Grupa trywialna - Trivial group

W matematyce , A trywialne grupa lub grupy zerowej jest grupy składającej się z jednego elementu. Wszystkie te grupy są izomorficzne , więc jeden często mówi o tym grupa trywialna. Pojedynczy element grupy trywialnej jest elementem tożsamości i dlatego jest zwykle oznaczany jako taki: lub w zależności od kontekstu. Jeśli operacja grupowa jest oznaczona, to jest ona zdefiniowana przez${\ Displaystyle 0,1,}$${\displaystyle e}$${\displaystyle \,\cdot \,}$${\ Displaystyle e \ cdot e = e.}$

Podobnie zdefiniowany trywialny monoid jest również grupą, ponieważ jej jedynym elementem jest jego własna odwrotność, a zatem jest tym samym co grupa trywialna.

Grupa trywialna nie powinna być mylona z pustym zbiorem , który nie ma elementów i nie ma elementu tożsamości, nie może być grupą.

Definicje

Biorąc pod uwagę dowolną grupę z grupy składającej się tylko z pierwszego elementu jest podgrupa o i jest trywialny grupy nazywa się${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$trywialne podgrupy z${\ Displaystyle G.}$

Termin, gdy odnosi się do „ nie ma nietrywialnych właściwych podgrup” odnosi się do jedynych podgrup będących grupą trywialną i samą grupą . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle \{e\}}$${\ Displaystyle G}$

Nieruchomości

Trywialna grupa jest cykliczna porządku ; jako taki może być oznaczony lub Jeśli operacja grupowa jest nazywana dodawaniem, grupa trywialna jest zwykle oznaczana przez Jeśli operacja grupowa nazywana jest mnożeniem, to 1 może być notacją dla grupy trywialnej. Połączenie tych prowadzi do trywialnego pierścienia, w którym operacje dodawania i mnożenia są identyczne i${\ Displaystyle 1}$${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle C_{1}.}$${\ Displaystyle 0.}$${\ Displaystyle 0 = 1.}$

Grupa trywialna pełni rolę obiektu zerowego w kategorii grup , co oznacza, że ​​jest zarówno obiektem początkowym, jak i końcowym .

Grupę trywialną można uczynić grupą (dwu) uporządkowaną , wyposażając ją w trywialny porządek nieścisły ${\displaystyle \\leq.}$

Zobacz też

• Obiekt zerowy (algebra)
• Lista małych grup  – artykuł z listy Wikipedii

Bibliografia

• Rowland, Todd i Weisstein, Eric W. „Trivial Group” . MatematykaŚwiat .