Symetria -Symmetry

Symetria (po lewej) i asymetria (po prawej)
Sferyczna grupa symetrii z symetrią oktaedryczną . Żółty region pokazuje podstawową domenę .
Kształt przypominający fraktal , który ma symetrię refleksyjną , symetrię obrotową i samopodobieństwo , trzy formy symetrii. Kształt ten uzyskuje się dzięki skończonej zasadzie podziału .

Symetria (od starożytnej greki : συμμετρία symmetria "zgodność wymiarów, odpowiednia proporcja, układ") w języku potocznym odnosi się do poczucia harmonijnej i pięknej proporcji i równowagi. W matematyce „symetria” ma bardziej precyzyjną definicję i jest zwykle używana w odniesieniu do obiektu, który jest niezmienny w niektórych przekształceniach ; w tym translację , odbicie , rotację lub skalowanie . Chociaż te dwa znaczenia „symetrii” można czasem od siebie odróżnić, są one misternie powiązane i dlatego omówiono je razem w tym artykule.

Symetrię matematyczną można zaobserwować w odniesieniu do upływu czasu ; jako relacja przestrzenna ; poprzez przekształcenia geometryczne ; poprzez inne rodzaje przekształceń funkcjonalnych; oraz jako aspekt obiektów abstrakcyjnych , w tym modeli teoretycznych , języka i muzyki .

Ten artykuł opisuje symetrię z trzech perspektyw: w matematyce , w tym w geometrii , najbardziej znany typ symetrii dla wielu ludzi; w nauce i przyrodzie ; oraz w sztuce, obejmując architekturę , sztukę i muzykę .

Przeciwieństwem symetrii jest asymetria , która odnosi się do braku lub naruszenia symetrii.

W matematyce

W geometrii

Triskelion ma 3- krotną symetrię obrotową.

Geometryczny kształt lub obiekt jest symetryczny, jeśli można go podzielić na dwie lub więcej identycznych części, które są ułożone w zorganizowany sposób. Oznacza to, że obiekt jest symetryczny, jeśli istnieje transformacja, która przesuwa poszczególne części obiektu, ale nie zmienia ogólnego kształtu. Rodzaj symetrii zależy od sposobu organizacji elementów lub rodzaju przekształcenia:

  • Obiekt ma symetrię odbiciową (symetrię liniową lub lustrzaną), jeśli przechodzi przez niego linia (lub w 3D płaszczyzna), która dzieli go na dwie części, które są swoimi lustrzanymi odbiciami.
  • Obiekt ma symetrię obrotową, jeśli można go obrócić wokół stałego punktu (lub w 3D wokół linii) bez zmiany ogólnego kształtu.
  • Obiekt ma symetrię translacyjną , jeśli można go przesunąć (przesuwając każdy punkt obiektu o tę samą odległość) bez zmiany jego ogólnego kształtu.
  • Obiekt ma symetrię spiralną , jeśli może być jednocześnie przesuwany i obracany w przestrzeni trójwymiarowej wzdłuż linii zwanej osią śruby .
  • Obiekt ma symetrię skali , jeśli nie zmienia kształtu podczas rozszerzania lub kurczenia. Fraktale wykazują również formę symetrii skali, gdzie mniejsze części fraktala mają podobny kształt do większych części.
  • Inne symetrie obejmują symetrię odbicia poślizgu (odbicie, po którym następuje translacja) i symetrię odbicia obrotowego (połączenie rotacji i odbicia).

W logice

Relacja dwuczłonowa R = S × S jest symetryczna, jeśli dla wszystkich elementów a , b w S , ilekroć prawdą jest , że Rab , prawdą jest również to , że Rba . Zatem relacja „jest w tym samym wieku co” jest symetryczna, bo jeśli Paweł jest w tym samym wieku co Maria, to Maria jest w tym samym wieku co Paweł.

W logice zdań symetryczne spójniki binarne obejmują i ( ∧ lub &), lub (∨ lub |) oraz wtedy i tylko wtedy , gdy (↔), natomiast spójnik jeżeli (→) nie jest symetryczny. Inne symetryczne spójniki logiczne obejmują nand (nie-i lub ⊼), xor (nie-dwuwarunkowe lub ⊻) i ani (nie-lub lub ⊽).

Inne obszary matematyki

Uogólniając z geometrycznej symetrii w poprzednim podrozdziale, można powiedzieć, że obiekt matematyczny jest symetryczny względem danej operacji matematycznej , jeśli zastosowana na obiekcie zachowuje jakąś właściwość obiektu. Zestaw operacji, które zachowują daną właściwość obiektu, tworzą grupę .

Ogólnie rzecz biorąc, każdy rodzaj struktury w matematyce będzie miał swój własny rodzaj symetrii. Przykłady obejmują funkcje parzyste i nieparzyste w rachunku różniczkowym , grupy symetryczne w algebrze abstrakcyjnej , macierze symetryczne w algebrze liniowej oraz grupy Galois w teorii Galois . W statystyce symetria przejawia się również jako symetryczne rozkłady prawdopodobieństwa , a jako skośność — asymetria rozkładów.

W nauce i przyrodzie

W fizyce

Symetria w fizyce została uogólniona, aby oznaczać niezmienność — to znaczy brak zmian — pod każdym rodzajem transformacji, na przykład dowolnych transformacji współrzędnych . Koncepcja ta stała się jednym z najpotężniejszych narzędzi fizyki teoretycznej , ponieważ stało się oczywiste, że praktycznie wszystkie prawa natury pochodzą z symetrii. W rzeczywistości ta rola zainspirowała laureata Nagrody Nobla PW Andersona do napisania w jego szeroko czytanym artykule z 1972 roku Więcej jest inne , że „jest tylko nieznacznie przesadą stwierdzenie, że fizyka jest nauką o symetrii”. Zobacz twierdzenie Noether (które w bardzo uproszczonej formie stwierdza, że ​​dla każdej ciągłej symetrii matematycznej istnieje odpowiednia zachowana wielkość, taka jak energia lub pęd; zachowany prąd, w oryginalnym języku Noether); a także klasyfikacja Wignera , która mówi, że symetrie praw fizyki określają właściwości cząstek występujących w przyrodzie.

Ważne symetrie w fizyce obejmują symetrie ciągłe i dyskretne symetrie czasoprzestrzeni ; symetrie wewnętrzne cząstek; i supersymetria teorii fizycznych.

W biologii

Wiele zwierząt jest w przybliżeniu symetrycznych lustrzanie, chociaż narządy wewnętrzne są często ułożone asymetrycznie.
Człowiek witruwiański ” Leonarda da Vinci (ok. 1487) jest często używany jako przedstawienie symetrii w ludzkim ciele, a co za tym idzie, w naturalnym wszechświecie.

W biologii pojęcie symetrii jest najczęściej używane wprost do opisu kształtów ciała. Zwierzęta obustronne , w tym ludzie, są mniej lub bardziej symetryczne względem płaszczyzny strzałkowej, która dzieli ciało na lewą i prawą połowę. Zwierzęta poruszające się w jednym kierunku koniecznie mają boki górne i dolne, końce głowy i ogona, a więc lewą i prawą. Głowa specjalizuje się w jamie ustnej i narządach zmysłów, a ciało staje się dwustronnie symetryczne dla potrzeb ruchu, z symetrycznymi parami mięśni i elementów szkieletowych, chociaż narządy wewnętrzne często pozostają asymetryczne.

Rośliny i siedzące (przywiązane) zwierzęta, takie jak ukwiały , często mają symetrię promieniową lub obrotową , co im odpowiada, ponieważ żywność lub zagrożenia mogą nadejść z dowolnego kierunku. Pięciokrotna symetria występuje u szkarłupni , do której należą rozgwiazdy , jeżowce i lilie morskie .

W biologii pojęcie symetrii jest również używane tak jak w fizyce, to znaczy do opisu właściwości badanych obiektów, w tym ich interakcji. Niezwykłą właściwością ewolucji biologicznej są zmiany symetrii odpowiadające pojawianiu się nowych części i dynamice.

W chemii

Symetria jest ważna dla chemii , ponieważ podtrzymuje zasadniczo wszystkie specyficzne interakcje między cząsteczkami w przyrodzie (tj. poprzez interakcję naturalnych i wytworzonych przez człowieka chiralnych cząsteczek z naturalnie chiralnymi systemami biologicznymi). Kontrola symetrii cząsteczek wytwarzanych w nowoczesnej syntezie chemicznej zwiększa zdolność naukowców do oferowania interwencji terapeutycznych przy minimalnych skutkach ubocznych . Dokładne zrozumienie symetrii wyjaśnia podstawowe obserwacje w chemii kwantowej oraz w stosowanych obszarach spektroskopii i krystalografii . Teoria i zastosowanie symetrii w tych dziedzinach nauk fizycznych w dużym stopniu czerpie z matematycznego obszaru teorii grup .

W psychologii i neuronauce

Dla ludzkiego obserwatora niektóre typy symetrii są bardziej wyraziste niż inne, w szczególności najbardziej wyraziste jest odbicie z osią pionową, taką jak ta obecna na ludzkiej twarzy. Ernst Mach dokonał tej obserwacji w swojej książce „Analiza wrażeń” (1897), a to sugeruje, że postrzeganie symetrii nie jest ogólną odpowiedzią na wszystkie typy prawidłowości. Badania behawioralne i neurofizjologiczne potwierdziły szczególną wrażliwość na symetrię odbicia u ludzi, a także u innych zwierząt. Wczesne badania w ramach tradycji Gestalt sugerowały, że dwustronna symetria była jednym z kluczowych czynników w grupowaniu percepcyjnym . Jest to znane jako Prawo Symetrii . Rola symetrii w grupowaniu i organizacji figur/podłoża została potwierdzona w wielu badaniach. Na przykład wykrywanie symetrii odbicia jest szybsze, gdy jest to właściwość pojedynczego obiektu. Badania ludzkiej percepcji i psychofizyki wykazały, że wykrywanie symetrii jest szybkie, skuteczne i odporne na zakłócenia. Na przykład symetrię można wykryć przy prezentacjach od 100 do 150 milisekund.

Nowsze badania neuroobrazowe udokumentowały, które regiony mózgu są aktywne podczas percepcji symetrii. Sasaki i in. wykorzystali funkcjonalne obrazowanie rezonansem magnetycznym (fMRI) do porównania odpowiedzi dla wzorów z symetrycznymi lub losowymi kropkami. Silna aktywność była obecna w pozaprążkowych obszarach kory potylicznej, ale nie w pierwotnej korze wzrokowej. Regiony pozaprążkowe obejmowały V3A, V4, V7 i boczny kompleks potyliczny (LOC). Badania elektrofizjologiczne wykazały późną negatywność tylną, która pochodzi z tych samych obszarów. Ogólnie rzecz biorąc, duża część układu wzrokowego wydaje się być zaangażowana w przetwarzanie wizualnej symetrii, a obszary te obejmują podobne sieci do tych odpowiedzialnych za wykrywanie i rozpoznawanie obiektów.

W interakcjach społecznych

Ludzie obserwują symetryczną naturę, często obejmującą asymetryczną równowagę, interakcji społecznych w różnych kontekstach. Obejmują one oceny wzajemności , empatii , współczucia , przeprosin , dialogu , szacunku, sprawiedliwości i zemsty . Równowaga refleksyjna jest równowagą, którą można osiągnąć poprzez przemyślane wzajemne dostosowanie się między zasadami ogólnymi a osądami szczegółowymi . Symetryczne interakcje wysyłają wiadomość moralną „wszyscy jesteśmy tacy sami”, podczas gdy interakcje asymetryczne mogą wysyłać wiadomość „jestem wyjątkowy; lepszy niż ty”. Relacje z rówieśnikami, takie jak mogą być zarządzane przez złotą regułę , opierają się na symetrii, podczas gdy relacje władzy opierają się na asymetrii. Symetryczne relacje można do pewnego stopnia zachować dzięki prostym strategiom ( teoria gier ) spotykanym w grach symetrycznych, takich jak tit za tat .

W sztuce

Sufit meczetu Lotfollah w Isfahanie w Iranie ma 8-krotną symetrię.

Istnieje lista czasopism i biuletynów, o których wiadomo, że przynajmniej częściowo zajmują się symetrią i sztuką.

W architekturze

Symetryczne arkady portyku w Wielkim Meczecie w Kairouan zwanym także Meczetem Uqby w Tunezji .
Widziany z boku Taj Mahal ma symetrię dwustronną; od góry (w rzucie) ma czterokrotną symetrię.

Symetria znajduje zastosowanie w architekturze w każdej skali, od ogólnych zewnętrznych widoków budynków, takich jak gotyckie katedry i Biały Dom , poprzez układ indywidualnych planów pięter , aż do projektowania poszczególnych elementów budynków, takich jak mozaiki z płytek . Budynki islamskie , takie jak Taj Mahal i meczet Lotfollah , wykorzystują symetrię zarówno w swojej strukturze, jak i zdobnictwie. Budynki mauretańskie, takie jak Alhambra , są ozdobione złożonymi wzorami wykonanymi przy użyciu symetrii translacyjnej i odbicia, a także rotacji.

Mówi się, że tylko źli architekci polegają na „symetrycznym układzie bloków, brył i konstrukcji”; Architektura modernistyczna , zaczynając od stylu międzynarodowego , opiera się zamiast tego na "skrzydłach i równowadze mas".

W naczyniach ceramicznych i metalowych

Gliniane garnki rzucane na kole garncarskim nabierają symetrii obrotowej.

Od najwcześniejszych zastosowań koła garncarskiego do kształtowania naczyń glinianych, ceramika miała silny związek z symetrią. Ceramika tworzona za pomocą koła uzyskuje pełną symetrię obrotową w swoim przekroju, pozwalając jednocześnie na dużą swobodę kształtowania w kierunku pionowym. W tym z natury symetrycznym punkcie początkowym garncarze od czasów starożytnych dodawali wzory, które modyfikują symetrię obrotową, aby osiągnąć cele wizualne.

Naczynia z odlewanego metalu nie miały symetrii obrotowej charakterystycznej dla ceramiki wykonywanej na kole, ale poza tym zapewniały podobną możliwość dekorowania ich powierzchni wzorami przyjemnymi dla tych, którzy ich używali. Na przykład starożytni Chińczycy używali symetrycznych wzorów w swoich odlewach z brązu już w XVII wieku p.n.e. Naczynia z brązu miały zarówno dwustronny motyw główny, jak i powtarzalny, przetłumaczony wzór graniczny.

W dywanach i dywanikach

Dywan perski o prostokątnej symetrii

Długa tradycja stosowania symetrii we wzorach dywanów i dywanów obejmuje różne kultury. Amerykańscy Indianie Navajo używali odważnych motywów ukośnych i prostokątnych. Wiele dywanów orientalnych ma misternie odbijające się środki i obramowania, które przekładają się na wzór. Nic dziwnego, że prostokątne dywany mają zazwyczaj symetrie prostokąta – to znaczy motywy , które odbijają się zarówno wzdłuż osi poziomej, jak i pionowej (patrz czterogrupa Klein § Geometria ).

W kołdrach

Kołdra w kalejdoskopie kuchennym

Ponieważ kołdry są wykonane z kwadratowych bloków (zwykle 9, 16 lub 25 kawałków w bloku), a każdy mniejszy kawałek zwykle składa się z trójkątów tkaniny, statek łatwo nadaje się do zastosowania symetrii.

W innych sztukach i rzemiośle

Symetrie pojawiają się w projektowaniu wszelkiego rodzaju obiektów. Przykłady obejmują koraliki , meble , obrazy piaskowe , plecionki , maski i instrumenty muzyczne . Symetrie są kluczowe dla sztuki MC Eschera i wielu zastosowań teselacji w formach artystycznych i rzemieślniczych, takich jak tapety , płytki ceramiczne, takie jak islamska dekoracja geometryczna , batik , ikat , wytwarzanie dywanów i wiele rodzajów wzorów tekstylnych i haftów .

Symetria jest również wykorzystywana w projektowaniu logo. Tworząc logo na siatce i wykorzystując teorię symetrii, projektanci mogą uporządkować swoją pracę, stworzyć projekt symetryczny lub asymetryczny, określić odstępy między literami, określić, ile negatywnej przestrzeni jest wymagane w projekcie i jak zaakcentować części logo, aby się wyróżniało.

W muzyce

root of A minor triad third of A minor triad fifth of A minor triad fifth of A minor triad root of C major triad root of C major triad third of C major triad fifth of C major triad fifth of E minor triad fifth of E minor triad root of E minor triad third of E minor triad third of G major triad fifth of G major triad root of G major triad root of G major triad fifth of D minor triad fifth of D minor triad root of D minor triad third of D minor triad third of F major triad fifth of F major triad root of F major triad root of F major triad
Triady durowe i molowe na białych klawiszach fortepianu są symetryczne do D. (porównaj artykuł) (plik)

Symetria nie ogranicza się do sztuk wizualnych. Jej rola w historii muzyki dotyka wielu aspektów tworzenia i odbioru muzyki.

Forma muzyczna

Symetria była używana jako ograniczenie formalne przez wielu kompozytorów, na przykład forma łukowata (ABCBA) używana przez Steve'a Reicha , Béli Bartóka i Jamesa Tenneya . W muzyce klasycznej Bach używał koncepcji symetrii permutacji i niezmienności.


Struktury boiska

Symetria jest również ważnym czynnikiem przy tworzeniu skal i akordów , przy czym muzyka tradycyjna lub tonalna składa się z niesymetrycznych grup wysokości tonów , takich jak skala diatoniczna lub akord durowy . Skale symetryczne lub akordy, takie jak skala całego tonu , akord zwiększony lub zmniejszony akord septymowy (zmniejszony-zmniejszony septymowy), są uważane za pozbawione kierunku lub wyczucia ruchu do przodu, są niejednoznaczne co do tonacji lub środka tonalnego i mają mniej specyficzna funkcja diatoniczna . Jednak kompozytorzy tacy jak Alban Berg , Béla Bartók i George Perle używali osi symetrii i/lub cykli interwałowych w sposób analogiczny do tonacji lub nietonalnych centrów tonalnych . George Perle wyjaśnia: „C–E, D–F♯, [i] Eb–G, to różne przypadki tego samego przedziału … inny rodzaj tożsamości … ma do czynienia z osiami symetrii. C–E należy do rodziny symetrycznie spokrewnionych diad w następujący sposób:"

D D mi F F♯ G G♯
D C♯ C B A A G♯

Zatem oprócz bycia częścią rodziny przedziałów 4, C–E jest również częścią rodziny sum-4 (przy C równej 0).

+ 2 3 4 5 6 7 8
2 1 0 11 10 9 8
4 4 4 4 4 4 4

Cykle interwałowe są symetryczne, a więc niediatoniczne. Jednak siedmiodźwiękowy segment C5 (cykl kwintowy, który jest enharmoniczny z cyklem kwintowym) da diatoniczną skalę durową. Cykliczne progresje tonalne w utworach kompozytorów romantycznych , takich jak Gustav Mahler i Richard Wagner , łączą się z cyklicznymi następstwami wysokości w atonalnej muzyce modernistów, takich jak Bartók, Alexander Scriabin , Edgard Varèse i szkoła wiedeńska. Jednocześnie progresje te sygnalizują koniec tonalności.

Pierwszą rozbudowaną kompozycją konsekwentnie opartą na symetrycznych relacjach wysokości dźwięku był prawdopodobnie Kwartet op. 3 (1910).

Równowartość

Wiersze tonów lub zestawy klas wysokości tonów , które są niezmienne w retrogradacji , są poziomo symetryczne, w przypadku odwrócenia w pionie. Zobacz także Rytm asymetryczny .

W estetyce

Związek symetrii z estetyką jest złożony. Ludzie uważają, że dwustronna symetria twarzy jest fizycznie atrakcyjna; wskazuje na zdrowie i sprawność genetyczną. Przeciwstawia się temu tendencja do postrzegania nadmiernej symetrii jako nudnej lub nieciekawej. Rudolf Arnheim zasugerował, że ludzie wolą kształty, które mają pewną symetrię i wystarczającą złożoność, aby były interesujące.

W literaturze

Symetrię można znaleźć w literaturze w różnych postaciach , prostym przykładem jest palindrom , w którym krótki tekst czyta to samo do przodu lub do tyłu. Historie mogą mieć symetryczną strukturę, taką jak wzór wzlotów i upadków Beowulfa .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Dalsza lektura

Zewnętrzne linki