Twierdzenie Tychonowa - Tychonoff's theorem

W matematyce , Twierdzenie Tichonowa stwierdza, że iloczyn dowolnej kolekcji kompaktowych przestrzeniach topologicznych jest niewielki w stosunku do topologii produktu . Twierdzenie to nosi imię Andrieja Nikołajewicza Tichonowa (którego nazwisko czasami transkrybuje się Tychonow ), który udowodnił je po raz pierwszy w 1930 r. dla potęg przedziału domkniętej jednostki, a w 1935 r. podał pełne twierdzenie z zaznaczeniem, że jego dowód jest taki sam jak dla szczególny przypadek. Najstarszy znany opublikowany dowód znajduje się w pracy Eduarda Čecha z 1937 roku .

Twierdzenie Tychonowa jest często uważane za prawdopodobnie najważniejszy wynik w ogólnej topologii (wraz z lematem Urysohna ). Twierdzenie to obowiązuje również dla przestrzeni topologicznych opartych na zbiorach rozmytych .

Definicje topologiczne

Twierdzenie zależy przede wszystkim od dokładnych definicji zwartości i topologii produktu ; w rzeczywistości, artykuł Tychonowa z 1935 roku po raz pierwszy definiuje topologię produktu. I odwrotnie, częścią jego znaczenia jest zapewnienie, że te konkretne definicje są najbardziej przydatne (tj. najbardziej grzeczne).

Rzeczywiście, definicja zwartości Heine-Borela – mówiąca, że ​​każde pokrycie przestrzeni zbiorami otwartymi dopuszcza skończone pokrycie podrzędne – jest stosunkowo nowa. Bardziej popularne w XIX i na początku XX wieku było kryterium Bolzano-Weierstrassa, zgodnie z którym każda sekwencja dopuszcza zbieżną podciąg, obecnie nazywaną zwartością sekwencyjną . Warunki te są równoważne dla przestrzeni metryzowalnych , ale żaden z nich nie implikuje drugiego w klasie wszystkich przestrzeni topologicznych.

Niemal trywialne jest udowodnienie, że iloczyn dwóch przestrzeni sekwencyjnie zwartych jest sekwencyjnie zwarty — jeden przechodzi do podciągu dla pierwszej składowej, a następnie do podciągu dla drugiej składowej. Tylko nieco bardziej rozbudowany argument „diagonalizacji” ustala sekwencyjną zwartość policzalnego iloczynu sekwencyjnie zwartych przestrzeni. Jednak iloczyn kontinuum wielu kopii przedziału domkniętej jednostki (z jego zwykłą topologią) nie jest sekwencyjnie zwarty w odniesieniu do topologii iloczynu, mimo że jest zwarty według twierdzenia Tychonowa (np. patrz Wilansky 1970 , s. 134) .

Jest to krytyczna porażka: jeśli X jest całkowicie regularną przestrzenią Hausdorffa , istnieje naturalne osadzenie od X do [0,1] C ( X ,[0,1]) , gdzie C ( X ,[0,1]) jest zbiorem ciągłych map od X do [0,1]. Zwartość [0,1] C ( X ,[0,1]) pokazuje zatem, że każda całkowicie regularna przestrzeń Hausdorffa osadza się w zwartej przestrzeni Hausdorffa (lub może być „zagęszczona”). Ta konstrukcja jest zagęszczeniem Stone-Čech . Odwrotnie, wszystkie podprzestrzenie zwartych przestrzeni Hausdorffa są całkowicie regularnymi przestrzeniami Hausdorffa, co charakteryzuje całkowicie regularne przestrzenie Hausdorffa jako te, które można zagęszczać. Takie przestrzenie są teraz nazywane przestrzeniami Tychonowa .

Aplikacje

Twierdzenie Tychonowa zostało wykorzystane do udowodnienia wielu innych twierdzeń matematycznych. Są to twierdzenia o zwartości niektórych miejscach, takich jak twierdzenia Banacha-Alaoglu na osłabienie siły * zwartość kuli jednostkowej w przestrzeni dualnej o przestrzeń unormowana , a twierdzenia Arzelà-Ascoli charakteryzujący sekwencje funkcji, w której każdy podciąg ma jednostajnie zbieżny podciąg. Zawierają one również twierdzenia mniej wyraźnie związane ze zwartością, takie jak twierdzenie De Bruijna-Erda mówiące , że każdy minimalny graf k- chromatyczny jest skończony, czy twierdzenie Curtisa-Hedlunda-Lyndona zapewniające topologiczną charakterystykę automatów komórkowych .

Z reguły każdy rodzaj konstrukcji, która przyjmuje jako dane wejściowe dość ogólny obiekt (często o charakterze algebraicznym lub topologiczno-algebraicznym) i generuje zwartą przestrzeń, prawdopodobnie używa Tychonoffa: np. przestrzeń Gelfanda maksymalnych ideałów przemiennej algebry C* , przestrzeni Stone'a maksymalnych ideałów algebry Boole'a oraz widma Berkovicha przemiennego pierścienia Banacha .

Dowody twierdzenia Tychonowa

1) Dowód Tychonowa z 1930 r. wykorzystywał koncepcję zupełnego punktu akumulacji .

2) Twierdzenie jest szybkim wnioskiem z twierdzenia o podstawie podrzędnej Alexandra .

Bardziej współczesne dowody były motywowane następującymi względami: podejście do zwartości poprzez zbieżność podciągów prowadzi do prostego i przejrzystego dowodu w przypadku zbiorów indeksów przeliczalnych. Jednak podejście do zbieżności w przestrzeni topologicznej za pomocą ciągów jest wystarczające, gdy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności (jak to robią przestrzenie metryzowalne), ale generalnie nie jest inaczej. Jednak iloczyn nieprzeliczalnie wielu metryzowalnych przestrzeni, z których każda ma co najmniej dwa punkty, nie jest najpierw policzalny. Naturalna jest więc nadzieja, że ​​odpowiednie pojęcie zbieżności w dowolnych przestrzeniach doprowadzi do kryterium zwartości uogólniającego sekwencyjną zwartość w metryzowalnych przestrzeniach, które będzie można równie łatwo zastosować do wydedukowania zwartości produktów. Okazało się, że tak jest.

3) Teoria zbieżności przez filtry, autorstwa Henri Cartana i opracowana przez Bourbaki w 1937 roku, prowadzi do następującego kryterium: zakładając lemat ultrafiltracji , przestrzeń jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ultrafiltr w przestrzeni zbiega się. Mając to w ręku, dowód staje się prosty: (filtr generowany przez) obraz ultrafiltra w przestrzeni produktu pod dowolną mapą projekcji jest ultrafiltrem w przestrzeni czynnikowej, która w związku z tym zbiega się do co najmniej jednego x i . Jeden następnie pokazuje, że oryginalny ultrafiltr zbiega się do x  = ( x i ). W swoim podręczniku Munkres przedstawia przeróbkę dowodu Cartana-Bourbakiego, który nie używa wprost żadnego języka teorii filtrów ani wstępów.

4) Podobnie teoria zbieżności Moore'a-Smitha poprzez sieci, uzupełniona pojęciem sieci uniwersalnej Kelleya , prowadzi do kryterium, że przestrzeń jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każda uniwersalna sieć na tej przestrzeni jest zbieżna. Kryterium to prowadzi do dowodu (Kelley, 1950) twierdzenia Tychonoffa, które jest, słowo w słowo, identyczne z dowodem Cartana/Bourbaki przy użyciu filtrów, z wyjątkiem wielokrotnego zastępowania „sieci uniwersalnej” za „bazę ultrafiltra”.

5) Dowód używania sieci, ale nie sieci uniwersalnych, dał w 1992 r. Paul Chernoff.

Twierdzenie Tychonowa i aksjomat wyboru

Wszystkie powyższe dowody w jakiś sposób wykorzystują aksjomat wyboru (AC). Na przykład trzeci dowód używa tego, że każdy filtr jest zawarty w ultrafiltrze (tj. filtrze maksymalnym), a można to zobaczyć przywołując lemat Zorna . Lemat Zorna jest również używany do udowodnienia twierdzenia Kelleya, że ​​każda sieć ma uniwersalną podsieć. W rzeczywistości te zastosowania AC są istotne: w 1950 Kelley udowodnił, że twierdzenie Tychonowa implikuje aksjomat wyboru w ZF . Zauważmy, że jednym ze sformułowań AC jest to, że iloczyn kartezjański rodziny niepustych zbiorów jest niepusty; ale ponieważ zbiór pusty jest z całą pewnością zwarty, dowód nie może przebiegać po tak prostych liniach. Tak więc twierdzenie Tychonowa łączy kilka innych podstawowych twierdzeń (np. że każda przestrzeń wektorowa ma bazę) będąc równoważnymi AC.

Z drugiej strony stwierdzenie, że każdy filtr jest zawarty w ultrafiltrze, nie oznacza AC. Rzeczywiście, nietrudno zauważyć, że jest to równoważne twierdzeniu Boole'a o ideałach pierwotnych (BPI), dobrze znanym punkcie pośrednim między aksjomatami teorii mnogości Zermelo-Fraenkla (ZF) a teorią ZF powiększoną o aksjomat wyboru (ZFC). Pierwsze spojrzenie na drugi dowód Tychnoffa może sugerować, że dowód używa nie więcej niż (BPI), w przeciwieństwie do powyższego. Jednak przestrzenie, w których każdy filtr zbieżny ma unikalną granicę, to właśnie przestrzenie Hausdorffa. Ogólnie rzecz biorąc, musimy wybrać dla każdego elementu zbioru indeksów element niepustego zbioru granic projektowanej bazy ultrafiltra, i oczywiście używa to AC. Pokazuje jednak również, że zwartość iloczynu zwartych przestrzeni Hausdorffa można udowodnić za pomocą (BPI), i faktycznie zachodzi również odwrotność. Badanie siły twierdzenia Tychonowa dla różnych klas ograniczonych przestrzeni jest aktywnym obszarem w topologii mnogościowej .

Analogia do twierdzenia Tychonowa w bezsensownej topologii nie wymaga żadnej formy aksjomatu wyboru.

Dowód aksjomatu wyboru z twierdzenia Tychonowa

Aby udowodnić, że twierdzenie Tychonoffa w swojej ogólnej wersji implikuje aksjomat wyboru, ustalamy, że każdy nieskończony iloczyn kartezjański zbiorów niepustych jest niepusty. Najtrudniejszą częścią dowodu jest wprowadzenie odpowiedniej topologii. Właściwa topologia, jak się okazuje, to topologia koskończona z niewielkim skrętem. Okazuje się, że każdy zbiór o takiej topologii automatycznie staje się zwartą przestrzenią. Kiedy już mamy ten fakt, można zastosować twierdzenie Tychonowa; następnie używamy definicji zwartości skończonej własności przecięcia (FIP). Sam dowód (dzięki JL Kelley ) jest następujący:

Niech { A i } będzie indeksowaną rodziną niepustych zbiorów, dla i mieszczącego się w I (gdzie I jest dowolnym zbiorem indeksującym). Chcemy pokazać, że iloczyn kartezjański tych zbiorów jest niepusty. Teraz, dla każdego i , weź X i jako A i z dołączonym indeksem i (w razie potrzeby zmieniając nazwy indeksów za pomocą sumy rozłącznej , możemy założyć, że i nie należy do A i , więc po prostu weź X i = A ja ∪ { ja }).

Teraz zdefiniuj iloczyn kartezjański

wraz z odwzorowaniami odwzorowania naturalnego π i, które prowadzą członka X do jego i- tego członu .

Każdemu X i nadajemy topologię, której otwarte zbiory są podzbiorami koskończonymi X i , plus zbiór pusty (topologia koskończona) i singleton { i }. To sprawia, że X i jest zwarty, a według twierdzenia Tychonowa, X jest również zwarty (w topologii produktu). Mapy projekcji są ciągłe; wszystkie A I ' S są zamknięte, jako dopełnienia do jednoelementowy otwartym zbioru { i } w X ı . Zatem odwrotne obrazy π i -1 ( A i ) są domkniętymi podzbiorami X . Zauważamy, że

i udowodnić, że te odwrócone obrazy są niepuste i mają FIP. Niech i 1 , ..., i N będzie skończonym zbiorem indeksów w I . Wtedy iloczyn skończony A i 1 × ... × A i N jest niepusty (tu tylko skończenie wiele wyborów, więc AC nie jest potrzebne); składa się jedynie z N- krotek. Niech a = ( a 1 , ..., a N ) będzie taką N- krotką. Rozszerzamy a na cały zbiór indeksów: weźmy a do funkcji f zdefiniowanej przez f ( j ) = a k jeśli j = i k , a f ( j ) = j w przeciwnym wypadku. Ten krok polega na tym, że dodanie dodatkowego punktu do każdej przestrzeni jest kluczowe , ponieważ pozwala nam zdefiniować f dla wszystkiego poza N- krotką w precyzyjny sposób bez możliwości dokonywania wyborów (możemy już wybrać, przez konstrukcję, j z X j ). π i k ( f ) = a k jest oczywiście elementem każdego A i k tak, że f jest w każdym odwrotnym obrazie; więc mamy

Zgodnie z definicją zwartości FIP, całe przecięcie nad I musi być niepuste, a dowód jest kompletny.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

  • Chernoff, Paul R. (1992), „Prosty dowód twierdzenia Tychonoffa za pośrednictwem sieci”, American Mathematical Monthly , 99 (10): 932-934, doi : 10.2307/2324485 , JSTOR  2324485.
  • Johnstone, Peter T. (1982), Kamienne przestrzenie , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 3 , New York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-23893-5.
  • Johnstone, Peter T. (1981), "Twierdzenie Tychonowa bez aksjomatu wyboru", Fundamenta Mathematicae , 113 : 21-35, doi : 10.4064/fm-113-1-21-35.
  • Kelley, John L. (1950), "Zbieżność w topologii", Duke Mathematical Journal , 17 (3): 277-283, doi : 10.1215/S0012-7094-50-01726-1.
  • Kelley, John L. (1950), „Twierdzenie o produkcie Tychonoffa implikuje aksjomat wyboru”, Fundamenta Mathematicae , 37 : 75-76, doi : 10.4064/fm-37-1-75-76.
  • Munkres, James R. (2000). Topologia (wyd. drugie). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . Numer ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260 .
  • Tychonoff, Andrey N. (1930), „Über die topologische Erweiterung von Räumen”, Mathematische Annalen (w języku niemieckim), 102 (1): 544-561, doi : 10.1007/BF01782364.
  • Wilansky, A. (1970), Topologia analizy , Ginn and Company
  • Willard, Stephen (2004) [1970]. Ogólna topologia . Dover Książki o matematyce (pierwsze wyd.). Mineola, NY : Dover Publikacje . Numer ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240 .
  • Wright, David G. (1994), „Twierdzenie Tychonowa”, Proc. Amer. Matematyka. Soc. , 120 (3): 985–987, doi : 10.1090/s0002-9939-1994-1170549-2.

Linki zewnętrzne