Pseudotensor naprężenie-energia-pęd - Stress–energy–momentum pseudotensor

W teorii względności , a pseudotensor stress-energia-pędu , takich jak pseudotensor Landau-Lifshitz , jest przedłużeniem non-grawitacyjne tensor napięć-energii , które łączy w sobie energetyczną tempa grawitacji. Pozwala na określenie energii-pędu układu materii grawitacyjnej. W szczególności pozwala to, aby suma materii plus grawitacyjny pęd-energia utworzył zachowany prąd w ramach ogólnej teorii względności , tak że całkowita energia-pęd przekracza hiperpowierzchnię (3-wymiarową granicę) dowolnej zwartej hiperobjętości czasoprzestrzeni ( 4-wymiarowy podrozmaitość) znika.

Niektórzy (np. Erwin Schrödinger ) sprzeciwiali się temu wyprowadzeniu twierdząc, że pseudotensory są obiektami nieodpowiednimi w ogólnej teorii względności, ale prawo konserwatorskie wymaga jedynie użycia 4- dywergencji pseudotensora, który w tym przypadku jest tensorem (który również znika). Ponadto większość pseudotensorów to sekcje wiązek dżetów , które w ogólnej teorii względności są obecnie rozpoznawane jako doskonale poprawne obiekty.

Pseudotensor Landaua-Lifshitza

Zastosowanie pseudotensor Landau-Lifshitz , naprężeniu energii-pędu pseudotensor kombinowanego masy (w tym fotony i neutrinów) plus grawitacji, umożliwia zasady zachowania energii pędu być rozszerzone do ogólnego wzgl . Odjęcie tensora naprężenie-energia-pędu materii od połączonego pseudotensora daje w wyniku pseudotensor grawitacyjny naprężenie-energia-pęd.

Wymagania

Landau i Lifshitz kierowali się czterema wymaganiami w swoich poszukiwaniach pseudotensora energii pędu grawitacyjnego : ${\ Displaystyle t_ {LL} ^ {\ mu \ nu} \,}$

1. że jest zbudowany całkowicie z tensora metrycznego , tak aby miał pochodzenie czysto geometryczne lub grawitacyjne.
2. aby był indeksowany symetrycznie, tj. (aby zachować moment pędu )${\ Displaystyle t_ {LL} ^ {\ mu \ nu} = t_ {LL} ^ {\ nu \ mu} \}$
3. że po dodaniu do tensora naprężenie-energia materii, jego całkowita 4- dywergencja znika (jest to wymagane od każdego zachowanego prądu ), tak że mamy zachowane wyrażenie na całkowity naprężenie-energia-pęd.${\ Displaystyle T ^ {\ mu \ nu} \}$
4. że znika lokalnie w inercyjnym układzie odniesienia (co wymaga, aby zawierał tylko pochodne metryki pierwszego rzędu, a nie drugiego lub wyższego rzędu ). Dzieje się tak, ponieważ zasada równoważności wymaga, aby w niektórych kadrach pole sił grawitacyjnych, symbole Christoffela , znikały lokalnie. Jeśli energia grawitacyjna jest funkcją jej pola siłowego, jak to zwykle bywa w przypadku innych sił, wówczas powiązany pseudotensor grawitacyjny powinien również zniknąć lokalnie.

Definicja

Landau & Lifshitz wykazali, że istnieje unikalna konstrukcja, która spełnia te wymagania, a mianowicie:

${\ Displaystyle t_ {LL} ^ {\ mu \ nu} = - {\ Frac {c ^ {4}} {8 \ pi G}} G ^ {\ mu \ nu} + {\ Frac {c ^ {4 }}{16\pi G(-g)}}\left((-g)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^ {\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }}$

gdzie:

• G ^μν to tensor Einsteina (który jest zbudowany z metryki)
• g ^μν jest odwrotnością tensora metrycznego
• g = det( g _μν ) jest wyznacznikiem tensora metrycznego. g < 0 , stąd jego wygląd jako.${\displaystyle -g}$
• ${\textstyle {}_{,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}\,}$są pochodnymi cząstkowymi , a nie pochodnymi kowariantnymi .
• G jest stałą grawitacyjną Newtona .

Weryfikacja

Badając 4 warunki wymagań, widzimy, że pierwsze 3 są stosunkowo łatwe do zademonstrowania:

1. Ponieważ tensor Einsteina , , sam jest skonstruowany z metryki, więc jest${\ Displaystyle G ^ {\ mu \ nu} \}$${\ Displaystyle t_ {LL} ^ {\ mu \ nu}}$
2. Ponieważ tensor Einsteina , jest symetryczny, tak samo jest, ponieważ dodatkowe człony są symetryczne przez kontrolę.${\ Displaystyle G ^ {\ mu \ nu} \}$${\ Displaystyle t_ {LL} ^ {\ mu \ nu}}$
3. Pseudotensor Landaua–Lifshitza jest tak skonstruowany, że po dodaniu do tensora naprężenia–energii materii , jego całkowita 4- dywergencja zanika: . Wynika to z anulowania tensora Einsteina , z tensorem naprężenia-energii , przez równania pola Einsteina ; pozostały termin znika algebraicznie z powodu przemienności pochodnych cząstkowych zastosowanych na indeksach antysymetrycznych.${\ Displaystyle T ^ {\ mu \ nu} \}$${\ Displaystyle \ lewo (\ lewo (-g \ prawo) \ lewo (T ^ {\ mu \ nu} + t_ {LL} ^ {\ mu \ nu} \ po prawej) \ po prawej) _ {\ mu} = 0}$${\ Displaystyle G ^ {\ mu \ nu} \}$${\ Displaystyle T ^ {\ mu \ nu} \}$
4. Pseudotensor Landaua-Lifshitza wydaje się zawierać drugie terminy pochodne w metryce, ale w rzeczywistości jawne terminy drugiej pochodnej w pseudotensorze anulują się z niejawnymi terminami drugiej pochodnej zawartymi w tensorze Einsteina , . Jest to bardziej widoczne, gdy pseudotensor jest bezpośrednio wyrażony w postaci tensora metrycznego lub połączenia Levi-Civita ; tylko pierwsze wyrazy pochodne w metryce przetrwają, a te znikają, gdy rama jest lokalnie bezwładna w dowolnym wybranym punkcie. W rezultacie cały pseudotensor znika lokalnie (znowu w dowolnym wybranym punkcie) , co świadczy o delokalizacji energii-pędu grawitacyjnego.${\ Displaystyle G ^ {\ mu \ nu} \}$${\ Displaystyle t_ {LL} ^ {\ mu \ nu} = 0}$

Stała kosmologiczna

Przy formułowaniu pseudotensora Landaua–Lifshitza powszechnie zakładano, że stała kosmologiczna , , wynosi zero. W dzisiejszych czasach nie przyjmujemy takiego założenia , a wyrażenie wymaga dodania terminu dającego: ${\ Displaystyle \ Lambda \,}$${\ Displaystyle \ Lambda \,}$

${\ Displaystyle t_ {LL} ^ {\ mu \ nu} = - {\ Frac {c ^ {4}} {8 \ pi G}} \ lewo (G ^ {\ mu \ nu} + \ Lambda g ^ { \mu \nu }\right)+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}\left(\left(-g\right)\left(g^{\mu \ nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }}$

Jest to konieczne dla spójności z równaniami pola Einsteina .

Wersje połączenia metrycznego i afinicznego

Landau i Lifshitz zapewniają również dwa równoważne, ale dłuższe wyrażenia dla pseudotensora Landaua-Lifshitza:

• Wersja tensora metrycznego :

  ${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} (-g) \ lewo (t_ {LL} ^ {\ mu \ nu} + {\ Frac {c ^ {4} \ Lambda g ^ {\ mu \ nu}} {8 \pi G}}\right)={\frac {c^{4}}{16\pi G}}{\bigg [}&\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \nu }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\alpha \beta }\right)_{,\beta }-\left({\sqrt {-g}} g^{\mu \alpha }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \beta }\right)_{,\beta }+{}\\ &{\frac {1}{8}}\left(2g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right) \left(2g_{\sigma \rho }g_{\lambda \omega }-g_{\rho \lambda }g_{\sigma \omega }\right)\left({\sqrt {-g}}g^{\ sigma \omega }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\rho \lambda }\right)_{,\beta }-{}\\&\left( g^{\mu \alpha }g_{\beta \sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt { -g}}g^{\beta \rho }\right)_{,\alpha }+g^{\nu \alpha }g_{\beta \sigma }\left({\sqrt {-g}}g^ {\mu \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\beta \rho }\right)_{,\alpha }\right)+{}\ \&\left.{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }g_{\alpha \beta }\left({\sqrt {-g}}g^{\alpha \sig ma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\rho \beta }\right)_{,\sigma }+g_{\alpha \beta }g^{ \sigma \rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \alpha }\right)_{,\sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \ beta }\right)_{,\rho }\right]\end{aligned}}}$

• Wersja połączenia afinicznego :

  ${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} t_ {LL} ^ {\ mu \ nu} + {\ Frac {c ^ {4} \ Lambda g ^ {\ mu \ nu}} {8 \ pi G}} = { \frac {c^{4}}{16\pi G}}{\Big [}&\left(2\Gamma _{\alpha \beta }^{\sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^ {\rho }-\Gamma _{\alpha \rho }^{\sigma }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \sigma }^{\sigma }\Gamma _{\beta \rho }^{\rho }\right)\left(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right)+{}\\&\left(\Gamma _{\alpha \rho }^{\nu }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\beta \sigma }^{\nu }\Gamma _{\alpha \rho }^{\rho }-\Gamma _{\sigma \rho }^{\nu }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }- \Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }\right)g^{\mu \alpha }g^{\beta \sigma }+\\ &\left(\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\beta \sigma }^{\mu }\Gamma _ {\alpha \rho }^{\rho }-\Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \beta } ^{\mu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }\right)g^{\nu \alpha }g^{\beta \sigma }+\\&\left.\ left(\Gamma _{\alpha \sigma }^{\mu }\Gamma _{\beta \rho }^{\nu }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\Gamma _{\ sigma \rho }^{\nu }\right)g^{\alpha \beta }g^{\sigma \rho }\right]\end{aligned}}}$

Ta definicja energii-pędu jest kowariantnie stosowana nie tylko w transformacjach Lorentza, ale także w ogólnych transformacjach współrzędnych.

Pseudotensor Einsteina

Ten pseudotensor został pierwotnie opracowany przez Alberta Einsteina .

Paul Dirac wykazał, że mieszany pseudotensor Einsteina

${\ Displaystyle {t_ {\ mu}} ^ {\ nu} = {\ Frac {c ^ {4}}{16 \ pi G {\ sqrt {-g}}}} \ lewo (\ lewo (g ^ { \alpha \beta }{\sqrt {-g}}\right)_{,\mu }\left(\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }-\delta _{\beta }^{\ nu }\Gamma _{\alpha \sigma }^{\sigma }\right)-\delta _{\mu }^{\nu }g^{\alpha \beta }\left(\Gamma _{\alpha \ beta }^{\sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \sigma }^{\rho }\Gamma _{\beta \rho }^{\sigma } \right){\sqrt {-g}}\right)}$

spełnia przepisy prawa ochronnego

${\ Displaystyle \ lewo (\ lewo ({T_ {\ mu}} ^ {\ nu} + {t_ {\ mu}} ^ {\ nu} \ prawej) {\ sqrt {-g}} \ prawej) _ { ,\nu }=0.}$

Najwyraźniej ten pseudotensor dla energii naprężeń grawitacyjnych jest zbudowany wyłącznie z tensora metrycznego i jego pierwszych pochodnych. W konsekwencji znika w każdym przypadku, gdy układ współrzędnych zostanie wybrany tak, aby pierwsze pochodne metryki zniknęły, ponieważ każdy wyraz w pseudotensorze jest kwadratowy w pierwszych pochodnych metryki. Jednak nie jest symetryczny i dlatego nie nadaje się jako podstawa do określenia momentu pędu.

Zobacz też

• Tensor Bela-Robinsona
• Hipoteza lokalizacji energii Cooperstocka
• Fala grawitacyjna

Uwagi

Bibliografia

• Nieliniowe perturbacje i prawa zachowania na zakrzywionych tłach w GR i innych teoriach metrycznych AN Pietrowa
• lantonov.blogspot.com/2012/02/landau-lifshitz-pseudotensor.html