Paradoks Petersburga - St. Petersburg paradox

Paradoks petersburski jest zwykle ujmowany w kategoriach zakładów na wynik uczciwych rzutów monetą.

Paradoks Petersburg lub Petersburg loterii jest paradoks związany z prawdopodobieństwem i teorii decyzji w ekonomii . Opiera się na teoretycznej loterii , która prowadzi do zmiennej losowej o nieskończonej wartości oczekiwanej (tj. nieskończonej oczekiwanej wypłacie), ale mimo to wydaje się być warta tylko bardzo małą kwotę dla uczestników. Paradoks petersburski to sytuacja, w której naiwne kryterium decyzyjne, które bierze pod uwagę tylko wartość oczekiwaną, przewiduje kierunek działania, którego przypuszczalnie żadna osoba nie byłaby skłonna podjąć. Zaproponowano kilka rezolucji dotyczących paradoksu.

Paradoks wziął swoją nazwę od analizy przeprowadzonej przez Daniela Bernoulli , byłego mieszkańca tytułowego rosyjskiego miasta , który opublikował swoje argumenty w Komentarzach Cesarskiej Akademii Nauk w Sankt Petersburgu ( Bernoulli 1738 ). Jednak problem został wymyślony przez kuzyna Daniela, Nicolasa Bernoulli , który jako pierwszy stwierdził go w liście do Pierre'a Raymonda de Montmort 9 września 1713 roku ( de Montmort 1713 ).

Gra w Petersburgu

Kasyno oferuje grę losową dla jednego gracza, w której na każdym etapie rzucana jest uczciwa moneta . Początkowa stawka zaczyna się od 2 dolarów i jest podwajana za każdym razem, gdy pojawiają się reszki. Gdy pierwszy raz pojawia się reszki, gra się kończy, a gracz wygrywa wszystko, co jest w puli. W ten sposób gracz wygrywa 2 dolary, jeśli w pierwszym rzucie rzuci się resztkami, 4 dolary, jeśli w pierwszym rzucie się orzełkiem, a reszką w drugim, 8 dolarów, jeśli rzuci się orzełkiem w pierwszych dwóch rzutach, a resztkami w trzecim, i tak dalej. Matematycznie gracz wygrywa dolary, gdzie jest liczba kolejnych rzutów głową. Jaka byłaby uczciwa cena za wejście do gry kasyna? ${\ Displaystyle 2 ^ {k + 1}}$${\displaystyle k}$

Aby na to odpowiedzieć, należy zastanowić się, jaka byłaby oczekiwana wypłata na każdym etapie: z prawdopodobieństwem 1/2, gracz wygrywa 2 dolary; z prawdopodobieństwem1/4gracz wygrywa 4 dolary; z prawdopodobieństwem1/8gracz wygrywa 8 dolarów i tak dalej. Zakładając, że gra może trwać tak długo, jak rzuca się monetą, a w szczególności, że kasyno ma nieograniczone zasoby, oczekiwana wartość jest zatem

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} E & = {\ Frac {1} {2}} \ cdot 2 + {\ Frac {1} {4}} \ cdot 4 + {\ Frac {1} {8}} \ cdot 8+{\frac {1}{16}}\cdot 16+\cdots \\&=1+1+1+1+\cdots \\&=\infty \,.\end{aligned}}}$

Suma ta rośnie bez ograniczeń , więc oczekiwana wygrana to nieskończona ilość pieniędzy.

Paradoks

Biorąc pod uwagę jedynie oczekiwaną wartość zmiany netto w czyimś bogactwie, należy grać za wszelką cenę, jeśli nadarzy się ku temu okazja. Jednak Daniel Bernoulli , po opisaniu gry z początkową stawką jednego dukata , stwierdził: „Chociaż standardowe obliczenia pokazują, że wartość oczekiwań [gracza] jest nieskończenie wielka, należy… przyznać, że każdy całkiem rozsądny człowiek z wielką przyjemnością sprzedałby swoją szansę za dwadzieścia dukatów. Robert Martin cytuje Iana Hackinga mówiącego, że „niewielu z nas zapłaciłoby nawet 25 dolarów za wejście do takiej gry” i mówi, że większość komentatorów się z tym zgodzi. Paradoks polega na rozbieżności między tym, ile ludzie wydają się gotowi zapłacić za wejście do gry, a nieskończoną wartością oczekiwaną.

Rozwiązania

Zaproponowano kilka podejść do rozwiązania paradoksu.

Oczekiwana teoria użyteczności

Klasyczny rozdzielczość paradoksu zaangażowany wyraźne wprowadzenie funkcji użyteczności , to ekwiwalent pewności i domniemania malejącej użyteczności krańcowej pieniędzy.

Własnymi słowami Daniela Bernoulliego:

Ustalenie wartości przedmiotu nie może opierać się na cenie, ale raczej na użyteczności, jaką zapewnia... Nie ma wątpliwości, że zysk w wysokości tysiąca dukatów ma większe znaczenie dla nędzarza niż dla bogacza, chociaż jedno i drugie uzyskać taką samą kwotę.

Powszechnym modelem użyteczności, sugerowanym przez samego Bernoulliego, jest funkcja logarytmiczna U ( w ) = ln( w ) (znana jako logarytmiczna użyteczność ). Jest to funkcja całkowitego bogactwa hazardzisty w i jest w nią wbudowana koncepcja malejącej krańcowej użyteczności pieniądza. Hipoteza oczekiwanej użyteczności zakłada istnienie funkcji użyteczności, która stanowi dobre kryterium zachowania rzeczywistych ludzi; tj. funkcja, która zwraca dodatnią lub ujemną wartość wskazującą, czy zakład jest dobrym zakładem. Dla każdego możliwego zdarzenia zmiana użyteczności ln(bogactwo po zdarzeniu) − ln(bogactwo przed zdarzeniem) będzie ważona prawdopodobieństwem wystąpienia tego zdarzenia. Niech c będzie kosztem wejścia do gry. Oczekiwana przyrostowa użyteczność loterii zbliża się teraz do skończonej wartości:

${\ Displaystyle \ Delta E (U) = \ suma _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ Frac {1} {2 ^ {k}}} \ lewo [\ ln \ lewo (w 2 ^ {k}-c\right)-\ln(w)\right]<+\infty \,.}$

Ta formuła daje ukryty związek między bogactwem hazardzisty a tym, ile powinien on być skłonny zapłacić (w szczególności każde c, które daje pozytywną zmianę w oczekiwanej użyteczności). Na przykład, przy użyciu dziennika naturalnego, milioner (1 000 000 USD) powinien być gotów zapłacić do 20,88 USD, osoba z 1000 USD powinna zapłacić do 10,95 USD, osoba z 2 USD powinna pożyczyć 1,35 USD i zapłacić do 3,35 USD.

Zanim Daniel Bernoulli opublikował w 1728 r., matematyk z Genewy , Gabriel Cramer , znalazł już części tego pomysłu (również motywowanego paradoksem petersburskim), stwierdzając, że

matematycy szacują pieniądze proporcjonalnie do ich ilości, a ludzie rozsądni proporcjonalnie do ich użycia.

W liście do Nicolasa Bernoulliego wykazał, że funkcja pierwiastka kwadratowego opisująca malejącą krańcową korzyść z zysków może rozwiązać problem. Jednak w przeciwieństwie do Daniela Bernoulliego nie brał pod uwagę całkowitego bogactwa osoby, a jedynie zysk z loterii.

To rozwiązanie autorstwa Cramera i Bernoulliego nie jest jednak w pełni satysfakcjonujące, gdyż loterię można łatwo zmienić w taki sposób, że paradoks się powtórzy. W tym celu wystarczy zmienić grę tak, aby dawała jeszcze szybciej rosnące wypłaty. Dla dowolnej nieograniczonej funkcji użyteczności można znaleźć loterię, która pozwala na wariant paradoksu petersburskiego, jak po raz pierwszy zauważył Menger ( Menger 1934 ).

Ostatnio teoria oczekiwanej użyteczności została rozszerzona o więcej behawioralnych modeli decyzyjnych . W niektórych z tych nowych teorii, jak w teorii perspektywy kumulatywnej , paradoks petersburski pojawia się ponownie w pewnych przypadkach, nawet gdy funkcja użyteczności jest wklęsła, ale nie jest ograniczona ( Rieger i Wang 2006 ).

Ważenie prawdopodobieństwa

Sam Nicolas Bernoulli zaproponował alternatywny pomysł rozwiązania paradoksu. Przypuszczał, że ludzie zaniedbują mało prawdopodobne wydarzenia ( de Montmort 1713 ). Ponieważ w petersburskiej loterii tylko mało prawdopodobne wydarzenia przynoszą wysokie nagrody, które prowadzą do nieskończonej wartości oczekiwanej, może to rozwiązać paradoks. Pomysł prawdopodobieństwa ważenia resurfaced znacznie później w pracach nad teorii perspektywy przez Daniel Kahneman i Amos Tversky'ego . Paul Weirich podobnie napisał, że Awersja do ryzyka może rozwiązać ten paradoks. Weirich napisał dalej, że zwiększenie nagrody w rzeczywistości zmniejsza szansę, że ktoś zapłaci za grę, stwierdzając, że „w ręku jest pewna liczba ptaków wartych więcej niż jakakolwiek liczba ptaków w buszu”. Jednak zostało to odrzucone przez niektórych teoretyków, ponieważ, jak podkreślają, niektórzy ludzie lubią ryzyko hazardu i ponieważ nielogiczne jest zakładanie, że zwiększenie nagrody doprowadzi do większego ryzyka.

Teoria skumulowanej perspektywy jest jednym z popularnych uogólnień teorii oczekiwanej użyteczności, które może przewidywać wiele prawidłowości behawioralnych ( Tversky i Kahneman 1992 ). Jednak przeważenie małych zdarzeń prawdopodobieństwa wprowadzone w teorii perspektywy kumulacyjnej może przywrócić paradoks petersburski. Teoria perspektywy skumulowanej unika paradoksu petersburskiego tylko wtedy, gdy współczynnik potęgi funkcji użyteczności jest niższy niż współczynnik potęgi funkcji ważenia prawdopodobieństwa ( Bławatskyy 2005 ). Intuicyjnie, funkcja użyteczności nie może być po prostu wklęsła, ale musi być wklęsła względem funkcji ważenia prawdopodobieństwa, aby uniknąć paradoksu petersburskiego. Można argumentować, że formuły teorii perspektywy są uzyskiwane w okolicach mniej niż 400 dolarów ( Tversky i Kahneman 1992 ). Nie dotyczy to nieskończenie rosnących sum w paradoksie petersburskim.

Skończone loterie petersburskie

Klasyczna gra w Petersburgu zakłada, że ​​kasyno lub bankier ma nieskończone zasoby. To założenie od dawna kwestionuje się jako nierealne. Alexis Fontaine des Bertins zauważył w 1754 roku, że zasoby każdego potencjalnego zwolennika gry są ograniczone. Co ważniejsze, oczekiwana wartość gry rośnie tylko logarytmicznie wraz z zasobami kasyna. W rezultacie oczekiwana wartość gry, nawet gdy gra się przeciwko kasynu o największym możliwym do wyobrażenia bankrollu, jest dość skromna. W 1777 roku Georges-Louis Leclerc, hrabia de Buffon obliczył, że po 29 rundach gry w Królestwie Francji nie starczy pieniędzy na pokrycie zakładu.

Jeśli kasyno ma ograniczone zasoby, gra musi się zakończyć po ich wyczerpaniu. Załóżmy, że całkowite zasoby (lub maksymalny jackpot) kasyna wynoszą W dolarów (ogólniej, W jest mierzone w jednostkach równych połowie początkowej stawki gry). Wtedy maksymalna liczba razy, kiedy kasyno może grać, zanim nie będzie już w stanie w pełni pokryć następnego zakładu, wynosi L = floor(log ₂ ( W )). Zakładając, że gra kończy się, gdy kasyno nie może już pokryć zakładu, oczekiwana wartość E loterii staje się wtedy:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} E & = \ suma _ {k = 1} ^ {L} {\ Frac {1} {2 ^ {k}}} \ cdot 2 ^ {k} = L \,. \ koniec{wyrównany}}}$

Poniższa tabela pokazuje oczekiwaną wartość E gry z różnymi potencjalnymi bankierami i ich bankrollem W :

Uwaga: Zgodnie z zasadami gry, które określają, że jeśli gracz wygra więcej niż bankroll kasyna, zostanie mu wypłacony cały kapitał kasyna, dodatkowa oczekiwana wartość jest mniejsza niż byłaby, gdyby kasyno miało wystarczająco dużo środków na pokrycie jeszcze jednej rundy, tj. mniej niż 1 USD.

Przesłanka o nieskończonych zasobach rodzi szereg pozornych paradoksów w ekonomii. W systemie zakładów Martingale gracz obstawiający rzuconą monetę podwaja swój zakład po każdej przegranej, aby ewentualna wygrana pokryła wszystkie przegrane; ten system zawodzi przy każdym skończonym bankrollu. W ruinę hazardzisty koncepcji pokazuje, że utrzymująca się hazardzistą, który podnosi jego zakład do stałej ułamek jego bankroll kiedy wygrywa, ale nie zmniejsza jego zakład, kiedy przegrywa, w końcu i nieuchronnie będzie zbankrutować nawet jeśli gra ma dodatnią wartość oczekiwaną .

Odrzucenie oczekiwań matematycznych

Różni autorzy, w tym Jean le Rond d'Alembert i John Maynard Keynes , odrzucali maksymalizację oczekiwań (nawet użyteczności) jako właściwą zasadę postępowania. Keynes w szczególności podkreślał, że względne ryzyko alternatywy może być wystarczająco wysokie, aby ją odrzucić, nawet jeśli jej oczekiwania były ogromne. Ostatnio niektórzy badacze sugerowali zastąpienie wartości oczekiwanej medianą jako wartością godziwą.

Ostatnie dyskusje

Chociaż ten paradoks ma już trzy wieki, w ostatnich latach wciąż pojawiają się nowe argumenty.

Feller

Rozwiązanie polegające na pobieraniu próbek zaproponował William Feller . Intuicyjnie odpowiedź Fellera brzmi: „przeprowadzić tę grę z dużą liczbą osób i obliczyć oczekiwaną wartość z ekstrakcji próbki”. W tej metodzie, gdy możliwe są gry o nieskończonej liczbie razy, wartość oczekiwana będzie nieskończonością, a w przypadku skończonej, wartość oczekiwana będzie wartością znacznie mniejszą.

Samuelson

Paul Samuelson rozwiązuje ten paradoks ( Samuelson (1960) ) argumentując, że nawet gdyby jednostka miała nieskończone zasoby, gra nigdy nie zostałaby zaoferowana. Jeśli loteria reprezentuje nieskończony oczekiwany zysk dla gracza, oznacza to również nieskończoną oczekiwaną stratę dla gospodarza. Nie można było zaobserwować nikogo, kto płacił za grę, ponieważ nigdy nie zostałaby zaoferowana. Jak podsumował ten argument Samuelson: „Paweł nigdy nie będzie skłonny dać tyle, ile Peter zażąda za taką umowę; stąd wskazana aktywność będzie miała miejsce na poziomie równowagi o zerowej intensywności”.

Peters

Ole Peters ( Peters 2011a ) rozwiązał ten paradoks, obliczając średnią czasową wydajność loterii, argumentując, że oczekiwany wynik powinien być oceniany w ograniczonym okresie, w którym prawdopodobnie możemy dokonać wyboru. To rozwiązanie ma cechy nieergodyczne .

Zobacz też

Uwagi i referencje

Cytaty

Prace cytowane

• Strzałka, Kenneth J. (luty 1974). „Wykorzystanie funkcji nieograniczonej użyteczności w maksymalizacji oczekiwanej użyteczności: odpowiedź” (PDF) . Kwartalnik Ekonomiczny . 88 (1): 136–138. doi : 10.2307/1881800 . JSTOR  1881800 .

• Bernoulli, Daniela ; pierwotnie opublikowany w 1738; przetłumaczone przez dr Louise Sommer (styczeń 1954). „Ekspozycja nowej teorii pomiaru ryzyka” . Ekonometria . 22 (1): 22-36. doi : 10.2307/1909829 . JSTOR  1909829 . Źródło 30 maja 2006 .CS1 maint: wiele nazwisk: lista autorów ( link )

• Bławackij, Pawło (kwiecień 2005). – Powrót do paradoksu petersburskiego? (PDF) . Nauka o zarządzaniu . 51 (4): 677–678. doi : 10.1287/mnsc.1040.0352 .

• Buffon, GLL (1777). „Essai d'Arithmétique Motale”. Uzupełnia l'Histoire Naturelle, T. IV : 46-14. Przedruk w „Oeuvres Philosophiques de Buffon”, Paryż, 1906, cyt. w Dutka, 1988

• Cappiello, Antonio (2016). „Podejmowanie decyzji i paradoks Sankt Petersburga: koncentracja na parametrach heurystycznych, biorąc pod uwagę kontekst nieergodyczny i ryzyko związane z hazardem” . Rivista italiana di ekonomia demografia i statystyka . 70 (4): 147–158. ISSN  0035-6832 . RePEc:ite:iteeco:160406.

• de Montmort, Pierre Remond (1713). Essay d'analyse sur les jeux de hazard [ Eseje o analizie gier losowych ] (Przedruk w 2006 r.) (w języku francuskim) (Wyd. drugie). Providence, Rhode Island: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . Numer ISBN 978-0-8218-3781-8.w tłumaczeniu i wysłaniu w Pulskamp, ​​Richard J. „Korespondencja Nicolasa Bernoulliego dotycząca gry w Petersburgu” (PDF) . Źródło 22 lipca 2010 .

• Dutka, Jacques (1988). „O paradoksie petersburskim” . Archiwum Historii Nauk Ścisłych . 39 (1): 13–39. doi : 10.1007/BF00329984 . JSTOR  41133842 . S2CID  121413446 . Źródło 23 marca 2021 .

• Feller, Williamie. Wprowadzenie do teorii prawdopodobieństwa i jej zastosowań Tom I .

• Fontaine, Alexix (1764). „Solution d'un problème sur les jeux de hasard”. Memoires donnés à l'Académie Royale des Sciences : 429-431. cytowany w Dutce, 1988

• Jeffrey, Richard C. (1983). Logika decyzji (2 wyd.). Chicago: University of Chicago Press.

• Laplace, Pierre Simon (1814). Théorie analytique des probabilités [ Analityczna teoria prawdopodobieństwa ] (w języku francuskim) (druga ed.). Paryż: Ve. Kurier .

• Marcin, Robert (2004). „Paradoks petersburski” . W Edward N. Zalta (red.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (jesień 2004 ed.). Stanford, Kalifornia : Uniwersytet Stanforda. ISSN  1095-5054 . Źródło 30 maja 2006 .

• Menger, Karl (sierpień 1934). „Das Unsicherheitsmoment in der Wertlehre Betrachtungen im Anschluß an das sogenannte Petersburger Spiel”. Zeitschrift für Nationalökonomie . 5 (4): 459–485. doi : 10.1007/BF01311578 . ISSN  0931-8658 . S2CID  151290589 . (papier) (online).

• Peters, Ole (październik 2011b). „Menger 1934 ponownie”. arXiv : 1110.1578 [ q-fin.RM ].

• Peters, Ole (2011a). „Rozdzielczość czasowa paradoksu petersburskiego” . Transakcje filozoficzne Towarzystwa Królewskiego . 369 (1956): 4913-4931. arXiv : 1011.4404 . Kod Bib : 2011RSPTA.369.4913P . doi : 10.1098/rsta.2011.0065 . PMC  3270388 . PMID  22042904 .

• Piotra, Olego; Gell-Mann, Murray (2016). „Ocenianie hazardów za pomocą dynamiki”. Chaos . 26 (2): 023103. arXiv : 1405.0585 . Kod Bibcode : 2016 Chaos..26b3103P . doi : 10.1063/1.4940236 . PMID  26931584 . S2CID  9726238 .

• Peterson, Martin (30 lipca 2019 r.). „Paradoks Petersburga (wersja 2020)” . W Edward N. Zalta (red.). Stanford Encyclopedia of Philosophy (jesień 2020 wyd.) . Źródło 24 marca 2021 .

• Pianca, Paolo (wrzesień 2007). „Paradoks Sankt Petersburga: ekspozycja historyczna, zastosowanie do akcji wzrostowych i niektórych podejść symulacyjnych” (PDF) . Quaderni di Didattica, Wydział Matematyki Stosowanej Uniwersytetu Weneckiego . 24 : 1–15.

• Rieger, Marc Oliver; Wang, Mei (sierpień 2006). „Teoria perspektywy kumulacyjnej i paradoks petersburski” (PDF) . Teoria ekonomii . 28 (3): 665–679. doi : 10.1007/s00199-005-0641-6 . hdl : 20.500.11850/32060 . ISSN  0938-2259 . S2CID  790082 . (papier) (online).( Publicznie dostępna, starsza wersja. )

• Samuelson, Paul (styczeń 1960). „Paradoks Petersburga jako rozbieżna podwójna granica”. Międzynarodowy Przegląd Gospodarczy . 1 (1): 31–37. doi : 10.2307/2525406 . JSTOR  2525406 .
• Samuelson, Paul (marzec 1977). „Paradoksy Sankt Petersburga: Defanged, rozcięte i historycznie opisane”. Czasopismo Literatury Ekonomicznej . 15 (1): 24-55. JSTOR  2722712 .

• Todhunter, Izaak (1865). Historia matematycznej teorii prawdopodobieństw . Macmillan & Spółka .

• Twerskiego, Amosa; Kahnemana (1992). „Postępy w teorii perspektywy: skumulowana reprezentacja niepewności”. Dziennik Ryzyka i Niepewności . 5 (4): 297–323. doi : 10.1007/bf00122574 . S2CID  8456150 .

Bibliografia

• Aumann, Robert J. (kwiecień 1977). „Paradoks Petersburga: omówienie niektórych ostatnich komentarzy”. Czasopismo Teorii Ekonomicznej . 14 (2): 443–445. doi : 10.1016/0022-0531(77)90143-0 .
• Feller, William (1968). Wprowadzenie do teorii prawdopodobieństwa i jej zastosowań Tom I, II . Wileya. Numer ISBN 978-0471257080.
• Durand, David (wrzesień 1957). „Zapasy wzrostu i paradoks petersburski”. Dziennik Finansów . 12 (3): 348-363. doi : 10.2307/2976852 . JSTOR  2976852 .

• „Bernoulli i paradoks petersburski” . Historia myśli ekonomicznej . Nowa Szkoła Badań Społecznych , Nowy Jork. Zarchiwizowane z oryginału w dniu 18 czerwca 2006 . Źródło 30 maja 2006 .

• Haigh, John (1999). Podejmowanie szans . Oxford, Wielka Brytania: Oxford University Press. s.  330 . Numer ISBN 978-0198526636.(Rozdział 4)
• Sen, PK; Piosenkarz, JM (1993). Metody dużych próbek w statystyce. Wprowadzenie z aplikacjami . Nowy Jork: Springer. Numer ISBN 978-0412042218.

Zewnętrzne linki

• Symulacja online loterii petersburskiej