Grupa trywialna - Trivial group
W matematyce , A trywialne grupa lub grupy zerowej jest grupy składającej się z jednego elementu. Wszystkie te grupy są izomorficzne , więc jeden często mówi o tym grupa trywialna. Pojedynczy element grupy trywialnej jest elementem tożsamości i dlatego jest zwykle oznaczany jako taki: lub w zależności od kontekstu. Jeśli operacja grupowa jest oznaczona, to jest ona zdefiniowana przez
Podobnie zdefiniowany trywialny monoid jest również grupą, ponieważ jej jedynym elementem jest jego własna odwrotność, a zatem jest tym samym co grupa trywialna.
Grupa trywialna nie powinna być mylona z pustym zbiorem , który nie ma elementów i nie ma elementu tożsamości, nie może być grupą.
Definicje
Biorąc pod uwagę dowolną grupę z grupy składającej się tylko z pierwszego elementu jest podgrupa o i jest trywialny grupy nazywa siętrywialne podgrupy z
Termin, gdy odnosi się do „ nie ma nietrywialnych właściwych podgrup” odnosi się do jedynych podgrup będących grupą trywialną i samą grupą .
Nieruchomości
Trywialna grupa jest cykliczna porządku ; jako taki może być oznaczony lub Jeśli operacja grupowa jest nazywana dodawaniem, grupa trywialna jest zwykle oznaczana przez Jeśli operacja grupowa nazywana jest mnożeniem, to 1 może być notacją dla grupy trywialnej. Połączenie tych prowadzi do trywialnego pierścienia, w którym operacje dodawania i mnożenia są identyczne i
Grupa trywialna pełni rolę obiektu zerowego w kategorii grup , co oznacza, że jest zarówno obiektem początkowym, jak i końcowym .
Grupę trywialną można uczynić grupą (dwu) uporządkowaną , wyposażając ją w trywialny porządek nieścisły
Zobacz też
- Obiekt zerowy (algebra)
- Lista małych grup – artykuł z listy Wikipedii
Bibliografia
- Rowland, Todd i Weisstein, Eric W. „Trivial Group” . MatematykaŚwiat .