Powierzchnia (matematyka) - Surface (mathematics)

W matematyce , A powierzchnia jest uogólnieniem w płaszczyźnie . W przeciwieństwie do samolotu nie musi być płaska – to znaczy jej krzywizna nie musi wynosić zero. Jest to analogiczne do krzywej uogólniającej linię prostą . Istnieje wiele bardziej precyzyjnych definicji, w zależności od kontekstu i narzędzi matematycznych używanych do analizy powierzchni.

Pojęcie matematyczne idealizuje to, co oznacza powierzchnia w nauce , grafice komputerowej i potocznym języku.

Definicje

Często powierzchnia jest definiowana równaniami , które spełniają współrzędne jej punktów. Jest to przypadek na wykresie z ciągłej funkcji dwóch zmiennych. Zbiór zer funkcji trzech zmiennych to powierzchnia, którą nazywamy niejawną powierzchnią . Jeśli definiującą funkcją trzech zmiennych jest wielomian , powierzchnia jest powierzchnią algebraiczną . Na przykład sfera jednostkowa jest powierzchnią algebraiczną, ponieważ można ją zdefiniować za pomocą niejawnego równania

${\ Displaystyle x ^ {2} + Y ^ {2} + Z ^ {2} -1 = 0.}$

Powierzchnię można również zdefiniować jako obraz , w pewnej przestrzeni o wymiarze co najmniej 3, ciągłej funkcji dwóch zmiennych (wymagane są pewne dodatkowe warunki, aby zapewnić, że obraz nie jest krzywą ). W tym przypadku mówi się, że mamy powierzchnię parametryczną , która jest sparametryzowana przez te dwie zmienne, zwane parametrami . Na przykład sfera jednostkowa może być sparametryzowana kątami Eulera , zwanymi również długością u i szerokością geograficzną v przez

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} x = \ cos (u) \ cos (v) \ \ y = \ sin (u) \ cos (v) \ \ z = \ sin (v) \ ,. \ koniec { wyrównany}}}$

Równania parametryczne powierzchni są często nieregularne w niektórych punktach. Na przykład wszystkie poza dwoma punktami sfery jednostkowej są obrazem, przy powyższej parametryzacji, dokładnie jednej pary kątów Eulera ( modulo 2 π ). Dla pozostałych dwóch punktów ( bieguna północnego i południowego ) jeden ma cos v = 0 , a długość u może przyjmować dowolne wartości. Istnieją również powierzchnie, dla których nie może istnieć pojedyncza parametryzacja obejmująca całą powierzchnię. Dlatego często rozważa się powierzchnie, które są sparametryzowane kilkoma równaniami parametrycznymi, których obrazy pokrywają powierzchnię. Formalizuje to pojęcie rozmaitości : w kontekście rozmaitości, zazwyczaj w topologii i geometrii różniczkowej , powierzchnia jest rozmaitością drugiego wymiaru; Oznacza to, że powierzchnia jest topologiczna przestrzeni tak, że każdy punkt ma w sąsiedztwie których jest homeomorficzny do zbioru otwartego w euklidesowej płaszczyzny (patrz powierzchnia (topologii) i powierzchnia (różnica geometryczna) ). Pozwala to na definiowanie powierzchni w przestrzeniach o wymiarze większym niż trzy, a nawet powierzchni abstrakcyjnych , które nie są zawarte w żadnej innej przestrzeni. Z drugiej strony wyklucza to powierzchnie, które mają osobliwości , takie jak wierzchołek powierzchni stożkowej lub punkty, w których powierzchnia przecina się sama.

W klasycznej geometrii powierzchnia jest ogólnie definiowana jako miejsce położenia punktu lub linii. Na przykład sfera jest miejscem umiejscowienia punktu, który znajduje się w określonej odległości od ustalonego punktu, zwanego środkiem; powierzchnia stożkowa jest miejscem linii przechodzącej przez ustalony punkt i przejście do krzywej ; powierzchni obrotowej jest miejscem krzywej obracającego się wokół osi. Wykluczyć powierzchnia jest miejscem ruchomej linii zgodnej pewne ograniczenia; we współczesnej terminologii powierzchnia rządzona to powierzchnia będąca połączeniem linii.

Terminologia

W tym artykule rozważono i porównano kilka rodzajów powierzchni. Do ich rozróżnienia niezbędna jest więc jednoznaczna terminologia. Dlatego powierzchnie topologiczne nazywamy powierzchniami, które są rozmaitościami wymiaru drugiego (powierzchnie rozpatrywane w Surface (topologia) ). Powierzchnie różniczkowe nazywamy powierzchniami, które są rozmaitościami różniczkowymi (powierzchniami rozważanymi w Powierzchni (geometria różniczkowa) ). Każda różniczkowalna powierzchnia jest powierzchnią topologiczną, ale odwrotność jest fałszywa.

Dla uproszczenia, o ile nie podano inaczej, określenie „powierzchnia” oznacza powierzchnię w euklidesowej przestrzeni o wymiarze 3 lub w R ³ . Powierzchnia, która nie powinna znajdować się w innej przestrzeni, nazywana jest powierzchnią abstrakcyjną .

Przykłady

• Wykres z ciągłej funkcji dwóch zmiennych, określonej przez połączony otwarte podzestawu z R ² jest topologii powierzchni . Jeżeli funkcja jest różniczkowalna , wykres jest powierzchnią różniczkowalną .
• Płaszczyzna jest zarówno algebraiczna powierzchni i różniczkowalną powierzchni. Jest to również powierzchnia rządzona i powierzchnia rewolucji .
• Kołowym cylindrem (to znaczy, że locus linii przejścia okręgu i równolegle do danego kierunku) jest algebraiczna powierzchnię i różniczkowalną powierzchni.
• Okrągły stożkowy (locus linii przejścia koła, i przechodzącej przez stałym punkcie, Apex , która znajduje się na zewnątrz płaszczyzny koła) jest algebraiczna powierzchni, która nie jest różniczkowalną powierzchni. Jeśli usunie się wierzchołek, pozostała część stożka jest połączeniem dwóch zróżnicowanych powierzchni.
• Powierzchnia wielościanu jest powierzchnią topologiczną, która nie jest ani powierzchnią różniczkowalną, ani powierzchnią algebraiczną.
• Hiperboliczny paraboliczną (wykres funkcji oo = xy ) jest różniczkowalną powierzchni oraz algebraiczną powierzchni. Jest to również powierzchnia w linie iz tego powodu jest często wykorzystywana w architekturze .
• Hiperboloidy dwóch arkuszy jest algebraiczna powierzchni i sumą dwóch różniczkowalnych nie przecinające się powierzchnie.

Powierzchnia parametryczna

Parametrycznego powierzchni jest obrazem otwartym podzbiór płaszczyzny euklidesowej (zazwyczaj ) przez funkcji ciągłej , w przestrzeni topologicznej , ogólnie euklidesowa przestrzeń o wymiarze co najmniej trzy. Zwykle funkcja ma być ciągle różniczkowalna i tak będzie zawsze w tym artykule. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

W szczególności, powierzchnia parametryczna w jest dana przez trzy funkcje dwóch zmiennych u i v , zwane parametrami${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} x & = f_ {1} (u, v) \ \ y & = f_ {2} (u, v) \ \ z & = f_ {3} (u, v) \ ,. \ koniec{wyrównany}}}$

Ponieważ obraz takiej funkcji może być krzywą (na przykład, jeśli trzy funkcje są stałe względem v ), wymagany jest dodatkowy warunek, ogólnie, że dla prawie wszystkich wartości parametrów macierz Jakobianu

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} {\ dfrac {\ częściowy f_ {1}}{\ częściowy u}} i {\ dfrac {\ częściowy f_ {1}} \ częściowy V}} \ \ {\ dfrac { \partial f_{2}}{\partial f_}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial v}}\\{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial u}} &{\dfrac {\częściowa f_{3}}{\częściowa v}}\\\end{bmatrix}}}$

ma drugą pozycję . Tutaj „prawie wszystkie” oznacza, że ​​wartości parametrów, w których rang wynosi dwa, zawierają gęsty otwarty podzbiór zakresu parametryzacji. Dla powierzchni w przestrzeni o wyższym wymiarze warunek jest taki sam, z wyjątkiem liczby kolumn macierzy Jakobianu.

Płaszczyzna styczna i wektor normalny

Punkt p, w którym powyższa macierz Jakobian ma drugi rząd, nazywa się regularnym lub, bardziej poprawnie, parametryzacja nazywa się regularnym w p .

Płaszczyzny stycznej w regularnych punktu P jest unikalny płaszczyzna przechodząca przez P i ma kierunek równoległy do obu wektorów rzędu od Jacobiego matrycy. Płaszczyzna styczna jest pojęciem afinicznym , ponieważ jej definicja jest niezależna od wyboru metryki . Innymi słowy, każda transformacja afiniczna mapuje płaszczyznę styczną na powierzchnię w punkcie do płaszczyzny stycznej do obrazu powierzchni na obrazie punktu.

Linia normalna w punkcie powierzchni jest unikalną linią przechodzącą przez punkt i prostopadłą do płaszczyzny stycznej; wektor normalny jest wektor, który jest równoległy do normalnej.

Dla innych różniczkowych niezmienników powierzchni, w sąsiedztwie punktu, zobacz Różnicowa geometria powierzchni .

Punkt nieregularny i punkt osobliwy

Punkt powierzchni parametrycznej, który nie jest regularny, jest nieregularny . Istnieje kilka rodzajów punktów nieregularnych.

Może się zdarzyć, że punkt nieregularny stanie się regularny, jeśli zmieni się parametryzację. Tak jest w przypadku biegunów w parametryzacji jednostce sfery przez kąty Eulera : wystarczy permutacji rola różnych osiach współrzędnych do zmiany biegunów.

Z drugiej strony rozważ okrągły stożek równania parametrycznego

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} x & = t \ cos (u) \ \ y & = t \ sin (u) \ \ z & = t \ \ koniec {wyrównane}}}$

Wierzchołek stożka jest początkiem (0, 0, 0) i jest otrzymywany dla t = 0 . Jest to punkt nieregularny, który pozostaje nieregularny, niezależnie od wybranej parametryzacji (w przeciwnym razie istniałaby unikalna płaszczyzna styczna). Taki punkt nieregularny, w którym płaszczyzna styczna jest nieokreślona, ​​nazywa się liczbą pojedynczą .

Jest jeszcze inny rodzaj pojedynczych punktów. Istnieją punkty samoskrzyżowania , czyli punkty, w których powierzchnia przecina się sama. Innymi słowy są to punkty, które uzyskuje się za (co najmniej) dwie różne wartości parametrów.

Wykres funkcji dwuwymiarowej

Niech z = f ( x , y ) będzie funkcją dwóch zmiennych rzeczywistych. Jest to powierzchnia parametryczna, sparametryzowana jako

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} x&=t\\y&=u\\z&=f(t,u)\,.\koniec {wyrównane}}}$

Każdy punkt tej powierzchni jest regularny, ponieważ dwie pierwsze kolumny macierzy Jakobianu tworzą macierz jednostkową drugiego rzędu.

Racjonalna powierzchnia

Racjonalne powierzchnia jest powierzchnią, które mogą być parametryzowane przez racjonalne funkcji dwóch zmiennych. Oznacza to, że jeśli f _i ( t , u ) są, dla i = 0, 1, 2, 3 , wielomianami w dwóch nieoznaczonych, to powierzchnia parametryczna określona przez

$( t,u)}{f_{0}(t,u)}}\\z&={\frac {f_{3}(t,u)}{f_{0}(t,u)}}\,, \end{wyrównany}}}$

jest racjonalną powierzchnią.

Powierzchnia wymierna jest powierzchnią algebraiczną , ale większość powierzchni algebraicznych nie jest wymierna.

Ukryta powierzchnia

Ukryta powierzchnia w przestrzeni euklidesowej (lub ogólniej w przestrzeni afinicznej ) wymiaru 3 jest zbiorem wspólnych zer funkcji różniczkowalnej trzech zmiennych

${\displaystyle f(x,y,z)=0.}$

Niejawny oznacza, że ​​równanie definiuje domyślnie jedną ze zmiennych jako funkcję innych zmiennych. Jest to dokładniej przez funkcja uwikłana : jeśli f ( x ₀ , y ₀ , oo ₀ ) = 0 , a częściowo pochodnej Z o f nie jest zerem ( x ₀ , y ₀ , oo ₀ ) , a następnie istnieje funkcja różniczkowalna φ ( x , y ) taka, że

${\ Displaystyle f (x, y, \ varphi (x, y)) = 0}$

w sąsiedztwie z ( x ₀ , y ₀ , oo ₀ ) . Innymi słowy, niejawna powierzchnia jest wykresem funkcji w pobliżu punktu powierzchni, gdzie pochodna cząstkowa w z jest niezerowa. Ukryta powierzchnia ma zatem lokalnie reprezentację parametryczną, z wyjątkiem punktów powierzchni, w których trzy pochodne cząstkowe są równe zeru.

Punkty regularne i płaszczyzna styczna

Punkt na powierzchni, w którym przynajmniej jedna cząstkowa pochodna f jest różna od zera, nazywamy regularnym . W takim punkcie płaszczyzna styczna i kierunek normalnej są dobrze zdefiniowane i można je wywnioskować z twierdzeniem o funkcji uwikłanej z definicji podanej powyżej w § Płaszczyzna styczna i wektor normalny . Kierunek normalnej to gradient , czyli wektor ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\ Displaystyle \ lewo [{\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy x}} (x_ {0}, Y_ {0}, z_ {0}), {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy y} }(x_{0},y_{0},z_{0}),{\frac {\partial f}{\partial z}}(x_{0},y_{0},z_{0})\right ].}$

Płaszczyzna styczna jest zdefiniowana przez jej niejawne równanie

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy x}} (x_ {0}, Y_ {0}, z_ {0}) (x-x_ {0}) + {\ Frac {\ częściowy f} {\częściowy y}}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+{\frac {\częściowy f}{\częściowy z}}(x_{0} ,y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0.}$

Punkt osobliwy

Punkt osobliwy na niejawnej powierzchni (w ) to punkt powierzchni, na którym zachodzi niejawne równanie, a wszystkie trzy pochodne cząstkowe jego funkcji definiującej wynoszą zero. Punkty osobliwe są więc rozwiązaniami układu czterech równań w trzech nieoznaczonych. Ponieważ większość takich systemów nie ma rozwiązania, wiele powierzchni nie ma żadnego pojedynczego punktu. Powierzchnia bez punktu osobliwego nazywana jest regularną lub nieosobliwą . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Badanie powierzchni w pobliżu ich punktów osobliwych i klasyfikacja punktów osobliwych to teoria osobliwości . Punkt osobliwy jest izolowany, jeśli w jego sąsiedztwie nie ma innego punktu osobliwego. W przeciwnym razie punkty osobliwe mogą tworzyć krzywą. Dotyczy to w szczególności powierzchni samoprzecinających się.

Powierzchnia algebraiczna

Pierwotnie powierzchnia algebraiczna była powierzchnią, którą można zdefiniować za pomocą niejawnego równania

${\displaystyle f(x,y,z)=0,}$

gdzie f jest wielomianem w trzech nieokreślonych , o rzeczywistych współczynnikach.

Koncepcja została rozszerzona w kilku kierunkach, definiując powierzchnie nad dowolnymi polami oraz rozważając powierzchnie w przestrzeniach o dowolnym wymiarze lub w przestrzeniach rzutowych . Rozważane są również abstrakcyjne powierzchnie algebraiczne, które nie są wyraźnie osadzone w innej przestrzeni.

Powierzchnie nad dowolnymi polami

Wielomiany ze współczynnikami w dowolnym polu są akceptowane do definiowania powierzchni algebraicznej. Jednak pole współczynników wielomianu nie jest dobrze zdefiniowane, ponieważ na przykład wielomian o współczynnikach wymiernych może być również uważany za wielomian o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych . Dlatego pojęcie punktu powierzchni uogólniono w następujący sposób:

Biorąc pod uwagę wielomianu f ( x , y , ż ) , pozwoli K być najmniejszym polu zawierającym współczynniki i K Be algebraicznie zamknięty przedłużenie stanowi k , o nieskończonej stopniu transcendencja . Wtedy punkt powierzchni jest elementem K ^3, który jest rozwiązaniem równania

${\displaystyle f(x,y,z)=0.}$

Jeżeli wielomian ma współczynniki rzeczywiste, to ciało K jest ciałem zespolonym , a punkt powierzchni, do którego należy (zwykły punkt) nazywany jest punktem rzeczywistym . Punkt należący do k ³ nazywamy wymiernym nad k lub po prostu punktem wymiernym , jeśli k jest ciałem liczb wymiernych . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Powierzchnia projekcyjna

Rzutowa powierzchni w przestrzeni rzutowej wymiaru trzeciej jest zbiorem punktów, których współrzędne jednorodne są zerami pojedynczej jednorodnej wielomianu w czterech zmiennych. Ogólnie, powierzchnia projekcyjna jest podzbiorem powierzchni projekcyjnej, która jest rzutowa różne od wymiaru dwóch.

Powierzchnie rzutowe są silnie związane z powierzchniami afinicznymi (to jest zwykłymi powierzchniami algebraicznymi). Przechodzi się z powierzchni rzutowej do odpowiedniej powierzchni afinicznej, ustawiając na jedną pewną współrzędną lub nieokreśloną z definiujących wielomianów (zwykle ostatni). I odwrotnie, przechodzi się z powierzchni afinicznej na skojarzoną z nią powierzchnię rzutową (zwaną uzupełnianiem rzutowym ) przez ujednolicenie wielomianu definiującego (w przypadku powierzchni w przestrzeni o wymiarze trzy) lub przez ujednolicenie wszystkich wielomianów ideału definiującego (dla powierzchni w przestrzeń wyższego wymiaru).

W przestrzeniach wyższych wymiarów

Nie można zdefiniować pojęcia powierzchni algebraicznej w przestrzeni o wymiarze wyższym niż trzy bez ogólnej definicji rozmaitości algebraicznej i wymiaru rozmaitości algebraicznej . W rzeczywistości powierzchnia algebraiczna jest algebraiczną odmianą drugiego wymiaru .

Dokładniej, powierzchnia algebraiczna w przestrzeni o wymiarze n jest zbiorem wspólnych zer co najmniej n – 2 wielomianów, ale te wielomiany muszą spełniać dalsze warunki, których weryfikacja może nie być natychmiastowa. Po pierwsze, wielomiany nie mogą definiować rozmaitości ani zbioru algebraicznego o wyższym wymiarze, co zwykle ma miejsce, gdy jeden z wielomianów znajduje się w ideale wygenerowanym przez inne. Ogólnie rzecz biorąc, n – 2 wielomiany definiują zbiór algebraiczny o wymiarze drugim lub wyższym. Jeśli wymiar wynosi dwa, zbiór algebraiczny może mieć kilka nieredukowalnych składowych . Jeśli istnieje tylko jeden składnik, n – 2 wielomiany definiują powierzchnię, która jest całkowitym przecięciem . Jeśli jest kilka składowych, do wybrania konkretnego składowego potrzebne są dalsze wielomiany.

Większość autorów uważa za powierzchnię algebraiczną tylko odmiany algebraiczne wymiaru drugiego, ale niektórzy uważają również za powierzchnie wszystkie zbiory algebraiczne, których składowe nierozkładalne mają wymiar drugi.

W przypadku powierzchni w przestrzeni o wymiarze trzecim, każda powierzchnia jest całkowitym przecięciem, a powierzchnia jest zdefiniowana przez pojedynczy wielomian, który jest nierozkładalny lub nie, w zależności od tego, czy nierozkładalne zbiory algebraiczne wymiaru drugiego są uważane za powierzchnie albo nie.

Abstrakcyjna powierzchnia algebraiczna

Powierzchnie wymierne są powierzchniami algebraicznymi

Powierzchnia topologiczna

W topologii powierzchnia jest ogólnie definiowana jako rozmaitość drugiego wymiaru. Oznacza to, że powierzchnia topologiczna jest przestrzenią topologiczną takie, że każdy punkt ma otoczenie , które jest homeomorficzny do otwartego podzbioru z euklidesowej płaszczyzny .

Każda powierzchnia topologiczna jest homeomorficzna z powierzchnią wielościenną, tak że wszystkie fasetki są trójkątami . Kombinatoryczne badania takich układów trójkątów (lub, bardziej ogólnie, wyższe wymiary sympleksów ) jest przedmiotem wyjściowy algebraicznej topologii . Pozwala to na scharakteryzowanie właściwości powierzchni w kategoriach czysto algebraicznych niezmienników , takich jak rodzaj i grupy homologii .

Klasy homeomorfizmu powierzchni zostały całkowicie opisane (patrz Powierzchnia (topologia) ).

Zróżnicowana powierzchnia

Powierzchnia fraktalna

W grafice komputerowej

Zobacz też

• Element pola , pole elementu różniczkowego powierzchni
• Powierzchnie współrzędnych
• Nadpowierzchnia
• Obwód , dwuwymiarowy odpowiednik
• Powierzchnia wielościenna
• Kształt
• Funkcja odległości ze znakiem
• Solidna figura
• Powierzchnia
• Całka powierzchniowa

Uwagi