Stojąca fala - Standing wave

Animacja fali stojącej ( czerwona ) utworzona przez superpozycję fali biegnącej w lewo ( niebieska ) i fali biegnącej w prawo ( zielona )

W fizyki , A fali stojącej , znany również jako stacjonarny fali , to fala oscylujący w czasie, ale których szczytowa amplitudy profil nie porusza się w przestrzeni. Szczytowa amplituda oscylacji fali w dowolnym punkcie przestrzeni jest stała w czasie, a oscylacje w różnych punktach fali są w fazie . Miejsca, w których wartość bezwzględna amplitudy jest minimalna, nazywane są węzłami , a miejsca, w których wartość bezwzględna amplitudy jest maksymalna, nazywane są antywęzłami .

Fale stojące po raz pierwszy zauważył Michael Faraday w 1831 roku. Faraday zaobserwował fale stojące na powierzchni cieczy w wibrującym pojemniku. Franz Melde ukuł termin „fala stojąca” (niem. stehende Welle lub Stehwelle ) około 1860 roku i zademonstrował to zjawisko w swoim klasycznym eksperymencie z drgającymi strunami.

Zjawisko to może wystąpić, ponieważ ośrodek porusza się w kierunku przeciwnym do fali lub może powstać w ośrodku stacjonarnym w wyniku interferencji dwóch fal rozchodzących się w przeciwnych kierunkach. Najczęstszą przyczyną fal stojących jest zjawisko rezonansu , w którym fale stojące powstają wewnątrz rezonatora na skutek interferencji między falami odbitymi tam iz powrotem przy częstotliwości rezonansowej rezonatora .

Dla fal o jednakowej amplitudzie rozchodzących się w przeciwnych kierunkach, przeciętnie nie ma propagacji energii netto .

Ruchome medium

Odtwórz multimedia

Kajakarze surfujący na fali stojącej w Parku Narodowym Great Falls .

Jako przykład pierwszego typu, w określonych warunkach meteorologicznych, w atmosferze zawietrznej łańcuchów górskich, tworzą się fale stojące . Takie fale są często wykorzystywane przez pilotów szybowcowych .

Fale stojące i skoki hydrauliczne tworzą się również na szybko płynących bystrzach rzecznych i prądach pływowych, takich jak wir Saltstraumen . Wiele stojących fal rzecznych to popularne przerwy na surfowanie po rzece .

Przeciwstawne fale

Jako przykład drugiego typu fala stojąca w linii przesyłowej to fala, w której rozkład prądu , napięcia lub natężenia pola jest tworzony przez superpozycję dwóch fal o tej samej częstotliwości rozchodzących się w przeciwnych kierunkach. Efektem jest seria węzłów ( przemieszczenie zerowe ) i anty-węzłów ( przemieszczenie maksymalne ) w stałych punktach wzdłuż linii transmisyjnej. Taka fala stojąca może powstać, gdy fala jest przesyłana na jeden koniec linii przesyłowej i jest odbijana od drugiego końca przez niedopasowanie impedancji , tj. nieciągłość, taką jak przerwa w obwodzie lub zwarcie . Niepowodzenie linii w przekazywaniu mocy przy częstotliwości fali stojącej będzie zwykle skutkowało zniekształceniem tłumienia .

W praktyce straty w linii przesyłowej i innych elementach oznaczają, że nigdy nie osiąga się idealnego odbicia i czystej fali stojącej. Rezultatem jest częściowa fala stojąca , która jest superpozycją fali stojącej i fali biegnącej. Stopień, w jakim fala przypomina czystą falę stojącą lub czystą falę biegnącą, mierzy się współczynnikiem fali stojącej (SWR).

Innym przykładem są fale stojące na otwartym oceanie utworzone przez fale o tym samym okresie fal, poruszające się w przeciwnych kierunkach. Mogą one powstawać w pobliżu centrów burzowych lub w wyniku odbicia fali na brzegu i są źródłem mikrobaromów i mikrosejsmów .

Opis matematyczny

W tej części omówiono reprezentatywne jedno- i dwuwymiarowe przypadki fal stojących. Po pierwsze, przykład struny o nieskończonej długości pokazuje, jak identyczne fale rozchodzące się w przeciwnych kierunkach zakłócają wytwarzanie fal stojących. Następnie dwa przykłady struny o skończonej długości z różnymi warunkami brzegowymi pokazują, w jaki sposób warunki brzegowe ograniczają częstotliwości, które mogą tworzyć fale stojące. Następnie przykład fal dźwiękowych w rurze pokazuje, jak te same zasady można zastosować do fal podłużnych o analogicznych warunkach brzegowych.

Fale stojące mogą również występować w rezonatorach dwu- lub trójwymiarowych . W przypadku fal stojących na dwuwymiarowych membranach, takich jak naciągi bębnów , zilustrowanych na powyższych animacjach, węzły stają się liniami węzłowymi, liniami na powierzchni, na których nie ma ruchu, które oddzielają regiony wibrujące z przeciwną fazą. Te wzory linii węzłowych nazywane są figurami Chladniego . W rezonatorach trójwymiarowych, takich jak pudła rezonansowe instrumentów muzycznych i rezonatory wnękowe mikrofalowe , występują powierzchnie węzłowe. Ta sekcja zawiera dwuwymiarowy przykład fali stojącej z prostokątną granicą, aby zilustrować, jak rozszerzyć koncepcję na wyższe wymiary.

Fala stojąca na sznurku o nieskończonej długości

Na początek rozważmy ciąg o nieskończonej długości wzdłuż osi x, który można swobodnie rozciągać w poprzek w kierunku y .

Dla fali harmonicznej biegnącej w prawo wzdłuż struny, przemieszczenie struny w kierunku y w funkcji położenia x i czasu t wynosi

${\ Displaystyle y_ {\ tekst {R}} (x, t) = y_ {\ tekst {max}} \ sin \ lewo ({2 \ pi x \ nad \ lambda} - \ omega t \ prawej).}$

Przemieszczenie w kierunku y dla identycznej fali harmonicznej biegnącej w lewo wynosi

${\ Displaystyle y_ {\ tekst {L}} (x, t) = y_ {\ tekst {max}} \ sin \ lewo ({2 \ pi x \ nad \ lambda} + \ omega t \ prawej)}$

gdzie

• y _max to amplituda przemieszczenia struny dla każdej fali,
• ω to częstotliwość kątowa lub równoważnie 2π razy częstotliwość f ,
• λ to długość fali.

Dla identycznych fal biegnących w prawo iw lewo na tej samej strunie, całkowite przemieszczenie struny jest sumą y _R i y _L ,

${\ Displaystyle y (x, t) = y_ {\ tekst {R}} + y_ {\ tekst {L}} = y_ {\ tekst {max}} \ sin \ lewo ({2 \ pi x \ ponad \ lambda }-\omega t\right)+y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right).}$

Korzystając z tożsamości trygonometrycznej sumy do produktu , ${\ Displaystyle \ sin a + \ sin b = 2 \ sin \ lewo ({a + b \ ponad 2} \ prawej) \ cos \ lewo ({ab \ ponad 2} \ prawej)}$

${\ Displaystyle y (x, t) = 2y_ {\ tekst {max}} \ sin \ lewo ({2 \ pi x \ nad \ lambda} \ po prawej) \ cos (\ omega t).}$

( 1 )

Zauważ, że równanie ( 1 ) nie opisuje fali biegnącej. W dowolnym położeniu x , y ( x , t ) po prostu oscyluje w czasie z amplitudą, która zmienia się w kierunku x jako . Animacja na początku tego artykułu przedstawia to, co się dzieje. Ponieważ poruszająca się w lewo fala niebieska i poruszająca się w prawo fala zielona przeszkadzają, tworzą stojącą czerwoną falę, która nie przemieszcza się, a zamiast tego oscyluje w miejscu. ${\ Displaystyle 2y_ {\ tekst {max}} \ sin \ lewo ({2 \ pi x \ nad \ lambda} \ po prawej)}$

Ponieważ struna ma nieskończoną długość, nie ma warunków brzegowych dla jej przemieszczenia w dowolnym punkcie wzdłuż osi x . W rezultacie fala stojąca może tworzyć się na dowolnej częstotliwości.

W miejscach na osi x, które są nawet wielokrotnościami ćwierć długości fali,

${\ Displaystyle x = \ ldots, - {3 \ lambda \ ponad 2}, \; - \ lambda, \; - {\ lambda \ ponad 2}, \; 0, \; {\ lambda \ ponad 2}, \ ;\lambda ,\;{3\lambda \over 2},\ldots }$

amplituda jest zawsze zerowa. Te lokalizacje nazywane są węzłami . W miejscach na osi x, które są nieparzystymi wielokrotnościami ćwiartki długości fali

${\ Displaystyle x = \ ldots, - {5 \ lambda \ ponad 4}, \; - {3 \ lambda \ ponad 4}, \; - {\ lambda \ ponad 4}, \; {\ lambda \ ponad 4} ,\;{3\lambda \over 4},\;{5\lambda \over 4},\ldots }$

amplituda jest maksymalna, z wartością dwukrotnie większą od amplitudy fal biegnących w prawo iw lewo, które zakłócają wytworzenie tego wzoru fali stojącej. Te lokalizacje nazywane są anty-węzłami . Odległość między dwoma kolejnymi węzłami lub antywęzłami wynosi połowę długości fali, λ /2.

Fala stojąca na sznurku z dwoma stałymi końcami

Następnie rozważmy ciąg ze stałymi końcami w x = 0 i x = L . Struna będzie miała pewne tłumienie, ponieważ jest rozciągana przez fale biegnące, ale załóżmy, że tłumienie jest bardzo małe. Załóżmy, że na stałym końcu x = 0 przyłożona jest siła sinusoidalna, która porusza strunę w górę iw dół w kierunku y z małą amplitudą przy pewnej częstotliwości f . W tej sytuacji siła napędowa wytwarza falę biegnącą w prawo. Ta fala odbija się od prawego stałego końca i wraca z powrotem w lewo, ponownie odbija się od lewego stałego końca i wraca z powrotem w prawo i tak dalej. W końcu osiągany jest stan ustalony, w którym struna ma identyczne fale biegnące w prawo iw lewo, jak w przypadku nieskończonej długości, a moc rozpraszana przez tłumienie w strunie jest równa mocy dostarczanej przez siłę napędową, więc fale mają stałą amplitudę.

Równanie ( 1 ) nadal opisuje wzór fali stojącej, która może powstać na tej strunie, ale teraz równanie ( 1 ) podlega warunkom brzegowym, gdzie y = 0 przy x = 0 i x = L, ponieważ struna jest ustalona w x = L i ponieważ zakładamy, że siła napędowa na ustalonym końcu x = 0 ma małą amplitudę. Sprawdzenie wartości y na dwóch końcach,

${\ Displaystyle y (0, t) = 0,}$

${\ Displaystyle r (L, t) = 2y_ {\ tekst {max}} \ sin \ lewo ({2 \ pi L \ nad \ lambda} \ prawej) \ cos (\ omega t) = 0.}$

Fale stojące w strunie – mod podstawowy i pierwsze 5 harmonicznych .

Ten ostatni warunek brzegowy jest spełniony, gdy . L jest podane, więc warunek brzegowy ogranicza długość fali fal stojących do ${\ Displaystyle \ sin \ lewo ({2 \ pi L \ nad \ lambda} \ po prawej) = 0}$

${\ Displaystyle \ lambda = {\ Frac {2L} {n}}}$

( 2 )

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots}$

Fale mogą tworzyć fale stojące na tej strunie tylko wtedy, gdy ich długość fali spełnia tę zależność z L . Jeżeli fale poruszają się z prędkością v wzdłuż struny, to równoważnie częstotliwość fal stojących jest ograniczona do

${\ Displaystyle f = {\ Frac {v} {\ lambda}} = {\ Frac {nv} {2L}}.}$

Fala stojąca o n = 1 oscyluje z częstotliwością podstawową i ma długość fali dwukrotnie większą od długości struny. Wyższe wartości całkowite n odpowiadają trybom oscylacji zwanym harmonicznymi lub alikwotami . Każda fala stojąca na strunie będzie miała n + 1 węzłów, w tym nieruchome końce i n przeciwwęzłów.

Aby porównać węzły tego przykładu z opisem węzłów fal stojących w łańcuchu o nieskończonej długości, zauważ, że równanie ( 2 ) można przepisać jako

${\ Displaystyle \ lambda = {\ Frac {4L} {n}}}$

${\displaystyle n=2,4,6,\ldots}$

W tej odmianie wyrażenia na długość fali n musi być parzyste. Mnożąc krzyż widzimy, że ponieważ L jest węzłem, jest parzystą wielokrotnością ćwiartki długości fali,

${\ Displaystyle L = {\ Frac {n \ lambda} {4}}}$

${\displaystyle n=2,4,6,\ldots}$

Ten przykład demonstruje rodzaj rezonansu, a częstotliwości, które wytwarzają fale stojące, można nazwać częstotliwościami rezonansowymi .

Fala stojąca na sznurku z jednym stałym końcem

Analiza stanu nieustalonego tłumionej fali biegnącej odbijającej się od granicy.

Następnie rozważmy ten sam ciąg o długości L , ale tym razem jest on ustalony tylko na x = 0 . Przy x = L struna może swobodnie poruszać się w kierunku y . Na przykład sznurek może być przywiązany w punkcie x = L do pierścienia, który może swobodnie przesuwać się w górę i w dół słupa. Struna ponownie ma niewielkie tłumienie i jest napędzana małą siłą napędową przy x = 0 .

W tym przypadku równanie ( 1 ) nadal opisuje wzór fali stojącej, który może tworzyć się na strunie, a struna ma ten sam warunek brzegowy y = 0 przy x = 0 . Jednak przy x = L, gdzie struna może się swobodnie poruszać, powinien znajdować się anty-węzeł o maksymalnej amplitudzie y . Przeglądając równanie ( 1 ), dla x = L największa amplituda y występuje, gdy

${\ Displaystyle \ sin \ lewo ({2 \ pi L \ nad \ lambda} \ po prawej) = 1.}$

Prowadzi to do innego zestawu długości fal niż w przykładzie z dwoma stałymi końcami. Tutaj długość fali fal stojących jest ograniczona do

${\ Displaystyle \ lambda = {\ Frac {4L} {n}}}$

${\displaystyle n=1,3,5,\ldots}$

Równoważnie częstotliwość jest ograniczona do

${\ Displaystyle f = {\ Frac {nv} {4L}}.}$

Zauważ, że w tym przykładzie n przyjmuje tylko nieparzyste wartości. Ponieważ L jest anty-węzłem, jest to nieparzysta wielokrotność ćwiartki długości fali. Zatem mod podstawowy w tym przykładzie ma tylko jedną czwartą pełnego cyklu sinusoidalnego – zero przy x = 0 i pierwszy szczyt przy x = L – pierwsza harmoniczna ma trzy czwarte pełnego cyklu sinusoidalnego i tak dalej.

Ten przykład demonstruje również rodzaj rezonansu, a częstotliwości, które wytwarzają fale stojące, nazywane są częstotliwościami rezonansowymi .

Stojąca fala w rurze

Rozważmy falę stojącą w rurze o długości L . Powietrze wewnątrz rury służy jako nośnik wzdłużnych fal dźwiękowych rozchodzących się w prawo lub w lewo przez rurę. Podczas gdy fale poprzeczne na strunie z poprzednich przykładów zmieniają swoje przemieszczenie prostopadle do kierunku ruchu fal, fale rozchodzące się w powietrzu w rurze różnią się pod względem ciśnienia i przemieszczenia wzdłużnego wzdłuż kierunku ruchu fali. Fala rozchodzi się poprzez naprzemienne sprężanie i rozprężanie powietrza w segmentach rury, które nieznacznie wypiera powietrze z położenia spoczynkowego i przenosi energię do sąsiednich segmentów poprzez siły wywierane przez naprzemienne wysokie i niskie ciśnienie powietrza. Dla zmiany ciśnienia Δ p wywołanej biegnącą w rurze falą w prawo lub w lewo można zapisać równania podobne do tych dla fali na strunie .

${\ Displaystyle \ Delta p_ {\ tekst {R}} (x, t) = p_ {\ tekst {max}} \ sin \ lewo ({2 \ pi x \ nad \ lambda} - \ omega t \ prawej), }$

${\ Displaystyle \ Delta p_ {\ tekst {L}} (x, t) = p_ {\ tekst {max}} \ sin \ lewo ({2 \ pi x \ nad \ lambda} + \ omega t \ prawej), }$

gdzie

• p _max to amplituda ciśnienia lub maksymalny wzrost lub spadek ciśnienia powietrza w wyniku każdej fali,
• ω to częstotliwość kątowa lub równoważnie 2π razy częstotliwość f ,
• λ to długość fali.

Jeśli przez rurę przechodzą identyczne fale biegnące w prawo i w lewo, wynikową superpozycję opisuje suma

${\ Displaystyle \ Delta p (x, t) = \ Delta p_ {\ tekst {R}} (x, t) + \ Delta p_ {\ tekst {L}} (x, t) = 2p_ {\ tekst {max }}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)\cos(\omega t).}$

Zauważ, że ten wzór na ciśnienie ma taką samą postać jak równanie ( 1 ), więc powstaje stacjonarna fala ciśnienia, która jest nieruchoma w przestrzeni i oscyluje w czasie.

Jeżeli koniec rury jest zamknięty, ciśnienie jest maksymalne, ponieważ zamknięty koniec rury wywiera siłę, która ogranicza ruch powietrza. Odpowiada to przeciw-węzłowi ciśnieniowemu. Jeśli koniec rury jest otwarty, zmiany ciśnienia są bardzo małe, odpowiadające węzłowi ciśnieniowemu. Dokładna lokalizacja węzła ciśnieniowego na otwartym końcu jest w rzeczywistości nieco poza otwartym końcem rury, więc efektywna długość rury w celu określenia częstotliwości rezonansowych jest nieco dłuższa niż jej długość fizyczna. Ta różnica długości jest ignorowana w tym przykładzie. Jeśli chodzi o odbicia, otwarte końce częściowo odbijają fale z powrotem do rury, umożliwiając uwolnienie pewnej ilości energii do powietrza zewnętrznego. Idealnie zamknięte końce odbijają całą falę z powrotem w przeciwnym kierunku.

Najpierw rozważmy piszczałkę otwartą na obu końcach, na przykład otwartą piszczałkę organową lub dyktafon . Biorąc pod uwagę, że ciśnienie musi wynosić zero na obu otwartych końcach, warunki brzegowe są analogiczne do struny z dwoma stałymi końcami,

${\ Displaystyle \ Delta p (0, t) = 0,}$

${\ Displaystyle \ Delta p (L, t) = 2 p_ {\ tekst {max}} \ sin \ lewo ({2 \ pi L \ nad \ lambda} \ po prawej) \ cos (\ omega t) = 0,}$

co występuje tylko wtedy, gdy długość fali fal stojących wynosi

${\ Displaystyle \ lambda = {\ Frac {2L} {n}}}$

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots,}$

lub równoważnie, gdy częstotliwość wynosi

${\ Displaystyle f = {\ Frac {nv} {2L}},}$

gdzie v jest prędkością dźwięku .

Następnie rozważmy rurę, która jest otwarta, a zatem ma węzeł ciśnieniowy w x = 0 i jest zamknięta, a zatem ma przeciwwęzeł ciśnieniowy w x = L . Przykłady obejmują butelkę i klarnet . Ta rura ma warunki brzegowe analogiczne do struny z tylko jednym stałym końcem. Jego fale stojące mają długości fal ograniczone do

${\ Displaystyle \ lambda = {\ Frac {4L} {n}}}$

${\displaystyle n=1,3,5,\ldots,}$

lub równoważnie częstotliwość fal stojących jest ograniczona do

${\ Displaystyle f = {\ Frac {nv} {4L}}.}$

Zauważ, że w przypadku, gdy jeden koniec jest zamknięty, n przyjmuje tylko nieparzyste wartości, tak jak w przypadku łańcucha ustalonego tylko na jednym końcu.

Molekularna reprezentacja fali stojącej z n = 2 dla rury zamkniętej na obu końcach. Rozważając przemieszczenie wzdłużne, zwróć uwagę, że cząsteczki na końcach i cząsteczki w środku nie są przemieszczone przez falę reprezentującą węzły przemieszczenia wzdłużnego. W połowie drogi między węzłami znajdują się antywęzły przemieszczenia podłużnego, w których cząsteczki są przemieszczone maksymalnie. Biorąc pod uwagę ciśnienie, zauważ, że cząsteczki są maksymalnie ściśnięte i rozciągnięte na końcach i pośrodku, reprezentując anty-węzły nacisku. W połowie drogi między anty-węzłami znajdują się węzły ciśnieniowe, w których cząsteczki nie są ani ściskane, ani rozszerzane podczas ruchu.

Do tej pory fala była zapisywana w kategoriach jej ciśnienia w funkcji pozycji x i czasu. Alternatywnie falę można zapisać w postaci jej wzdłużnego przemieszczenia powietrza, gdzie powietrze w segmencie rury porusza się nieznacznie tam iz powrotem w kierunku x, gdy ciśnienie się zmienia, a fale przemieszczają się w jednym lub w obu kierunkach. Zmiana Δ ciśnienie p i wzdłużne przemieszczenie S jest odniesiona

${\ Displaystyle \ Delta p = - \ rho v ^ {2} {\ Frac {\ częściowy s} {\ częściowy x}}}$

gdzie ρ jest gęstością powietrza. Pod względem przesunięcia wzdłużnego, zamknięte końce rur odpowiadają węzłom, ponieważ ruch powietrza jest ograniczony, a otwarte końce odpowiadają przeciwwęzłom, ponieważ powietrze może się swobodnie poruszać. Podobne, łatwiejsze do wizualizacji zjawisko występuje w falach podłużnych rozchodzących się wzdłuż sprężyny.

Możemy również rozważyć rurę, która jest zamknięta na obu końcach. W tym przypadku oba końce będą przeciwwęzłami nacisku lub równoważnie oba końce będą węzłami przemieszczenia. Ten przykład jest analogiczny do przypadku, w którym oba końce są otwarte, z wyjątkiem tego, że wzór fali stojącej ma przesunięcie fazowe π ⁄ 2 wzdłuż kierunku x, aby przesunąć położenie węzłów i antywęzłów. Na przykład najdłuższa długość fali, która rezonuje – mod podstawowy – jest ponownie dwukrotnością długości rury, z wyjątkiem tego, że końce rury mają przeciwwęzły ciśnieniowe zamiast węzłów ciśnieniowych. Pomiędzy końcami znajduje się jeden węzeł ciśnieniowy. W przypadku dwóch zamkniętych końców długość fali jest ponownie ograniczona do

${\ Displaystyle \ lambda = {\ Frac {2L} {n}}}$

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots,}$

a częstotliwość jest ponownie ograniczona do

${\ Displaystyle f = {\ Frac {nv} {2L}}.}$

A rury Rubensa dostarcza sposobu wizualizację zmian ciśnienia fal stojących w probówce z dwiema zamkniętymi końcami.

Fala stojąca 2D z prostokątną granicą

Następnie rozważmy fale poprzeczne, które mogą poruszać się wzdłuż dwuwymiarowej powierzchni w prostokątnej granicy o długości L _x w kierunku x i długości L _y w kierunku y . Przykładami tego typu fal są fale wodne w basenie lub fale na naciągniętym prostokątnym prześcieradle. Fale przemieszczają powierzchnię w kierunku z , przy czym z = 0 określa się jako wysokość powierzchni, gdy jest nieruchoma.

W dwóch wymiarach i we współrzędnych kartezjańskich równanie falowe to

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy ^ {2} z} \ częściowy t ^ {2}}} \; = \; c ^ {2} \ lewo ({\ Frac {\ częściowy ^ {2} z}) {\częściowy x^{2}}}+{\frac {\częściowy ^{2}z}{\częściowy y^{2}}}\prawo),}$

gdzie

• z ( x , y , t ) to przemieszczenie powierzchni,
• c to prędkość fali.

Aby rozwiązać to równanie różniczkowe, najpierw rozwiążmy jego transformatę Fouriera , z

${\ Displaystyle Z (x, y, \ omega ) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} z (x, y, t) ^ {-i \ omega t} dt.}$

Biorąc transformatę Fouriera równania falowego,

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy ^ {2} Z} {\ częściowy x ^ {2}}} + {\ Frac {\ częściowy ^ {2} Z} {\ częściowy y ^ {2}}} = - {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}Z(x,y,\omega).}$

Jest to problem wartości własnej, w którym częstotliwości odpowiadają wartościom własnym, które następnie odpowiadają modom lub funkcjom własnym specyficznym dla częstotliwości. W szczególności jest to forma równania Helmholtza i można ją rozwiązać za pomocą rozdzielenia zmiennych . Założyć

${\ Displaystyle Z = X (x) Y (y).}$

Dzieląc równanie Helmholtza przez Z ,

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {X (x)}} {\ Frac {\ częściowy ^ {2} X} {\ częściowy x ^ {2}}} + {\ Frac {1} {Y (y) }}{\frac {\częściowy ^{2}Y}{\częściowy y^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0.}$

Prowadzi to do dwóch sprzężonych równań różniczkowych zwyczajnych. Wyraz x jest równy stałej względem x , którą możemy zdefiniować jako

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {X (x)}} {\ Frac {\ częściowy ^ {2} X} {\ częściowy x ^ {2}}} = (ik_ {x}) ^ {2}. }$

Rozwiązywanie dla X ( x ),

${\ Displaystyle X (x) = A_ {k_ {x}} e ^ {ik_ {x} x} + B_ {k_ {x}} e ^ {-ik_ {x} x}.}$

Ta zależność od x jest sinusoidalna – przypomina wzór Eulera – ze stałymi A _{k x} i B _{k x} określonymi przez warunki brzegowe. Podobnie wyraz y jest równy stałej względem y , którą możemy zdefiniować jako

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {Y (y)}} {\ Frac {\ częściowy ^ {2} Y} {\ częściowy r ^ {2}}} = (ik_ {y}) ^ {2} = k_{x}^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}},}$

a relacja dyspersji dla tej fali jest zatem

${\ Displaystyle \ omega = c {\ sqrt {k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2}}}.}$

Rozwiązywanie równania różniczkowego dla członu y ,

${\ Displaystyle Y (y) = C_ {k_ {y}} e ^ {ik_ {y} y} + D_ {k_ {y}} e ^ {-ik_ {y} y}.}$

Mnożąc te funkcje razem i stosując odwrotną transformatę Fouriera, z ( x , y , t ) jest superpozycją modów, gdzie każdy mod jest iloczynem funkcji sinusoidalnych dla x , y i t ,

${\ Displaystyle z (x, y, t) \ sim e ^ {\ pm ik_ {x} x} e ^ {\ pm ik_ {y} y} e ^ {\ pm ja \ omega t}.}$

Stałe określające dokładne funkcje sinusoidalne zależą od warunków brzegowych i warunków początkowych. Aby zobaczyć, jak obowiązują warunki brzegowe, rozważmy przykład arkusza, który został napięty, gdzie z ( x , y , t ) musi wynosić zero wokół prostokątnej granicy. Dla zależności x , z ( x , y , t ) musi zmieniać się w taki sposób, że może wynosić zero zarówno dla x = 0 jak i x = L _x dla wszystkich wartości y i t . Podobnie jak w jednowymiarowym przykładzie struny zamocowanej na obu końcach, funkcja sinusoidalna spełniająca ten warunek brzegowy jest

${\ Displaystyle \ sin {k_ {x} x}}$

z k _x ograniczone do

${\ Displaystyle k_ {x} = {\ Frac {n \ pi} {L_ {x}}} \ quad n = 1,2,3 \ kropki}$

Podobnie zależność y od z ( x , y , t ) musi wynosić zero przy y = 0 i y = L _y , co jest spełnione przez

${\ Displaystyle \ sin {k_ {y} r} \ quad k_ {y} = {\ Frac {m \ pi} {L_ {y}}} \ quad m = 1,2,3 \ kropki}$

Ograniczenie liczby fal do tych wartości ogranicza również częstotliwości, które rezonują do

${\ Displaystyle \ omega = c \ pi {\ sqrt {\ lewo ({\ Frac {n} {L_ {x}}} \ po prawej) ^ {2} + \ lewo ({\ Frac {m} {L_ {y }}}\prawo)^{2}}}.}$

Jeżeli warunki początkowe dla z ( x , y ,0) i jego pochodną czasową ż ( x , y ,0) są tak wybrane, że zależność t jest funkcją cosinusową, to fale stojące dla tego układu przyjmują postać

${\ Displaystyle z (x, y, t) = z_ {\ tekst {max}} \ grzech \ lewo ({\ Frac {n \ pi x} {L_ {x}}} \ po prawej) \ grzech \ lewo ({ \frac {m\pi r}{L_{y}}}\prawo)\cos \left(\omega t\prawo).}$

${\ Displaystyle n = 1,2,3 \ kropki \ quad m = 1,2, 3 \ kropki}$

Tak więc fale stojące wewnątrz tej ustalonej prostokątnej granicy oscylują w czasie przy pewnych częstotliwościach rezonansowych sparametryzowanych przez liczby całkowite n i m . Ponieważ oscylują w czasie, nie przemieszczają się, a ich zmienność przestrzenna jest sinusoidalna zarówno w kierunkach x, jak i y, tak że spełniają warunki brzegowe. Mod podstawowy, n = 1 i m = 1 , ma pojedynczy anty-węzeł w środku prostokąta. Zmienianie n i m daje skomplikowane, ale przewidywalne dwuwymiarowe wzory węzłów i antywęzłów wewnątrz prostokąta.

Zauważ, że w zależności od dyspersji w pewnych sytuacjach różne mody – czyli różne kombinacje n i m – mogą rezonować z tą samą częstotliwością, mimo że mają różne kształty dla swojej zależności x i y . Na przykład, jeśli granica jest kwadratowa, L _x = L _y , mody n = 1 i m = 7 , n = 7 i m = 1 oraz n = 5 i m = 5 wszystkie rezonują przy

${\ Displaystyle \ omega = {\ Frac {c \ pi} {L_ {x}}} {\ sqrt {50}}.}$

Przypominając, że ω określa wartość własną w powyższym równaniu Helmholtza, liczba trybów odpowiadająca każdej częstotliwości odnosi się do krotności częstotliwości jako wartości własnej.

Stosunek fali stojącej, faza i transfer energii

Jeśli dwie przeciwnie poruszające się fale biegnące nie mają tej samej amplitudy, nie zniosą się całkowicie w węzłach, punktach, w których fale są przesunięte w fazie o 180°, więc amplituda fali stojącej nie będzie równa zero w węzłach, ale tylko minimum. Współczynnik fali stojącej (SWR) to stosunek amplitudy w antywęźle (maksimum) do amplitudy w węźle (minimum). Czysta fala stojąca będzie miała nieskończony SWR. Będzie również miał stałą fazę w dowolnym punkcie przestrzeni (ale może podlegać odwróceniu o 180° co pół cyklu). Skończony, niezerowy SWR oznacza falę, która jest częściowo nieruchoma, a częściowo przemieszczająca się. Takie fale można rozłożyć na superpozycję dwóch fal: składowej fali bieżącej i składowej fali stacjonarnej. SWR równy jeden wskazuje, że fala nie ma składowej stacjonarnej – jest to fala czysto biegnąca, ponieważ stosunek amplitud jest równy 1.

Czysta fala stojąca nie przenosi energii ze źródła do miejsca przeznaczenia. Jednak fala nadal podlega stratom w ośrodku. Straty takie objawią się jako skończony SWR, wskazujący na składową falę biegnącą opuszczającą źródło w celu dostarczenia strat. Mimo że SWR jest teraz skończony, nadal może się zdarzyć, że energia nie dotrze do miejsca przeznaczenia, ponieważ komponent podróżujący wyłącznie dostarcza straty. Jednak w bezstratnym medium skończony SWR oznacza określony transfer energii do miejsca przeznaczenia.

Przykłady

Jednym z łatwych przykładów na zrozumienie fal stojących są dwie osoby potrząsające jednym końcem skakanki . Jeśli drgają synchronicznie, lina może tworzyć regularny wzór fal oscylujących w górę iw dół, z nieruchomymi punktami wzdłuż liny, gdzie lina jest prawie nieruchoma (węzły) i punktami, w których łuk liny jest maksymalny (anty-węzły).

Rezonans akustyczny

Fale stojące obserwuje się również w ośrodkach fizycznych, takich jak struny i kolumny powietrza. Wszelkie fale przemieszczające się wzdłuż ośrodka odbiją się z powrotem, gdy dotrą do końca. Efekt ten jest najbardziej widoczny w instrumentach muzycznych, gdzie w różnych wielokrotności wibracyjnego strun lub powietrza kolumnie „S naturalnej częstotliwości , fala stojąca jest utworzone, co pozwala harmonicznych identyfikację. Węzły występują na końcach stałych, a antywęzły na końcach otwartych. Jeśli są ustalone tylko na jednym końcu, dostępne są tylko nieparzyste harmoniczne. Na otwartym końcu rury anty-węzeł nie będzie znajdował się dokładnie na końcu, ponieważ jest on zmieniany przez kontakt z powietrzem i dlatego stosuje się korekcję końca, aby umieścić go dokładnie. Gęstość struny wpłynie na częstotliwość, z jaką będą wytwarzane harmoniczne; im większa gęstość, tym niższa musi być częstotliwość, aby wytworzyć falę stojącą o tej samej harmonicznej.

Widzialne światło

Fale stojące obserwuje się również w ośrodkach optycznych, takich jak falowody optyczne i wnęki optyczne . Lasery wykorzystują wnęki optyczne w postaci pary skierowanych zwierciadeł, które stanowią interferometr Fabry'ego-Pérot'a . Średni przyrost w zagłębieniu (taki jak kryształ ) emituje światło w spójny , ekscytujące stałych fal światła do wnęki. Długość fali światła jest bardzo krótka (w zakresie nanometrów , ^10-9 m), więc fale stojące są mikroskopijnych rozmiarów. Jednym z zastosowań stojących fal świetlnych jest pomiar małych odległości za pomocą płaskowników optycznych .

promienie rentgenowskie

Interferencja między wiązkami promieniowania rentgenowskiego może tworzyć pole fali stojącej promieniowania rentgenowskiego (XSW). Ze względu na krótką długość fali promieniowania rentgenowskiego (poniżej 1 nanometra) zjawisko to można wykorzystać do pomiaru zdarzeń w skali atomowej na powierzchniach materiałów . XSW generowana jest w obszarze, w którym X-ray koliduje z ramieniem w ugiętej wiązki jest prawie idealne monokryształu powierzchni lub odbicie od zwierciadła rentgenowskiej . Dostrajając geometrię kryształu lub długość fali promieniowania rentgenowskiego, XSW można przemieszczać w przestrzeni, powodując przesunięcie fluorescencji promieniowania rentgenowskiego lub wydajności fotoelektronów z atomów w pobliżu powierzchni. Przesunięcie to można przeanalizować, aby wskazać lokalizację określonego rodzaju atomu w stosunku do leżącej pod spodem struktury kryształu lub powierzchni lustra. Metoda XSW została wykorzystana do wyjaśnienia szczegółów w skali atomowej domieszek w półprzewodnikach, adsorpcji atomowej i molekularnej na powierzchniach oraz przemian chemicznych związanych z katalizą .

Fale mechaniczne

Fale stojące mogą być mechanicznie indukowane do stałego ośrodka za pomocą rezonansu. Jednym łatwym do zrozumienia przykładem są dwie osoby potrząsające jednym końcem skakanki. Jeśli drgają synchronicznie, lina utworzy regularny wzór z węzłami i antywęzłami i będzie wydawała się nieruchoma, stąd nazwa fala stojąca. Podobnie belka wspornikowa może mieć nałożoną na nią falę stojącą poprzez zastosowanie wzbudzenia bazowego. W tym przypadku wolny koniec przesuwa się w bok o największą odległość w porównaniu do dowolnego miejsca wzdłuż belki. Takie urządzenie może służyć jako czujnik do śledzenia zmian częstotliwości lub fazy rezonansu światłowodu. Jednym z zastosowań jest urządzenie pomiarowe do metrologii wymiarowej .

Fale sejsmiczne

Stojące fale powierzchniowe na Ziemi są obserwowane jako swobodne oscylacje Ziemi .

Fale Faradaya

Faradaya fali jest nieliniowy fali stojącej na powierzchni międzyfazowej powietrze-ciecz indukowanej przez hydrodynamicznego niestabilności. Może być używany jako szablon na bazie cieczy do montażu materiałów w mikroskali.

Zobacz też

Fale

Elektronika

Uwagi

Bibliografia

• Halliday, Dawidzie; Resnicka, Roberta; Walker, Jearl (2005). Podstawy fizyki (wyd. 7). John Wiley & Synowie. Numer ISBN 0-471-42959-7.
• Serway, Raymond A.; Faughn, Jerry S. (1992). Fizyka Kolegium (3rd ed.). Wydawnictwo Saunders College. Numer ISBN 0-03-076377-0.
• Ulice, J. (2010). „Rozdział 16 – Superpozycja i fale stojące” (PDF) . Wydział Fizyki. PHYS122 Podstawy fizyki II. Uniwersytet Maryland . Źródło 23 sierpnia 2020 .

Zewnętrzne linki

• Multimedia związane z falami stojącymi w Wikimedia Commons