Przestrzeń dwuwymiarowa - Two-dimensional space

Dwuwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich

Geometria
Wystające do sfery na płaszczyznę
Zarys Historia
Gałęzie Euklidesa Nieeuklidesowy Eliptyczny Kulisty Hiperboliczny Geometria niearchimedesowa Rzutowy Affine Syntetyczny Analityczny Algebraiczny Arytmetyka diofantyna Mechanizm różnicowy Riemanna Symplektyczny Dyskretna różnica Złożony Skończone Dyskretny/Kombinatoryczny Cyfrowy Wypukły Obliczeniowa Fraktal Zakres
Koncepcje Cechy Wymiar Konstrukcje prostoliniowe i kompasowe Kąt Krzywa Przekątna Ortogonalność ( prostopadłość ) Równoległy Wierzchołek Stosowność Podobieństwo Symetria
Zerowymiarowy Punkt
Jednowymiarowy Linia człon promień Długość
Dwuwymiarowy Samolot Powierzchnia Wielokąt Trójkąt Wysokość Przeciwprostokątna twierdzenie Pitagorasa Równoległobok Kwadrat Prostokąt Romb Romboid Czworoboczny trapez latawiec Koło Średnica Obwód Powierzchnia
Trójwymiarowy Tom Sześcian prostopadłościan Cylinder Piramida Kula
Cztero- /inny wymiar Teserakt Hipersfera
Geometry
wg nazwy Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apoloniusz Archimedesa Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Kartezjusz Euklides Euler Gaus Gromow Hilbert Jyeṣṭhadewa Katjajanah Chajjam Klein Łobaczewski Manawa Minkowskiego Minggatu Pascal Pitagoras Parameśwara Poincaré Riemanna Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang Lista geometrii
przez okres p.n.e. Ahmes Baudhayana Manawa Pitagoras Euklides Archimedesa Apoloniusz 1-1400s Zhang Katjajanah Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Chajjam al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameśwara 1400-1700 Jyeṣṭhadewa Kartezjusz Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700-1900 Gaus Łobaczewski Bolyai Riemanna Klein Poincaré Hilbert Minkowskiego Cartan Veblen Coxeter Dzień dzisiejszy Atiyah Gromow
v T mi

Dwuwymiarowej przestrzeni (znana również jako miejsce 2D , 2 przestrzeni lub przestrzeni dwuwymiarowe to ustawienie geometrycznej, w której dwie wartości (zwane) parametry ) są wymagane w celu ustalenia położenia elementu (to znaczy, punktu ). Zbiór par liczb rzeczywistych o odpowiedniej strukturze często służy jako kanoniczny przykład dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Aby zapoznać się z uogólnieniem koncepcji, zobacz wymiar . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Przestrzeń dwuwymiarową można postrzegać jako rzut fizycznego wszechświata na płaszczyznę . Zwykle uważa się, że jest to przestrzeń euklidesowa, a dwa wymiary nazywane są długością i szerokością.

Historia

Księgi od I do IV i VI Elementów Euklidesa zajmowały się geometrią dwuwymiarową, rozwijając takie pojęcia, jak podobieństwo kształtów, twierdzenie Pitagorasa (stwierdzenie 47), równość kątów i powierzchni , równoległość, suma kątów w trójkącie oraz trzy przypadki, w których trójkąty są „równe” (mają ten sam obszar), wśród wielu innych tematów.

Później płaszczyzna została opisana w tzw. kartezjańskim układzie współrzędnych , układzie współrzędnych określającym każdy punkt na płaszczyźnie jednoznacznie za pomocą pary współrzędnych liczbowych , które są znakami odległości od punktu do dwóch stałych prostopadłych skierowanych linii, mierzonych w taką samą jednostkę długości . Każda linia odniesienia nazywana jest osią współrzędnych lub po prostu osią układu, a punkt, w którym się spotykają, jest jej początkiem , zwykle w parze uporządkowanej (0, 0). Współrzędne można również zdefiniować jako pozycje rzutów prostopadłych punktu na dwie osie, wyrażone jako odległości ze znakiem od początku.

Idea tego systemu została rozwinięta w 1637 roku w pismach Kartezjusza i niezależnie przez Pierre'a de Fermata , chociaż Fermat pracował również w trzech wymiarach i nie opublikował odkrycia. Obaj autorzy stosowali w swoich zabiegach pojedynczą oś i mają zmienną długość mierzoną w odniesieniu do tej osi. Koncepcja użycia pary siekier została wprowadzona później, po przetłumaczeniu La Géométrie Kartezjusza na łacinę w 1649 roku przez Fransa van Schootena i jego uczniów. Komentatorzy ci wprowadzili kilka koncepcji, próbując wyjaśnić idee zawarte w pracy Kartezjusza.

Później samolot był pomyślany jako pole , w którym dowolne dwa punkty można było pomnożyć i, z wyjątkiem 0, podzielić. To było znane jako płaszczyzna złożona . Płaszczyzna złożona jest czasami nazywana płaszczyzną Arganda, ponieważ jest używana w diagramach Arganda. Zostały one nazwane na cześć Jeana-Roberta Arganda (1768-1822), chociaż po raz pierwszy zostały opisane przez duńsko-norweskiego geodetę i matematyka Caspara Wessela (1745-1818). Arganda diagramy są często używane do wykreślenia położeń biegunów i zer o funkcji na płaszczyźnie zespolonej.

W geometrii

Układy współrzędnych

W matematyce geometria analityczna (zwana również geometrią kartezjańską) opisuje każdy punkt w przestrzeni dwuwymiarowej za pomocą dwóch współrzędnych. Podane są dwie prostopadłe osie współrzędnych , które przecinają się w punkcie początkowym . Zazwyczaj są one oznaczone jako x i y . W stosunku do tych osi położenie dowolnego punktu w przestrzeni dwuwymiarowej określa uporządkowana para liczb rzeczywistych, przy czym każda liczba oznacza odległość tego punktu od początku mierzoną wzdłuż danej osi, która jest równa odległości tego punktu. punkt od drugiej osi.

Innym powszechnie używanym układem współrzędnych jest układ współrzędnych biegunowych , który określa punkt pod względem odległości od początku i kąta względem promienia odniesienia skierowanego w prawo.

• 

  Kartezjański układ współrzędnych

• 

  Biegunowy układ współrzędnych

Politopy

W dwóch wymiarach istnieje nieskończenie wiele wielokątów: wielokątów. Poniżej przedstawiamy kilka pierwszych regularnych:

Wypukły

Symbol schläfliego {s} oznacza regularny p gon .

Nazwa	Trójkąt ( 2-simplex )	Kwadrat ( 2-ortoplex ) ( 2-kostka )	Pięciokąt	Sześciokąt	Siedmiokąt	Ośmiokąt
Schläfli	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}
Obraz
Nazwa	Nonagon	Dziesięciobok	Hendekagon	Dodekagon	Tridecagon	Tetradekagon
Schläfli	{9}	{10}	{11}	{12}	{13}	{14}
Obraz
Nazwa	Pięciokąt	Sześciokąt	Heptadekagon	Oktadekagon	Enneadekagon	Ikosagon	... n-gon
Schläfli	{15}	{16}	{17}	{18}	{19}	{20}	{ n }
Obraz

Zdegenerowany (kulisty)

Regularne monogon (lub henagon) {1} i regularne Digon {2} może być uważany zdegenerowanych regularnych wielokątów i istnieją nondegenerately nie-euklidesowych jak w 2-kuli , 2-torusa , albo prostym kołowym cylindrem .

Nazwa	Monogon	Digon
Schläfli	{1}	{2}
Obraz

Niewypukły

Istnieje nieskończenie wiele niewypukłych politopów regularnych w dwóch wymiarach, których symbole Schläfliego składają się z liczb wymiernych {n/m}. Nazywane są wielokątami gwiaździstymi i mają takie same układy wierzchołków jak wypukłe wielokąty regularne.

Ogólnie rzecz biorąc, dla dowolnej liczby naturalnej n istnieją n-punktowe niewypukłe regularne wielokątne gwiazdy z symbolami Schläfliego { n / m } dla wszystkich m takie, że m < n /2 (ściśle mówiąc { n / m } = { n / ( n − m )}) oraz m i n są względnie pierwsze .

Nazwa	Pentagram	Heptagramy		Oktagram	Enneagramy		Dekagram	... n-agramów
Schläfli	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{ n/m }
Obraz

Koło

Hypersphere w 2 wymiarach jest koło , czasami nazywany 1 sfery ( S ¹ ), ponieważ jest jednowymiarową kolektora . W płaszczyźnie euklidesowej ma długość 2π r, a powierzchnia jej wnętrza wynosi

${\ Displaystyle A = \ pi r ^ {2}}$

gdzie jest promień. ${\ Displaystyle r}$

Inne kształty

Istnieje nieskończona liczba innych zakrzywionych kształtów w dwóch wymiarach, w tym zwłaszcza przekroje stożkowe : elipsa , parabola i hiperbola .

W algebrze liniowej

Inny matematyczny sposób widzenia przestrzeni dwuwymiarowej można znaleźć w algebrze liniowej , gdzie idea niezależności jest kluczowa. Płaszczyzna ma dwa wymiary, ponieważ długość prostokąta jest niezależna od jego szerokości. W technicznym języku algebry liniowej płaszczyzna jest dwuwymiarowa, ponieważ każdy punkt na płaszczyźnie można opisać kombinacją liniową dwóch niezależnych wektorów .

Iloczyn skalarny, kąt i długość

Iloczyn skalarny dwóch wektorów A = [ A ₁ , A ₂ ] i B = [ B ₁ , B ₂ ] jest zdefiniowany jako:

${\ Displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} = A_ {1} B_ {1} + A_ {2} B_ {2}}$

Wektor można przedstawić jako strzałkę. Jego wielkość to długość, a kierunek to kierunek wskazywany przez strzałkę. Wielkość wektora A jest oznaczona przez . Z tego punktu widzenia iloczyn skalarny dwóch wektorów euklidesowych A i B jest zdefiniowany przez ${\ Displaystyle \ | \ mathbf {A} \ |}$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} = \ | \ mathbf {A} \ | \, \ | \ mathbf {B} \ | \ cos \ theta,}$

gdzie θ jest kątem między A i B .

Iloczyn skalarny samego wektora A to

${\ Displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {A} = \ | \ mathbf {A} \ | ^ {2}}$

co daje

${\ Displaystyle \ | \ mathbf {A} \ | = {\ sqrt {\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {A}}}}$

wzór na długość euklidesową wektora.

W rachunku różniczkowym

Gradient

W prostokątnym układzie współrzędnych gradient jest określony wzorem

${\ Displaystyle \ nabla f = {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy x}} \ mathbf {i} + {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy y}} \ mathbf {j}}$

Całki krzywoliniowe i całki podwójne

Dla pewnego pola skalarnego f  : U ⊆ R ² → R , całka liniowa wzdłuż odcinkowo gładkiej krzywej C ⊂ U jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle \ int \ limity _ {C} f \, ds = \ int _ {a} ^ {b} f (\ mathbf {R} (t)) | \ mathbf {R} '(t) | \, dt.}$

gdzie r : [a, b] → C jest dowolną bijektywną parametryzacją krzywej C taką, że r ( a ) i r ( b ) dają punkty końcowe C i . ${\displaystyle a<b}$

Dla pola wektorowego F  : U ⊆ R ² → R ² , całka liniowa wzdłuż odcinkowo gładkiej krzywej C ⊂ U , w kierunku r , jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle \ int \ limity _ {C} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) \ cdot \ d \ mathbf {r} = \ int _ {a} ^ {b} \ mathbf {f} ( \mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.}$

gdzie · jest iloczyn skalarny i R : [a, b] → C jest bijective parametryzacji krzywej C w taki sposób, że R ( ) i R ( b ) dają punkty końcowe C .

Dwukrotnie integralną odnosi się do całki w regionie D w R ^2, z funkcji i jest zwykle w postaci: ${\displaystyle f(x,y)}$

${\ Displaystyle \ iint \ limity _ {D} f (x, y) \ dx \ dy.}$

Podstawowe twierdzenie całek krzywoliniowych

Podstawowym twierdzenie całek linii mówi, że integralną linia przez gradientu pola mogą być wyznaczane przez wyznaczanie skalarne oryginalnego pola w punktach końcowych krzywej.

Niech . Następnie ${\ Displaystyle \ varphi: U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2} \ do \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ varphi \ po lewej (\ mathbf {q} \ po prawej) - \ varphi \ po lewej (\ mathbf {p} \ po prawej) = \ int _ {\ gamma [\ mathbf {p}, \, \ mathbf {q } ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} .}$

Twierdzenie Greena

Niech C będzie zorientowaną dodatnio , odcinkowo gładką , prostą zamkniętą krzywą na płaszczyźnie i niech D będzie obszarem ograniczonym przez C . Jeśli L i M są funkcjami ( x , y ) zdefiniowanymi na otwartym obszarze zawierającym D i mają tam ciągłe częściowe pochodne , to

${\ Displaystyle \ oint _ {C} (L \, dx + M \, dy) = \ iint _ {D} \ lewo ({\ Frac {\ częściowy M} {\ częściowy x}} - {\ Frac {\ częściowe L}{\częściowe y}}\prawo)\,dx\,dy}$

gdzie ścieżka integracji wzdłuż C jest przeciwna do ruchu wskazówek zegara .

W topologii

W topologii samolot charakteryzuje się unikalną kurczliwością dwurozmaitościową .

Jego wymiar charakteryzuje się tym, że usunięcie punktu z płaszczyzny pozostawia przestrzeń, która jest połączona, ale nie po prostu połączona .

W teorii grafów

W teorii wykres , A płaska wykres jest wykres , który może być osadzony w płaszczyźnie, a więc, może być sporządzone na płaszczyźnie w taki sposób, że jego krawędzie przecinają się tylko na swoich punktów końcowych. Innymi słowy, można go narysować w taki sposób, aby żadne krawędzie się nie krzyżowały. Taki rysunek nazywa się grafem płaskim lub osadzeniem planarnym grafu . Wykres płaski można zdefiniować jako wykres planarny z odwzorowaniem każdego węzła na punkt na płaszczyźnie i od każdej krawędzi do krzywej płaskiej na tej płaszczyźnie, tak że skrajnymi punktami każdej krzywej są punkty odwzorowane od jej końca węzły, a wszystkie krzywe są rozłączne z wyjątkiem ich skrajnych punktów.

Zobacz też

• Funkcja obrazu

Bibliografia