Stan stacjonarny - Stationary state

Stan stacjonarny jest stan kwantowy wszystkich obserwabli niezależne od czasu. Jest to wektor własny operatora energii (zamiast kwantowej superpozycji różnych energii). Nazywana jest również energia wektor własny , eigenstate energii , funkcja własna energia lub energia eigenket . Jest to bardzo podobne do koncepcji orbitali atomowych i orbitali molekularnych w chemii, z pewnymi drobnymi różnicami wyjaśnionymi poniżej .

Wstęp

Oscylator harmoniczny w mechanice (A-B) i mechaniki kwantowej (C-H). W (A-B) kula przymocowana do sprężyny oscyluje tam iz powrotem. (C–H) to sześć rozwiązań równania Schrödingera dla tej sytuacji. Oś pozioma to pozycja, oś pionowa to część rzeczywista (niebieska) lub część urojona (czerwona) funkcji falowej . (C,D,E,F), ale nie (G,H), to stany stacjonarne lub fale stojące . Częstotliwość drgań fali stojącej razy stała Plancka jest energią stanu.

Stan stacjonarny nazywany jest stacjonarnym, ponieważ system pozostaje w tym samym stanie w miarę upływu czasu, w każdy możliwy do zaobserwowania sposób. Dla jednocząstkowego hamiltonianu oznacza to, że cząstka ma stały rozkład prawdopodobieństwa dla swojej pozycji, jej prędkości, jej spinu itp. (Jest to prawda przy założeniu, że środowisko cząstki jest również statyczne, tj. hamiltonian jest niezmienny w czasie). Sama funkcja falowa nie jest nieruchoma: stale zmienia swój całkowity współczynnik fazy złożonej , tak aby utworzyć falę stojącą . Częstotliwość drgań fali stojącej pomnożona przez stałą Plancka , to energia stanu zgodnie z relacją Plancka-Einsteina .

Stany stacjonarne to stany kwantowe będące rozwiązaniami niezależnego od czasu równania Schrödingera :

gdzie

  • jest stanem kwantowym , który jest stanem stacjonarnym, jeśli spełnia to równanie;
  • jest operatorem Hamiltona ;
  • jest liczbą rzeczywistą i odpowiada wartości własnej energii stanu .

Jest to równanie wartości własnej : jest operatorem liniowym w przestrzeni wektorowej, jest wektorem własnym , i jest jego wartością własną.

Jeśli stan stacjonarny jest podłączony do zależnego od czasu równania Schrödingera , wynik jest następujący:

Zakładając, że jest to niezależne od czasu (niezmienne w czasie), równanie to obowiązuje dla dowolnego czasu t . Dlatego jest to równanie różniczkowe opisujące, jak zmienia się w czasie. Jego rozwiązanie to:

Dlatego stan stacjonarny to fala stojąca, która oscyluje z całkowitym współczynnikiem fazy zespolonej , a jej częstotliwość kątowa drgań jest równa energii podzielonej przez .

Właściwości stanu stacjonarnego

Trzy rozwiązania funkcji falowej zależnego od czasu równania Schrödingera dla oscylatora harmonicznego . Po lewej: część rzeczywista (niebieska) i część urojona (czerwona) funkcji falowej. Po prawej: prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w określonej pozycji. Dwa górne wiersze to dwa stany stacjonarne, a dolny to stan superpozycji , który nie jest stanem stacjonarnym. Prawa kolumna ilustruje, dlaczego stany stacjonarne nazywane są „stacjonarnymi”.

Jak pokazano powyżej, stan stacjonarny nie jest matematycznie stały:

Jednak wszystkie obserwowalne własności stanu są w rzeczywistości stałe w czasie. Na przykład, jeśli reprezentuje prostą jednowymiarową funkcję falową pojedynczej cząstki , prawdopodobieństwo, że cząstka znajduje się w lokalizacji x wynosi:

który jest niezależny od czasu t .

Obraz Heisenberga jest alternatywnym matematycznym sformułowaniem mechaniki kwantowej, w której stany stacjonarne są rzeczywiście matematycznie stałe w czasie.

Jak wspomniano powyżej, równania te zakładają, że hamiltonian jest niezależny od czasu. Oznacza to po prostu, że stany stacjonarne są stacjonarne tylko wtedy, gdy reszta systemu jest nieruchoma i również stacjonarna. Na przykład elektron 1s w atomie wodoru jest w stanie stacjonarnym, ale jeśli atom wodoru reaguje z innym atomem, elektron będzie oczywiście zaburzony.

Spontaniczny rozpad

Spontaniczny rozpad komplikuje kwestię stanów stacjonarnych. Na przykład, zgodnie z prostą ( nierelatywistyczną ) mechaniką kwantową , atom wodoru ma wiele stanów stacjonarnych: 1s, 2s, 2p itd. są stanami stacjonarnymi. Ale w rzeczywistości tylko stan podstawowy 1s jest naprawdę „stacjonarny”: elektron na wyższym poziomie energii spontanicznie wyemituje jeden lub więcej fotonów, aby rozpaść się w stan podstawowy. Wydaje się to sprzeczne z ideą, że stany stacjonarne powinny mieć niezmienne właściwości.

Wyjaśnienie jest takie, że hamiltonian używany w nierelatywistycznej mechanice kwantowej jest tylko przybliżeniem do hamiltonianu z kwantowej teorii pola . Elektrony o wyższych energiach (2s, 2p, 3s itd.) są stanami stacjonarnymi według przybliżonego hamiltonianu, ale nie stacjonarnymi według prawdziwego hamiltonianu, z powodu fluktuacji próżni . Z drugiej strony stan 1s jest rzeczywiście stanem stacjonarnym, zarówno zgodnie z przybliżonym, jak i rzeczywistym hamiltonianem.

Porównanie z „orbitalem” w chemii

Orbital jest stanem stacjonarnym (lub jego przybliżeniem) jednoelektronowego atomu lub cząsteczki; dokładniej, orbital atomowy dla elektronu w atomie lub orbital molekularny dla elektronu w cząsteczce.

Dla cząsteczki, która zawiera tylko jeden elektron (np. atomowy wodór lub H 2 + ), orbital jest dokładnie taki sam jak całkowity stan stacjonarny cząsteczki. Jednak w przypadku cząsteczki wieloelektronowej orbital jest całkowicie różny od całkowitego stanu stacjonarnego, który jest stanem wielocząstkowym wymagającym bardziej skomplikowanego opisu (takiego jak wyznacznik Slatera ). W szczególności w cząsteczce wieloelektronowej orbital nie jest całkowitym stanem stacjonarnym cząsteczki, ale raczej stanem stacjonarnym pojedynczego elektronu w cząsteczce. Ta koncepcja orbitalu ma sens tylko przy przybliżeniu, że jeśli zignorujemy warunki chwilowego odpychania elektron-elektron w hamiltonianie jako założenie upraszczające, możemy rozłożyć całkowity wektor własny cząsteczki wieloelektronowej na oddzielne wkłady z poszczególnych stanów stacjonarnych elektronów (orbitale), z których każdy uzyskuje się w przybliżeniu jednoelektronowym. (Na szczęście chemicy i fizycy mogą często (ale nie zawsze) stosować to „przybliżenie jednoelektronowe”.) W tym sensie, w układzie wieloelektronowym, orbital można uznać za stan stacjonarny pojedynczego elektronu w układzie. .

W chemii obliczenia orbitali molekularnych zazwyczaj zakładają również przybliżenie Borna-Oppenheimera .

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura