Przestrzeń Tychonowa - Tychonoff space

W topologii i pokrewnych dziedzin matematyki , przestrzenie Tichonowa i całkowicie regularne przestrzenie są rodzaje przestrzeni topologicznych . Warunki te są przykładami aksjomatów separacji .

Przestrzenie Tychonowa noszą imię Andrieja Nikołajewicza Tychonowa , którego rosyjskie imię (Тихонов) jest różnie oddawane jako „Tychonow”, „Tichonow”, „Tichonow”, „Tichonow” itp., który wprowadził je w 1930 roku, aby uniknąć patologicznej sytuacji Hausdorffa przestrzenie, których jedynymi ciągłymi funkcjami o wartościach rzeczywistych są stałe odwzorowania.

Definicje

Oddzielenie punktu od zamkniętego zbioru za pomocą funkcji ciągłej.

Przestrzeń topologiczną nazywa się całkowicie regularną, jeśli punkty można oddzielić od zbiorów zamkniętych za pomocą (ograniczonych) ciągłych funkcji o wartościach rzeczywistych. Z technicznego punktu widzenia oznacza to: dla każdego zbioru domkniętego i dowolnym momencie istnieje na wartościach rzeczywistych funkcji ciągłych takie, że a (Równoważnie można wybrać dowolne dwie wartości zamiast a , a nawet domagać się być ograniczonym funkcja). ${\ Displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\ Displaystyle x \ w X \ setminus A}$ ${\ Displaystyle f: X \ do \ mathbb {R} }$${\ Displaystyle f (x) = 1}$${\ Displaystyle f \ vert _ {A} = 0.}$${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle 1}$${\displaystyle f}$

Przestrzeń topologiczna jest nazywany przestrzenią Tichonowa (alternatywnie: ţ _3² przestrzeń lub ţ _gatunku przestrzeń lub całkowicie T ₃ miejsca ), jeżeli jest to całkowicie regularny odstęp Hausdorff .

Uwaga. Przestrzenie całkowicie regularne i przestrzenie Tychonowa są powiązane pojęciem równoważności Kołmogorowa . Przestrzeń topologiczna to Tychonow wtedy i tylko wtedy, gdy jest zarówno całkowicie regularna, jak i T ₀ . Z drugiej strony, przestrzeń jest całkowicie regularna wtedy i tylko wtedy, gdy jej iloraz Kołmogorowa wynosi Tychonow.

Konwencje nazewnictwa

W literaturze matematycznej stosuje się różne konwencje, jeśli chodzi o termin „całkowicie regularny” i „T”-aksjomaty. Definicje w tej sekcji są w typowym współczesnym użyciu. Niektórzy autorzy zamieniają jednak znaczenia tych dwóch rodzajów terminów lub używają wszystkich terminów zamiennie. W Wikipedii terminy „całkowicie regularne” i „Tychonoff” są używane swobodnie i generalnie unika się notacji „T”. W standardowej literaturze zaleca się zatem ostrożność, aby dowiedzieć się, jakich definicji używa autor. Aby uzyskać więcej informacji na ten temat, zobacz Historia aksjomatów separacji .

Przykłady i kontrprzykłady

Niemal każda przestrzeń topologiczna badana w analizie matematycznej jest Tychonowa, a przynajmniej całkowicie regularna. Na przykład, rzeczywista linia to Tychonoff w standardowej topologii euklidesowej . Inne przykłady obejmują:

• Każda przestrzeń metryczna to Tychonow; każda przestrzeń pseudometryczna jest całkowicie regularna.
• Każda lokalnie zwarta regularna przestrzeń jest całkowicie regularna, a zatem każda lokalnie zwarta przestrzeń Hausdorffa to Tychonow.
• W szczególności każda rozmaitość topologiczna to Tychonow.
• Każdy kompletnie uporządkowany zestaw z topologią kolejności to Tychonow.
• Każda grupa topologiczna jest całkowicie regularna.
• Uogólniając zarówno przestrzenie metryczne, jak i grupy topologiczne, każda jednolita przestrzeń jest całkowicie regularna. Prawdą jest również odwrotność: każda całkowicie regularna przestrzeń jest uniformizowalna.
• Każdy kompleks CW to Tychonow.
• Każda normalna regularna przestrzeń jest całkowicie regularna, a każda normalna przestrzeń Hausdorffa to Tychonow.
• Niemyckiego samolot jest przykładem przestrzeni Tichonowa, która nie jest normalne .

Nieruchomości

Ochrona

Całkowita regularność i własność Tychonowa są dobrze zachowane w odniesieniu do początkowych topologii . W szczególności, pełna regularność jest zachowywana przez zastosowanie dowolnych topologii początkowych, a właściwość Tychonowa jest zachowywana przez wybieranie topologii początkowych rozdzielających punkty. Wynika, że:

• Każda podprzestrzeń przestrzeni całkowicie regularnej lub przestrzeni Tychonowa ma tę samą własność.
• Niepuste pole produktu jest całkowicie regularne (odpowiednio Tychonoff) wtedy i tylko wtedy, gdy każde pole czynników jest całkowicie regularne (odpowiednio Tychonoff).

Jak wszystkie aksjomaty separacji, przy ostatecznych topologiach nie zachowuje się pełnej regularności . W szczególności iloraz przestrzeni całkowicie regularnych nie musi być regularny . Iloraz przestrzeni Tychonowa nie musi być nawet Hausdorffem . Istnieją zamknięte ilorazy płaszczyzny Moore'a, które dostarczają kontrprzykładów.

Funkcje ciągłe o wartościach rzeczywistych

Dla dowolnej przestrzeni topologicznej X , niech C ( X ) oznacza rodzinę funkcji ciągłych o wartościach rzeczywistych na X i niech C _b ( X ) będzie podzbiorem ograniczonych funkcji ciągłych o wartościach rzeczywistych.

Przestrzenie całkowicie regularne charakteryzują się tym, że ich topologia jest całkowicie określona przez C ( X ) lub C _b ( X ). W szczególności:

• Przestrzeń X jest całkowicie regularna wtedy i tylko wtedy, gdy ma początkową topologię indukowaną przez C ( X ) lub C _b ( X ).
• Przestrzeń X jest całkowicie regularna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy domknięty zbiór można zapisać jako przecięcie rodziny zbiorów zerowych w X (tzn. zbiory zer stanowią podstawę zbiorów domkniętych X ).
• Przestrzeń X jest całkowicie regularna wtedy i tylko wtedy, gdy zestawy cozero z X tworząc podstawę dla topologii X .

Biorąc pod uwagę dowolną przestrzeń topologiczną ( X , τ ) istnieje uniwersalny sposób skojarzenia całkowicie regularnej przestrzeni z ( X , τ ). Niech ρ będzie początkową topologią na X indukowaną przez C _τ ( X ) lub, równoważnie, topologią generowaną przez bazę zbiorów cozero w ( X , τ). Wtedy ρ będzie najlepszą całkowicie regularną topologią na X, która jest grubsza niż τ. Ta konstrukcja jest uniwersalna w tym sensie, że każda ciągła funkcja

${\displaystyle f:(X,\tau)\do Y}$

do całkowicie regularnej przestrzeni Y będzie ciągła na ( X , ρ). W języku teorii kategorii , funktor wysyłający ( X , τ) do ( X , ρ) pozostaje obok funktora inkluzji CReg → Top . Zatem kategoria całkowicie regularnych przestrzeniach creg jest refleksyjny podkategorii z góry , w kategorii przestrzeni topologicznych . Biorąc iloraz Kołmogorowa widać, że podkategoria przestrzeni Tychonowa jest również refleksyjna.

Można pokazać , że C _τ ( X ) = C _ρ ( X ) w powyższej konstrukcji tak , że pierścienie C ( X ) i C _b ( X ) są zwykle badane tylko dla całkowicie regularnych przestrzeni X .

Kategoria rzeczywistych zwartych przestrzeni Tychonowa jest antyrównoważna kategorii pierścieni C ( X ) (gdzie X oznacza rzeczywiste zwarte przestrzenie) wraz z homomorfizmami pierścieni jako odwzorowaniami. Na przykład można zrekonstruować X z C ( X ), gdy X jest (rzeczywiste) zwarte. Teoria algebraiczna tych pierścieni jest zatem przedmiotem intensywnych badań. Rozległym uogólnieniem tej klasy pierścieni, która wciąż przypomina wiele własności przestrzeni Tychonowa, ale ma również zastosowanie w rzeczywistej geometrii algebraicznej , jest klasa rzeczywistych pierścieni zamkniętych .

Osadzania

Przestrzenie Tychonowa to dokładnie te przestrzenie, które można osadzić w zwartych przestrzeniach Hausdorffa . Dokładniej, dla każdej przestrzeni Tychonowa X istnieje zwarta przestrzeń Hausdorffa K taka, że X jest homeomorficzna z podprzestrzenią K .

W rzeczywistości zawsze można wybrać K jako sześcian Tychonowa (tzn. być może nieskończony iloczyn przedziałów jednostkowych ). Każda kostka Tychonowa jest zwartą Hausdorffem w wyniku twierdzenia Tychonowa . Ponieważ każda podprzestrzeń zwartej przestrzeni Hausdorffa to Tychonow, mamy:

Przestrzeń topologiczna jest Tychonowa wtedy i tylko wtedy, gdy może być osadzona w kostce Tychonowa .

Zagęszczenia

Szczególnie interesujące są te zanurzenia, w których obraz X jest gęsty w K ; nazywane są one Hausdorffa zwartych z X . Biorąc pod uwagę każdą osadzanie przestrzeni Tichonowa X w zwartej przestrzeni Hausdorffa K zamknięcie wizerunku X w K jest zwartym X . W tym samym artykule z 1930 roku, w którym Tychonoff zdefiniował całkowicie regularne przestrzenie, udowodnił również, że każda przestrzeń Tychonoffa ma zagęszczenie Hausdorffa.

Wśród tych zagęszczeń Hausdorffa istnieje unikalne, „najbardziej ogólne” zagęszczenie Stone-Čech β X . Charakteryzuje się ona tym właściwości uniwersalnego , który, biorąc pod uwagę ciągłą mapę F od X do innych zwartej Hausdorffa Y , jest unikalny stały mapę g z p X do Y , która rozciąga f w tym sensie, że F jest kompozycja o g i j .

Jednolite struktury

Pełna regularność jest właśnie warunkiem koniecznym istnienia jednorodnych struktur w przestrzeni topologicznej. Innymi słowy, każda jednolita przestrzeń ma całkowicie regularną topologię i każda całkowicie regularna przestrzeń X jest uniformizowalna . Przestrzeń topologiczna dopuszcza wyodrębnioną jednolitą strukturę wtedy i tylko wtedy, gdy jest nią Tychonow.

Biorąc pod uwagę całkowicie regularna przestrzeń X jest zazwyczaj więcej niż jeden jednolitość na X , który jest kompatybilny z topologią X . Jednak zawsze będzie istniała najlepsza kompatybilna jednorodność, zwana dokładną jednolitością na X . Jeśli X jest Tychonow, to struktura jednorodna może być wybrana tak, że β X staje się uzupełnieniem przestrzeni jednorodnej X .

Cytaty

Bibliografia