozonów prefaktor (-1) 2 s zmniejszy się do +1, dla fermionów do -1. W mechanice kwantowej wszystkie cząstki są albo bozonami, albo fermionami. W niektórych spekulatywnych relatywistycznych teoriach pola kwantowego istnieją również " supersymetryczne " cząstki, w których pojawiają się liniowe kombinacje składników bozonowych i fermionowych. W dwóch wymiarach prefaktor (-1) 2 s można zastąpić dowolną liczbą zespoloną o wielkości 1, taką jak w anyon .

Powyższy postulat permutacji funkcji stanu cząstek N ma najważniejsze konsekwencje w życiu codziennym, np. układ okresowy pierwiastków chemicznych.

Obroty

Jak opisano powyżej, mechanika kwantowa stwierdza, że składowe momentu pędu mierzone wzdłuż dowolnego kierunku mogą przyjmować tylko kilka wartości dyskretnych. Najwygodniejszym kwantowo-mechanicznym opisem spinu cząstki jest zatem zbiór liczb zespolonych odpowiadających amplitudom znalezienia danej wartości rzutu jej wewnętrznego momentu pędu na daną oś. Na przykład na spin-1/2cząstki, potrzebowalibyśmy dwóch liczb a ±1/2 , podając amplitudy jej znajdowania z rzutem momentu pędu równym +h/2i h/2, spełniający wymóg

Dla ogólnej cząstki o spinie s , potrzebowalibyśmy 2 s + 1 takich parametrów. Ponieważ liczby te zależą od wyboru osi, przekształcają się one w siebie nietrywialnie, gdy ta oś jest obracana. Oczywiste jest, że prawo transformacji musi być liniowe, więc możemy je przedstawić przez powiązanie macierzy z każdym obrotem, a iloczyn dwóch macierzy transformacji odpowiadających obrotom A i B musi być równy (do fazy) macierzy reprezentującej obrót AB. Co więcej, rotacje zachowują kwantowo-mechaniczny produkt wewnętrzny, podobnie jak nasze macierze transformacji:

Matematycznie rzecz biorąc, te macierze dostarczenia jednolitej rzutowe reprezentację w SO grupy obracanie (3) . Każda taka reprezentacja odpowiada reprezentacji pokrywającej grupy SO(3), którą jest SU(2) . Istnieje jedna n- wymiarowa nieredukowalna reprezentacja SU(2) dla każdego wymiaru, chociaż ta reprezentacja jest n- wymiarowa rzeczywista dla nieparzystego n i n- wymiarowego kompleksu dla parzystego n (stąd rzeczywisty wymiar 2 n ). Dla obrotu o kąt θ w płaszczyźnie o wektorze normalnym ,

gdzie , a S jest wektorem operatorów spinowych .

(Kliknij „pokaż” po prawej stronie, aby zobaczyć dowód lub „ukryj”, aby go ukryć.)

Pracując w układzie współrzędnych, w którym chcielibyśmy pokazać, że S x i S y są obrócone względem siebie o kąt θ . Zaczynając od S x . Używając jednostek, gdzie ħ = 1 :

Używając relacji komutacyjnych z operatorem spinu , widzimy, że komutatory obliczają do i S y dla nieparzystych wyrazów w szeregu i do S x dla wszystkich parzystych wyrazów. Zatem:

zgodnie z oczekiwaniami. Zauważ, że ponieważ opieraliśmy się tylko na relacjach komutacyjnych operatora spinowego, dowód ten obowiązuje dla dowolnego wymiaru (tj. dla dowolnej liczby kwantowej spinowej s ).


Ogólny obrót w przestrzeni trójwymiarowej można zbudować, łącząc operatory tego typu za pomocą kątów Eulera :

Nieredukowalną reprezentację tej grupy operatorów dostarcza macierz D Wignera :

gdzie

to mała d-matrix Wignera . Zauważ, że dla γ = 2π i α = β = 0 ; tj. pełny obrót wokół  osi z , elementy macierzy D Wignera stają się

Przypominając, że ogólny stan spinu można zapisać jako superpozycję stanów o określonym m , widzimy, że jeśli s jest liczbą całkowitą, wszystkie wartości m są liczbami całkowitymi, a ta macierz odpowiada operatorowi tożsamości. Jednakże, jeśli s jest połówkową liczbą całkowitą, wartości m również są połówkami całkowitymi, co daje (−1) 2 m = −1 dla wszystkich m , a zatem po obrocie o 2 π stan przyjmuje znak minus. Fakt ten jest kluczowym elementem dowodu twierdzenia o statystyce spinowej .

Transformacje Lorentza

Moglibyśmy wypróbować to samo podejście do określenia zachowania spinu w ogólnych transformacjach Lorentza , ale natychmiast odkrylibyśmy główną przeszkodę. W przeciwieństwie do SO(3), grupa przekształceń Lorentza SO(3,1) jest niezwarta i dlatego nie ma żadnych wiernych, unitarnych reprezentacji skończenie wymiarowych.

W przypadku wirowania-1/2cząstek, można znaleźć konstrukcję, która zawiera zarówno reprezentację skończenie wymiarową, jak i iloczyn skalarny, który jest zachowany przez tę reprezentację. Z każdą cząstką wiążemy 4-składnikowy spinor Diraca ψ . Te spinory przekształcają się pod wpływem transformacji Lorentza zgodnie z prawem

gdzie γ ν to macierze gamma , a ω μν to antysymetryczna macierz 4×4 parametryzująca transformację. Można wykazać, że iloczyn skalarny

jest zachowany. Nie jest jednak pozytywna, więc przedstawienie nie jest jednolite.

Pomiar spinu wzdłuż x , y , lub Z osiach

Każda z ( hermitowskich ) Pauli macierzy wirowania1/2cząstki mają dwie wartości własne , +1 i -1. Odpowiednie znormalizowane wektory własne to

(Ponieważ każdy wektor własny pomnożony przez stałą jest nadal wektorem własnym, istnieje niejednoznaczność w odniesieniu do znaku ogólnego. W tym artykule konwencja została wybrana tak, aby pierwszy element był urojony i ujemny, jeśli istnieje niejednoznaczność znaku. Obecna konwencja jest używana przez oprogramowanie, takie jak SymPy ; podczas gdy wiele podręczników do fizyki, takich jak Sakurai i Griffiths, woli, aby były prawdziwe i pozytywne).

Przez postulatów mechaniki kwantowej eksperyment do pomiaru spinu elektronowego x , y lub z  osią może jedynie uzyskując wartość własną odpowiadającą operatora wirowania ( S x , S R lub S oo ) na tej osi, tjh/2lub h/2. Stan kwantowy cząstki (w odniesieniu do spinu) można przedstawić za pomocą spinora dwuskładnikowego :

Gdy spin tej cząstki jest mierzony względem danej osi (w tym przykładzie  osi x ), prawdopodobieństwo, że jej spin zostanie zmierzony jakoh/2jest po prostu . W związku z tym prawdopodobieństwo, że jego obrót będzie mierzony jako h/2jest po prostu . Po pomiarze stan spinowy cząstki zapada się do odpowiedniego stanu własnego. W rezultacie, jeśli spin cząstki wzdłuż danej osi został zmierzony tak, aby miał określoną wartość własną, wszystkie pomiary dadzą tę samą wartość własną (od , itd.), pod warunkiem, że żadne pomiary rotacji nie zostaną wykonane wzdłuż innych osi.

Pomiar wirowania wzdłuż dowolnej osi

Operator do pomiaru spinu wzdłuż dowolnego kierunku osi można łatwo uzyskać z macierzy spinu Pauliego. Niech u = ( u x , u y , u z ) będzie dowolnym wektorem jednostkowym. Wtedy operatorem do kręcenia się w tym kierunku jest po prostu

Operator S u ma wartości własne ±h/2, tak jak zwykłe macierze spinów. Ta metoda znajdowania operatora dla spinu w dowolnym kierunku uogólnia do wyższych stanów spinu, bierze się iloczyn skalarny kierunku z wektorem trzech operatorów dla trzech kierunków osi x , y , z .

Znormalizowany spinor do spin-1/2w ( u x , u y , u oo ) kierunek (który działa dla wszystkich stanów spinowych wyjątkiem spin w dół, gdzie da0/0) jest

Powyższy spinor uzyskuje się w zwykły sposób przez diagonalizację macierzy σ u i znalezienie stanów własnych odpowiadających wartościom własnym. W mechanice kwantowej wektory są określane jako „znormalizowane” po pomnożeniu przez współczynnik normalizujący, co powoduje, że wektor ma długość jedności.

Zgodność pomiarów spinów

Ponieważ macierze Pauliego nie dojeżdżają , pomiary wirowania wzdłuż różnych osi są niezgodne. Oznacza to, że jeśli na przykład znamy spin wzdłuż  osi x , a następnie mierzymy spin wzdłuż  osi y , unieważniliśmy naszą wcześniejszą wiedzę o  obrocie osi x . Można to zobaczyć na podstawie właściwości wektorów własnych (tj. stanów własnych) macierzy Pauliego, które

Kiedy więc fizycy mierzą spin cząstki wzdłuż  osi x , na przykładh/2, stan spinowy cząstki zapada się w stan własny . Kiedy następnie zmierzymy spin cząstki wzdłuż  osi y , stan spinu załamie się teraz do jednego lub , każdy z prawdopodobieństwem1/2. Powiedzmy w naszym przykładzie, że mierzymy h/2. Kiedy teraz wrócimy, aby ponownie zmierzyć spin cząstki wzdłuż  osi x , prawdopodobieństwa, które zmierzymyh/2lub h/2 czy każdy? 1/2(tj. są i odpowiednio). Oznacza to, że pierwotny pomiar wirowania wzdłuż  osi x nie jest już ważny, ponieważ wirowanie wzdłuż  osi x będzie teraz mierzone tak, aby mieć wartość własną z równym prawdopodobieństwem.

Wyższe obroty

Spin-1/2operator S =h/2σ tworzy zasadniczą reprezentacji z su (2) . Wielokrotniebiorąc ze sobą iloczyny Kroneckera tej reprezentacji, można skonstruować wszystkie wyższe nieredukowalne reprezentacje. Oznacza to, że powstałe operatory spinu dla systemów o wyższym spinie w trzech wymiarach przestrzennych można obliczyć dla dowolnie dużych s przy użyciu tego operatora spinu i operatorów drabinkowych . Na przykład, biorąc iloczyn Kroneckera dwóch spinów1/2daje czterowymiarową reprezentację, którą można rozdzielić na trójwymiarową reprezentację o spinie-1 ( stany tripletowe ) i jednowymiarową reprezentację o spinie-0 ( stan singletowy ).

Otrzymane nieredukowalne reprezentacje dają następujące macierze spinowe i wartości własne w bazie z:

  1. Dla spinu 1 są
  2. Do wirowania 3/2 oni są
  3. Do wirowania 5/2 oni są
  4. Uogólnienie tych macierzy dla dowolnego spinu s to

    gdzie indeksy są liczbami całkowitymi takimi, że

Również użyteczna w mechanice kwantowej układów wielocząstkowych, ogólna grupa Pauliego G n jest zdefiniowana jako składająca się ze wszystkich n- krotnych iloczynów tensorowych macierzy Pauliego.

Analogowa formuła wzoru Eulera w ujęciu macierzy Pauliego

dla wyższych spinów jest wykonalny, ale mniej prosty.

Parytet

W tabelach spinowych liczb kwantowych s dla jąder lub cząstek, po spinie często występuje znak „+” lub „−”. Odnosi się to do parzystości z „+” dla parzystości (funkcja falowa niezmieniona przez odwrócenie przestrzenne) i „-” dla nieparzystości (funkcja falowa zanegowana przez odwrócenie przestrzenne). Na przykład zobacz izotopy bizmutu , w których lista izotopów obejmuje spin jądrowy kolumny i parzystość. Dla Bi-209, jedynego stabilnego izotopu, wpis 9/2– oznacza, że ​​spin jądrowy wynosi 9/2, a parzystość jest nieparzysta.

Aplikacje

Spin ma ważne implikacje teoretyczne i praktyczne zastosowania. Ugruntowane bezpośrednie zastosowania spinu obejmują:

Spin elektronów odgrywa ważną rolę w magnetyzmie , znajdując zastosowanie na przykład w pamięciach komputerowych. Manipulowanie spinem jądra za pomocą fal o częstotliwości radiowej ( magnetyczny rezonans jądrowy ) jest ważne w spektroskopii chemicznej i obrazowaniu medycznym.

Sprzężenie spinowo-orbitalne prowadzi do subtelnej struktury widm atomowych, które są używane w zegarach atomowych i we współczesnej definicji sekundy . Precyzyjne pomiary współczynnika g elektronu odegrały ważną rolę w rozwoju i weryfikacji elektrodynamiki kwantowej . Spin fotonu jest związany z polaryzacją światła ( polaryzacja fotonu ).

Pojawiające się zastosowanie spinu to binarny nośnik informacji w tranzystorach spinowych . Oryginalna koncepcja, zaproponowana w 1990 roku, znana jest jako tranzystor spinowy Datta-Das . Elektronika oparta na tranzystorach spinowych nazywana jest spintroniką . Manipulacja wirowania rozcieńczonych magnetycznych materiałów półprzewodnikowych , takich jak metal domieszkowane ZnO lub TiO 2 nadaje dalszy stopień swobody i ma potencjał, aby ułatwić wytwarzanie bardziej wydajnych układów elektronicznych.

Istnieje wiele pośrednich zastosowań i przejawów spinu i związanej z nim zasady wykluczania Pauliego , począwszy od układu okresowego chemii.

Historia

Wolfgang Pauli wykłady

Wirowania została odkryta w kontekście widma emisyjnego z metalami alkalicznymi . W 1924 roku Wolfgang Pauli wprowadził coś, co nazwał „dwuwartościową niemożliwą do opisania klasycznie” związaną z elektronem w zewnętrznej powłoce . To pozwoliło mu sformułować zasadę wykluczania Pauliego , stwierdzającą, że żadne dwa elektrony nie mogą mieć tego samego stanu kwantowego w tym samym układzie kwantowym.

Fizyczna interpretacja „stopnia wolności” Pauliego była początkowo nieznana. Ralph Kronig , jeden z asystentów Landé , zasugerował na początku 1925 roku, że powstał on w wyniku samoobrotu elektronu. Kiedy Pauli usłyszał o tym pomyśle, ostro go skrytykował, zauważając, że hipotetyczna powierzchnia elektronu musiałaby poruszać się szybciej niż prędkość światła , aby mogła się obracać wystarczająco szybko, aby wytworzyć niezbędny moment pędu. To naruszałoby teorię względności . W dużej mierze z powodu krytyki Pauliego Kronig postanowił nie publikować swojego pomysłu.

Jesienią 1925 roku ta sama myśl przyszła do holenderskich fizyków George'a Uhlenbecka i Samuela Goudsmita z Leiden University . Za radą Paula Ehrenfesta opublikowali swoje wyniki. Spotkało się to z pozytywną reakcją, zwłaszcza po tym, jak Llewellyn Thomas zdołał rozwiązać czynnik dwa rozbieżności między wynikami eksperymentów a obliczeniami Uhlenbecka i Goudsmita (oraz niepublikowanymi wynikami Kroniga). Ta rozbieżność wynikała z orientacji ramy stycznej elektronu, oprócz jego położenia.

Z matematycznego punktu widzenia potrzebny jest opis wiązki włókien . Wiązka styczna efekt addytywny i Relatywistyczna; to znaczy, znika, jeśli c zmierza do nieskończoności. Jest to połowa wartości uzyskanej bez uwzględnienia orientacji styczna-przestrzeń, ale z przeciwstawnym znakiem. Tak więc łączny efekt różni się od tego ostatniego o czynnik dwa ( precesja Thomasa , znana Ludwikowi Silbersteinowi w 1914 r.).

Pomimo początkowych zastrzeżeń Pauli sformalizował teorię spinu w 1927 roku, wykorzystując nowoczesną teorię mechaniki kwantowej wymyśloną przez Schrödingera i Heisenberga . Był pionierem w użyciu macierzy Pauliego jako reprezentacji operatorów spinowych i wprowadził dwuskładnikową funkcję falową spinoru . Uhlenbeck i Goudsmit traktowali spin jako wynikający z klasycznej rotacji, podczas gdy Pauli podkreślał, że spin jest nieklasyczną i wewnętrzną własnością.

Teoria spinu Pauliego była nierelatywistyczna. Jednak w 1928 roku Paul Dirac opublikował równanie Diraca opisujące relatywistyczny elektron . W równaniu Diraca do funkcji falowej elektronu zastosowano czteroskładnikowy spinor (znany jako „ spinor Diraca ”). Relatywistyczny spin wyjaśniał anomalię żyromagnetyczną, którą (z perspektywy czasu) po raz pierwszy zaobserwował Samuel Jackson Barnett w 1914 roku (patrz efekt Einsteina-de Haasa ). W 1940 r. Pauli udowodnił twierdzenie o statystyce spinu , które mówi, że fermiony mają spin połówkowy, a bozony mają spin całkowity.

Z perspektywy czasu pierwszym bezpośrednim dowodem eksperymentalnym spinu elektronu był eksperyment Sterna-Gerlacha z 1922 roku. Jednak prawidłowe wyjaśnienie tego eksperymentu podano dopiero w 1927 roku.

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura

  • Sin-Itiro Tomonaga, Historia wirowania, 1997

Zewnętrzne linki