Równanie Steinharta-Harta - Steinhart–Hart equation

Równanie Steinhart-Hart jest model oporu z półprzewodnika w różnych temperaturach . Równanie to

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {T}} = A + B \ ln R + C (\ ln R) ^ {3},}$

gdzie

${\displaystyle T}$to temperatura (w kelwinach ),

${\ Displaystyle R}$jest rezystancją w (w omach),${\displaystyle T}$

${\ Displaystyle A}$, , i są współczynnikami Steinharta-Harta , które różnią się w zależności od typu i modelu termistora oraz interesującego zakresu temperatur.${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle C}$

Zastosowania równania

Równanie jest często używane do określenia dokładnej temperatury termistora, ponieważ zapewnia bliższe przybliżenie rzeczywistej temperatury niż prostsze równania i jest przydatne w całym zakresie temperatur roboczych czujnika. Współczynniki Steinharta-Harta są zwykle publikowane przez producentów termistorów.

Jeżeli współczynniki Steinharta-Harta nie są dostępne, można je wyprowadzić. Dokonuje się trzech dokładnych pomiarów rezystancji w ściśle określonych temperaturach, a następnie współczynniki uzyskuje się rozwiązując jednocześnie trzy równania .

Odwrotność równania

Aby znaleźć opór półprzewodnika w danej temperaturze, należy użyć odwrotności równania Steinharta-Harta. Patrz nota aplikacyjna „Współczynniki A, B, C dla równania Steinharta–Harta”.

${\ Displaystyle R = \ exp \ lewo ({\ sqrt [{3}] {yx/2}} - {\ sqrt [{3}] {y + x/2}} \ prawej),}$

gdzie

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} x & = {\ Frac {1} {C}} \ lewo (A-{\ Frac {1} {T}} \ po prawej), \ \ y = {\ sqrt {\ po lewej ({\frac {B}{3C}}\right)^{3}+{\frac {x^{2}}{4}}}}.\end{wyrównany}}}$

Współczynniki Steinharta-Harta

Aby znaleźć współczynniki Steinharta-Harta, musimy znać co najmniej trzy punkty pracy. W tym celu używamy trzech wartości danych rezystancji dla trzech znanych temperatur.

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} 1 & \ ln R_ {1} i \ ln ^ {3}R_ {1} \ \ 1 i \ ln R_ {2} i \ ln ^ {3} R_ {2} \ \ 1 & \ln R_{3}&\ln ^{3}R_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A\\B\\C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{ \frac {1}{T_{1}}}\\{\frac {1}{T_{2}}}\\{\frac {1}{T_{3}}}\end{bmatrix}}}$

Za pomocą , oraz wartości rezystancji w temperaturach , i , można wyrazić , i (wszystkie obliczenia): ${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle R_{3}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle T_{3}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle C}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} L_ {1} i = \ ln R_ {1} \ quad L_ {2} = \ ln R_ {2} \ quad L_ {3} = \ ln R_ {3} \ \Y_{1}&={\frac {1}{T_{1}}},\quad Y_{2}={\frac {1}{T_{2}}},\quad Y_{3}={ \frac {1}{T_{3}}}\\\gamma _{2}&={\frac {Y_{2}-Y_{1}}{L_{2}-L_{1}}},\ quad \gamma _{3}={\frac {Y_{3}-Y_{1}}{L_{3}-L_{1}}}\\\Rightarrow C&=\left({\frac {\gamma _ {3}-\gamma _{2}}{L_{3}-L_{2}}}\prawo)\lewo(L_{1}+L_{2}+L_{3}\prawo)^{-1 }\\\Rightarrow B&=\gamma _{2}-C\lewo(L_{1}^{2}+L_{1}L_{2}+L_{2}^{2}\prawo)\\\ Rightarrow A&=Y_{1}-\left(B+L_{1}^{2}C\right)L_{1}\end{aligned}}}$

Twórcy równania

Równanie nosi imię Johna S. Steinharta i Stanleya R. Harta, którzy po raz pierwszy opublikowali tę zależność w 1968 roku. Profesor Steinhart (1929–2003), członek Amerykańskiej Unii Geofizycznej i Amerykańskiego Stowarzyszenia Postępu Naukowego , był członek wydziału Uniwersytetu Wisconsin-Madison w latach 1969-1991. Dr Hart, starszy naukowiec w Woods Hole Oceanographic Institution od 1989 i członek Geological Society of America , American Geophysical Union, Geochemical Society i European Association geochemii , był związany z profesorem Steinhartem w Carnegie Institution of Washington, kiedy to równanie zostało opracowane.

Wyprowadzenie i alternatywy

Najbardziej ogólną postać równania można wyprowadzić z rozszerzenia równania parametru B do serii nieskończonej:

${\ Displaystyle R = R_ {0}e ^ {B \ lewo ({\ Frac {1} {T}} - {\ Frac {1} {T_ {0}}} \ prawej)}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {T}} = {\ Frac {1} {T_{0}}} + {\ Frac {1} {B}} \ lewo (\ ln {\ Frac {R} R_{0}}}\right)=a_{0}+a_{1}\ln {\frac {R}{R_{0}}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {T}} = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ lewo (\ ln {\ Frac {R} {R_ {0}}} \ prawo)^{n}}$

${\displaystyle R_{0}}$jest referencyjną (standardową) wartością rezystancji. Równanie Steinharta-Harta zakłada, że wynosi 1 om. Dopasowanie krzywej jest znacznie mniej dokładne, gdy założy się ją i zastosuje inną wartość, np. 1 kΩ. Jednak użycie pełnego zestawu współczynników pozwala uniknąć tego problemu, ponieważ powoduje po prostu przesunięcie parametrów. ${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle a_{2}=0}$${\displaystyle R_{0}}$

W oryginalnym artykule Steinhart i Hart zauważają, że dopuszczenie pogorszyło dopasowanie. Jest to zaskakujące, ponieważ pozostawienie większej swobody zwykle poprawia dopasowanie. Może to być spowodowane tym, że autorzy pasowali zamiast , a zatem błąd zwiększał się z dodatkowej swobody. Kolejne artykuły znalazły wielką korzyść w dopuszczeniu . ${\displaystyle a_{2}\neq 0}$${\ Displaystyle 1/T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle a_{2}\neq 0}$

Równanie zostało opracowane poprzez testowanie metodą prób i błędów wielu równań i wybrane ze względu na prostą formę i dobre dopasowanie. Jednak w swojej pierwotnej postaci równanie Steinharta-Harta nie jest wystarczająco dokładne dla współczesnych pomiarów naukowych. W przypadku interpolacji przy użyciu niewielkiej liczby pomiarów, rozszerzenie serii o okazało się dokładne w granicach 1 mK w skalibrowanym zakresie. Niektórzy autorzy zalecają używanie . Jeśli istnieje wiele punktów danych, standardowa regresja wielomianowa może również generować dokładne dopasowania krzywych. Niektórzy producenci zaczęli dostarczać współczynniki regresji jako alternatywę dla współczynników Steinharta-Harta. ${\displaystyle n=4}$${\displaystyle n=5}$

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• Kalkulator współczynnika Steinharta-Harta online
• Kalkulator współczynnika Steinharta-Harta Java