Twierdzenie - Theorem

Pitagorasa ma co najmniej 370 znane dowody

W matematyce , o twierdzenie jest stwierdzenie , że zostało udowodnione , lub mogą być udowodnione. Dowód na twierdzenie jest logiczny argument, który wykorzystuje zasady wnioskowania o systemu dedukcyjnego , aby wykazać, że twierdzenie jest logiczną konsekwencją z aksjomatów i twierdzeń poprzednio okazały.

W głównym nurcie matematyki aksjomaty i reguły wnioskowania są zwykle pozostawione implicite, i w tym przypadku są to prawie zawsze te z teorii mnogości Zermelo-Fraenkla z aksjomatem wyboru lub teorią o mniejszej mocy, jak np. Peano. arytmetyka . Godnym uwagi wyjątkiem jest dowód Wilesa na ostatnie twierdzenie Fermata , który dotyczy wszechświatów Grothendiecka, których istnienie wymaga dodania nowego aksjomatu do teorii mnogości. Ogólnie rzecz biorąc, twierdzenie, które jest wyraźnie nazywane twierdzeniem, jest udowodnionym wynikiem, który nie jest bezpośrednią konsekwencją innych znanych twierdzeń. Co więcej, wielu autorów kwalifikuje jako twierdzenia tylko najważniejsze wyniki i używa terminów lemat, Propozycja i następstwo dla mniej ważnych twierdzeń.

W logice matematycznej koncepcje twierdzeń i dowodów zostały sformalizowane , aby umożliwić matematyczne rozumowanie na ich temat. W tym kontekście zdania stają się dobrze uformowanymi formułami jakiegoś języka formalnego . Teoria składa się z niektórych stwierdzeń bazowych zwanych aksjomatami i niektórych zasad dedukowania (czasami zawarte w aksjomatach). Twierdzenia teorii są zdaniami, które można wyprowadzić z aksjomatów za pomocą reguł dedukcyjnych. Ta formalizacja doprowadziła do powstania teorii dowodu , która umożliwia dowodzenie ogólnych twierdzeń o twierdzeniach i dowodach. W szczególności twierdzenia o niezupełności Gödla pokazują, że każda spójna teoria zawierająca liczby naturalne ma prawdziwe twierdzenia dotyczące liczb naturalnych, które nie są twierdzeniami teorii (to znaczy nie można ich udowodnić wewnątrz teorii).

Ponieważ aksjomaty są często abstrakcjami własności świata fizycznego , twierdzenia można uznać za wyrażenie pewnej prawdy, ale w przeciwieństwie do pojęcia prawa naukowego , które jest eksperymentalne , uzasadnienie prawdziwości twierdzenia jest czysto dedukcyjne .

Teorematyzacja i prawda

Do końca XIX wieku i fundamentalnego kryzysu matematyki cała matematyka była budowana z kilku podstawowych właściwości, które uważano za oczywiste; na przykład fakt, że każda liczba naturalna ma następcę i że istnieje dokładnie jedna linia przechodząca przez dwa różne punkty. Te podstawowe właściwości, które nie były uważane za absolutnie oczywiste, nazwano postulatami ; na przykład postulaty Euklidesa . Wszystkie twierdzenia zostały udowodnione przez użycie implicite lub explicite tych podstawowych właściwości, a ze względu na dowody tych podstawowych właściwości, udowodnione twierdzenie uważano za prawdę ostateczną, chyba że w dowodzie wystąpił błąd. Na przykład, suma kątów wewnętrznych o trójkąta jest równy 180 °, co zostało uznane za Niewątpliwą faktu.

Jednym z aspektów fundamentalnego kryzysu matematyki było odkrycie geometrii nieeuklidesowych , które nie prowadzą do żadnej sprzeczności, chociaż w takich geometriach suma kątów trójkąta różni się od 180°. Tak więc własność „suma kątów trójkąta równa 180°” jest albo prawdziwa, albo fałszywa, w zależności od tego, czy przyjęto postulaty Euklidesa. Podobnie użycie „oczywistych” podstawowych własności zbiorów prowadzi do zaprzeczenia paradoksu Russela . Zostało to rozwiązane poprzez opracowanie reguł, które są dozwolone dla manipulowania zestawami.

Kryzys ten został rozwiązany przez ponowne przyjrzenie się podstawom matematyki w celu uczynienia ich bardziej rygorystycznymi . W tych nowych fundamenty, twierdzenie to dobrze uformowane formuła z matematycznej teorii , że można dowieść z aksjomatów i reguł wnioskowania teorii. Tak więc powyższe twierdzenie o sumie kątów trójkąta wygląda następująco: Zgodnie z aksjomatami i regułami wnioskowania geometrii euklidesowej suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180° . Podobnie paradoks Russela znika, ponieważ w zaksjomatyzowanej teorii mnogości zbiór wszystkich zbiorów nie może być wyrażony za pomocą dobrze sformułowanej formuły. Dokładniej, jeśli zbiór wszystkich zbiorów można wyrazić za pomocą dobrze sformułowanej formuły, oznacza to, że teoria jest niespójna , a każde dobrze sformułowane twierdzenie, jak również jego negacja, jest twierdzeniem.

W tym kontekście ważność twierdzenia zależy tylko od poprawności jego dowodu. Jest niezależna od prawdy, a nawet od znaczenia aksjomatów. Nie oznacza to, że znaczenie aksjomatów jest nieciekawe, ale tylko, że ważność (prawda) twierdzenia jest niezależna od znaczenia aksjomatów. Ta niezależność może być użyteczna, pozwalając na wykorzystanie wyników niektórych obszarów matematyki w pozornie niepowiązanych obszarach.

Ważną konsekwencją takiego sposobu myślenia matematyki jest to, że pozwala on na definiowanie teorii i twierdzeń matematycznych jako obiektów matematycznych oraz dowodzenie twierdzeń na ich temat. Przykładem są twierdzenia o niezupełności Gödla . W szczególności istnieją dobrze sformułowane twierdzenia, które można udowodnić, że nie są twierdzeniem teorii otoczenia, chociaż można je udowodnić w szerszej teorii. Przykładem jest twierdzenie Goodsteina , które można stwierdzić w arytmetyce Peano , ale okazało się nie do udowodnienia w arytmetyce Peano. Jest to jednak możliwe do udowodnienia w niektórych bardziej ogólnych teoriach, takich jak teoria mnogości Zermelo-Fraenkla .

Rozważania epistemologiczne

Wiele twierdzeń matematycznych to zdania warunkowe, których dowody wyprowadzają wnioski z warunków znanych jako hipotezy lub przesłanki . W świetle interpretacji dowodu jako uzasadnienia prawdy wniosek jest często postrzegany jako konieczna konsekwencja postawionych hipotez. Mianowicie, że wniosek jest prawdziwy w przypadku, gdy hipotezy są prawdziwe – bez żadnych dalszych założeń. Jednak warunkowy może być również różnie interpretowany w niektórych systemach dedukcyjnych , w zależności od znaczeń przypisanych do reguł derywacji i symbolu warunkowego (np. logika nieklasyczna ).

Chociaż twierdzenia można pisać w postaci całkowicie symbolicznej (np. jako twierdzenia w rachunku zdań ), często są one wyrażane nieformalnie w języku naturalnym, takim jak angielski, dla lepszej czytelności. To samo dotyczy dowodów, które często wyrażane są jako logicznie zorganizowane i jasno sformułowane nieformalne argumenty, mające na celu ponad wszelką wątpliwość przekonanie czytelników o prawdziwości twierdzenia, iz których w zasadzie można skonstruować formalny dowód symboliczny.

Oprócz lepszej czytelności, nieformalne argumenty są zazwyczaj łatwiejsze do sprawdzenia niż czysto symboliczne — w rzeczywistości wielu matematyków preferowałoby dowód, który nie tylko pokazuje słuszność twierdzenia, ale także wyjaśnia w jakiś sposób, dlaczego jest ono oczywiście oczywiste. prawda. W niektórych przypadkach można nawet uzasadnić twierdzenie, używając obrazu jako jego dowodu.

Ponieważ twierdzenia leżą u podstaw matematyki, są również kluczowe dla jej estetyki . Twierdzenia są często opisywane jako „trywialne”, „trudne”, „głębokie”, a nawet „piękne”. Te subiektywne osądy różnią się nie tylko w zależności od osoby, ale także w czasie i kulturze: na przykład w miarę uzyskiwania dowodu, uproszczenia lub lepszego zrozumienia, twierdzenie, które kiedyś było trudne, może stać się trywialne. Z drugiej strony, głębokie twierdzenie może być sformułowane w prosty sposób, ale jego dowód może obejmować zaskakujące i subtelne powiązania między różnymi dziedzinami matematyki. Wielkie Twierdzenie Fermata jest szczególnie dobrze znanym przykładem takiego twierdzenia.

Nieformalne konto twierdzeń

Logicznie rzecz biorąc , wiele twierdzeń ma formę oznajmującego trybu warunkowego : Jeśli A , to B . Takie twierdzenie nie stwierdza B — tylko, że B jest konieczną konsekwencją A . W tym przypadku, nazywa się hipotezą twierdzenia ( „hipoteza” tutaj oznacza coś zupełnie innego od przypuszczeń ) i B do wniosku twierdzenia. Dwa razem (bez dowodu) nazywane są propozycją lub oświadczenie twierdzenia (np „ Jeżeli A, to B ” to propozycja ). Alternatywnie, A i B można również nazwać odpowiednio poprzednikiem i następnikiem . Twierdzenie „Jeśli n jest parzystą liczbą naturalną , to n /2 jest liczbą naturalną” jest typowym przykładem, w którym hipoteza brzmi „ n jest parzystą liczbą naturalną”, a wniosek brzmi: „ n /2 jest również liczbą naturalną numer".

Aby twierdzenie zostało udowodnione, musi być w zasadzie wyrażalne jako precyzyjne, formalne stwierdzenie. Jednak twierdzenia są zwykle wyrażane w języku naturalnym, a nie w postaci całkowicie symbolicznej – przy założeniu, że zdanie formalne można wyprowadzić z nieformalnego.

W matematyce często wybiera się kilka hipotez w obrębie danego języka i deklaruje, że teoria składa się ze wszystkich twierdzeń, które można udowodnić na podstawie tych hipotez. Hipotezy te stanowią fundamentalną podstawę teorii i nazywane są aksjomatami lub postulatami. Dziedzina matematyki znana jako teoria dowodu zajmuje się językami formalnymi, aksjomatami i strukturą dowodów.

Mapa planarna z pięcioma kolorami, tak aby nie spotykały się dwa regiony o tym samym kolorze. W rzeczywistości można go pokolorować w ten sposób tylko czterema kolorami. Twierdzenie o czterech kolorach mówi, że takie kolorowanie jest możliwe dla każdej mapy planarnej, ale każdy znany dowód wymaga wyszukiwania obliczeniowego, które jest zbyt długie, aby sprawdzić je ręcznie.

Niektóre twierdzenia są „ trywialne ” w tym sensie, że wynikają z definicji, aksjomatów i innych twierdzeń w oczywisty sposób i nie zawierają żadnych zaskakujących spostrzeżeń. Z drugiej strony niektóre można nazwać „głębokimi”, ponieważ ich dowody mogą być długie i trudne, dotyczą obszarów matematyki powierzchownie odmiennych od samego twierdzenia lub wykazują zaskakujące powiązania między różnymi dziedzinami matematyki. Twierdzenie może być proste do sformułowania, a jednocześnie głębokie. Doskonałym przykładem jest Wielkie Twierdzenie Fermata , a istnieje wiele innych przykładów prostych, ale głębokich twierdzeń między innymi w teorii liczb i kombinatoryce .

Inne twierdzenia mają znany dowód, którego nie da się łatwo zapisać. Najbardziej znanymi przykładami są twierdzenie o czterech kolorach i hipoteza Keplera . Wiadomo, że oba te twierdzenia są prawdziwe tylko przez zredukowanie ich do wyszukiwania obliczeniowego, które jest następnie weryfikowane przez program komputerowy. Początkowo wielu matematyków nie akceptowało tej formy dowodu, ale stała się ona coraz szerzej akceptowana. Matematyk Doron Zeilberger posunął się nawet do stwierdzenia, że ​​są to prawdopodobnie jedyne nietrywialne wyniki, jakie matematycy kiedykolwiek udowodnili. Wiele twierdzeń matematycznych można zredukować do prostszych obliczeń, w tym tożsamości wielomianowych, tożsamości trygonometrycznych i tożsamości hipergeometrycznych.

Związek z teoriami naukowymi

Twierdzenia w matematyce i teorie w nauce różnią się zasadniczo pod względem epistemologii . Teorii naukowej nie można udowodnić; jego kluczową cechą jest to, że jest falsyfikowalny , to znaczy tworzy przewidywania dotyczące świata przyrody, które można przetestować eksperymentalnie . Jakakolwiek niezgodność między przewidywaniem a eksperymentem świadczy o błędności teorii naukowej lub przynajmniej ogranicza jej dokładność lub domenę słuszności. Z drugiej strony twierdzenia matematyczne są czysto abstrakcyjnymi twierdzeniami formalnymi: dowód twierdzenia nie może obejmować eksperymentów lub innych dowodów empirycznych w taki sam sposób, w jaki takie dowody są wykorzystywane do wspierania teorii naukowych.

Collatz przypuszczenie jedną stronę w celu zilustrowania jego złożoność jest rozszerzenie iteracji z liczb naturalnych, na liczbach zespolonych. W efekcie powstaje fraktal , który (zgodnie z uniwersalnością ) przypomina zbiór Mandelbrota .

Niemniej jednak istnieje pewien stopień empiryzmu i gromadzenia danych związanych z odkryciem twierdzeń matematycznych. Ustanawiając wzorzec, czasami przy pomocy potężnego komputera, matematycy mogą mieć pomysł, co udowodnić, a w niektórych przypadkach nawet plan, jak zabrać się do wykonania dowodu. Możliwe jest również znalezienie pojedynczego kontrprzykładu, a więc ustalenie niemożliwości dowodu dla twierdzenia, jak stwierdzono, i ewentualnie zasugerowanie ograniczonych form pierwotnego zdania, które mogą mieć wykonalne dowody.

Na przykład zarówno hipoteza Collatza , jak i hipoteza Riemanna są dobrze znanymi nierozwiązanymi problemami; zostały one szeroko przebadane poprzez kontrole empiryczne, ale pozostają nieudowodnione. Collatz hipoteza została zweryfikowana przez wartości początkowe do około 2,88 x 10 ¹⁸ . Hipoteza Riemanna została zweryfikowana do ładowni dla pierwszych 10 bilionów nietrywialnych zer z funkcją zeta . Chociaż większość matematyków może tolerować przypuszczenie, że przypuszczenie i hipoteza są prawdziwe, żadne z tych twierdzeń nie jest uważane za udowodnione.

Takie dowody nie stanowią dowodu. Na przykład hipoteza Mertensa jest stwierdzeniem dotyczącym liczb naturalnych, o którym obecnie wiadomo, że jest fałszywe, ale nie ma wyraźnego kontrprzykładu (tj. liczby naturalnej n, dla której funkcja Mertensa M ( n ) jest równa lub przekracza pierwiastek kwadratowy z n ) jest znane: wszystkie liczby mniejsze niż 10 ¹⁴ mają własność Mertensa, a najmniejsza liczba, która nie ma tej własności, jest tylko mniejsza niż wykładnicza 1,59 × 10 ⁴⁰ , która jest w przybliżeniu 10 do potęgi 4,3 × 10 ³⁹ . Ponieważ liczba cząstek we wszechświecie jest ogólnie uważana za mniejszą niż 10 do potęgi 100 ( googol ), nie ma nadziei na znalezienie wyraźnego kontrprzykładu poprzez wyczerpujące poszukiwania .

Słowo „teoria” istnieje również w matematyce, oznaczając zbiór aksjomatów matematycznych, definicji i twierdzeń, jak na przykład w teorii grup (patrz teoria matematyczna ). Istnieją również „twierdzenia” w nauce, szczególnie fizyce i inżynierii, ale często mają one twierdzenia i dowody, w których ważną rolę odgrywają założenia fizyczne i intuicja; fizyczne aksjomaty, na których opierają się takie „twierdzenia”, są same w sobie falsyfikowalne.

Terminologia

Istnieje wiele różnych terminów dla zdań matematycznych; terminy te wskazują na rolę, jaką oświadczenia odgrywają w danym temacie. Rozróżnienie między różnymi terminami jest czasami dość arbitralne, a użycie niektórych terminów ewoluowało z biegiem czasu.

• Aksjomat lub postulat jest podstawowym założeniem w odniesieniu do przedmiotu badań, które zostało przyjęte bez dowodu. Pokrewnym pojęciem jest pojęcie definicji , które podaje znaczenie słowa lub frazy w kategoriach znanych pojęć. Geometria klasyczna rozróżnia aksjomaty, które są twierdzeniami ogólnymi; i postulaty, które są stwierdzeniami o obiektach geometrycznych. Historycznie aksjomaty uważano za „ oczywiste ”; dziś przyjmuje się jedynie, że są prawdziwe.
• Przypuszczenie jest nieudowodnione oświadczenie, że uważa się za prawdziwe. Przypuszczenia są zazwyczaj wykonane w miejscach publicznych, a nazwany po ich przygotowywania (np przypuszczenie Goldbacha i Collatz przypuszczenie ). Termin hipoteza jest również używany w tym sensie (np. hipoteza Riemanna ), którego nie należy mylić z „hipotezą” jako przesłanką dowodu. Czasami używane są również inne terminy, na przykład problem, gdy ludzie nie są pewni, czy dane stwierdzenie należy uznać za prawdziwe. Wielkie Twierdzenie Fermata historycznie nazywano twierdzeniem, chociaż przez wieki było to tylko przypuszczenie.
• Twierdzenie jest stwierdzenie, że okazał się być prawdziwe na podstawie aksjomatów i innych twierdzeń.
• Propozycja jest twierdzeniem o mniejszym znaczeniu, lub taki, który jest uważany za tak elementarny lub natychmiast oczywiste, że można stwierdzić bez dowodu. Nie należy tego mylić z „zdaniem” używanym w logice zdań . W geometrii klasycznej termin „Propozycja” użyto w inny sposób: w Euklides jest Elementy ( c.  300 pne ), wszystkie twierdzenia i konstrukcje geometryczne zwane «propozycji», niezależnie od ich ważności.
• Lemat jest „akcesorium propozycja” - propozycja z małym zastosowania poza jego stosowania w konkretnym dowodem. Z biegiem czasu lemat może zyskać na znaczeniu i uznać za twierdzenie , chociaż termin „lemat” jest zazwyczaj przechowywane jako część jego nazwy (np. Lemat Gaussa , lemat Zorna , a podstawowym lemat ).
• Następstwem jest propozycją, która wynika bezpośrednio z innego twierdzenia lub aksjomatu, z małym lub bez wymaganego dowodu. Następstwem może być również powtórzenie twierdzenia w prostszej formie, albo dla szczególnego przypadku , na przykład, twierdzenie „wszystkie wewnętrzne kąty w prostokącie są kąty proste ” ma następstwo, że „wszystkie wewnętrzne kąty w kwadracie są w porządku kąty " - kwadrat będący szczególnym przypadkiem prostokąta.
• Uogólnienie z twierdzenia jest twierdzeniem o podobnym stwierdzeniem, ale o szerszym zakresie, z którego oryginalna twierdzenie można wywnioskować jako szczególny przypadek (a wywodzonej ).

Inne terminy mogą być również używane ze względów historycznych lub zwyczajowych, na przykład:

• Tożsamość jest twierdzenie podając się równość dwóch wyrażeń, które odnosi się do dowolnej wartości w swojej domenie (np. Tożsamość bézouta i tożsamość Vandermonde za ).
• Zasada jest twierdzenie, że tworzy użyteczny wzór (np. Zasadę Bayesa i zasadę Cramera ).
• Prawo lub zasada jest twierdzeniem z szerokiego zastosowania (np. Z prawa wielkich liczb , twierdzenie cosinusów , Kołmogorowa jest zero-jeden prawo , twierdzenie harnacka The zasada najmniej górna granica , a zasada pigeonhole ).

Kilka znanych twierdzeń ma jeszcze bardziej idiosynkratyczne nazwy, na przykład algorytm dzielenia , wzór Eulera i paradoks Banacha–Tarskiego .

Układ

Twierdzenie i jego dowód są zazwyczaj przedstawiane w następujący sposób:

Twierdzenie (nazwisko osoby, która je udowodniła, wraz z rokiem odkrycia lub opublikowania dowodu)

Stwierdzenie twierdzenia (czasami nazywane twierdzeniem )

Dowód

Opis dowodu

Kończyć się

Koniec dowodu może być sygnalizowany literami QED ( quod erat demonstrandum ) lub jednym ze znaków nagrobnych , takich jak „□” lub „∎”, czyli „koniec dowodu”, wprowadzonymi przez Paula Halmosa po ich użyciu w czasopisma na koniec artykułu.

Dokładny styl zależy od autora lub publikacji. Wiele publikacji zawiera instrukcje lub makra do składu w stylu domu .

Często twierdzenie jest poprzedzone definicjami opisującymi dokładne znaczenie terminów użytych w twierdzeniu. Często zdarza się również, że twierdzenie jest poprzedzone pewną liczbą zdań lub lematów, które są następnie używane w dowodzie. Jednak lematy są czasami osadzone w dowodzie twierdzenia, albo z dowodami zagnieżdżonymi, albo z ich dowodami przedstawionymi po dowodzie twierdzenia.

Wnioski z twierdzenia przedstawiane są albo pomiędzy twierdzeniem a dowodem, albo bezpośrednio po dowodzie. Czasami wnioski mają własne dowody, które wyjaśniają, dlaczego wynikają z twierdzenia.

Fabuła

Szacuje się, że każdego roku dowodzi się ponad ćwierć miliona twierdzeń.

Znany aforyzm , „Matematyk to urządzenie do toczenia kawę do twierdzeń” , to prawdopodobnie spowodowane Alfred Rényi , choć często przypisuje się koledze Renyi za Paul Erdős (i Renyi mogło myślenie Erdös), który był sławny za wiele twierdzeń, które stworzył, liczbę jego kolaboracji i picie kawy.

Klasyfikacji skończonych grup prostych jest uważany przez niektórych za najdłuższy dowód twierdzenia. Zawiera dziesiątki tysięcy stron w 500 artykułach w czasopismach autorstwa około 100 autorów. Uważa się, że prace te dostarczają pełnego dowodu, a kilka trwających projektów ma nadzieję skrócić i uprościć ten dowód. Innym twierdzeniem tego typu jest twierdzenie o czterech kolorach, którego dowód wygenerowany przez komputer jest zbyt długi, aby człowiek mógł go odczytać. Jest to jeden z najdłużej znanych dowodów twierdzenia, którego twierdzenie może być łatwo zrozumiane przez laika.

Twierdzenia w logice

W logice matematycznej , A formalna teoria jest zbiorem zdań w języku formalnym . Zdanie to dobrze sformułowana formuła bez wolnych zmiennych. Zdanie należące do teorii jest jednym z jej twierdzeń, a teoria jest zbiorem jej twierdzeń. Zwykle teorię rozumie się jako zamkniętą w relacji logicznej konsekwencji . Niektóre relacje definiują teorię jako zamkniętą w ramach semantycznej relacji konsekwencji ( ), podczas gdy inne definiują ją jako zamkniętą w ramach konsekwencji syntaktycznej lub relacji wyprowadzalności ( ). ${\displaystyle \modele}$${\displaystyle \vdash}$

Ten diagram przedstawia encje składniowe, które można skonstruować z języków formalnych . Te symbole i ciągów symboli mogą być ogólnie podzielone na nonsensowne i wzorów zbudowanych . Język formalny można uważać za identyczny ze zbiorem jego dobrze sformułowanych formuł. Zbiór dobrze uformowanych formuł można ogólnie podzielić na twierdzenia i nie- twierdzenia.

Aby teoria została zamknięta w relacji wyprowadzalności, musi być powiązana z systemem dedukcyjnym, który określa sposób wyprowadzania twierdzeń. System dedukcyjny może być określony wprost lub może wynikać z kontekstu. Zamknięcie zbioru pustego w relacji konsekwencji logicznej daje zbiór zawierający tylko te zdania, które są twierdzeniami systemu dedukcyjnego.

W szerokim sensie, w jakim termin ten jest używany w logice, twierdzenie nie musi być prawdziwe, ponieważ zawierająca je teoria może być nieprawidłowa w stosunku do danej semantyki lub w stosunku do standardowej interpretacji języka, na którym się ono opiera. Teoria, która jest niespójna, ma wszystkie zdania jako twierdzenia.

Definicja twierdzeń jako zdań języka formalnego jest przydatna w teorii dowodu , która jest gałęzią matematyki zajmującą się badaniem struktury dowodów formalnych i strukturą formuł dowodliwych. Jest to również ważne w teorii modeli , która zajmuje się relacjami między teoriami formalnymi a strukturami, które są w stanie zapewnić im semantykę poprzez interpretację .

Chociaż twierdzenia mogą być zdaniami niezinterpretowanymi, w praktyce matematyków bardziej interesują znaczenia zdań, czyli zdania, które wyrażają. Tym, co czyni twierdzenia formalne użytecznymi i interesującymi, jest to, że mogą być interpretowane jako twierdzenia prawdziwe, a ich wyprowadzenia mogą być interpretowane jako dowód ich prawdziwości. Twierdzenie, którego interpretacja jest prawdziwy oświadczenie o formalnym systemie (w przeciwieństwie do wewnątrz systemu formalnego) nazywamy metatheorem .

Niektóre ważne twierdzenia w logice matematycznej to:

• Zwartość logiki pierwszego rzędu
• Kompletność logiki pierwszego rzędu
• Twierdzenia Gödla o niezupełności arytmetyki pierwszego rzędu
• Spójność arytmetyki pierwszego rzędu
• Twierdzenie Tarskiego o niedefiniowalności
• Twierdzenie Churcha-Turinga o nierozstrzygalności
• twierdzenie Löba
• Twierdzenie Löwenheima-Skolema
• Twierdzenie Lindströma
• Twierdzenie Craiga
• Twierdzenie o eliminacji cięcia

Składnia i semantyka

Pojęcie twierdzenia formalnego jest zasadniczo syntaktyczne, w przeciwieństwie do pojęcia zdania prawdziwego, które wprowadza semantykę . Różne systemy dedukcyjne mogą dawać inne interpretacje, w zależności od założeń reguł derywacji (tj. przekonania , uzasadnienia lub innych modalności ). Zasadność formalnego systemu zależy od tego, czy wszystkie jego twierdzenia są również poprawne wartości . Trafność to formuła, która jest prawdziwa pod każdą możliwą interpretacją (na przykład w klasycznej logice zdań słuszności są tautologiami ). System formalny jest uważany za semantycznie kompletny, gdy wszystkie jego twierdzenia są również tautologiami.

Interpretacja twierdzenia formalnego

Twierdzenia i teorie

Zobacz też

• Lista twierdzeń
• Twierdzenie podstawowe
• Formuła
• Wnioskowanie
• Twierdzenie o zabawce

Uwagi

Bibliografia

Bibliografia

• Boolos, George; Burgess, John; Jeffrey, Richard (2007). Obliczalność i logika (wyd. 5). Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge.
• Chiswella, Iana; Hodges, Wilfred (2007). Logika matematyczna . Oxford University Press.
• Enderton, Herbert (2001). Matematyczne wprowadzenie do logiki (2nd ed.). Prasa akademicka Harcourt.
• Heath, Sir Thomas Mały (1897). Dzieła Archimedesa . Dover . Źródło 2009-11-15 .
• Hedman, Shawn (2004). Pierwszy kurs logiki . Oxford University Press.
• Hinman, Piotr (2005). Podstawy logiki matematycznej . Wellesley, MA: AK Peters.
• Hoffman, P. (1998). Człowiek, który kochał tylko liczby : historia Paula Erdősa i poszukiwanie prawdy matematycznej . Hyperion, Nowy Jork. Numer ISBN 1-85702-829-5.
• Hodges, Wilfrid (1993). Teoria modeli . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge.
• Hunter, Geoffrey (1996) (1973). Metalogic: wprowadzenie do metateorii standardowej logiki pierwszego rzędu . Wydawnictwo Uniwersytetu Kalifornijskiego. Numer ISBN 0-520-02356-0.
• Johnstone, PT (1987). Uwagi o logice i teorii mnogości . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge.
• Mates, Benson (1972). Logika elementarna . Oxford University Press. Numer ISBN 0-19-501491-X.
• Mnich, J. Donald (1976). Logika matematyczna . Springer-Verlag.
• Petkovsek, Marko; Wilka, Herberta; Zeilbergera, Dorona (1996). A = B . AK Peters, Wellesley, Massachusetts. Numer ISBN 1-56881-063-6.
• Rautenberg, Wolfgang (2010). Zwięzłe wprowadzenie do logiki matematycznej (3rd ed.). Skoczek.
• van Dalen, Dirk (1994). Logika i struktura (3rd ed.). Springer-Verlag.

Zewnętrzne linki

• Multimedia związane z twierdzeniami w Wikimedia Commons
• Weisstein, Eric W. „Twierdzenie” . MatematykaŚwiat .
• Twierdzenie dnia