Powierzchnia (topologia) — Surface (topology)

Otwarta powierzchnia o x -, Y -, i z -contours pokazane.

W części matematyki dalej topologii , A powierzchnia jest dwuwymiarowy kolektora . Niektóre powierzchnie powstają jako granice trójwymiarowych brył; na przykład kula jest granicą bryły kuli. Inne powierzchnie powstają jako wykresy funkcji dwóch zmiennych; zobacz rysunek po prawej. Jednak powierzchnie można również definiować abstrakcyjnie, bez odniesienia do jakiejkolwiek przestrzeni otoczenia. Na przykład butelka Kleina to powierzchnia, której nie można osadzić w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej .

Powierzchnie topologiczne są czasami wyposażone w dodatkowe informacje, takie jak metryka riemannowska lub złożona struktura, która łączy je z innymi dyscyplinami matematyki, takimi jak geometria różniczkowa i analiza złożona . Do modelowania powierzchni w świecie fizycznym można użyć różnych matematycznych pojęć powierzchni .

Ogólnie

W matematyce , A powierzchnia ma kształt geometryczny podobny odkształconą powierzchnię . Najbardziej znane przykłady to granice ciał stałych w zwykłej trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej R 3 , takiej jak kule . Dokładna definicja powierzchni może zależeć od kontekstu. Zazwyczaj w geometrii algebraicznej powierzchnia może się przecinać (i może mieć inne osobliwości ), podczas gdy w topologii i geometrii różniczkowej może nie.

Powierzchnia jest przestrzenią dwuwymiarową ; oznacza to, że poruszający się punkt na powierzchni może poruszać się w dwóch kierunkach (ma dwa stopnie swobody ). Innymi słowy, wokół prawie każdego punktu znajduje się obszar współrzędnych, na którym zdefiniowany jest dwuwymiarowy układ współrzędnych . Na przykład powierzchnia Ziemi przypomina (idealnie) dwuwymiarową kulę , a szerokość i długość geograficzna zapewniają na niej dwuwymiarowe współrzędne (z wyjątkiem biegunów i wzdłuż 180 południka ).

Pojęcie powierzchni jest szeroko stosowane w fizyce , inżynierii , grafice komputerowej i wielu innych dyscyplinach, przede wszystkim w przedstawianiu powierzchni obiektów fizycznych. Na przykład, analizując właściwości aerodynamiczne samolotu , głównym czynnikiem jest przepływ powietrza wzdłuż jego powierzchni.

Definicje i pierwsze przykłady

(Topologii) powierzchnia jest topologiczna miejsca , w którym każdy punkt ma otwartą sąsiedztwa homeomorficzną do pewnego zbioru otwartego euklidesowa płaszczyzny E 2 . Takie sąsiedztwo, wraz z odpowiadającym mu homeomorfizmem, nazywamy wykresem (współrzędnym) . To dzięki temu wykresowi sąsiedztwo dziedziczy standardowe współrzędne na płaszczyźnie euklidesowej. Współrzędne te są znane jako współrzędne lokalne i te homeomorfizmy prowadzą nas do opisania powierzchni jako lokalnie euklidesowych .

W większości pism na ten temat często zakłada się, w sposób wyraźny lub dorozumiany, że jako przestrzeń topologiczna powierzchnia jest również niepusta, policzalna do sekund oraz Hausdorff . Często zakłada się również, że rozważane powierzchnie są połączone.

W dalszej części tego artykułu założymy, o ile nie określono inaczej, że powierzchnia jest niepusta, Hausdorffa, policzalna w sekundach i połączona.

Bardziej ogólnie, powierzchnia (topologiczna) z granicą jest przestrzenią topologiczną Hausdorffa, w której każdy punkt ma otwarte sąsiedztwo homeomorficzne z pewnym otwartym podzbiorem domknięcia górnej półpłaszczyzny H 2 w C . Te homeomorfizmy są również znane jako wykresy (współrzędne) . Granicą górnej półpłaszczyzny jest oś x . Punkt na powierzchni odwzorowany na wykresie na osi x nazywany jest punktem granicznym . Zbiór takich punktów jest znany jako granica powierzchni, która z konieczności jest jednorozmaitością, to jest połączeniem zamkniętych krzywych. Z drugiej strony punkt odwzorowany powyżej osi x jest punktem wewnętrznym . Zbiór punktów wewnętrznych to wnętrze powierzchni, które zawsze nie jest puste . Zamknięty dysk jest prostym przykładem powierzchni z granicą. Granicą dysku jest koło.

Termin powierzchnia używany bez kwalifikacji odnosi się do powierzchni bez obwiedni. W szczególności powierzchnia z pustą granicą jest powierzchnią w zwykłym sensie. Powierzchnia z pustą granicą, która jest zwarta, nazywana jest powierzchnią „zamkniętą”. Dwuwymiarowa kula, dwuwymiarowy torus i rzeczywista płaszczyzna rzutowa są przykładami zamkniętych powierzchni.

Taśmy Möbiusa jest powierzchnią, na której różnica pomiędzy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara i może być określona na miejscu, a nie na całym świecie. Ogólnie mówi się, że powierzchnia nadaje się do orientacji, jeśli nie zawiera homeomorficznej kopii paska Möbiusa; intuicyjnie ma dwie różne „strony”. Na przykład sferę i torus można orientować, podczas gdy rzeczywista płaszczyzna rzutowa nie jest (ponieważ rzeczywista płaszczyzna rzutowa z usuniętym jednym punktem jest homeomorficzna z otwartą wstęgą Möbiusa).

W geometrii różniczkowej i algebraicznej do topologii powierzchni dodawana jest dodatkowa struktura. Ta dodana struktura może być strukturą gładkości (umożliwiającą definiowanie map różniczkowalnych do i z powierzchni), metryką Riemanna (umożliwiającą określenie długości i kątów na powierzchni), strukturą złożoną (umożliwiającą zdefiniowanie holomorficznego mapowanie do i z powierzchni — w takim przypadku powierzchnia nazywana jest powierzchnią Riemanna ) lub strukturą algebraiczną (umożliwiającą wykrywanie osobliwości , takich jak samoprzecięcia i wierzchołki, których nie można opisać wyłącznie w kategoriach leżącej u ich podstaw topologii ).

Zewnętrznie zdefiniowane powierzchnie i osadzenia

Kula może być zdefiniowana parametrycznie (przez x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ ) lub niejawnie (przez x 2 + y 2 + z 2r 2 = 0 .)

Historycznie powierzchnie były początkowo definiowane jako podprzestrzenie przestrzeni euklidesowych. Często powierzchnie te były locus od zera niektórych funkcji, zazwyczaj funkcji wielomianu. Taka definicja uwzględniała powierzchnię jako część większej (euklidesowej) przestrzeni i jako taka była określana jako zewnętrzna .

W poprzednim rozdziale powierzchnia jest definiowana jako przestrzeń topologiczna o określonych właściwościach, a mianowicie Hausdorffa i lokalnie euklidesowa. Ta przestrzeń topologiczna nie jest uważana za podprzestrzeń innej przestrzeni. W tym sensie powyższa definicja, którą obecnie posługują się matematycy, jest nieodłączna .

Powierzchnia zdefiniowana jako wewnętrzna nie jest wymagana, aby spełnić dodatkowe ograniczenie bycia podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej. Może się wydawać, że niektóre powierzchnie zdefiniowane wewnętrznie nie są powierzchniami w sensie zewnętrznym. Jednak Whitney osadzanie twierdzenie twierdzi każda powierzchnia może w rzeczywistości być osadzone homeomorphically w przestrzeni euklidesowej, w rzeczywistości do E 4 : Do zewnętrznych i wewnętrznych metody okazują się być równoważne.

W rzeczywistości każdy zwarta powierzchnia, która jest albo orientowanego lub ma ograniczający może być osadzony w E 3 ; z drugiej strony, rzeczywista płaszczyzna rzutowa, która jest zwarta, niemożliwa do orientacji i bez granic, nie może być osadzona w E 3 (patrz Gramain). Steiner powierzchni , w tym powierzchni Boy , w Roman powierzchni i przekroju nasadki są modele rzeczywistym rzutowej płaszczyzny E 3 , lecz tylko na powierzchni dziecko jest zanurzona powierzchni . Wszystkie te modele są pojedyncze w miejscach, w których się przecinają.

Alexander rogaty kula jest dobrze znany patologicznych osadzanie dwa-trzy sfery do sfery.

Wiązany torus.

Wybrane osadzenie (jeśli w ogóle) powierzchni w innej przestrzeni jest uważane za informację zewnętrzną; nie jest niezbędny dla samej powierzchni. Na przykład torus może być osadzony w E 3 w „standardowy” sposób (co wygląda jak bajgiel ) lub w sposób zawiązany (patrz rysunek). Dwa osadzone tori są homeomorficzne, ale nie izotopowe : są topologicznie równoważne, ale ich osadzenia nie są.

Obrazu ciągłego, injective funkcji z R 2 o wyższej wymiarów R n mówi się parametrycznego powierzchni . Taki obraz jest tak zwany, ponieważ kierunki x i y domeny R 2 są 2 zmiennymi, które parametryzują obraz. Powierzchnia parametryczna nie musi być powierzchnią topologiczną. Powierzchnia obrotowa może być postrzegana jako szczególny rodzaj parametrycznego powierzchni.

Jeśli f jest gładka funkcja z R 3 do R , której nachylenie jest nawet zerowa, to umiejscowienie od zera z F będzie określić powierzchnię, znany jako utajonego powierzchni . Jeśli warunek nie zanikającego gradientu zostanie odrzucony, wtedy w locus zerowym mogą pojawić się osobliwości.

Konstrukcje z wielokątów

Każda zamknięta powierzchnia może być skonstruowana z wielokąta zorientowanego o parzystej liczbie boków, zwanego wielokątem podstawowym powierzchni, poprzez identyfikację parami jej krawędzi. Na przykład w każdym z poniższych wielokątów dołączenie boków z dopasowanymi etykietami ( A z A , B z B ), tak aby strzałki wskazywały ten sam kierunek, daje wskazaną powierzchnię.

Dowolny wielokąt podstawowy można zapisać symbolicznie w następujący sposób. Rozpocznij od dowolnego wierzchołka i kontynuuj wokół obwodu wielokąta w dowolnym kierunku, aż do powrotu do wierzchołka początkowego. Podczas tego przechodzenia zanotuj kolejno etykietę na każdej krawędzi, z wykładnikiem -1, jeśli krawędź jest skierowana przeciwnie do kierunku przechodzenia. Cztery powyższe modele, po przejściu zgodnie z ruchem wskazówek zegara, zaczynając od lewego górnego rogu, dają plon

  • kula:
  • rzeczywista płaszczyzna rzutowa:
  • torus:
  • Butelka Kleina: .

Zauważ, że sferę i płaszczyznę rzutową można zrealizować jako iloraz 2-kąta, podczas gdy torus i butelka Kleina wymagają 4-kąta (kwadrat).

Wyrażenie więc pochodzi od podstawowej wieloboku powierzchni okazuje się jedynym związek w prezentacji na podstawowej grupy na powierzchni etykiety krawędzi wielokąta jak generatory. Jest to konsekwencja twierdzenia Seiferta–van Kampena .

Klejenie krawędzi wielokątów to specjalny rodzaj ilorazowego procesu przestrzennego . Koncepcja ilorazu może być stosowana w szerszym zakresie do tworzenia nowych lub alternatywnych konstrukcji powierzchni. Na przykład rzeczywistą płaszczyznę rzutową można uzyskać jako iloraz kuli, identyfikując wszystkie pary przeciwnych punktów na kuli. Innym przykładem ilorazu jest suma połączona.

Połączone sumy

Połączone suma dwóch powierzchni M i N , oznaczony K # N , uzyskuje się przez usunięcie tarczy z każdego z nich i sklejenie ich ze sobą elementów brzegowych tego rezultatu. Granica dysku jest kołem, więc te elementy granicy są okręgami. Euler charakterystyczny od M # N jest sumą charakterystyki Eulera tych summands, minus dwa:

Sfera S jest elementem tożsamości dla sumy sprzężonej, co oznacza, że S # M = M . Dzieje się tak, ponieważ usunięcie dysku z kuli pozostawia dysk, który po prostu zastępuje dysk usunięty z M po sklejeniu.

Suma połączona z torusem T jest również opisana jako dołączenie „uchwytu” do drugiej sumy M . Jeśli M jest orientowalne, to tak samo jest z T # M . Połączona suma jest asocjacyjna, więc połączona suma skończonego zbioru powierzchni jest dobrze zdefiniowana.

Połączona suma dwóch rzeczywistych płaszczyzn rzutowych, P # P , jest butelką Kleina K . Połączona suma rzeczywistej płaszczyzny rzutowej i butelki Kleina jest homeomorficzna z połączoną sumą rzeczywistej płaszczyzny rzutowej z torusem; we wzorze P # K = P # T . Zatem suma spójna trzech rzeczywistych płaszczyzn rzutowych jest homeomorficzna z sumą spójną rzeczywistej płaszczyzny rzutowej z torusem. Jakakolwiek suma połączona obejmująca rzeczywistą płaszczyznę rzutową jest niezorientowana.

Zamknięte powierzchnie

Zamknięta powierzchnia jest powierzchnią, która jest kompaktowa i bez granica . Przykładami są przestrzenie takie jak kula , torus i butelka Kleina . Przykładami niezamkniętych powierzchni są: otwarty dysk , który jest kulą z przebiciem; cylindra , która jest sferą w dwóch przebić; i pas Möbiusa . Tak jak w przypadku jakiegokolwiek zamkniętego kolektora , powierzchnię osadzony w przestrzeni euklidesowej, który jest zamknięty w stosunku do dziedzicznej euklidesowej topologii jest nie koniecznie zamknięte powierzchni; na przykład dysk osadzony w nim, który zawiera jego granicę, jest powierzchnią topologicznie zamkniętą, ale nie zamkniętą powierzchnią.

Klasyfikacja powierzchni zamkniętych

Kilka przykładów orientowalnych zamkniętych powierzchni (po lewej) i powierzchni z granicą (po prawej). Po lewej: Niektóre zamknięte powierzchnie, które można orientować, to powierzchnia kuli, powierzchnia torusa i powierzchnia sześcianu. (Sześcian i sfera są topologicznie sobie równoważne.) Po prawej: Niektóre powierzchnie z granicami to powierzchnia dysku , powierzchnia kwadratowa i powierzchnia półkuli. Granice są zaznaczone na czerwono. Wszystkie trzy są topologicznie równoważne.

Twierdzenie klasyfikacja zamknięte powierzchnie wynika, że każdy połączony zamknięta powierzchnia jest homeomorficzny pewnego członka jednej z tych trzech rodzin:

  1. kula,
  2. połączone suma z g torus o g najmniej 1,
  3. spójna suma k rzeczywistych płaszczyzn rzutowych dla k ≥ 1.

Powierzchnie w pierwszych dwóch rodzinach są orientowalne . Wygodnie jest połączyć te dwie rodziny, traktując sferę jako połączoną sumę 0 tori. Liczba g zaangażowanych tori nazywana jest rodzajem powierzchni. Kula i torus mają odpowiednio 2 i 0 charakterystykę Eulera, a ogólnie charakterystyka Eulera połączonej sumy g tori wynosi 2 − 2 g .

Powierzchnie w trzeciej rodzinie nie są orientowalne. Charakterystyka Eulera rzeczywistej płaszczyzny rzutowej wynosi 1, a ogólnie charakterystyka Eulera połączonej sumy k z nich wynosi 2 − k .

Wynika z tego, że zamkniętą powierzchnię, aż do homeomorfizmu, określają dwie informacje: jej charakterystyka Eulera oraz to, czy jest orientowalna, czy nie. Innymi słowy, charakterystyka Eulera i orientowalność całkowicie klasyfikują powierzchnie zamknięte aż do homeomorfizmu.

Zamknięte powierzchnie z wieloma połączonymi komponentami są klasyfikowane według klasy każdego z ich połączonych komponentów, a zatem ogólnie zakłada się, że powierzchnia jest połączona.

Monoidowa struktura

Odnosząc tę ​​klasyfikację do sum połączonych, zamknięte powierzchnie aż do homeomorfizmu tworzą monoid przemienny pod działaniem sumy połączonej, podobnie jak rozmaitości o dowolnym stałym wymiarze. Tożsamością jest sfera, podczas gdy rzeczywista płaszczyzna rzutowa i torus generują ten monoid, z pojedynczą relacją P # P # P = P # T , którą można również zapisać P # K = P # T , ponieważ K = P # P . Ta relacja jest czasami znana jako Twierdzenie Dycka zaWaltherem von Dyck, który udowodnił je w (Dyck 1888), a powierzchnia potrójnego krzyża P # P # P jest odpowiednio nazwanaPowierzchnia Dycka .

Geometrycznie suma łącząca z torusem ( # T ) dodaje uchwyt z dwoma końcami przymocowanymi do tej samej strony powierzchni, podczas gdy suma połączeniowa z butelką Kleina ( # K ) dodaje uchwyt z dwoma końcami przymocowanymi do przeciwległych boków o orientowalnej powierzchni; w obecności płaszczyzny rzutowej ( # P ) powierzchnia nie jest orientowalna (nie ma pojęcia boku), więc nie ma różnicy między przyczepieniem torusa a przyczepieniem butelki Kleina, co wyjaśnia zależność.

Dowód

Klasyfikacja powierzchni zamkniętych znana jest od lat 60. XIX wieku, a dziś istnieje wiele dowodów.

Dowody topologiczne i kombinatoryczne generalnie opierają się na trudnym wyniku, że każda zwarta podwójna rozmaitość jest homeomorficzna z kompleksem symplicjalnym , który sam w sobie jest interesujący. Najczęstszym dowodem tej klasyfikacji jest ( Seifert & Threlfall 1934 ) , który sprowadza każdą trójkątną powierzchnię do standardowej formy. Uproszczony dowód, który unika standardowej formy, został odkryty przez Johna H. Conwaya około 1992 roku, który nazwał „Zero Irrelevancy Proof” lub „Dowód ZIP” i jest przedstawiony w ( Francis & Weeks 1999 ).

Dowodem geometrycznym, który daje silniejszy wynik geometryczny, jest twierdzenie o uniformizacji . Zostało to pierwotnie udowodnione przez Felixa Kleina , Paula Koebe i Henri Poincarégo tylko w przypadku powierzchni Riemanna w latach 80. i XX wieku .

Powierzchnie z granicą

Powierzchnie zwarte , ewentualnie z granicami, to po prostu zamknięte powierzchnie ze skończoną liczbą otworów (otwarte dyski, które zostały usunięte). Tak więc połączona zwarta powierzchnia jest klasyfikowana przez liczbę składowych brzegowych i rodzaj odpowiadającej powierzchni zamkniętej – równoważnie przez liczbę składowych brzegowych, orientowalność i charakterystykę Eulera. Rodzaj o zwartej powierzchni definiuje się jako rodzaj odpowiadającej mu powierzchni zamkniętej.

Ta klasyfikacja wynika niemal natychmiast z klasyfikacji zamkniętych powierzchni: usunięcie otwartego dysku z zamkniętej powierzchni daje zwartą powierzchnię z kołem dla składowej granicznej, a usunięcie k otwartych dysków daje zwartą powierzchnię z k rozłącznych okręgów dla składowych granicznych. Dokładne lokalizacje dziur są nieistotne, ponieważ grupa homeomorficzna działa k -przechodnie na dowolną połączoną rozmaitość o wymiarze co najmniej 2.

I odwrotnie, granica zwartej powierzchni jest zamkniętą 1-rozmaitością, a zatem jest rozłączną sumą skończonej liczby okręgów; wypełnienie tych kręgów krążkami (formalnie biorąc stożek ) daje zamkniętą powierzchnię.

Unikalna zwarta orientowalna powierzchnia rodzaju gi ze składowymi k brzegowymi jest często oznaczana na przykład w badaniach grupy klas mapowania .

Niekompaktowe powierzchnie

Powierzchnie niekompaktowe są trudniejsze do sklasyfikowania. Jako prosty przykład, niezwartą powierzchnię można uzyskać poprzez przebicie (usunięcie skończonego zbioru punktów) zamkniętej rozmaitości. Z drugiej strony każdy otwarty podzbiór powierzchni zwartej sam w sobie jest powierzchnią niezwartą; rozważmy na przykład dopełnienie zbioru Cantora w sferze, inaczej zwanej powierzchnią drzewa Cantora . Jednak nie każda powierzchnia niezwarta jest podzbiorem powierzchni zwartej; dwa kanoniczne kontrprzykłady to Drabina Jakubowa i potwór z Loch Ness , które są niezwartymi powierzchniami o nieskończonej liczbie rodzajów.

Niezwarta powierzchnia M ma niepustą przestrzeń końców E ( M ), która nieformalnie opisuje sposób, w jaki powierzchnia „rozchodzi się w nieskończoność”. Przestrzeń E ( M ) jest zawsze topologicznie równoważna zamkniętej podprzestrzeni zbioru Cantora . M może mieć ograniczony czy przeliczalnie nieskończoną liczbę N h uchwytów, jak również ograniczony czy przeliczalnie nieskończoną liczbę N s o projekcyjnych płaszczyznach . Jeżeli zarówno N h, jak i N p są skończone, to te dwie liczby i topologiczny typ przestrzeni końców klasyfikują powierzchnię M do topologicznej równoważności. Jeśli jedna lub obie z N h i N p są nieskończone, to typ topologiczny M zależy nie tylko od tych dwóch liczb, ale także od tego, jak nieskończona (nieskończone) zbliża się do przestrzeni końców. Ogólnie typ topologiczny M jest określony przez cztery podprzestrzenie E ( M ), które są punktami granicznymi nieskończenie wielu uchwytów i nieskończenie wielu płaszczyzn rzutowych, punktami granicznymi samych uchwytów i punktami granicznymi żadnego z nich.

Założenie policzalności sekundowej

Jeśli usunie się z definicji powierzchni założenie o przeliczalności sekund, to istnieją (koniecznie niezwarte) powierzchnie topologiczne, które nie mają policzalnej podstawy dla swojej topologii. Być może najprostszym przykładem jest iloczyn kartezjański linii długiej z przestrzenią liczb rzeczywistych.

Inną powierzchnią, która nie ma policzalnej podstawy dla swojej topologii, ale nie wymaga aksjomatu wyboru, aby udowodnić swoje istnienie, jest rozmaitość Prüfera , którą można opisać prostymi równaniami, które pokazują, że jest to powierzchnia realistyczna . Prüfer kolektora może być traktowane jako górną połowę płaszczyźnie wraz z jedną dodatkową „język” t x zwisają z nim bezpośrednio poniżej punktu ( x , 0), dla każdej rzeczywistej  x .

W 1925 Tibor Radó udowodnił, że wszystkie powierzchnie Riemanna (tj. jednowymiarowe rozmaitości zespolone ) są koniecznie policzalne jako drugie ( twierdzenie Radó ). W przeciwieństwie do tego, jeśli zastąpimy liczby rzeczywiste w konstrukcji powierzchni Prüfera liczbami zespolonymi, otrzymamy dwuwymiarową rozmaitość zespoloną (która z konieczności jest 4-wymiarową rozmaitością rzeczywistą) bez podstawy przeliczalnej.

Powierzchnie w geometrii

Wielościany , takie jak granica sześcianu , należą do pierwszych powierzchni spotykanych w geometrii. Możliwe jest również zdefiniowanie gładkich powierzchni , w których każdy punkt ma sąsiedztwo dyfeomorficzne do pewnego zbioru otwartego w E 2 . To opracowanie pozwala na zastosowanie rachunku różniczkowego na powierzchniach, aby udowodnić wiele wyników.

Dwie gładkie powierzchnie są dyfeomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy są homeomorficzne. (Podobny wynik nie dotyczy rozmaitości o wyższych wymiarach.) Tak więc zamknięte powierzchnie są klasyfikowane do dyfeomorfizmu na podstawie ich charakterystyki Eulera i orientowalności.

Gładkie powierzchnie wyposażone w metryki riemannowskie mają fundamentalne znaczenie w geometrii różniczkowej . Metryka riemannowska nadaje powierzchni pojęcia geodezji , odległości , kąta i pola powierzchni. Daje to również początek krzywiźnie Gaussa , która opisuje, jak zakrzywiona lub wygięta jest powierzchnia w każdym punkcie. Krzywizna jest sztywną, geometryczną właściwością, ponieważ nie jest zachowana przez ogólne dyfeomorfizmy powierzchni. Jednak słynne twierdzenie Gaussa-Bonneta dla zamkniętych powierzchni stwierdza, że ​​całka krzywizny Gaussa K na całej powierzchni S jest określona przez charakterystykę Eulera:

Ten wynik jest przykładem głębokiego związku między geometrią i topologią powierzchni (oraz, w mniejszym stopniu, rozmaitościami o wyższych wymiarach).

Innym sposobem powstawania powierzchni w geometrii jest przejście do dziedziny złożonej. Złożona jednorozmaitość to gładka zorientowana powierzchnia, zwana również powierzchnią Riemanna . Każda złożona nieosobliwa krzywa algebraiczna widziana jako złożona rozmaitość jest powierzchnią Riemanna. W rzeczywistości każda kompaktowa powierzchnia do orientacji jest możliwa do zrealizowania jako powierzchnia Riemanna. Tak zwarte powierzchnie Riemanna charakteryzują się topologicznie rodzajem: 0, 1, 2, .... Z drugiej strony rodzaj nie charakteryzuje złożonej struktury. Na przykład, istnieje niezliczona ilość nieizomorficznych zwartych powierzchni Riemanna z rodzaju 1 ( krzywe eliptyczne ).

Złożone struktury na zamkniętej zorientowanej powierzchni odpowiadają konformalnym klasom równoważności metryk riemannowskich na powierzchni. Jedna wersja twierdzenia o uniformizacji (z powodu Poincarégo ) stwierdza, że ​​każda metryka Riemanna na zorientowanej, zamkniętej powierzchni jest konformalnie równoważna zasadniczo unikalnej metryce o stałej krzywiźnie . Stanowi to punkt wyjścia dla jednego z podejść do teorii Teichmüllera , które zapewnia dokładniejszą klasyfikację powierzchni Riemanna niż topologiczna, oparta wyłącznie na charakterystyce Eulera.

Powierzchnia złożona jest kompleksem dwóch kolektora, a tym samym rzeczywistego cztery kolektora; nie jest to powierzchnia w rozumieniu tego artykułu. Ani krzywe algebraiczne nie są zdefiniowane nad ciałami innymi niż liczby zespolone, ani powierzchnie algebraiczne nie są zdefiniowane nad ciałami innymi niż liczby rzeczywiste.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Proste dowody klasyfikacji aż do homeomorfizmu

  • Seiferta, Herberta; Threlfall, William (1980), Podręcznik topologii , Matematyka czysta i stosowana, 89 , Academic Press, ISBN 0126348502, angielskie tłumaczenie klasycznego niemieckiego podręcznika z 1934 r.
  • Ahlfors, Lars V.; Sario, Leo (1960), powierzchnie Riemanna , Princeton Mathematical Series, 26 , Princeton University Press, Rozdział I
  • Maunder, CRF (1996), Topologia algebraiczna , Dover Publications, ISBN 0486691314, kurs licencjacki w Cambridge
  • Massey, William S. (1991). Podstawowy kurs topologii algebraicznej . Springer-Verlag. Numer ISBN 0-387-97430-X.
  • Bredon, Glen E. (1993). Topologia i geometria . Springer-Verlag. Numer ISBN 0-387-97926-3.
  • Jost, Jürgen (2006), Compact powierzchnie Riemanna: wprowadzenie do matematyki współczesnej (3rd ed.), Springer, ISBN 3540330658, dla zamkniętych zorientowanych rozmaitości riemannowskich

Teoretyczne dowody klasyfikacji Morse'a aż do dyfeomorfizmu

Inne dowody

  • Lawson, Terry (2003), Topologia: podejście geometryczne , Oxford University Press, ISBN 0-19-851597-9, podobny do dowodu teoretycznego Morse'a za pomocą przesuwania dołączonych uchwytów
  • Franciszek, Jerzy K.; Weeks, Jeffrey R. (maj 1999), "Conway's ZIP Proof" (PDF) , American Mathematical Monthly , 106 (5): 393, doi : 10.2307/2589143 , JSTOR  2589143 , zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 2010-06 -12, strona omawiająca artykuł: On Conway's ZIP ProofCS1 maint: postscript ( link )
  • Thomassen, Carsten (1992), „Twierdzenie Jordana-Schönfliesa i klasyfikacja powierzchni”, Amer. Matematyka. Miesięczny , 99 (2): 116–13, doi : 10.2307/2324180 , JSTOR  2324180, krótki dowód elementarny z wykorzystaniem grafów opinających
  • Prasolov, VV (2006), Elementy topologii kombinatorycznej i różniczkowej , Graduate Studies in Mathematics, 74 , American Mathematical Society, ISBN 0821838091, zawiera krótką relację z dowodu Thomassena

Zewnętrzne linki