Powierzchnia -Surface area
Pole powierzchni ciała stałego jest miarą całkowitej powierzchni zajmowanej przez ten obiekt. Matematyczna definicja pola powierzchni w obecności zakrzywionych powierzchni jest znacznie bardziej skomplikowana niż definicja długości łuku krzywych jednowymiarowych lub pola powierzchni dla wielościanów (tj. obiektów o płaskich wielokątnych ścianach ), dla których pole powierzchni to suma obszarów jego twarzy. Powierzchniom gładkim, takim jak kula , przypisywany jest obszar powierzchni na podstawie ich reprezentacji jako powierzchni parametrycznych . Ta definicja pola powierzchni opiera się na metodachrachunek różniczkowy nieskończenie mały i obejmuje pochodne cząstkowe i całkowanie podwójne .
Ogólnej definicji pola powierzchni poszukiwali na przełomie XIX i XX wieku Henri Lebesgue i Hermann Minkowski . Ich praca doprowadziła do opracowania teorii miary geometrycznej , która bada różne pojęcia pola powierzchni dla nieregularnych obiektów o dowolnym wymiarze. Ważnym przykładem jest zawartość Minkowskiego w powierzchni.
Definicja
Chociaż obszary wielu prostych powierzchni były znane od starożytności, rygorystyczna matematyczna definicja obszaru wymaga dużej uwagi. Powinno to zapewnić funkcję
która przypisuje dodatnią liczbę rzeczywistą pewnej klasie powierzchni , która spełnia kilka naturalnych wymagań. Najbardziej podstawową właściwością pola powierzchni jest jego addytywność : pole całości jest sumą pól powierzchni części . Dokładniej, jeśli powierzchnia S jest połączeniem skończenie wielu elementów S 1 , …, S r , które nie nakładają się na siebie z wyjątkiem ich granic, to
Powierzchnie płaskich wielokątów muszą zgadzać się z ich geometrycznie zdefiniowanym obszarem . Ponieważ pole powierzchni jest pojęciem geometrycznym, pola powierzchni przystających muszą być takie same, a pole musi zależeć tylko od kształtu powierzchni, ale nie od jej położenia i orientacji w przestrzeni. Oznacza to, że pole powierzchni jest niezmienne w grupie ruchów euklidesowych . Właściwości te w unikalny sposób charakteryzują pole powierzchni dla szerokiej klasy powierzchni geometrycznych zwanych kawałkami gładkimi . Takie powierzchnie składają się ze skończenie wielu kawałków, które można przedstawić w postaci parametrycznej
z funkcją różniczkowalną w sposób ciągły Powierzchnia pojedynczego elementu jest określona wzorem
W ten sposób obszar S D uzyskuje się przez całkowanie długości wektora normalnego do powierzchni w odpowiednim obszarze D w parametrycznej płaszczyźnie UV . Pole całej powierzchni uzyskuje się wówczas przez zsumowanie powierzchni kawałków, wykorzystując addytywność pola powierzchni. Główny wzór można specjalizować do różnych klas powierzchni, podając w szczególności wzory na obszary wykresów z = f ( x , y ) oraz powierzchnie obrotowe .
Jedną z subtelności pola powierzchni w porównaniu z długością łuku krzywych jest to, że pola powierzchni nie można po prostu zdefiniować jako granicę obszarów wielościennych kształtów przybliżających daną gładką powierzchnię. Hermann Schwarz zademonstrował, że już w przypadku cylindra różne wybory przybliżania płaskich powierzchni mogą prowadzić do różnych wartości granicznych pola; ten przykład jest znany jako latarnia Schwarz .
Różne podejścia do ogólnej definicji pola powierzchni rozwinęli pod koniec XIX i na początku XX wieku Henri Lebesgue i Hermann Minkowski . Podczas gdy w przypadku odcinkowo gładkich powierzchni istnieje unikalne naturalne pojęcie powierzchni, jeśli powierzchnia jest bardzo nieregularna lub szorstka, przypisanie do niej obszaru może nie być w ogóle możliwe. Typowym przykładem jest powierzchnia z gęsto rozmieszczonymi kolcami. Wiele tego typu powierzchni występuje w badaniach fraktali . W teorii miary geometrycznej badane są rozszerzenia pojęcia powierzchni, które częściowo spełniają swoją funkcję i mogą być definiowane nawet dla bardzo nieregularnych powierzchni . Konkretnym przykładem takiego rozszerzenia jest zawartość powierzchni Minkowskiego .
Wspólne formuły
Kształt | Równanie | Zmienne |
---|---|---|
Sześcian | s = długość boku | |
Prostopadłościan | ℓ = długość, b = szerokość, h = wysokość | |
Trójkątny pryzmat | b = długość podstawy trójkąta, h = wysokość trójkąta, l = odległość między podstawami trójkąta, p , q , r = boki trójkąta | |
Wszystkie pryzmaty | B = powierzchnia jednej podstawy, P = obwód jednej podstawy, h = wysokość | |
Kula | r = promień kuli, d = średnica | |
Półkula | r = promień półkuli | |
Półkulista skorupa | R = Zewnętrzny promień półkuli.
r = Wewnętrzny promień półkuli. |
|
sferyczny lune | r = promień kuli, θ = kąt dwuścienny | |
Torus | r = mały promień (promień rury), R = duży promień (odległość od środka rury do środka torusa) | |
Zamknięty cylinder | r = promień okrągłej podstawy, h = wysokość walca | |
Zakrzywiona powierzchnia stożka |
s = wysokość skosu stożka, |
|
Pełna powierzchnia stożka |
s = wysokość skosu stożka, r = promień podstawy kołowej, |
|
Piramida | B = powierzchnia podstawy, P = obwód podstawy, L = wysokość skosu | |
Kwadratowa Piramida | b = długość podstawy, s = wysokość skosu, h = wysokość pionowa | |
Piramida prostokątna | ℓ = długość, b = szerokość, h = wysokość | |
Czworościan | a = długość boku | |
Powierzchnia rewolucji | ||
Powierzchnia parametryczna |
= parametryczne równanie wektorowe powierzchni
= pochodna cząstkowa względem = pochodna cząstkowa względem = obszar cienia |
Stosunek powierzchni kuli i walca o tym samym promieniu i wysokości
Poniższe wzory mogą posłużyć do wykazania, że pola powierzchni kuli i cylindra o tym samym promieniu i wysokości są w stosunku 2 : 3 , jak następuje.
Niech promień wynosi r , a wysokość h (co dla kuli wynosi 2 r ).
Odkrycie tego wskaźnika przypisuje się Archimedesowi .
W chemii
Pole powierzchni jest ważne w kinetyce chemicznej . Zwiększenie pola powierzchni substancji ogólnie zwiększa szybkość reakcji chemicznej . Na przykład żelazo w drobnym proszku będzie się paliło , podczas gdy w solidnych blokach jest wystarczająco stabilne, aby można je było zastosować w konstrukcjach. W przypadku różnych zastosowań może być pożądana minimalna lub maksymalna powierzchnia.
W biologii
Powierzchnia organizmu jest ważna z kilku względów, takich jak regulacja temperatury ciała i trawienie . Zwierzęta używają zębów do mielenia pokarmu na mniejsze cząstki, zwiększając powierzchnię dostępną do trawienia. Tkanka nabłonkowa wyściełająca przewód pokarmowy zawiera mikrokosmki , znacznie zwiększając obszar dostępny do wchłaniania. Słonie mają duże uszy , co pozwala im regulować temperaturę ciała. W innych przypadkach zwierzęta będą musiały zminimalizować powierzchnię; na przykład, ludzie będą składać ręce na klatce piersiowej, gdy jest zimno, aby zminimalizować utratę ciepła.
Stosunek powierzchni do objętości (SA:V) komórki nakłada górne granice wielkości, ponieważ objętość rośnie znacznie szybciej niż powierzchnia, ograniczając w ten sposób szybkość dyfuzji substancji z wnętrza przez błonę komórkową do przestrzeni śródmiąższowych lub do innych komórek. Rzeczywiście, reprezentując komórkę jako idealną sferę o promieniu r , objętość i pole powierzchni wynoszą odpowiednio V = (4/3) πr 3 i SA = 4 πr 2 . Wynikowy stosunek pola powierzchni do objętości wynosi zatem 3/ r . Tak więc, jeśli ogniwo ma promień 1 μm, stosunek SA:V wynosi 3; natomiast jeśli promień ogniwa wynosi zamiast 10 μm, to stosunek SA:V wynosi 0,3. Przy promieniu komórki 100 stosunek SA:V wynosi 0,03. W ten sposób powierzchnia powierzchni gwałtownie spada wraz ze wzrostem objętości.
Zobacz też
- Długość obwodu
- Projektowany obszar
- Teoria BET , technika pomiaru powierzchni właściwej materiałów
- Obszar sferyczny
- Całka powierzchniowa
Bibliografia
- Yu.D. Burago; VA Zalgallera; LD Kudryavtsev (2001) [1994], „Obszar” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
Zewnętrzne linki
- Wideo o powierzchni w Thinkwell