Mapowanie ściśnięcia — Squeeze mapping

r = 3/2 mapowanie ściśnięcia

W algebry liniowej , o mapowanie wycisnąć to rodzaj liniowej mapie zachowuje euklidesową obszar regionów w kartezjańskim samolotem , ale to nie obrót lub powinowactwo osiowe .

Dla ustalonej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ , odwzorowanie

(x,y)\mapsto (ax,y/a)

to mapowanie ściśnięcia z parametrem $a$ . Odkąd

{\ Displaystyle \ {(u, v) \,: \ uv = \ operatorname {stała} \}}

jest hiperbolą , jeśli $u = ax$ i $v = y / a$ , to $uv = xy$ i punkty obrazu odwzorowania ściśnięcia są na tej samej hiperboli co $(x, y)$ . Z tego powodu naturalne jest myślenie o odwzorowaniu ściśnięcia jako o obrocie hiperbolicznym , jak zrobił to Émile Borel w 1914 roku, przez analogię z rotacjami kołowymi , które zachowują koła.

Logarytm i kąt hiperboliczny

Mapowanie ściśnięcia przygotowuje grunt pod rozwój koncepcji logarytmów. Problem ze znalezieniem obszaru ograniczonego hiperbolą (np. $xy = 1)$ jest problemem kwadratury . Rozwiązanie, znalezione przez Grégoire de Saint-Vincent i Alphonse Antonio de Sarasa w 1647, wymagało nowej koncepcji funkcji logarytmu naturalnego . Pewien wgląd w logarytmy uzyskuje się poprzez sektory hiperboliczne, które są permutowane przez odwzorowania ściśnięcia przy jednoczesnym zachowaniu ich obszaru. Powierzchnia sektora hiperbolicznego jest miarą kąta hiperbolicznego związanego z sektorem. Koncepcja kąta hiperbolicznego jest całkowicie niezależna od zwykłego kąta kołowego , ale dzieli z nim właściwość niezmienności: podczas gdy kąt kołowy jest niezmienny przy obrocie, kąt hiperboliczny jest niezmienny przy odwzorowaniu ściskania. Zarówno kąt kołowy, jak i hiperboliczny generują miary niezmienne, ale w odniesieniu do różnych grup transformacji. Funkcje hiperboliczne , które przyjmują kąt hiperboliczny jako argument, pełnią rolę, jaką funkcje kołowe odgrywają z argumentem kąta kołowego.

Teoria grup

Mapowanie ściśnięcia przenosi jeden fioletowy sektor hiperboliczny do drugiego o tym samym obszarze.
Ściska również niebieskie i zielone prostokąty .

W 1688, na długo przed abstrakcyjną teorią grup , odwzorowanie ściśnięcia zostało opisane przez Euklidesa Speidella w kategoriach dnia: „Z kwadratu i nieskończonej kompanii podłużnych na superficie, każdy równy temu kwadratowi, jak powstaje krzywa, która będzie mieć te same właściwości lub uczucia, co hiperbola wpisana w stożek prostokątny."

Jeśli $r$ i $s$ są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, skład ich odwzorowań ściśnięcia jest odwzorowaniem ściśnięcia ich produktu. Dlatego zbiór odwzorowań squeeze tworzy grupę jednoparametrową izomorficzna z multiplikatywnego grupy z dodatnich liczb rzeczywistych . Addytywne spojrzenie na tę grupę wynika z uwzględnienia sektorów hiperbolicznych i ich kątów hiperbolicznych.

Z punktu widzenia grupy klasycznych grupa przekształceń ściskanego $SO + (1,1)$ The składnik identyczność z nieokreślonym ortogonalne grupy 2 x 2 rzeczywistych matrycy zachowując postać kwadratowego $U 2 - V 2$ . Jest to równoznaczne z zachowaniem formy $xy$ poprzez zmianę bazy

x=u+v\quad y=uv\,,

i odpowiada geometrycznie zachowaniu hiperboli. Perspektywa grupy odwzorowań ściśnięcia jako rotacji hiperbolicznej jest analogiczna do interpretacji grupy $SO(2)$ (spójnej składowej określonej grupy ortogonalnej ) zachowującej kwadratową formę $x 2 + y 2$ jako będące rotacjami kołowymi .

Zauważ, że notacja " $SO +$ " odpowiada faktowi, że odbicia

u\mapsto-u\quad v\mapsto-v

nie są dozwolone, chociaż zachowują formę (w kategoriach $x$ i $y$ są to $x \mapsto y, y \mapsto x$ i $x \mapsto - x, y \mapsto - y)$ ; dodatkowy znak „ $+$ ” w przypadku hiperbolicznym (w porównaniu z przypadkiem kołowym) jest konieczny do określenia składowej tożsamości, ponieważ grupa $O(1,1)$ ma $4$ połączone składowe , natomiast grupa $O(2)$ ma $2$ składowe: $SO (1,1)$ ma $2$ składowe, podczas gdy $SO(2)$ ma tylko 1. Fakt, że ściskanie zmienia obszar zachowania i orientacji, odpowiada włączeniu podgrup $SO \subset SL$ – w tym przypadku $SO(1,1) \subset SL( 2)$ – podgrupy obrotów hiperbolicznych w specjalnej liniowej grupie przekształceń zachowujących pole i orientację ( forma objętościowa ). W języku przekształceń Möbiusa przekształcenia ściskania są elementami hiperbolicznymi w klasyfikacji elementów .

Aplikacje

Tutaj niektóre aplikacje zostały podsumowane z odniesieniami historycznymi.

Relatywistyczna czasoprzestrzeń

Geometria czasoprzestrzeni jest konwencjonalnie rozwijana w następujący sposób: Wybierz (0,0) dla "tu i teraz" w czasoprzestrzeni. Światło promieniujące w lewo i prawo przez to centralne zdarzenie śledzi dwie linie w czasoprzestrzeni, linie, które mogą być użyte do podania współrzędnych zdarzeniom oddalonym od (0,0). Trajektorie o mniejszej prędkości śledzą bliżej oryginalnej osi czasu (0, t ). Każda taka prędkość może być postrzegana jako prędkość zerowa przy odwzorowaniu ściśnięcia zwanym doładowaniem Lorentza . To spostrzeżenie wynika z badania mnożenia liczb typu split-complex i podstawy diagonalnej, która odpowiada parze linii świetlnych. Formalnie ściśnięcie zachowuje metrykę hiperboliczną wyrażoną w postaci xy ; w innym układzie współrzędnych. To zastosowanie w teorii względności zostało odnotowane w 1912 r. przez Wilsona i Lewisa, Wernera Greuba i Louisa Kauffmana . Co więcej, forma odwzorowania ściśnięcia transformacji Lorentza została wykorzystana przez Gustava Herglotza (1909/10) podczas omawiania sztywności Borna i została spopularyzowana przez Wolfganga Rindlera w swoim podręczniku o teoriach względności, który użył jej do wykazania ich charakterystycznej właściwości.

Pojęcie transformacji ściśnięcia zostało użyte w tym kontekście w artykule łączącym grupę Lorentza z rachunkiem Jonesa w optyce.

Przepływ narożny

W dynamice płynów jednym z podstawowych ruchów nieściśliwego przepływu jest rozgałęzienie przepływu biegnącego na nieruchomą ścianę. Reprezentując ścianę przez oś y = 0 i przyjmując parametr r = exp( t ) gdzie t jest czasem, to odwzorowanie ściśnięcia z parametrem r zastosowanym do początkowego stanu płynu daje przepływ z rozwidleniem na lewo i prawo od osi x = 0. Ten sam model daje płynną zbieżność, gdy czas biegnie wstecz. Rzeczywiście, obszar każdego sektora hiperbolicznego jest niezmienny podczas ściskania.

Aby poznać inne podejście do przepływu z hiperbolicznymi liniami prądu , zobacz Przepływ potencjalny § Prawa potęgowe z n = 2 .

W 1989 Ottino opisał „liniowy izochoryczny przepływ dwuwymiarowy” jako

v_{1}=Gx_{2}\quad v_{2}=KGx_{1}

gdzie K leży w przedziale [-1, 1]. Opływy podążają za krzywymi

x_{2}^{2}-Kx_{1}^{2}=\mathrm {stała}

więc ujemne K odpowiada elipsie, a dodatnie K hiperboli, przy czym prostokątny przypadek odwzorowania ściśnięcia odpowiada K = 1.

Stocker i Hosoi opisali swoje podejście do przepływu narożnego w następujący sposób:

proponujemy alternatywne sformułowanie uwzględniające geometrię narożną, opartą na wykorzystaniu współrzędnych hiperbolicznych, co pozwala na znaczny postęp analityczny w kierunku określenia przepływu w granicy Plateau i dołączonych wątków cieczy. Rozważamy obszar przepływu tworzący kąt π /2 i ograniczony z lewej i dołu płaszczyznami symetrii.

Stocker i Hosoi następnie przypominają rozważania Moffatta o „przepływie w rogu między sztywnymi granicami, wywołanym przez arbitralne zakłócenia na dużej odległości”. Według Stockera i Hosoi,

W przypadku wolnego płynu w kwadracie narożnym (antysymetryczna) funkcja strumienia Moffatta ... [wskazuje], że współrzędne hiperboliczne są rzeczywiście naturalnym wyborem do opisania tych przepływów.

Most do transcendentali

Właściwość odwzorowania ściśnięcia z zachowaniem obszaru ma zastosowanie przy ustalaniu podstaw funkcji transcendentalnych logarytmu naturalnego i jego odwrotności do funkcji wykładniczej :

Definicja: Sektor( a,b ) to sektor hiperboliczny uzyskany za pomocą promieni centralnych do ( a , 1/ a ) i ( b , 1/ b ).

Lemat: Jeśli bc = ad , to istnieje mapowanie ściśnięcia, które przenosi sektor ( a, b ) do sektora ( c, d ).

Dowód: weź parametr r = c / a tak, że ( u,v ) = ( rx , y / r ) zabiera ( a , 1/ a ) do ( c , 1/ c ) i ( b , 1/ b ) do ( d , 1/ d ).

Twierdzenie ( Gregoire de Saint-Vincent 1647) Jeśli bc = ad , to kwadratura hiperboli xy = 1 w stosunku do asymptoty ma równe pola między a i b w porównaniu z między c i d .

Dowód: Argument dodawania i odejmowania trójkątów o polu 1 ⁄ 2 , przy czym jeden trójkąt to {(0,0), (0,1), (1,1)}, pokazuje, że pole sektora hiperbolicznego jest równe polu wzdłuż asymptoty . Twierdzenie wynika zatem z lematu.

Twierdzenie ( Alphonse Antonio de Sarasa 1649) Gdy powierzchnia mierzona względem asymptoty wzrasta w postępie arytmetycznym, rzuty na asymptotę zwiększają się w ciągu geometrycznym. W ten sposób obszary tworzą logarytmy indeksu asymptoty.

Na przykład, dla standardowego kąta położenia, który biegnie od (1, 1) do ( x , 1/ x ), można zapytać "Kiedy kąt hiperboliczny jest równy jeden?" Odpowiedzią jest liczba transcendentalna x = e .

Ściśnięcie z r = e przesuwa kąt jednostkowy do jednego pomiędzy ( e , 1/ e ) i ( ee , 1/ ee ), który obejmuje sektor również o powierzchni jeden. Postęp geometryczny

e , e ² , e ³ , ..., e ⁿ , ...

odpowiada wskaźnikowi asymptotycznemu osiąganemu z każdą sumą powierzchni

1,2,3,..., n ,...

który jest prototypowym postępem arytmetycznym A + nd, gdzie A = 0 i d = 1 .

Kłamstwo przekształć

Podążając za badaniami Pierre'a Ossian Bonneta (1867) na powierzchniach o stałej krzywiźnie, Sophus Lie (1879) znalazł sposób na wyprowadzenie nowych pseudosferycznych powierzchni ze znanej. Takie powierzchnie spełniają równanie Sine-Gordona :

{\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} \ Theta} {ds \ d \ sigma}} = K \ grzech \ Theta}

gdzie są współrzędnymi asymptotycznymi dwóch głównych krzywych stycznych i ich odpowiednim kątem. Lie pokazał, że jeśli jest rozwiązaniem równania Sine-Gordon, to poniższe odwzorowanie ściśnięcia (obecnie znane jako transformata Liego) wskazuje inne rozwiązania tego równania: $(s,\sigma)$ ${\ Displaystyle \ Theta}$ ${\ Displaystyle \ Theta = f (s, \ sigma)}$

{\ Displaystyle \ Theta = f \ lewo (ms \ {\ Frac {\ sigma} {m}} \ prawo)}

Lie (1883) zauważył jej związek z dwiema innymi transformacjami powierzchni pseudosferycznych: Transformata Bäcklunda (wprowadzona przez Alberta Victora Bäcklunda w 1883 roku) może być postrzegana jako połączenie transformacji Liego z transformacją Bianchiego (wprowadzoną przez Luigiego Bianchi w 1879 roku). takie transformacje pseudospherical powierzchni omówiono szczegółowo w zajęć na różnicowym geometrii przez Gaston Darboux (1894), Luigi Bianchi (1894), lub Luther Pfahler Eisenhart (1909).

Wiadomo, że transformacje Liego (lub odwzorowania ściśnięcia) odpowiadają wzmocnieniom Lorentza pod względem współrzędnych stożka światła , jak wskazali Terng i Uhlenbeck (2000):

Sophus Lie zaobserwował, że SGE [równanie Sinusa-Gordona] jest niezmienne w przekształceniach Lorentza. We współrzędnych asymptotycznych, które odpowiadają współrzędnym stożka światła, transformacja Lorentza to . ${\ Displaystyle (x, t) \ mapsto \ lewo ({\ tfrac {1} {\ lambda}} x \ lambda t \ po prawej)}$

Można to przedstawić w następujący sposób:

{\ Displaystyle {\ zacząć {macierz} - c ^ {2} t ^ {2} + x ^ {2} = - c ^ {2} t ^ {\ prime 2} + x ^ {\ prime 2} \\ \hline {\begin{aligned}ct'&=ct\gamma -x\beta \gamma &&=ct\cosh \eta -x\sinh \eta \\x'&=-ct\beta \gamma +x\gamma &&=-ct\sinh \eta +x\cosh \eta \end{aligned}}\\\hline u=ct+x,\ v=ct-x,\ k={\sqrt {\tfrac {1+\ beta }{1-\beta }}}=e^{\eta }\\u'={\frac {u}{k}},\ v'=kv\\\hline u'v'=uv\end {matryca}}}

gdzie k odpowiada współczynnikowi Dopplera w rachunku k Bondiego , η jest szybkością .

Zobacz też

Bibliografia

HSM Coxeter & SL Greitzer (1967) Geometry Revisited , Rozdział 4 Transformacje, Genealogia transformacji.
PS Modenov i AS Parkhomenko (1965) Przekształcenia geometryczne , tom pierwszy. Zobacz strony 104 do 106.
Walter, Scott (1999). „Nieeuklidesowy styl względności Minkowskiego” (PDF) . W J. Gray (red.). Symboliczny Wszechświat: Geometria i Fizyka . Oxford University Press. s. 91–127.(patrz strona 9 e-linka)

Languages

In other projects