Trygonometria - Trigonometry

Trygonometria
Zarys Historia Stosowanie Funkcje  ( odwrotność ) Uogólniona trygonometria
Referencja
Tożsamości Dokładne stałe Stoły Koło jednostkowe
Prawa i twierdzenia
sinusy Cosinusy Styczne Cotangens twierdzenie Pitagorasa
Rachunek różniczkowy
Podstawienie trygonometryczne Całki  ( funkcje odwrotne ) Pochodne
v T mi

Trygonometria (od greckiego trigōnon , „trójkąt” i METRON , „środek”) jest gałęzią matematyki , że badania relacji między długościami bocznych i kątów w trójkątach . Dziedzina ta pojawiła się w świecie hellenistycznym w III wieku pne od zastosowań geometrii do badań astronomicznych . Grecy skupili się na obliczaniu akordów , podczas gdy matematycy w Indiach stworzyli najwcześniejsze znane tablice wartości stosunków trygonometrycznych (zwanych również funkcjami trygonometrycznymi ), takie jak sinus .

Na przestrzeni dziejów trygonometrię stosowano w dziedzinach takich jak geodezja , geodezja , mechanika nieba i nawigacja .

Trygonometria znana jest z wielu tożsamości . Te tożsamości trygonometryczne są powszechnie używane do przepisywania wyrażeń trygonometrycznych w celu uproszczenia wyrażenia, znalezienia bardziej użytecznej formy wyrażenia lub rozwiązania równania .

Historia

Hipparch , któremu przypisuje się sporządzenie pierwszej tabeli trygonometrycznej , został opisany jako „ojciec trygonometrii”.

Sumeryjscy astronomowie badali miarę kąta, używając podziału okręgów na 360 stopni. Oni, a później Babilończycy , badali stosunki boków podobnych trójkątów i odkryli pewne właściwości tych stosunków, ale nie przekształcili tego w systematyczną metodę znajdowania boków i kątów trójkątów. W starożytnych Nubians stosować podobną metodę.

W III wieku pne matematycy hellenistyczni, tacy jak Euklides i Archimedes, badali właściwości akordów i kątów wpisanych w koła i udowodnili twierdzenia, które są równoważne współczesnym wzorom trygonometrycznym, chociaż przedstawiali je raczej geometrycznie niż algebraicznie. W 140 rpne Hipparch (z Nicei w Azji Mniejszej) dał pierwsze tablice akordów, analogiczne do współczesnych tablic wartości sinus , i używał ich do rozwiązywania problemów trygonometrii i trygonometrii sferycznej . W II wieku naszej ery grecko-egipski astronom Ptolemeusz (z Aleksandrii w Egipcie) skonstruował szczegółowe tablice trygonometryczne ( tablicę akordów Ptolemeusza ) w księdze 1, rozdziale 11 swojego Almagestu . Ptolemeusz użył długości cięciwy do zdefiniowania swoich funkcji trygonometrycznych, co jest niewielką różnicą w stosunku do konwencji sinus, której używamy dzisiaj. (Wartość, którą nazywamy sin(θ) można znaleźć, sprawdzając długość cięciwy dla dwukrotności kąta zainteresowania (2θ) w tabeli Ptolemeusza, a następnie dzieląc tę ​​wartość przez dwa.) Minęły wieki, zanim stworzono bardziej szczegółowe tabele, i Traktat Ptolemeusza był używany do wykonywania obliczeń trygonometrycznych w astronomii przez następne 1200 lat w średniowiecznym świecie bizantyjskim , islamskim , a później zachodnioeuropejskim.

Współczesna konwencja sinusoidalna została po raz pierwszy poświadczona w Surya Siddhanta , a jej właściwości zostały dodatkowo udokumentowane przez indyjskiego matematyka i astronoma Aryabhatę z V wieku (AD) . Te greckie i indyjskie dzieła zostały przetłumaczone i rozszerzone przez średniowiecznych matematyków islamskich . W X wieku matematycy islamscy używali wszystkich sześciu funkcji trygonometrycznych, stabelaryzowali ich wartości i stosowali je do problemów z geometrii sferycznej . Perski erudyta Nasir ad-Din Tusi został opisany jako twórca trygonometrii jako dyscypliny matematycznej w sobie. Nasir al-Dīn al-Tūsī jako pierwszy potraktował trygonometrię jako dyscyplinę matematyczną niezależną od astronomii i rozwinął trygonometrię sferyczną do jej obecnej postaci. Wymienił sześć odrębnych przypadków trójkąta prostokątnego w trygonometrii sferycznej, a w swoim O figurze sektorowej stwierdził prawo sinusów dla trójkątów płaskich i sferycznych, odkrył prawo stycznych dla trójkątów sferycznych i dostarczył dowodów dla obu te prawa. Znajomość funkcji i metod trygonometrycznych dotarła do Europy Zachodniej za pośrednictwem łacińskich przekładów greckiego Almagestu Ptolemeusza oraz dzieł astronomów perskich i arabskich, takich jak Al Battani i Nasir al-Din al-Tusi . Jedną z najwcześniejszych prac na temat trygonometrii północnoeuropejskiego matematyka jest De Triangulis XV-wiecznego niemieckiego matematyka Regiomontanus , który został zachęcony do pisania i zaopatrzony w kopię Almagestu przez bizantyjskiego greckiego uczonego kardynała Basiliosa Bessariona, z którym żył przez kilka lat. W tym samym czasie inny przekład Almagestu z greki na łacinę został ukończony przez kreteńskiego Jerzego z Trebizondu . Trygonometria była wciąż tak mało znana w XVI-wiecznej północnej Europie, że Mikołaj Kopernik poświęcił dwa rozdziały De revolutionibus orbium coelestium na wyjaśnienie jej podstawowych pojęć.

Kierując się wymaganiami nawigacji i rosnącym zapotrzebowaniem na dokładne mapy dużych obszarów geograficznych, trygonometria stała się główną gałęzią matematyki. Jako pierwszy użył tego słowa Bartholomaeus Pitiscus , publikując swoją Trygonometrię w 1595 roku. Gemma Frisius po raz pierwszy opisała metodę triangulacji stosowaną do dziś w geodezji. To Leonhard Euler w pełni włączył liczby zespolone do trygonometrii. Wpływ na rozwój serii trygonometrycznych miały prace szkockich matematyków Jamesa Gregory'ego z XVII wieku i Colina Maclaurina z XVIII wieku . Również w XVIII wieku Brook Taylor zdefiniował ogólną serię Taylora .

Stosunki trygonometryczne

W tym trójkącie prostokątnym: sin A = a / c ; cos A = b / c ; tan A = a / b .

Stosunki trygonometryczne to stosunki między krawędziami trójkąta prostokątnego. Stosunki te są podane przez następujące funkcje trygonometryczne znanego kąta A , gdzie a , b i c odnoszą się do długości boków na załączonym rysunku:

• Sinus funkcji (SIN), określony jako stosunek stronie przeciwnej do kątem do przeciwprostokątnej .

${\ Displaystyle \ sin A = {\ Frac {\ textrm {naprzeciw}} {\ textrm {hipoprostokąt}}} = {\ Frac {a} {c}}.}$

• Funkcja cosinus (cos), zdefiniowana jako stosunek sąsiedniej nogi (boku trójkąta łączącego kąt z kątem prostym) do przeciwprostokątnej.

${\ Displaystyle \ cos A = {\ Frac {\ textrm {sąsiadujący}} {\ textrm {hipoprostokąt}}} = {\ Frac {b} {c}}.}$

• Funkcja styczna (tan), zdefiniowana jako stosunek odnogi przeciwległej do odnogi sąsiedniej.

${\ Displaystyle \ tan A = {\ Frac {\ textrm {naprzeciwko}} {\ textrm {sąsiedni}}} = {\ Frac {a} {b}} = {\ Frac {a/c} {b/c} }={\frac {\sin A}{\cos A}}.}$

Przeciwprostokątna jest bok przeciwległy do kąta 90 stopni w trójkąt; jest to najdłuższy bok trójkąta i jeden z dwóch boków sąsiadujących z kątem A . Sąsiedztwie nogi jest druga strona, która znajduje się w sąsiedztwie kąta A . Strona przeciwna to strona przeciwna do kąta A . Terminy prostopadły i podstawa są czasami używane odpowiednio dla przeciwnych i sąsiednich boków. Zobacz poniżej pod Mnemotechniką .

Ponieważ dowolne dwa trójkąty prostokątne o tym samym kącie ostrym A są podobne , wartość stosunku trygonometrycznego zależy tylko od kąta A .

W odwrotności tych funkcji są nazwane cosecans (CSC), sieczny (s) i cotangent odpowiednio (łóżeczko):

${\ Displaystyle \ csc A = {\ Frac {1} {\ sin A}} = {\ Frac {\ textrm {niedoprostokątna}} {\ textrm {naprzeciw}}} = {\ Frac {c} {a}}, }$

${\ Displaystyle \ sec A = {\ Frac {1} {\ cos A}} = {\ Frac {\ textrm {przyprostokątna}} {\ textrm {sąsiadujący}}} = {\ Frac {c} {b}}, }$

${\ Displaystyle \ cot A = {\ Frac {1} {\ tan A}} = {\ Frac {\ textrm {sąsiadujący}} {\ textrm {naprzeciw}}} = {\ Frac {\ cos A} {\ grzech A}}={\frac {b}{a}}.}$

Cosinus, cotangens i cosecans są tak nazwane, ponieważ są one odpowiednio sinusem, tangensem i secansem dopełniającego kąta w skrócie „co-”.

Dzięki tym funkcjom można odpowiedzieć praktycznie na wszystkie pytania dotyczące dowolnych trójkątów, posługując się prawem sinusów i prawem cosinusów . Prawa te można wykorzystać do obliczenia pozostałych kątów i boków dowolnego trójkąta, gdy tylko znane są dwa boki i ich kąt zawarty lub dwa kąty i bok lub trzy boki.

Mnemonika

Powszechnym zastosowaniem mnemotechniki jest zapamiętywanie faktów i relacji w trygonometrii. Na przykład współczynniki sinus , cosinus i tangens w trójkącie prostokątnym można zapamiętać, przedstawiając je i odpowiadające im boki jako ciągi liter. Na przykład mnemonik to SOH-CAH-TOA:

S ine = O pposite ÷ H ypotenuse

C osine = djacent ÷ H ypotenuse

T angent = O pposite ÷ djacent

Jednym ze sposobów, aby pamiętać liter jest ich wysondować fonetycznie (tj SOH-CAH-TOA , który jest wymawiane 'tak Ka- toe -uh' / s oʊ k æ t oʊ ə / ). Innym sposobem jest zwiększenie litery Do zdania, takie jak „ S OMe O LD H ippie C cokolwiek kolizyjnego H ippie T Rippin' O n cid”.

Koło jednostkowe i wspólne wartości trygonometryczne

Rys. 1a – Sinus i cosinus kąta θ zdefiniowanego za pomocą okręgu jednostkowego.

Stosunki trygonometryczne można również przedstawić za pomocą okręgu jednostkowego , który jest okręgiem o promieniu 1 wyśrodkowanym na początku płaszczyzny. W tym ustawieniu, końcówka kąta A umieszczonego w pozycji standardowej przetnie okrąg jednostkowy w punkcie (x,y), gdzie i . Ta reprezentacja pozwala na obliczenie często spotykanych wartości trygonometrycznych, takich jak te w poniższej tabeli: ${\ Displaystyle x = \ cos A}$${\ Displaystyle y = \ grzech A}$

Funkcjonować	0	${\ Displaystyle \ pi/6}$	${\ Displaystyle \ pi /4}$	${\ Displaystyle \ pi /3}$	${\ Displaystyle \ pi /2}$	${\displaystyle 2\pi/3}$	${\displaystyle 3\pi/4}$	${\displaystyle 5\pi/6}$	${\displaystyle \pi}$
sinus	${\ Displaystyle 0}$	${\ Displaystyle 1/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\ Displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\ Displaystyle 1/2}$	${\ Displaystyle 0}$
cosinus	${\ Displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\ Displaystyle 1/2}$	${\ Displaystyle 0}$	${\ Displaystyle -1/2}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/2}$	${\ Displaystyle -1}$
tangens	${\ Displaystyle 0}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/3}$	${\ Displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	nieokreślony	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\ Displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/3}$	${\ Displaystyle 0}$
sieczna	${\ Displaystyle 1}$	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	nieokreślony	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$	${\ Displaystyle -2 {\ sqrt {3}}/3}$	${\ Displaystyle -1}$
cosecant	nieokreślony	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	${\ Displaystyle 1}$	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	nieokreślony
cotangens	nieokreślony	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\ Displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/3}$	${\ Displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/3}$	${\ Displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	nieokreślony

Funkcje trygonometryczne zmiennych rzeczywistych lub złożonych

Używając okręgu jednostkowego , można rozszerzyć definicję stosunków trygonometrycznych na wszystkie argumenty dodatnie i ujemne (patrz funkcja trygonometryczna ).

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Poniższa tabela podsumowuje właściwości wykresów sześciu głównych funkcji trygonometrycznych:

Funkcjonować	Okres	Domena	Zasięg	Wykres
sinus	${\displaystyle 2\pi}$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle [-1,1]}$
cosinus	${\displaystyle 2\pi}$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle [-1,1]}$
tangens	${\displaystyle \pi}$	${\displaystyle x\neq \pi/2+n\pi}$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$
sieczna	${\displaystyle 2\pi}$	${\displaystyle x\neq \pi/2+n\pi}$	${\displaystyle (-\infty,-1]\kubek [1,\infty)}$
cosecant	${\displaystyle 2\pi}$	${\displaystyle x\neq n\pi}$	${\displaystyle (-\infty,-1]\kubek [1,\infty)}$
cotangens	${\displaystyle \pi}$	${\displaystyle x\neq n\pi}$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

Odwrotne funkcje trygonometryczne

Ponieważ sześć głównych funkcji trygonometrycznych jest okresowych, nie są one iniektywne (lub 1 do 1), a zatem nie są odwracalne. Przez ograniczanie domenę trygonometryczne funkcji, jednakże mogą one być odwracalna.

Nazwy odwrotnych funkcji trygonometrycznych wraz z ich dziedzinami i zakresem można znaleźć w poniższej tabeli:

Reprezentacje szeregów potęgowych

Gdy są traktowane jako funkcje zmiennej rzeczywistej, stosunki trygonometryczne mogą być reprezentowane przez szereg nieskończony . Na przykład sinus i cosinus mają następujące reprezentacje:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ sin X i = x-{\ Frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ Frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ Frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1 }}{(2n+1)!}}\\\end{wyrównany}}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ cos x i = 1- {\ Frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ Frac {x ^ {4} {4!}} - {\ Frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}} {(2n)!}}.\end{wyrównany}}}$

Za pomocą tych definicji można zdefiniować funkcje trygonometryczne dla liczb zespolonych . Po rozszerzeniu jako funkcje zmiennych rzeczywistych lub złożonych, dla złożonego wykładnika obowiązuje następujący wzór :

${\ Displaystyle e ^ {x + iy} = e ^ {x} (\ cos r + i \ sin r).}$

Ta złożona funkcja wykładnicza, zapisana w kategoriach funkcji trygonometrycznych, jest szczególnie przydatna.

Obliczanie funkcji trygonometrycznych

Funkcje trygonometryczne były jednymi z najwcześniejszych zastosowań tablic matematycznych . Takie tabele zostały włączone do podręczników matematyki, a uczniów uczono, jak wyszukiwać wartości i jak interpolować między wymienionymi wartościami w celu uzyskania większej dokładności. Suwaki miały specjalne skale dla funkcji trygonometrycznych.

Kalkulatory naukowe posiadają przyciski do obliczania głównych funkcji trygonometrycznych (sin, cos, tan, a czasem cis i ich odwrotności). Większość pozwala na wybór metody pomiaru kąta: stopnie , radiany, a czasem gradiany . Większość języków programowania komputerów udostępnia biblioteki funkcji, które zawierają funkcje trygonometryczne. Sprzęt jednostki zmiennoprzecinkowej wbudowany w układy mikroprocesorowe stosowane w większości komputerów osobistych ma wbudowane instrukcje obliczania funkcji trygonometrycznych.

Inne funkcje trygonometryczne

Oprócz sześciu współczynników wymienionych wcześniej, istnieją dodatkowe funkcje trygonometryczne, które były historycznie ważne, choć obecnie rzadko są używane. Należą do nich akord ( crd( θ ) = 2 sin(θ/2) ), wersinę ( versin( θ ) = 1 − cos( θ ) = 2 sin ² (θ/2) ) (które pojawiły się w najwcześniejszych tabelach), coversine ( coversin( θ ) = 1 − sin( θ ) = versin(π/2− θ ) ), the haversine ( haversin( θ ) =1/2wersin( θ ) = grzech ² (θ/2) ), exsecant ( exsec( θ ) = sec( θ ) − 1 ) i excosecant ( excsc( θ ) = exsec(π/2- θ ) = CSC ( θ ) - 1 ). Zobacz Lista tożsamości trygonometrycznych, aby uzyskać więcej relacji między tymi funkcjami.

Aplikacje

Astronomia

Od wieków trygonometria sferyczna była używana do lokalizowania pozycji Słońca, Księżyca i gwiazd, przewidywania zaćmień i opisywania orbit planet.

W czasach współczesnych technikę triangulacji wykorzystuje się w astronomii do pomiaru odległości do pobliskich gwiazd, a także w systemach nawigacji satelitarnej .

Nawigacja

Sekstanty służą do pomiaru kąta słońca lub gwiazd względem horyzontu. Korzystając z trygonometrii i chronometru morskiego , na podstawie takich pomiarów można określić pozycję statku.

Historycznie trygonometria była używana do lokalizowania szerokości i długości geograficznych statków żaglowych, wyznaczania kursów i obliczania odległości podczas nawigacji.

Trygonometria jest nadal wykorzystywana w nawigacji za pomocą takich środków jak Global Positioning System oraz sztuczna inteligencja dla pojazdów autonomicznych .

Geodezja

W geodezji trygonometria jest używana do obliczania długości, powierzchni i względnych kątów między obiektami.

Na większą skalę trygonometria jest używana w geografii do pomiaru odległości między punktami orientacyjnymi.

Funkcje okresowe

Funkcja (na czerwono) to suma sześciu funkcji sinusoidalnych o różnych amplitudach i harmonicznie powiązanych częstotliwościach. Ich podsumowanie nazywa się szeregiem Fouriera. Transformaty Fouriera (niebieski), który przedstawia amplitudy vs częstotliwości ujawnia 6 o częstotliwości ( na nieparzystych harmonicznych ) i ich amplitudy ( 1 / liczba nieparzysta ).${\displaystyle s(x)}$${\ Displaystyle S (f)}$

Funkcje sinus i cosinus są fundamentalne dla teorii funkcji okresowych , takich jak te, które opisują fale dźwiękowe i świetlne . Fourier odkrył, że każdy ciągły , okresowy funkcja może być opisany jako nieskończoną sumę funkcji trygonometrycznych.

Nawet funkcje nieokresowe mogą być reprezentowane jako całka sinusów i cosinusów poprzez transformatę Fouriera . Ma to zastosowanie między innymi w mechanice kwantowej i komunikacji .

Optyka i akustyka

Trygonometria jest przydatna w wielu naukach fizycznych , w tym w akustyce i optyce . W tych obszarach są wykorzystywane do opisu fal dźwiękowych i świetlnych oraz do rozwiązywania problemów związanych z granicami i transmisją.

Inne aplikacje

Inne dziedziny wykorzystujące trygonometrię lub funkcje trygonometryczne to teoria muzyki , geodezja , synteza dźwięku , architektura , elektronika , biologia , obrazowanie medyczne ( TK i USG ), chemia , teoria liczb (a więc kryptologia ), sejsmologia , meteorologia , oceanografia , kompresja obrazu , fonetyka , ekonomia , elektrotechnika , inżynierii mechanicznej , inżynierii lądowej i wodnej , grafika komputerowa , kartografia , krystalografii i rozwoju gry .

Tożsamości

Trójkąt o bokach a , b , c i odpowiednio przeciwnych kątach A , B , C

Trygonometria została zauważona ze względu na wiele tożsamości, to znaczy równania, które są prawdziwe dla wszystkich możliwych danych wejściowych.

Tożsamości obejmujące tylko kąty są znane jako tożsamości trygonometryczne . Inne równania, znane jako tożsamości trójkątów , wiążą zarówno boki, jak i kąty danego trójkąta.

Tożsamości trójkąta

W poniższych tożsamościach A , B i C są kątami trójkąta, a a , b i c są długościami boków trójkąta przeciwległymi do odpowiednich kątów (jak pokazano na schemacie).

Prawo sinusów

Twierdzenie sinusów (znany również jako „sine reguły”) dla dowolnych stanów trójkąt:

${\ Displaystyle {\ Frac {a} {\ sin A}} = {\ Frac {b} {\ sin B}} = {\ Frac {c} {\ sin C}} = 2R = {\ Frac {ABC} {2\Delta}},}$

gdzie to pole trójkąta, a R to promień okręgu opisanego w trójkącie: ${\ Displaystyle \ Delta}$

${\ Displaystyle R = {\ Frac {ABC} {\ sqrt {(a + b + c) (a-b + c) (a + bc) (b + ca)}}}.}$

Prawo cosinusów

Twierdzenie cosinusów (znany jako wzoru cosinus lub „cos reguły”) jest rozszerzeniem twierdzenie Pitagorasa do arbitralnego trójkąty:

${\ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos C}$

lub równoważnie:

${\ Displaystyle \ cos C = {\ Frac {a ^ {2} + b ^ {2}-c ^ {2}} {2ab}}.}$

Prawo stycznych

Prawo stycznych , opracowany przez François Viète , jest alternatywą dla twierdzenie cosinusów przy rozwiązywaniu dla nieznanych krawędzi trójkąta, zapewniając prostsze obliczeń przy użyciu tablic trygonometrycznych. Podaje ją:

${\ Displaystyle {\ Frac {ab} {a + b}} = {\ Frac {\ tan \ lewo [{\ tfrac {1} {2}} (AB) \ prawo]} {\ tan \ lewo [{\ tfrac {1}{2}}(A+B)\prawo]}}}$

Powierzchnia

Mając dwa boki a i b oraz kąt między bokami C , pole trójkąta jest wyrażone przez połowę iloczynu długości dwóch boków i sinusa kąta między dwoma bokami:

Wzór Herona to kolejna metoda, której można użyć do obliczenia pola trójkąta. Ten wzór mówi, że jeśli trójkąt ma boki o długościach a , b i c , a półobwód jest

${\ Displaystyle s = {\ Frac {1} {2}} (a + b + c)}$

wtedy pole trójkąta to:

${\ Displaystyle {\ mbox {obszar}} = \ Delta = {\ sqrt {s (sa) (sb) (SC)}} = {\ Frac {ABC} {4R}}}$,

gdzie R jest promieniem okręgu opisanego w trójkącie.

${\ Displaystyle {\ mbox {obszar}} = \ Delta = {\ Frac {1} {2}} ab \ sin C.}$

Tożsamości trygonometryczne

Tożsamości pitagorejskie

Następujące tożsamości trygonometryczne są powiązane z twierdzeniem Pitagorasa i obowiązują dla dowolnej wartości:

${\ Displaystyle \ sin ^ {2} A + \ cos ^ {2} A = 1 \ }$

${\ Displaystyle \ tan ^ {2} A + 1 = \ s ^ {2} A \ }$

${\ Displaystyle \ łóżeczko ^ {2} A + 1 = \ csc ^ {2} A \ }$

Drugie i trzecie równanie otrzymuje się z podzielenia pierwszego równania odpowiednio przez i . ${\ Displaystyle \ cos ^ {2} {A}}$${\ Displaystyle \ grzech ^ {2} {A}}$

Wzór Eulera

Wzór Eulera , który stwierdza, że , daje następujące tożsamości analityczne dla sinusa, cosinusa i tangensa pod względem e oraz jednostki urojonej i : ${\ Displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x}$

${\ Displaystyle \ sin x = {\ Frac {e ^ {ix} -e ^ {-IX}} {2i}}, \ qquad \ cos x = {\ Frac {e ^ {ix} + e ^ {-IX }}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.}$

Inne tożsamości trygonometryczne

Inne powszechnie używane tożsamości trygonometryczne obejmują tożsamości półkąta, tożsamości sumy kątów i różnic oraz tożsamości produktu do sumy.

Zobacz też

Bibliografia

Bibliografia

• Boyer, Carl B. (1991). Historia matematyki (druga ed.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.
• Nielsen, Kaj L. (1966). Tablice logarytmiczne i trygonometryczne do pięciu miejsc (2nd ed.). Nowy Jork: Barnes & Noble . LCCN  61-9103 .
• Thurston, Hugh (1996). Wczesna astronomia . Springer Nauka i Media Biznesowe. Numer ISBN 978-0-387-94822-5.

Dalsza lektura

• „Funkcje trygonometryczne” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Linton, Christopher M. (2004). Od Eudoxusa do Einsteina: historia astronomii matematycznej . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge.
• Weisstein, Eric W. „Wzory trygonometryczne dodawania” . MatematykaŚwiat .

Zewnętrzne linki

• Khan Academy: Trygonometria, bezpłatne mikrowykłady online
• Trygonometria autorstwa Alfreda Monroe Kenyona i Louisa Ingolda, The Macmillan Company, 1914. Na zdjęciach przedstawiono pełny tekst.
• Zagadka trygonometryczna Benjamina Bannekera w konwergencji
• Krótki kurs Dave'a z trygonometrii autorstwa Davida Joyce'a z Clark University
• Trygonometria, Michael Corral, Obejmuje elementarną trygonometrię, rozpowszechniane na licencji GNU Free Documentation License