Linia (geometria) - Line (geometry)

Czerwone i niebieskie linie na tym wykresie mają to samo nachylenie (gradient) ; czerwona i zielona linia mają ten sam punkt przecięcia y (przecinają oś y w tym samym miejscu).
Reprezentacja jednego segmentu liniowego .

W geometrii pojęcie linii lub linii prostej zostało wprowadzone przez starożytnych matematyków, aby przedstawiać obiekty proste (tj. bez krzywizny ) o znikomej szerokości i głębokości. Linie są idealizacją takich obiektów, które często opisuje się za pomocą dwóch punktów (np. ) lub odwołuje się do jednej litery (np . ).

Do XVII wieku linie definiowano jako „[...] pierwszy rodzaj ilości, który ma tylko jeden wymiar, mianowicie długość, bez żadnej szerokości ani głębokości i jest niczym innym jak przepływem lub przebiegiem punktu, który [ ...] pozostawi po swoim wyimaginowanym przesunięciu jakiś ślad na długości, bez jakiejkolwiek szerokości. [...] Linia prosta jest tą, która jest równo rozciągnięta między jej punktami."

Euclid opisał linię jako „długość bez szerokości”, która „leży jednakowo w odniesieniu do punktów na sobie”; wprowadził kilka postulatów jako podstawowych niedowodliwych własności, z których skonstruował całą geometrię, którą obecnie nazywa się geometrią euklidesową, aby uniknąć pomyłki z innymi geometriami, które zostały wprowadzone od końca XIX wieku (takimi jak geometria nieeuklidesowa , rzutowa i afiniczna). ).

We współczesnej matematyce, biorąc pod uwagę mnogość geometrii, pojęcie linii jest ściśle związane ze sposobem opisu geometrii. Na przykład w geometrii analitycznej linia na płaszczyźnie jest często definiowana jako zbiór punktów, których współrzędne spełniają dane równanie liniowe , ale w bardziej abstrakcyjnym ustawieniu, takim jak geometria padania , linia może być niezależnym obiektem, różnym od zbiór punktów, które na nim leżą.

Kiedy geometrię opisuje się zbiorem aksjomatów , pojęcie prostej zwykle pozostaje niezdefiniowane (tzw. obiekt pierwotny ). Własności linii są następnie określane przez aksjomaty, które się do nich odnoszą. Jedną z zalet tego podejścia jest elastyczność, jaką daje użytkownikom geometrii. Zatem w geometrii różniczkowej prosta może być interpretowana jako geodezyjna (najkrótsza droga między punktami), podczas gdy w niektórych geometriach rzutowych linia jest dwuwymiarową przestrzenią wektorową (wszystkie kombinacje liniowe dwóch niezależnych wektorów). Ta elastyczność wykracza również poza matematykę i na przykład pozwala fizykom myśleć o torze promienia świetlnego jako o linii.

Definicje a opisy

Wszystkie definicje mają ostatecznie charakter kołowy , ponieważ zależą od pojęć, które same muszą mieć definicje, zależność, która nie może być kontynuowana w nieskończoność bez powrotu do punktu wyjścia. Aby uniknąć tego błędnego koła, pewne pojęcia muszą być traktowane jako pojęcia pierwotne ; terminy, którym nie podano definicji. W geometrii często jest tak, że pojęcie linii jest traktowane jako prymityw. W tych sytuacjach, w których linia jest zdefiniowanym pojęciem, jak w geometrii współrzędnych , niektóre inne fundamentalne idee są traktowane jako prymitywy. Kiedy pojęcie linii jest prymitywne, zachowanie i właściwości linii są podyktowane aksjomatami, które muszą spełniać.

W nieaksjomatycznym lub uproszczonym aksjomatycznym ujęciu geometrii, pojęcie pierwotnego pojęcia może być zbyt abstrakcyjne, aby się nim zająć. W tej sytuacji możliwe jest przedstawienie opisu lub mentalnego obrazu pojęcia pierwotnego, dającego podstawę do zbudowania pojęcia, na którym formalnie opierałoby się na (niewypowiedzianych) aksjomatach. Opisy tego typu mogą być przez niektórych autorów określane jako definicje w tym nieformalnym stylu prezentacji. Nie są to definicje prawdziwe i nie mogą być stosowane w formalnych dowodach twierdzeń. „Definicja” linii w Elementach Euklidesa należy do tej kategorii. Nawet w przypadku, gdy rozważana jest konkretna geometria (na przykład geometria euklidesowa ), nie ma ogólnie przyjętej zgody wśród autorów co do tego, czym powinien być nieformalny opis linii, gdy temat nie jest traktowany formalnie.

W geometrii euklidesowej

Kiedy geometria została po raz pierwszy sformalizowana przez Euklidesa w Elementach , zdefiniował on ogólną linię (prostą lub zakrzywioną) jako „nieskończoną długość” z linią prostą będącą linią „która leży równo z punktami na sobie”. Definicje te są mało przydatne, ponieważ używają terminów, które same w sobie nie są zdefiniowane. W rzeczywistości sam Euclid nie użył tych definicji w tej pracy i prawdopodobnie uwzględnił je tylko po to, aby wyjaśnić czytelnikowi, o czym dyskutowano. We współczesnej geometrii linia jest po prostu traktowana jako niezdefiniowany obiekt o właściwościach podanych przez aksjomaty , ale czasami jest definiowana jako zbiór punktów podlegających liniowej relacji, gdy inne podstawowe pojęcie pozostaje niezdefiniowane.

W aksjomatycznym sformułowaniu geometrii euklidesowej, takim jak sformułowanie Hilberta (oryginalne aksjomaty Euklidesa zawierały różne wady, które zostały poprawione przez współczesnych matematyków), stwierdza się, że prosta ma pewne właściwości, które wiążą ją z innymi liniami i punktami . Na przykład dla dowolnych dwóch odrębnych punktów istnieje unikalna linia je zawierająca, a dowolne dwie różne linie przecinają się co najwyżej w jednym punkcie. W dwóch wymiarach (tj. płaszczyźnie euklidesowej ) dwie linie, które się nie przecinają, nazywane są równoległymi . W wyższych wymiarach dwie linie, które się nie przecinają, są równoległe, jeśli są zawarte w płaszczyźnie , lub ukośne, jeśli tak nie jest.

Dowolny zbiór skończonych wielu linii dzieli płaszczyznę na wypukłe wielokąty (prawdopodobnie nieograniczone); ta partycja nazywana jest układem linii .

We współrzędnych kartezjańskich

Linie na płaszczyźnie kartezjańskiej lub, bardziej ogólnie, we współrzędnych afinicznych , charakteryzują się równaniami liniowymi . Dokładniej, każda linia (łącznie z liniami pionowymi) jest zbiorem wszystkich punktów, których współrzędne ( x , y ) spełniają równanie liniowe ; to jest,

gdzie a , b i c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi (zwanymi współczynnikami ) takimi, że a i b nie są oba zerami. Korzystając z tej formy, pionowe linie odpowiadają równaniom z b = 0.

Można dalej przypuszczać, że c = 1 lub c = 0 , dzieląc wszystko przez c, jeśli nie jest równe zero.

Istnieje wiele różnych sposobów zapisania równania prostej, które można przekształcić z jednego na drugi za pomocą manipulacji algebraicznych. Powyższy formularz jest czasami nazywany formularzem standardowym . Jeśli wyraz stały zostanie umieszczony po lewej stronie, równanie staje się

i to jest czasami nazywane ogólną formą równania. Jednak terminologia ta nie jest powszechnie akceptowana i wielu autorów nie rozróżnia tych dwóch form.

Formy te (zobacz Równanie liniowe dla innych form) są zwykle nazywane według typu informacji (danych) o wierszu, który jest potrzebny do zapisania formularza. Niektóre z ważnych danych linii to jej nachylenie, punkt przecięcia z osią x , znane punkty na linii i punkt przecięcia z osią y.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa różne punkty i może być zapisane jako

.

Jeśli x 0x 1 , to równanie można przepisać jako

lub

Równania parametryczne

Równania parametryczne są również używane do określania linii, szczególnie tych w trzech lub więcej wymiarach, ponieważ w więcej niż dwóch wymiarach linii nie można opisać jednym równaniem liniowym.

W trzech wymiarach linie są często opisywane równaniami parametrycznymi:

gdzie:

x , y i z są funkcjami zmiennej niezależnej t, której zakres obejmuje liczby rzeczywiste.
( x 0 , y 0 , z 0 ) to dowolny punkt na linii.
a , b , i c są powiązane z nachyleniem linii w taki sposób, że wektor kierunku ( a , b , c ) jest równoległy do ​​linii.

Równania parametryczne dla linii o wyższych wymiarach są podobne pod tym względem, że opierają się na określeniu jednego punktu na linii i wektora kierunkowego.

Uwaga, linie w trzech wymiarach można również opisać jako jednoczesne rozwiązania dwóch równań liniowych

takie, że i nie są proporcjonalne (zależności implikują ). Wynika to z tego, że w trzech wymiarach pojedyncze równanie liniowe zazwyczaj opisuje płaszczyznę, a linia jest tym, co wspólne dla dwóch różnych przecinających się płaszczyzn.

Forma przecięcia nachylenia

W dwóch wymiarach równanie dla linii niepionowych jest często podawane w postaci przecięcia nachylenia :

gdzie:

m to nachylenie lub nachylenie linii.
b jest punktem przecięcia y linii.
x jest zmienną niezależną funkcji y = f ( x ).

Nachylenie prostej przechodzącej przez punkty i , gdy , jest podane przez i można zapisać równanie tej prostej .

Forma normalna

Postaci normalnej (zwany również Hesse postaci normalnej , po niemieckim matematyka Ludwig Otto Hesse ) jest oparta na normalnym segmentu dla danej linii, które określa się segment linii wyciągnąć z pochodzenia prostopadle do linii. Ten segment łączy początek z najbliższym punktem na linii względem początku. Postać normalna równania prostej na płaszczyźnie wyraża się wzorem:

gdzie jest kątem nachylenia odcinka normalnego (zorientowany kąt od jednostkowego wektora osi x do tego odcinka), a p jest (dodatnią) długością odcinka normalnego. Postać normalną można wyprowadzić z postaci standardowej , dzieląc wszystkie współczynniki przez

W przeciwieństwie do form przecięcia nachylenia i przecięcia, ta forma może reprezentować dowolną linię, ale wymaga również określenia tylko dwóch parametrów skończonych oraz p . Jeśli p > 0 , to jest jednoznacznie zdefiniowane modulo 2 π . Z drugiej strony, jeśli linia przechodzi przez początek ( c = p = 0 ), odrzuca się c /| c | termin do obliczenia i , a wynika z tego, że jest zdefiniowany tylko modulo π .

We współrzędnych biegunowych

W kartezjańskim płaszczyźnie , współrzędnych biegunowych ( r , θ ) są związane z kartezjańskim układzie współrzędnych z równaniami

We współrzędnych biegunowych można zapisać równanie prostej nie przechodzącej przez początek — punkt o współrzędnych (0, 0)

gdzie r > 0 i Tutaj p jest (dodatnią) długością odcinka prostopadłego do linii i ograniczonego przez początek i linię, i jest (zorientowanym) kątem od osi x do tego odcinka.

Przydatne może być wyrażenie równania w postaci kąta między osią x a linią. W tym przypadku równanie staje się

gdzie r > 0 i

Równania te mogą pochodzić od zwykłego postaci równania linii poprzez ustawienie i i następnie stosując różnicę tożsamości kąt do sinus albo cosinus.

Równania te można również udowodnić geometrycznie , stosując definicje sinusa i cosinusa w trójkącie prostokątnym do trójkąta prostokątnego, który ma punkt prostej i początek jako wierzchołki, a linię i jej prostopadłą przez początek jako boki.

Poprzednie formy nie dotyczą prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych, ale można zapisać prostszy wzór: współrzędne biegunowe punktów prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i tworzącej kąt z osią x , to pary takie że

Jako równanie wektorowe

Równanie wektorowe prostej przechodzącej przez punkty A i B jest podane przez (gdzie λ jest skalarem ).

Jeżeli a jest wektorem OA a b jest wektorem OB , to równanie prostej można zapisać: .

Promień rozpoczynający się w punkcie A jest opisany przez ograniczenie λ. Jeden promień otrzymujemy, jeśli λ ≥ 0, a przeciwny promień pochodzi z λ ≤ 0.

W wyższych wymiarach

W przestrzeni trójwymiarowej , A pierwsze równanie stopnia w zmiennych x , y i z określa płaszczyznę, więc dwie takie równań przewidziane płaszczyzny dają one nie są równoległe, wyznaczają linię, który jest przecięciem płaszczyzn. Bardziej ogólnie, w n- wymiarowej przestrzeni n -1 równań pierwszego stopnia w n zmiennych współrzędnych definiuje linię w odpowiednich warunkach.

W bardziej ogólnym przestrzeni euklidesowej , R n (oraz podobne w każdym innym miejscu afinicznej ) linii L przechodzącej przez dwóch różnych punktach a i b (traktowane jako wektory) jest podzbiorem

Kierunek linii jest od a ( t = 0) do b ( t = 1), czyli w kierunku wektora b  −  a . Różne wybory a i b mogą dać tę samą linię.

Punkty współliniowe

Mówi się, że trzy punkty są współliniowe, jeśli leżą na tej samej linii. Płaszczyznę wyznaczają zazwyczaj trzy punkty , ale w przypadku trzech punktów współliniowych tak się nie dzieje.

We współrzędnych afinicznych , w przestrzeni n- wymiarowej, punkty X = ( x 1 , x 2 , ..., x n ), Y = ( y 1 , y 2 , ..., y n ) i Z = ( z 1 , z 2 , ..., z n ) są współliniowe, jeśli macierz

ma stopień mniejsza niż 3. W szczególności, w trzech punktach w płaszczyźnie ( n = 2), przy czym powyżej matryca jest kwadratowe i punkty są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy czynnikiem decydującym jest zerowy.

Równoważnie dla trzech punktów na płaszczyźnie punkty są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy nachylenie między jedną parą punktów jest równe nachyleniu między dowolną inną parą punktów (w takim przypadku nachylenie między pozostałą parą punktów będzie równe innym nachyleniom) . Co za tym idzie, k punktów na płaszczyźnie jest współliniowych wtedy i tylko wtedy, gdy dowolne ( k –1) pary punktów mają takie same nachylenie par.

W geometrii euklidesowej , w odległości euklidesowej d ( , b ) pomiędzy dwoma punktami i B mogą być stosowane do ekspresji współliniowości między trzema punktami przez:

Punkty a , b i c są współliniowe wtedy i tylko wtedy , gdy d ( x , a ) = d ( c , a ) i d ( x , b ) = d ( c , b ) implikuje x = c .

Istnieją jednak inne pojęcia odległości (takie jak odległość Manhattan ), dla których ta własność nie jest prawdziwa.

W geometriach, w których pojęcie linii jest pojęciem pierwotnym , jak to może mieć miejsce w niektórych geometriach syntetycznych , potrzebne są inne metody określania kolinearności.

Rodzaje linii

W pewnym sensie wszystkie linie w geometrii euklidesowej są równe, w tym sensie, że bez współrzędnych nie można ich od siebie odróżnić. Jednak linie mogą odgrywać szczególną rolę w odniesieniu do innych obiektów w geometrii i być podzielone na typy zgodnie z tą relacją. Na przykład w odniesieniu do stożka ( koła , elipsy , paraboli lub hiperboli ) linie mogą być:

  • linie styczne , które dotykają stożka w jednym punkcie;
  • sieczne , które przecinają stożkową w dwóch punktach i przechodzą przez jej wnętrze;
  • linie zewnętrzne, które nie stykają się ze stożkiem w żadnym punkcie płaszczyzny euklidesowej; lub
  • kierownicą , którego odległość od punktu pomaga ustalić, czy punkt jest stożkowa.

W kontekście określania równoległości w geometrii euklidesowej, poprzeczna to linia przecinająca dwie inne linie, które mogą być równoległe do siebie lub nie.

W przypadku bardziej ogólnych krzywych algebraicznych linie mogą również mieć postać:

  • i -sieczne, spotykające się z krzywą w i punktach liczone bez wielokrotności, lub
  • asymptoty , do których krzywa zbliża się dowolnie blisko, nie dotykając jej.

W odniesieniu do trójkątów mamy:

W przypadku czworoboku wypukłego o co najwyżej dwóch równoległych bokach linia Newtona jest linią łączącą punkty środkowe dwóch przekątnych .

Dla sześciokąta z wierzchołkami leżącymi na stożku mamy linię Pascala , aw szczególnym przypadku, gdy stożka jest parą linii, mamy linię Pappusa .

Linie równoległe to linie w tej samej płaszczyźnie, które nigdy się nie przecinają. Przecinające się linie mają wspólny punkt. Przypadkowe linie pokrywają się ze sobą — każdy punkt, który znajduje się na jednej z nich, jest również na drugim.

Linie prostopadłe to linie, które przecinają się pod kątem prostym .

W przestrzeni trójwymiarowej , proste skośne są linie, które nie są w tej samej płaszczyźnie, a więc nie przecinają się ze sobą.

W geometrii rzutowej

W wielu modelach geometrii rzutowej reprezentacja linii rzadko jest zgodna z pojęciem „krzywej prostej”, jak to jest wizualizowane w geometrii euklidesowej. W geometrii eliptycznej widzimy tego typowy przykład. W sferycznym przedstawieniu geometrii eliptycznej linie są reprezentowane przez wielkie okręgi kuli ze zidentyfikowanymi punktami diametralnie przeciwległymi. W innym modelu geometrii eliptycznej linie są reprezentowane przez płaszczyzny euklidesowe przechodzące przez początek. Mimo że te reprezentacje są wizualnie różne, spełniają wszystkie właściwości (takie jak dwa punkty określające unikalną linię), które czynią je odpowiednimi reprezentacjami dla linii w tej geometrii.

Rozszerzenia

Promień

Mając prostą i dowolny punkt A na niej, możemy uznać, że A rozkłada tę linię na dwie części. Każda taka część nazywana jest promieniem, a punkt A nazywa się jej punktem początkowym . Jest również znany jako półprosta , jednowymiarowa półprzestrzeń . Punkt A jest uważany za członka promienia. Intuicyjnie promień składa się z tych punktów na linii przechodzącej przez A i biegnącej w nieskończoność, zaczynając od A , tylko w jednym kierunku wzdłuż linii. Aby jednak użyć tego pojęcia promienia w dowodzie, potrzebna jest dokładniejsza definicja.

Biorąc pod uwagę różne punkty A i B , wyznaczają one unikalny promień z początkowym punktem A . Ponieważ dwa punkty definiują unikalną linię, promień ten składa się ze wszystkich punktów pomiędzy A i B (w tym A i B ) oraz wszystkich punktów C na linii przechodzącej przez A i B tak, że B znajduje się pomiędzy A i C . Czasami wyraża się to również jako zbiór wszystkich punktów C takich, że A nie znajduje się pomiędzy B i C . Punkt D , na prostej wyznaczonej przez A i B , ale nie w promieniu z początkowym punktem A wyznaczonym przez B , wyznaczy inny promień z początkowym punktem A . W odniesieniu do promienia AB promień AD nazywa się promieniem przeciwnym .

Promień

Zatem powiedzielibyśmy, że dwa różne punkty, A i B , definiują prostą i rozkład tej prostej na rozłączną sumę otwartego odcinka ( A ,  B ) i dwóch promieni BC i AD (punkt D nie jest narysowany na schemacie, ale znajduje się na lewo od A na linii AB ). Nie są to promienie przeciwne, ponieważ mają różne punkty początkowe.

W geometrii euklidesowej dwa promienie o wspólnym punkcie końcowym tworzą kąt .

Definicja promienia zależy od pojęcia pomiędzy punktami na linii. Wynika z tego, że promienie istnieją tylko dla geometrii, dla których istnieje to pojęcie, zazwyczaj geometrii euklidesowej lub geometrii afinicznej nad uporządkowanym polem . Z drugiej strony promienie nie istnieją w geometrii rzutowej ani w geometrii nad ciałem nieuporządkowanym , takim jak liczby zespolone lub jakiekolwiek ciało skończone .

Odcinek

Odcinek jest częścią linii, która jest ograniczona przez dwa różne punkty końcowe i zawiera w każdym punkcie na linii między punktami końcowymi. W zależności od tego, jak zdefiniowany jest segment linii, jeden z dwóch punktów końcowych może, ale nie musi, być częścią segmentu linii. Dwa lub więcej segmentów linii może mieć takie same relacje jak linie, takie jak równoległe, przecinające się lub ukośne, ale w przeciwieństwie do linii mogą nie być żadnym z nich, jeśli są współpłaszczyznowe i albo się nie przecinają, albo są współliniowe .

Geodezja

„Krótkość” i „prostość” linii, interpretowane jako właściwość polegająca na zminimalizowaniu odległości wzdłuż linii pomiędzy dowolnymi dwoma jej punktami (patrz nierówność trójkątów ), można uogólnić i prowadzić do pojęcia geodezji w przestrzeniach metrycznych .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki